2018年高考数学12 函数模型及其应用教学案 理

1、学必求其心得，业必贵于专精专题12 函数模型及其应用1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题;3。考查函数的最值 1几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb （a、b为常数，a0)反比例函数模型f(x）b (k，b为常数且k0)二次函数模型f（x）ax2bxc（a，b,c为常数,a0）指数函数模型f（x）baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1）对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数,b0，a0且a1)幂函数模型f（x)axnb （a，b为常数,a0）(2）三种函数模型的性质yax(a1

2、)ylogax（a1)yxn(n0)在(0,）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax2。解函数应用问题的步骤(四步八字）(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型;（3）解模：求解数学模型，得出数学结论;（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：【疑点清源】1要注意实际问题的自变

3、量的取值范围，合理确定函数的定义域2解决实际应用问题的一般步骤（1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论,理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质(2）建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题(3）解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题（4）还原：回到题目本身,检验结果的实际意义，给出结论高频考点一、用函数图象刻画变化过程例1、(1）设甲、乙两地的距离为a（a0），小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为（）(2）物价上涨是当前的主要话

4、题，特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间t内完成预测的运输任务q0，各种方案的运输总量q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是（)【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法（1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势,验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案【变式探究】已知正方形abcd的边长为4,动点p从b点开

5、始沿折线bcda向a点运动设点p运动的路程为x,abp的面积为s，则函数sf（x)的图象是()答案d解析依题意知当0x4时，f（x）2x;当4x8时，f（x)8；当8x12时,f（x）242x，观察四个选项知，选d.高频考点二已知函数模型的实际问题例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量q之间的关系为vablog3(其中a、b是实数）据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s。（1）求出a、b的值；（2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量

6、至少要多少个单位?解（1）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位,故有ablog30，即ab0;当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程组得（2）由（1)知，v1log3.所以要使飞行速度不低于2m/s,则有v2，即1log32，即log33，解得q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要270个单位【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点（1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数（2）根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数(3）利用该模型求解实际问题【变式探究】某般空

7、公司规定，乘飞机所携带行李的质量（kg)与其运费(元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg。答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y30x570,令30x5700，解得x19.高频考点三构造函数模型的实际问题例3、某汽车销售公司在a，b两地销售同一种品牌的汽车，在a地的销售利润（单位：万元)为y14.1x0.1x2，在b地的销售利润（单位:万元）为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润是(）a10.5万元b11万元c43万元d43.025万元答案c【变式探究】（1)世界人口在过去40年翻了一番,则每年人

8、口平均增长率约是(参考数据lg20。3010，100.00751。017）（）a1.5b1。6c1。7d1.8%（2)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停（每次上涨10），又经历了n次跌停（每次下跌10)，则该股民这支股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）a略有盈利b略有亏损c没有盈利也没有亏损d无法判断盈亏情况答案（1)c（2）b解析（1）设每年人口平均增长率为x,则(1x）402，两边取以10为底的对数，则40lg(1x)lg2，所以lg（1x）0.0075，所以100.00751x，得1x1。017,所以x1。7%。（2）设该股民购进这支股票的价格为a

9、元,则经历n次涨停后的价格为a(110)na1.1n元,经历n次跌停后的价格为a1。1n(110%)na1。1n0.9na（1.10.9）n0。 99naa，故该股民这支股票略有亏损【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2。15元收费;超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22。6元，则此次出租车行驶了km.答案9【变式探究】 （1）一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0。3mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时

10、25的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/ml，那么，此人至少经过小时才能开车（精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0。5万元,此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元,由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为（）a10b11c13d21答案（1)5(2)a解析（1）设经过x小时才能开车由题意得0.3（125%)x0。09，0.75x0。3,xlog0。750.34.19.x最小为5。（2）设该企业需要更新设备的年数

11、为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为242xx(x1），所以x年的平均费用为yx1。5,由基本不等式得yx1。521.521。5，当且仅当x，即x10时取等号，所以选a.高频考点四、函数应用问题例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为r（x)万美元，且r(x）（1)写出年利润w（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式;(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润解（1)当040时，wxr（x)(16x40)16x7360

12、.所以w（2）当0x40时，w6（x32）26104，所以wmaxw(32）6104；当x40时，w16x7360,由于16x21600，当且仅当16x，即x50(40，)时，取等号,所以w取最大值为5760。综合知，当x32时，w取得最大值6104万元。【特别提醒】（1）此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围，特别是端点值【方法技巧】1认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础2实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的

13、最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值3解函数应用题的五个步骤：审题；建模；解模；还原；反思高频考点五、构建函数模型解决实际问题 例5、(1）(2016四川卷）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1。120。05，lg 1。30.11，lg 20。30）（）a2018年 b2019年 c2020年 d2021年（2）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为

14、6万元该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：c（x)(0x10，k为常数),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和求k的值及f（x）的表达式；隔热层修建多厚时,总费用f（x)达到最小？并求最小值（1)解析设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元,则y130（112%)n.依题意130(112%)n200，得1。12n.两边取对数,得nlg1.12lg 2lg 1.3n，n4，从2019年开始,该公司投入的研发资金开始超过200万元答案b(2)解当x0时,c8，k40，c（x）（0x10),

15、f（x)6x6x(0x10）隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小，最小值为70万元。【方法规律】（1）构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法构建f（x)x（a0)模型，常用均值不等式、导数等知识求解（2）解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原【变式探究】 (1)某食品的保鲜时间y(单位：小时）与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb（e2。718为自然对数的底数，k,b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时

16、间是_小时(2)某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p（x）x（x1）（392x）（xn，且x12)已知第x个月的人均消费额q（x）(单位：元）与x的近似关系是q（x）写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人）与x的函数关系式；试问2017年第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元？（1)解析由已知条件,得192eb又48e22kbeb(e11k)2e11k，设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kb192 e33k192(e11k)319224.答案24（2）解当x1时,f(1）p(1）37，当2x1

17、2，且xn时，f(x）p（x)p(x1）x(x1)(392x)（x1)x（412x)3x240x，验证x1也满足此式，所以f（x)3x240x(xn，且1x12)第x个月旅游消费总额为g(x）即g(x）（)当1x6,且xn时，g（x)18x2370x1 400,令g(x）0，解得x5或x(舍去）当1x5时，g（x）0，当5x6时,g(x）0，当x5时，g(x)maxg（5)3 125（万元)（）当7x12，且xn时，g(x)480x6 400是减函数,当x7时，g（x)maxg(7）3 040(万元)综上,2017年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元1（2016浙江卷)

18、设函数f（x)x33x21，已知a0，且f（x)f(a）（xb）（xa）2，xr，则实数a_，b_2。【2016高考上海理数】已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围；(3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.【答案】（1）（2）(3）【解析】（1）由，得，解得(2)，,当时，经检验，满足题意当时，经检验,满足题意当且时，是原方程的解当且仅当,即；是原方程的解当且仅当，即于是满足题意的综上,的取值范围为（3）当时，所以在上单调递减函数在区间上的最大值与最小值分别为，即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，时

19、,有最小值，由,得故的取值范围为3。【2016年高考北京理数】设函数。若，则的最大值为_；若无最大值,则实数的取值范围是_.【答案】，.【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，当时，,由图象可知的最大值是;由图象知当时，有最大值；只有当时，无最大值,所以所求的取值范围是【2015高考天津，理8】已知函数 函数 ,其中，若函数 恰有4个零点,则的取值范围是( )（a） （b) （c) （d）【答案】d【解析】由得,所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知。【2015高考浙江，理10】已知函数,则 ，的最小值是

20、 【答案】，。【2015高考四川,理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系(为自然对数的底数，k、b为常数)。若该食品在0的保鲜时间设计192小时,在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时.【答案】24【解析】由题意得：,所以时,.【2015高考上海，理10】设为，的反函数,则的最大值为 【答案】4【解析】由题意得:在上单调递增，值域为,所以在上单调递增,因此在上单调递增，其最大值为【2015高考北京,理14】设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点,则实数的取值范围是【答案】(1）1，（2）或。若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时

21、与轴有无交点，在与轴有无交点,不合题意;当时，与轴有两个交点,和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或。【2015高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值.（1） 证明：当时，;（2)当，满足,求的最大值.【答案】（1)详见解析；(2）3。【解析】(1）由，得对称轴为直线，由，得，故在上单调，当时，由，得，即，当时，由，得,即，综上，当时,；（2）由得，,故，由，得，当,时，且在上的最大值为，即，的最大值为3.(2014湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()a. b。c. d。1【答案】d【解析】

22、设年平均增长率为x,则有（1p）（1q）(1x）2，解得x1.（2014陕西卷)如图1.2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点a的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为 （）图12ayx3x byx3xcyx3x dyx3x【答案】a【解析】设该三次函数的解析式为yax3bx2cxd.因为函数的图像经过点(0，0),所以d0,所以yax3bx2cx。又函数过点(5，2),(5，2），则该函数是奇函数，故b0,所以yax3cx，代入点(5，2）得125a5c2.又由该函数的图像在点(5，2）处的切线平行于x轴，y3ax2c，得当x5时，y75ac0。联立解得故该三次函数的解析式为yx3x。（2013陕西卷） 设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y,有()axx b2x2xcxyxy dxyxy【答案】d【解析】可取特值x3.5,则x3。54，x3.53，故a错2x77，2x23.56，故b错再取y3。8，则xy7。37，而3。53。8336，故c错只有d正确(2