第3章 力矩与平面力偶系

1、理论力学电子教案理论力学电子教案 1 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 3-1 力矩的概念和计算力矩的概念和计算 3-2 力偶的概念力偶的概念 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 第第 3 章章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 理论力学电子教案理论力学电子教案 2 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 力对物体作用时可以产生力对物体作用时可以产生移动和转动移动和转动两种两种外效外效 应应。力的移动效应力的移动效应取决于取决于力的大小和方向力的大小和方向，为了度，为了度 量量力的转动效应力的转动效应，需引入，需引入力矩的概念力矩的概念。 主要研究内容：主要研究内容： (1) 力矩

2、和力偶的概念；力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性质；力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。平面力偶系的合成与平衡。 理论力学电子教案理论力学电子教案 3 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 3-1 力矩的概念和计算力矩的概念和计算 1. 力对点之矩力对点之矩 (1) 用扳手拧螺母；用扳手拧螺母； (2) 开门，关门。开门，关门。 由经验告知，力由经验告知，力 使物体绕使物体绕点点O转动的效应，不转动的效应，不 仅与力的大小仅与力的大小有关有关，而且与而且与点点O到力的作用线的垂到力的作用线的垂 直距离直距离d 有关，故用乘积有关，故用乘积Fd 来度量来度量力的转动效应力的转动效应。 F

3、 理论力学电子教案理论力学电子教案 4 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 力矩的正负号：力使力矩的正负号：力使 物体绕逆时针方向转动为物体绕逆时针方向转动为 正，反之为负。正，反之为负。 dFFMO )( 该乘积根据转动效应的转向取适当的正负号称该乘积根据转动效应的转向取适当的正负号称 为力为力 对点对点O 之矩，简称之矩，简称力矩力矩，以符号，以符号M O ( )表示表示, 即即 F F O点称为力矩的中心，简称点称为力矩的中心，简称矩心矩心；O点到力点到力 作用线作用线 的垂直距离的垂直距离d，称为称为力臂力臂。 F 形形的的面面积积。 为为顶顶点点构构成成的的三三角角为为底底边边，矩矩心

4、心以以力力OFOAB OABFM O 2)( 理论力学电子教案理论力学电子教案 5 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 力矩的单位：力矩的单位：Nm，kNm 应注意：应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大 小及其旋转方向（力矩的正负），因此可以视为小及其旋转方向（力矩的正负），因此可以视为代代 数值数值。 力矩的性质：力矩的性质： (1) 力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移 动而改变（这也符合力的可传性）；动而改变（这也符合力的可传性）； 理论力学电子教案理论力学电子教案 6 力矩与平面力偶系力矩与

5、平面力偶系 (2) 力的作用线如通过力的作用线如通过 矩心，则力矩为零；矩心，则力矩为零； 反之，如果一反之，如果一 个力个力 其大小不为零，而它其大小不为零，而它 对某点之矩为零，则对某点之矩为零，则 此力的作用线必通过此力的作用线必通过 该点；该点； (3) 互成平衡的两个互成平衡的两个 力对同一点之矩的力对同一点之矩的 代数和为零。代数和为零。 21 FF 理论力学电子教案理论力学电子教案 7 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 2. 合力矩定理合力矩定理 证明：由图得证明：由图得 表达式：表达式：)()( R FMFM OO cossin cossin )cossin cos(sin )

6、sin( )( rF rF rF rF dFFMO yrxr FFFF yx sin,cos sin,cos而而 (a)()()( xOyOxyO FMFMFyFxFM 则则 理论力学电子教案理论力学电子教案 8 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 比较比较(b)、(c)两式有两式有 (a) xyO FyFxFM )( (b) xyO FyFxFM)( (c) xyxyO FyFxFyFxFM RRR )( )()( R FMFM OO 若作用在若作用在 A点上的是一个汇交力系点上的是一个汇交力系 , 则利用式则利用式(a)可将每个力对可将每个力对O点之矩相加，点之矩相加，有有 ),.,( 21

7、n FFF 由式由式(a)，该汇交力系的合力该汇交力系的合力 ，它对矩心它对矩心O 的矩为的矩为 FF R 理论力学电子教案理论力学电子教案 9 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 3-2 力偶的概念力偶的概念 1. 力偶和力偶矩力偶和力偶矩 (1) 力偶的概念力偶的概念 把把大小相等、方向相反、作用线平行而不重合大小相等、方向相反、作用线平行而不重合 的两个力的两个力叫做叫做力偶力偶。并记作。并记作 。可用图可用图(a)表表 示，例如：双手操纵方向盘，如图示，例如：双手操纵方向盘，如图(b)。 ),(FF 图图(a) 图图(b) 理论力学电子教案理论力学电子教案 10 力矩与平面力偶系力矩与平

8、面力偶系 (2) 力偶矩力偶矩 力偶对刚体的转动效应是用力偶矩度量，即用力偶对刚体的转动效应是用力偶矩度量，即用 力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和 来度量。来度量。 dF xdFxF FMFM OO )( )()( 例如：例如： dFMdFFFM 或或),( 力偶矩的符号与力矩符号的规定相同。力偶矩的符号与力矩符号的规定相同。 理论力学电子教案理论力学电子教案 11 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 (3) 力偶的性质力偶的性质 (a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零；力偶在任何坐标轴上的投影等于零； (b) 力偶不能合成为一力，或者说力

9、偶没有合力，力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力， 即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力 平衡；平衡； (c) 力偶对物体不产力偶对物体不产 生移动效应，只产生移动效应，只产 生转动效应，即它生转动效应，即它 可以也只能改变物可以也只能改变物 体的转动状态。体的转动状态。 理论力学电子教案理论力学电子教案 12 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 (4) 力偶的三要素力偶的三要素 (a) 力偶矩的大小；力偶矩的大小； (b) 力偶的转向；力偶的转向； (c) 力偶作用面在空间的方位。力偶作用面在空间的方位。 2. 平面力偶等效定理平面力偶等效定理 定

10、理：在同一平面内（或两平行平面内）的两个定理：在同一平面内（或两平行平面内）的两个 力偶，如它们力偶矩的力偶，如它们力偶矩的 大小相等，而且转向相同，大小相等，而且转向相同， 则此两力偶等效。则此两力偶等效。 例如：双手操作方向盘。例如：双手操作方向盘。 ),(),( 11 FFMFFM 理论力学电子教案理论力学电子教案 13 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 ),(),( ),(),(),( RR RR11 FFFF FFFFFFFF 即即 ABCABD ABCFFM ABDFFM RR 2),( ,2),( ),(),( ),(),( ),(),( R1R1 R1R1RR RR FFMFF

11、M FFMFFM FFMFFM 证明：设有一力偶证明：设有一力偶 ，如下图所示，如下图所示 。运用加。运用加 减平衡力系公理并注意到：减平衡力系公理并注意到： ),(FF 理论力学电子教案理论力学电子教案 14 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 两个重要推论：两个重要推论： 推论推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变力偶可以在其作用面内任意移转而不改变 它对它对刚体刚体的转动效应。的转动效应。 理论力学电子教案理论力学电子教案 15 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 推论推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下， 可以任意改变力偶中力和力偶臂的大

12、小而不可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不 改变力偶对改变力偶对刚体刚体的转动效应。的转动效应。 注意：上述结论只适用于注意：上述结论只适用于刚体刚体，而不适用于，而不适用于变形体变形体。 其中其中 F1d1=F2d2 理论力学电子教案理论力学电子教案 16 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干个力平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干个力 偶的总称。偶的总称。 1. 合成合成 (1) 两个力偶的情况两个力偶的情况 = = dFM dFM 222 111 , 222 111 , dFM dFM 22

13、11R 2211R , FFF FFF 理论力学电子教案理论力学电子教案 17 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2 (2) 任意个力偶的情况任意个力偶的情况 M=M1 + M2 + + Mn , 或或 M=Mi 这样得到新的力偶这样得到新的力偶 ，则，则 ),( RR FF 平面力偶系合成结平面力偶系合成结 果仍是一个力偶果仍是一个力偶,合力合力 偶矩为各分力偶矩的偶矩为各分力偶矩的 代数和。代数和。 理论力学电子教案理论力学电子教案 18 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 2. 平衡条件平衡条件 平面力偶系平衡的必

14、要和充分条件是：力偶系平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系 中所有各力偶矩的代数和等于零，即中所有各力偶矩的代数和等于零，即 M=0 利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。 理论力学电子教案理论力学电子教案 19 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 两力偶作用在板上，尺寸如图。已知两力偶作用在板上，尺寸如图。已知 F1=F2=1.5 kN , F3=F4=1 kN, 试求作用在板上的合力偶矩。试求作用在板上的合力偶矩。 解：由式解：由式 M = M1 + M2 则则 负号表明转向为顺时针。负号表明转向为顺时针。 例例 题题 3- 1 M = 1.5 10

15、3 N 0.18 m 1.0 103N 0.08m = 350 N m 理论力学电子教案理论力学电子教案 20 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 长为长为 l=4 m的简支梁的两端的简支梁的两端A、B 处处 作用有作用有两两个力偶，个力偶，大小大小各为各为M1 =16 N m， M2 = 4 N m，转向如图。试，转向如图。试求求A、B支座的约束力。支座的约束力。 例例 题题 3- 2 解：作解：作AB梁的受力图梁的受力图。AB梁上作用有梁上作用有两两个力个力 偶组成的平面力偶系，在偶组成的平面力偶系，在A、B 处的约束力也必须组处的约束力也必须组 成一个同平面的力偶成一个同平面的力偶 才能与

16、之平衡。才能与之平衡。 ),( BA FF 理论力学电子教案理论力学电子教案 21 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 由平衡方程由平衡方程 M =0 得得 M1+ M2+FB l cos60= 0 解得解得 FB= 6 N 故故 FA = FB = 6 N 例例 题题 3- 2 16 + 4 + FB 4cos60 = 0 FA、FB为正值，说明图中所设为正值，说明图中所设 、 的指向正确。的指向正确。 A F B F 理论力学电子教案理论力学电子教案 22 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 如图所示的铰接四如图所示的铰接四 连杆机构连杆机构OABD，在杆，在杆 OA和和BD上分别作用着上分别

17、作用着 矩为矩为M1和和M2的力偶，而的力偶，而 使机构在图示位置处于使机构在图示位置处于 平衡。已知平衡。已知OA=r， DB=2r， =30，不计，不计 各杆自重，试求各杆自重，试求M1和和M2 之间的关系。之间的关系。 例例 题题 3- 3 理论力学电子教案理论力学电子教案 23 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 分别取杆分别取杆OA和和DB为研为研 究对象。因为力偶只能与究对象。因为力偶只能与 力偶平衡，所以支座力偶平衡，所以支座O和和D 的约束力的约束力 和和 只能分别只能分别 平行于平行于 和和 ，且与其，且与其 方向相反。方向相反。 D F AB F BA F O F 解：因为杆

18、解：因为杆AB为二力杆，为二力杆， 故其约束力故其约束力 和和 只能只能 沿沿A，B的连线方向。的连线方向。 AB F BA F 例例 题题 3- 3 理论力学电子教案理论力学电子教案 24 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 0 cos2 0 cos 2 1 rFM OB rFM OA BA AB ：对对 ：对对 BAAB FF 因为因为 12 2MM 所以求得所以求得 分别画出受力图。分别画出受力图。OA=r，DB=2r写出杆写出杆OA和和DB的的 平衡方程：平衡方程： M = 0 理论力学电子教案理论力学电子教案 25 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 思考题思考题 3- 1 一力偶一力偶 作用在作用在Oxy 平面内，另一力偶平面内，另一力偶 作用在作用在Oyz 平面内，它们的力偶矩大小相平面内，它们的力偶矩大小相 等等(如图如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？。试问此两力偶是否等效，为什么？ ),( 11 FF ),( 22 FF 理论力学电子教案理论力学电子教案 26 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 思考题思考题 3- 2 如图所示，在物体上作用有两力偶如图所示，在物体上作用有两力偶 和和 其力多边形封闭。试问该物体是否平衡？为其力多边形封闭。试问该物体是否