中考数学专题实际应用问题

1、课程解读一、学习目标：了解实际应用问题的常见类型，掌握其分析方法和解题思路，能把实际应用问题转化成数学问题。二、考点分析：实际应用问题是中考的必考内容、重点内容，题型包括选择题、填空题和解答题，综合程度较高。实际应用问题主要考查学生收集和处理信息的能力以及探究分析问题和解决问题的创新实践能力。此类问题在中考中所占比例较大，分值一般在20分以上，题目中等偏难。知识梳理1、实际应用问题按知识内容可分为：代数应用题、几何应用题、函数应用题、概率统计应用题等。按现实生产和生活中的应用进行分类，则有成本、价格、利润、存款与贷款、运输、航行、管理与决策、农业生产、生物繁殖等。2、实际应用问题的特点是贴近日

2、常生活，反映市场经济规律，涉及的背景材料十分广泛，这就要求学生学会运用数学知识去观察、分析、概括题目所给的实际问题，将其转化为数学模型来解答。典型例题知识点一：方程型实际应用问题例1：快乐公司决定按如图所示给出的比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品a，已知这三个工厂生产的产品a的优品率如下表所示：（1）快乐公司从甲厂应购买多少件产品a；（2）求快乐公司所购买200件产品a的优品率；（3）你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购买的产品a的比例，使所购买的200件产品a的优品率上升3%。若能，请问应从甲厂购买多少件产品a；若不能，请说明理由。思路分析：1）题意分析：左面表格给出的是各

3、厂的优品率，右面扇形图给出的是从各厂购买产品a的比例。2）解题思路：难点在第（3）问，先假设优品率能上升3%，再设未知数列方程求解。但应注意前提条件，即200件产品a中包含甲、乙、丙三个厂的产品。解答过程：（1）甲厂：20025%50。（2）乙厂：20040%80；丙厂：20035%70。优品率：（5080%8085%7090%）2000.85585.5%。（3）设从甲厂购买x件，从乙厂购买y件，从丙厂购买（200xy）件。则80%x85%y90%（200xy）200（85.5%3%）。即2xy60，又80%x和85%y均为整数。当y0时，x30；当y20时，x20；当y40时，x10；当y6

4、0时，x0。所以从甲厂购买产品20件或10件时，可满足条件。解题后的思考：本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程解决实际问题的能力。例2：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？思路分析：1）题意分析：要理清进价、销售价、利润之间的关系：利润销售价进价。解这个方程得x1x22750。所以，每台冰箱应定价2750元。解题后的思考：用方程解答实际应用问题的关键是理清数量关系，找到相等关系。

5、这道题的等量关系是：每台冰箱的销售利润平均每天销售冰箱的数量5000元。例3：有一种用特殊材料制成的质量为30克的“泥块”，现把它切为大、小两块，将较大的“泥块”放在一架不等臂天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小的“泥块”放在该天平的右盘中，称得质量为8克。若只考虑该天平的臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据杠杆的平衡原理，求出较大“泥块”和较小“泥块”的质量。思路分析：1）题意分析：由杠杆原理f1l1f2l2可知这架不等臂天平的两臂长分别是杠杆中的动力臂和阻力臂，2）解题思路：我们可设左臂长为l1，右臂长为l2，它们可看作是本题的辅助元，再设较大泥块的质量为x克，较小泥块的质量为y克，由

6、题意可列出三个方程：xy30； xl127l2；8l1yl2。解答过程：设天平左臂长为l1，右臂长为l2，再设较大泥块的质量为x克，较小泥块的质量为y克，由题意可列出方程：xy30；xl127l2；8l1yl2。答：较大泥块的质量为18克，较小泥块的质量为12克。解题后的思考：本题是一道与物理知识紧密相连的实际应用问题，解答这类问题时注意正确运用物理学中的一些公式，如力学、电学、天平平衡公式等。小结：方程是描述现实世界数量关系的最重要的数学语言，也是中考命题所要考查的重点、热点之一。同学们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的有关常识，并学会用数学中方程的思想去分析和解决一些实际

7、问题。解答此类问题的方法是：（1）审题，明确未知量和已知量；（2）设未知数，务必写明意义和单位；（3）依题意，找出等量关系，列出方程；（4）解方程，必要时验根。知识点二：不等式型实际应用问题例4：康乐公司在a、b两地分别有同型号的机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台。从a、b两地运往甲、乙两地的费用如下表：甲地（元/台）乙地（元/台）a地600500b地400800（1）如果从a地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）与x（台）的函数关系式；（2）若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？思路分析：本题考查函数和不

8、等式这两个知识点解答过程：（1）y600x500（17x）400（18x）80015（18x）500x13300； 又在y500x13300中，随x的增大，y也增大，当x3时，y最小50031330014800（元），该公司完成以上调运方案至少需要14800元运费，最佳方案是：由a地调3台到甲地，调14台到乙地，由b地调15台到甲地。解题后的思考：关于不等式的应用往往和函数、方程综合在一起，通过方案设计型问题进行考查，解答这类问题时虽然主要运用不等式的知识，但关键还是要正确地建立方程和函数模型。小结：现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值。但可以求

9、出或确定这一问题中某个量的变化范围（趋势），从而对所研究问题的概况有一个比较清楚的认识。本讲中我们要讨论的问题是求某个量的取值范围或极端可能性，列不等式时要从题意出发，设好未知量后，用心体会题目所规定的实际情境，从中找出不等关系。知识点三：函数型实际应用问题他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）a. 20分钟b. 22分钟c. 24分钟d. 26分钟思路分析：1）题意分析：从图中可以看出，图象分两部分，是由两个一次函数图象组合在一起的分段函数。2）解题思路：先求出该考生一直步行所用时间和先步行后改乘出租车所用时间，再求差。所以，先步行后乘出租

10、车赶往考场共用时间为10616（分钟），他到达考场所花的时间比一直步行提前了401624（分钟），故选c。解题后的思考：在这里未知数的系数的意义是表示不同的行使速度。例6：甲车在弯路进行刹车试验，收集到的数据如下表所示：（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在如图所示的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与速度x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。（2）在一限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了。事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车思路分析：1）题意分析：解答本题的关键是确定甲车刹车距离y（米）与速度x（千米/时）的函数关

11、系式。2）解题思路：利用收集的数据，通过描点可以看出y与x的关系图象近似于二次函数图象，因此取三点求出二次函数的解析式，再利用解析式解决实际问题。解答过程：（1）函数图象如图所示。设函数的解析式为yax2bxc。图象经过点（0，0）、（10，2）、（20，6），因为乙车速度为42千米/时，大于40千米/时，而甲车速度为30千米/时，小于40千米/时。所以，就速度因素而言，由于乙车超速，导致两车相撞。解题后的思考：（1）本题利用实际生活背景考查了利用待定系数法求过三点的二次函数解析式及利用函数值求自变量取值的应用问题。（2）对于这类开放性综合问题，要求学生能透过现象看本质，将其转化并抽象为数学问

12、题，也就是构建数学模型。小结：函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带，它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系。中考命题中，既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数知识为背景的应用性问题也是命题热点之一。解答这类题的关键是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，从而建立两个变量间的等量关系，同时还要从题中确定自变量的取值范围。知识点四：几何型实际应用问题例7：兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆ab（如图所示），已知距电线杆ab水平距离14米处是河岸，即bd14米，该河岸的坡面cd的坡角cdf的正切值为2，岸高cf为2米

13、，在坡顶c处测得杆顶a的仰角为30，d、e之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆ab时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点b为圆心，以ab长为半径的圆形区域为危险区域）。思路分析：1）题意分析：这是一道有关锐角三角函数的实际应用问题。2）解题思路：是否需要封闭人行道关键是看电线杆ab向河岸放倒后点a能不能到达点e，也就是ab是否大于be。ab8.66210.66（米），bebded12米。beab，不需要封闭人行道。解题后的思考：锐角三角函数的实际应用问题一般通过构造直角三角形，综合运用直角三角形、勾股定理等知识来解答。例8：台球是一项高雅的体育运动。其中包含了许多物理

14、学、几何学知识。图是一个台球桌，目标球f与本球e之间有一个g球阻挡。（忽略球的大小）（1）击球者想通过击打e球先撞击球台的ab边，经过一次反弹后再撞击f球。他应将e球打到ab边上的哪一点？请在图中用尺规作出这一点h。并作出e球的运行路线；（不写画法，保留作图痕迹）（2）如图以d为原点，建立直角坐标系，记a（0，4）、c（8，0）、e（4，3）、f（7，1），求e球按刚才方式运行到f球的路线长度。思路分析：1）题意分析：注意本题中忽略球的大小这一条件，球e、f、g都可认为是几何问题中的点。2）解题思路：先根据题意画出e球的运行路线，再构造直角三角形求解。解答过程：（1）画出正确的图形（可作点e关

15、于直线ab的对称点e，连结ef，ef与ab交于点h，球e的运动路线就是ehhf），有正确的尺规作图痕迹即可。点e是点e关于直线ab的对称点，eheh。ehhfef5。e球运行到f球的路线长度为5。解题后的思考：求线段长度的问题，特别是求最短路线问题，常常通过直角三角形、等腰三角形、对称等知识解答。小结：几何应用题常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形、动手操作图形、运用几何知识解决实际问题以及探索、发现问题的能力和观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法的运用。提分技巧初中数学教材中展现了许多数学模型，这些模型都与社会、生活、科学、生产联系

16、密切，我们把在中考中具有代表性的代数模型和几何模型总结如下表：模型名称数学知识生活中的数学应用问题方程（组）模型一元一次、一元二次、二元一次、分式方程（组）行程问题、工程问题、溶液配制、人员调配、银行存贷、数字问题、平均增长率不等式（组）模型一元一次不等式（组）市场营销、生产决策、投资方案函数模型一次、二次函数，反比例函数市场营销、生产决策、投资方案的最大、最小、最优三角模型解直角三角形航海、测量几何模型线、多边形、圆美工设计、建筑设计、区域规划统计、概率模型平均数、方差、频率分布、概率调查、报表、统计、概率解答类问题时，首先要阅读材料，理解题意，找到考查的主要内容和知识点，揭示数学本质，把实

17、际问题转化成数学问题，然后进行计算。同步练习（答题时间：60分钟）一、选择题。1、甲、乙二人沿相同的路线由a到b匀速行进，a，b两地间的路程为20km。他们行进的路程s（km）与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示。根据图象信息，下列说法正确的是（ ）a. 甲的速度是4km/hb. 乙的速度是10km/hc. 乙比甲晚出发1hd. 甲比乙晚到b地3h*2、有面值为10元、20元、50元的人民币（每种至少一张）共24张，合计1000元，那么面值为20元的人民币有（ ）张。a. 2或4b. 4c. 4或8d. 2到4之间的任意偶数二、填空题。3、某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在

18、租出后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在租出的第n天（n是大于2的自然数）应收租金_元。4、一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在a处测得某灯塔位于它的北偏东30的b处（如图所示），上午9时行至c处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是_海里（结果保留根号）。三、解答题。5、如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点o处。甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走。当乙走到o点以北50m处时，甲恰好到点o处。若两人继续向前行走，求两人相距85m时各自的位置。*6、某商场将进货价为30元的台

19、灯以40元售出，平均每月售出600个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？*7、一辆经营长途运输的货车在高速公路的a处加满油后，以每小时80千米的速度匀速行驶，前往与a处相距636千米的b地，下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系：行驶时间x（时）0122.5余油量y（升）100806050（1）请你认真分析上表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式；（

20、不要求写出自变量的取值范围）（2）按照（1）中的变化规律，货车从a处出发行驶4.2小时到达c处，求此时油箱内余油多少升？（3）在（2）的前提下，c处前方18千米的d处有一加油站，根据实际经验此货车在行驶中油箱内至少保证有10升油，如果货车的速度和每小时的耗油量不变，那么在d处至少加多少升油，才能使货车到达b地。（货车在d处加油过程中的时间和路程忽略不计）*8、某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售。若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数设月利润为w内（元）（利润销售额成本广告费）。若只在国外销售，销售价格为150元/件，设月利润为w外（

21、元）（利润销售额成本附加费）。（1）当x1000时，y_元/件，w内_元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司作出决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：试题答案一、选择题：1、c 解析：由图可知，甲的速度是5km/h，乙的速度是20km/h，乙比甲晚出发1h，甲比乙晚到b地2h。故选c。2、b 解析：设面值为10元的人民币有x张，20元的有y张，则50元的有（24xy）张。根据题意得10x2