2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质学案文

1、学必求其心得，业必贵于专精第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171椭圆的标准方程与几何性质第17题第18题江苏高考对本讲考查重点是圆锥曲线的标准方程、性质（特别是离心率），以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能,一般属于中档题2双曲线、抛物线的标准方程与几何性质第7题第8题第8题1必记的概念与定理(1)从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲线 这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的曲线,因而才称之为圆锥曲线(2）从点的集合（或轨迹）的观点看,它们都是与定点和定直

2、线距离的比是常数e 的点的集合(或轨迹)，这个定点是它们的焦点,定直线是它们的准线，只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线(3）圆锥曲线第二定义把“曲线上的点m”“焦点f“相应准线l”和“离心率e”四者巧妙地联系起来，所以在圆锥曲线的问题中，凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义2记住几个常用的公式与结论(1)椭圆、双曲线的方程形式上可统一为ax2by21，其中a、b是不等的常数，ab0时，表示焦点在y轴上的椭圆;ba0时，表示焦点在x轴上的椭圆；ab0时表示双曲线（2)与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可设为（0）若已知渐近线方程为mxny0，则双曲

3、线方程可设为m2x2n2y2(0)(3）设直线l（斜率存在）与圆锥曲线c相交于a、b两点，a（x1，y1），b（x2，y2），则弦长ab|x1x2|或y1y2|（4）通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是2p，过抛物线焦点的弦中通径最短(5)椭圆上点到焦点的最长距离为ac，最短距离为ac3需要关注的易错易混点（1）已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论（2)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数

4、，且该常数必须小于两定点的距离若定义中的“绝对值去掉，点的轨迹是双曲线的一支（3）已知渐近线方程ymx，求离心率时，若焦点位置不确定时,m（m0)或m，故离心率有两种可能椭圆的标准方程与几何性质典型例题 （1)如图，在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆1(ab0）的右焦点，直线y与椭圆交于b，c两点，且bfc90，则该椭圆的离心率是_（2）（2019江苏名校联考）已知椭圆c：1(ab0)及点b(0，a），过b与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点a，f为椭圆的右焦点,则abf_【解析】(1）由题意得b，c，f(c，0），则由bfc90得c2a2b20,化简得ca，则离心率e(2)法一：由题意知，切线

5、的斜率存在，设切线方程为ykxa（k0），与椭圆方程联立，得b2x2a2（kxa)2a2b20，即（b2a2k2）x22a3kxa4a2b20，由4a6k24（b2a2k2)(a4a2b2）0，得k,从而yxa交x轴于a(，0)，又f（c,0)，易知0，故abf90法二：由椭圆性质可知，过b且与椭圆相切的斜率为正的直线方程为yexa(e为椭圆的离心率），即切线斜率为e,所以tanbafe,又tanobfe，则bafobf，因而abf90【答案】（1)(2）90(1)解决椭圆方程和几何性质问题,要牢牢抓住相关定义，一些看起来很复杂，没有头绪的问题,如果从定义上来考虑，往往会迎刃而解 (2)与椭圆

6、几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(3)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如axa，byb，0eb0)的离心率为，此椭圆的长轴长等于圆x2y22x150的半径,则椭圆c的方程为_解析 因为x2y22x150，所以(x1）2y216，所以r4，即2a4，a2又，所以c,所以b1，故椭圆方程为y21答案 y212（2019江苏省名校高三入学摸底卷)设a，b，c是椭圆1（ab0）上的三个不同的点，若四边形oabc（其中o为坐标原点）为矩形，则该椭圆的离心率的最小值为_解析 设点a（x1，y1)，c（x2,y2)，因为四边形oabc为矩形，所以点b(x

7、1x2，y1y2），则问题转化为方程组存在实数解的问题展开第三个方程，整理得x1x2易知直线oa和oc的斜率均存在，分别设为k,，由得x,同理x，因此，即关于k2的二次方程(k2）2k210有正解,即40，且380,又ab，所以a23b2,所以e0)经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是_（2)(2019南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线c：x24y的焦点为f,定点a（2,0），若射线fa与抛物线c相交于点m，与抛物线c的准线相交于点n，则fmmn_【解析】（1）因为双曲线x21（b0)经过点(3，4)，所以91,得b，所以该双曲线的渐近线方程是ybxx(2）设直线fa的

8、倾斜角为，因为焦点f（0,1)，定点a（2，0），所以tan ，sin ,如图，作mbl，垂足为点b，由抛物线的定义可得：fmmb，所以sin(）sin 【答案】(1）yx(2）灵活、准确地运用定义，为解决圆锥曲线的一些问题带来很大的方便特别是抛物线的定义在解题中的作用巨大对点训练3(2018高考江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，若双曲线1（a0，b0)的右焦点f（c，0）到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是_解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为yx,所以bc，所以b2c2a2c2，得c2a，所以双曲线的离心率e2答案 24已知抛物线c：y22px(p0）的准线为l,过m(1，0)且斜率为

9、的直线与l相交于点a，与c的一个交点为b若，则p_解析 过b作be垂直准线l于e（图略），因为,所以m为中点，所以mbab，又斜率为，bae30,所以beab，所以bmbe,所以m为抛物线的焦点，所以p2答案 21(2019南京模拟)椭圆1的离心率是_解析 由椭圆方程可得a5，b3,c4，e答案 2（2019江苏省高考命题研究专家原创卷（四）)已知方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是_解析 因为方程1表示双曲线，所以当焦点在x轴上时,，解得1m0；当焦点在y轴上时，解得m1所以实数m的取值范围是m1或1m0，b0）的右准线与两条渐近线分别交于a，b两点若aob的面积为,则该双曲线的离心率为_

10、解析 双曲线的渐近线方程为yx，右准线方程为x，联立可求得两交点的纵坐标为，所以aob的面积s，得4,e2答案 28已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1（1,0)，f2（1，0)，p是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为2，4,则的最小值的取值范围是_解析 设p（m,n),则1，即m2a2又f1(1,0)，f2(1,0），则（1m,n），（1m，n）,n2m21n2a21n2a21a21，当且仅当n0时取等号，所以的最小值为a21由24，得a，故a21，即的最小值的取值范围是答案 9(2019江苏高考命题研究专家原创卷）已知抛物线的方程为y24x，过其焦点f的直线与抛物

11、线交于a,b两点，且|af3，o为坐标原点，则aof的面积和bof的面积的比值为_解析 易知f(1,0），不妨设a在第一象限，b在第四象限因为af3,所以xa13，解得xa2，代入抛物线方程可得y42,得ya2,所以直线ab的方程为y（x1)，即y2x2联立,消去x得，y2y40，所以2yb4，解得yb，所以aof的面积和bof的面积的比值为2答案 210(2019南京模拟)已知椭圆x21(0b1)的左焦点为f,左、右顶点分别为a、c,上顶点为b过f、b、c作圆p,其中圆心p的坐标为(m，n）当mn0时，则椭圆离心率的取值范围是_ 解析 设f、b、c的坐标分别为（c，0），（0，b)，(1，0

12、)，则fc、bc的中垂线分别为x，y联立方程组解出mn0，即bbcb2c0，即(1b）（bc）0，所以bc从而b2c2，即有a22c2,所以e2又e0,所以0e答案 0e0)的右准线l2与一条渐近线l交于点p，f是双曲线的右焦点（1）求证:pfl；（2）若pf3,且双曲线的离心率e,求该双曲线方程解 (1）证明：右准线为x，由对称性不妨设渐近线l为yx,则p,又f(c，0)，所以kpf，又因为kl，所以kpfkl1，所以pfl（2)因为pf的长即f(c,0）到l：bxay0的距离，所以3,即b3，又e，所以，所以a4，故双曲线方程为112如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆e:1(ab0)的左

13、、右焦点分别为f1，f2，离心率为,两准线之间的距离为8点p在椭圆e上，且位于第一象限，过点f1作直线pf1的垂线l1，过点f2作直线pf2的垂线l2（1)求椭圆e的标准方程;（2）若直线l1，l2的交点q在椭圆e上，求点p的坐标解 (1)设椭圆的半焦距为c因为椭圆e的离心率为，两准线之间的距离为8,所以，8,解得a2，c1,于是b,因此椭圆e的标准方程是1（2)由（1）知，f1(1，0）,f2(1,0）设p（x0，y0）,因为p为第一象限的点，故x00，y00当x01时，l2与l1相交于f1,与题设不符,当x01时，直线pf1的斜率为,直线pf2的斜率为因为l1pf1，l2pf2，所以直线l

14、1的斜率为,直线l2的斜率为，从而直线l1的方程：y（x1），直线l2的方程：y(x1）由，解得xx0,y，所以q因为点q在椭圆e上，由对称性，得y0，即xy1或xy1又p在椭圆e上，故1由解得x0，y0；无解因此点p的坐标为13（2019南通市高三第一次调研测试)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆1(ab0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1（1）求椭圆的标准方程；（2）若p为椭圆上的一点,过点o作op的垂线交直线y于点q，求的值解 (1）由题意得，c1，解得a，c1，又b2a2c2，所以b1所以椭圆的标准方程为y21(2)由题意知op的斜率存在当op的斜率为0时，op,oq，所以1

15、当op的斜率不为0时，设直线op的方程为ykx(k0）由得（2k21)x22，解得x2,所以y2，所以op2因为opoq,所以直线oq的方程为yx由得xk,所以oq22k22所以1综上可知，114(2019江苏名校高三入学摸底）为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全,海事部门在某平台o的正西方向和正东方向设立了两个观测站a、b,它们到平台o的距离都为5海里,并将到两观测站的距离之和不超过20海里的区域设为禁航区域（1）建立适当的平面直角坐标系,求禁航区域边界曲线的方程;(2)某日观察员在观测站b处发现在该海上平台正南10海里的c处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏东30方向航行,如果航向不变，该轮船是否会进入禁航区域？如果不进入，说明理由；如果进入，求出它在禁航区域中航行的时间解 (1）以o为坐标原点，ab所在的直线为x轴,线段ab的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系依题意可知,禁航区域的边界是以a,b为焦点的椭