锐角三角函数

1、1.1 锐角三角函数（第1课时） 第一章 直角三角形的边角关系 直角三角形直角三角形 三边关系三边关系 两锐角关系两锐角关系 勾股定理勾股定理 互余互余 复习回顾复习回顾 边角关系边角关系 30角所对的角所对的 直角边等于斜直角边等于斜 边的一半边的一半 自学指导1 认真阅读认真阅读P2P2P4P4，思考下列问题，思考下列问题 v如何判断梯子的陡与缓？如何判断梯子的陡与缓？ v正切的含义是什么？正切的含义是什么？ v梯子的倾斜度与梯子的倾斜度与tanAtanA有何关系？有何关系？ 三分钟后完成问题探究一三分钟后完成问题探究一 梯子,地面与墙之间就形成一个直角三 角形。墙AC和地面BC看成是直角

2、边，梯子 AB看成是斜边。 梯子与地面的夹角 称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子 的铅直高度 从梯子的低端B到墙角C的距离，称为梯子 的水平宽度 A C CB 梯子在上升变陡过程中，倾斜角的大小有无变化？ 如何变 ？ 水平宽度水平宽度 1 12 2 倾斜角倾斜角越大越大梯子越梯子越陡陡 实例:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样 判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡 甲组甲组乙组乙组 实例:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判 断的？ 9m 8m 如图，三部梯子的倾斜程度一样，通过测量发现其中两 部梯子的数据如下，请你用

3、上面的方法分析当倾斜角相 等时，铅直高度和水平宽度之间有何关系。 1 2 3 4 2 3 2 5 请你判别下列哪部梯子最陡 在RtABC中,如果 锐角A确定,那么 A的对边与邻边的比随之确定, 这个比叫做 A的正切 记作:tanA tanA= 梯子的倾斜程度与tanA的关系 tanA越大，梯子越陡， A越大 B A C 斜 边 A的对边BC A的邻边AC 在RtABC中 一一. . 去假存真去假存真( (抢答）抢答） 1. 如图 (1)( ). AC BC A tan A B C A B C 7m 10m (1) (2) 4如图 (2)( ). BC AC A tan 2如图 (2)( ).

4、AB BC A tan 3如图 (2)( ). 7 10 tanB 错错 对对 错错 错错 反馈练习一反馈练习一 w例1 下图表示两个自动扶梯的几何模型,那 一个自动扶梯比较陡? w解解: :甲梯中甲梯中 乙梯中乙梯中 . 12 5 513 5 tan 22 . 2 1 8 4 tan tan tan 甲梯更陡甲梯更陡 4 m 8 m 甲 甲梯甲梯 A B C 乙 5 m 13 m 乙梯乙梯 D E F v1.tanA是在直角三角形中定义的,A是一个锐 v角（注意数形结合，构造直角三角形）. v2.tanA是一个完整的符号,表示A的正切,习惯 v省去“”号（注意tanA不表示tan乘以A).

5、v3.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角 形中A的对边与邻边的比. 4.tanA的大小只与A的大小有关,而与直角三角 v形的边长无关. v5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等, v则这两个锐角相等. 请你用不同的符号表示下列图 形中两个锐角的正切 阅读P5下面的内容，思考下面问题 v什么是坡度（坡比）？ v坡度和坡角的联系与区别是什么？ 2分钟后完成问题探究二 自学指导2 w斜坡的倾斜程度常用坡度表示.例如，有一 山坡在水平方向上每前进80m就升高60m,山 坡的坡度 1.1.坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角()()叫叫坡角坡角 2.2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡

6、面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度坡度i i ( (或坡比或坡比),),即坡度等于坡角的正切。即坡度等于坡角的正切。 3.3.坡度越大坡度越大, ,坡面越陡。坡面越陡。 603 tan. 1005 i 100m 60m 例：例： 如图，为拦水坝的横截面，其中如图，为拦水坝的横截面，其中ABAB面的坡度面的坡度 i i ，若坝高，若坝高BC=20BC=20米，求坝面米，求坝面ABAB的长。的长。 320 解解: :在在RtRtABCABC中中,BC=20,BC=20米米 坡度坡度i i： 则则AC= AC= 米米. . 又又ABAB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2 AB= AB=202

7、02 2+( )+( )2 2=40=40米米 3 3 1 AC BC 320 3:1 在在RtABC中中, 如果如果 锐角锐角A确定确定, 那么那么 A的对边与邻边的比的对边与邻边的比 随之确定随之确定, 这个比叫做这个比叫做 A的正切的正切. 记作记作:tanA tanA= A的对边的对边 A的邻边的邻边 B A C A的对边的对边 A的邻边的邻边 tanA越大，梯子越陡，越大，梯子越陡， A越大越大 课堂小结课堂小结： 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（第2课时） 复习引入 2、在RtABC中，C90， tanA ，AC10求BC,AB的长。 1、如图，RtABC中，t

8、anA = ，tanB= 。 4 3 3、若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为A， A越大，梯子越 ；tanA的值越大，梯子 越 。 4、当RtABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的 比值也确定吗? 可以用其它的方式来表示梯子的倾 斜程度吗？ B1 B2 AC1C2 探究活动1：如图 （1）RtAB1C1和RtAB2C2的关系 是 。 （2） 。 （3）如果改变B2在斜边上的位置， 则 。 的的关关系系是是 A AB B C CB B 和和 A AB B C CB B 2 2 2 22 2 1 1 1 11 1 的的关关系系是是 A AB B C CB B 和和 A AB B C CB B

9、2 2 2 22 2 1 1 1 11 1 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐 角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值_， 根据是_。 它的邻边与斜边的比值呢？ 归纳概念 在RtABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做A的 正弦,记作sinA,即 在RtABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做A 的余弦,记作cosA,即 锐角A的正弦,余弦,正切 和余切都叫做A的三角 函数. A B C A的对边 A的邻边 斜边 sinA= 斜边 A的对边 cosA= 斜边 A的邻边 温馨提示 v（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,A是一个 锐角； v（2）sinA，cosA中常省去角的符号

10、“”。但BAC 的正弦和余弦表示为: sinBAC，cosBAC。1的正 弦和余弦表示为: sin1，cos1； v（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值； v（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示 “sin”,“cos”乘以“A” ； v（5）sinA，cosA的大小只与A的大小有关,而与直角 三角形的边长没有必然的关系。 铅直高度 水平宽度 倾斜角 探究活动2：我们知道，梯子的倾斜 程度与tanA有关系，tanA越大，梯子 越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和 cosA有关系吗？是怎样的关系？ A 探究新知 探索发现： 梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关 cosA越

11、 ,梯子越陡. sinA越大,梯子 ; 探究3：如图:在RtABC中,C=900,AB=20, sinA=0.6，求BC和cosB. 20 A B C 解:在RtABC中, 6.0 20 sin BC AB BC A 126 . 020 BC 0.6 20 12 AB BC cosB 思考:通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与 cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明。 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个 锐角的余弦。 小结规律： 在直角三角形中，一个锐角的正 弦等于另一个锐角的余弦。 即sinA=cosB 1、如图,在RtABC中,锐角A的

12、对边和邻边同 时扩大100倍,sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 2、已知A,B为锐角 (1)若A=B,则sinA sinB; (2)若sinA=sinB,则A B. A B C c = = 及时检测 3、如图, C=90CDAB A C BD .sinB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AC CD AB AD BC AC 归类提升 类型一： 已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值 例1 在RtABC中,C=90, AC=3,AB=6,求 B的三个三角函数值。 类型二： 利用三角函数值求线段的长度 例2 如图，在RtABC中,C=90

13、, BC=3,sinA= ,求AC和AB。 13 5 类型三： 利用已知三角函数值，求其它三角函数值 例3 在RtABC中，C=90，BC=6， sinA= ，求cosA、tanB的值。 5 3 类型四： 求非直角三角形中锐角的三角函数值 例4 如图:在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB. 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的. 1、锐角三角函数定义： sinA= ， cosA= ， tanA= ； 总结延伸 A B C A的对边 A的邻边 斜边 2、温馨提示： （1）sinA，cosA，tanA， 是在直角三角形中定 义的，A是锐角(注意数形结

14、合，构造直角三角 形)； （2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表 示A的正切，习惯省去“”号； （3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区 别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位； （4）sinA，cosA，tanA的大小只与A的大小有 关，而与直角三角形的边长没有必然关系； （5）两锐角相等，则其三角函数值相等；两锐 角的三角函数值相等，则这两个锐角相等。 3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的 实际问题中，应注意构造直角三角形。 AD BC E F C A B D A B CD 随堂小测（8min） 3 1、如图,分别求,的三个三角函数值。 2、在等腰ABC中, AB=AC=13,BC=10