第3章傅里叶级数

1、本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 LTI LTI系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号系统对正弦信号的响应仍然是同频正弦信号 )cos(t )cos(tA 同频率 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 复指数信号激励复指数信号激励LTI系统的情况。系统的情况。 st ethty*)()( deh ts)( )(

2、 dehe sst )()(sHe st dtethsH st )()( st e LTI ? 只取决于s和 系统的参数 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 LTI LTI系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号 st e)(sHe st 系统函数系统函数传递函数传递函数 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 ts k k eatx )( 如果我们能将信号分解成为复指数信号的加权和 ts kk k esHaty)()( 完全说明了LTI系统的变换规律 可以针对输入信号的复指数分解可以针对输入信号的复指数分解, 求

3、得求得LTI系统的输出响应。系统的输出响应。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 js js 在傅里叶分析里面，我们将上述复数在傅里叶分析里面，我们将上述复数s限定为纯虚数限定为纯虚数 由此导出的方法称为由此导出的方法称为傅里叶傅里叶(Fourier)方法方法；傅里叶傅里叶 方法是以法国数学家方法是以法国数学家, 物理学家傅里叶物理学家傅里叶(1768-1830) 的名字命名的。的名字命名的。 由此导出的一套方法称为由此导出的一套方法称为拉普拉斯方法拉普拉斯方法，在第九章，在第九章 里面讨论。里面讨论。 如果不对复数如果不对复数s进行限定，即进行限定，即 本书由天疯天疯

4、上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 ),(Zkt k 3.2.1 谐波复指数信号集谐波复指数信号集 tjk k et 0 )( 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 0 T)(tx k tjk k eatx 0 )( 0 0 2 T 如果一个以如果一个以为周期的周期信号为周期的周期信号满足，满足， 存在一个存在一个傅里叶级数的表达傅里叶级数的表达 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 k tjk k eatx 0 )( 。 傅里叶级

5、数傅里叶级数 分解分解 傅里叶级数展开傅里叶级数展开 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 tjk k ea 0 tjk k ea 0 0 a tj ea 0 1 tj ea 0 1 k次谐波分量次谐波分量 直流分量直流分量基波分量基波分量 谐波合成谐波合成 在信号中所占的比重在信号中所占的比重 k tjk k eatx 0 )( 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 tjte jt sincos 2 cos jtjt ee t 2 sin jtjt ee t 欧拉公式欧拉公式 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 例题3.1

6、将下面的复指数信号的线性组合变换为正 弦信号的线性组合，其中， 3 3 2 )( k tjk k eatx 1 0 a4/1 11 aa 2/1 22 aa3/1 33 aa 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 )( 3 1 )( 2 1 )( 4 1 1)( 6644 22 tjtjtjtj tjtj eeee eetx ttt6cos 3 2 4cos2cos 2 1 1 解：解： 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 k a k a 0 k和和表示了频率为表示了频率为的正弦信号的权重。的正弦信号的权重。 ttt6cos 3 2 4cos2co

7、s 2 1 1 直流分量直流分量 基波分量基波分量 三次谐波分量三次谐波分量 二次谐波分量二次谐波分量 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 物理上存在的信号都是实信号。物理上存在的信号都是实信号。 下面讨论信号为实函数的情况。下面讨论信号为实函数的情况。 )()(txtx k tjk k eatx 0 * )( k tjk k ea 0 * k tjk k ea 0 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 kk aa * kk aa * 因此，因此， 严格地说，上面的推导是由正交函数的讨论取得的。严格地说，上面的推导是由正交函数的讨论取得的。 本书由

8、天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 k tjk k eatx 0 )( 1 1 0 00 k tjk k k tjk k eaeaa 1 0 )( 00 k tjk k tjk k eaeaa 11 0 00 k tjk k k tjk k eaeaa 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 1 0 )( 00 k tjk k tjk k eaeaa 1 0 Re2 0 k tjk ke aa 1 0 )( 00 k tjk k tjk k eaeaa 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 k j kk eAa 1 00 )cos(2

9、)( k kk tkAatx )sin()(cos( 00 00 kkk tjkj k tjk k tkjtkA eeAea k )cos(Re 0 0 kk tjk k tkAea 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 kkk jCBa 1 000 )sincos(2)( k kk tkCtkBatx )sin)(cos( 00 0 tkjtkjCBea kk tjk k jXtkCtkB kk )sincos( 00 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 3.2.2 傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定 ),(Zkt k )()( 0 * l

10、kM dttt lk lk M T lk 正交函数集正交函数集 T的周期函数的周期函数 正交函数集的概念 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 , 0 Zke tjk 正交函数集？正交函数集？ 0 0 2 T ? 0 00 nkMdtee T tjntjk 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 )()(Ttxtx 周期函数的一个基本性质。周期函数的一个基本性质。 aT a dttx)( aT T T a dttxdttx)()( aT a dttxdttx 0 )()( T dttx 0 )( TamTaa 00 0 , 本书由天疯天疯上传于世界工厂

11、网世界工厂网-下载中心下载中心 一个以一个以T为周期的周期函数在一段长度为为周期的周期函数在一段长度为T的区的区 间上的积分，与起始位置无关间上的积分，与起始位置无关 T dttx)( 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 0 00 T tjntjk dtee 0 0 )( T tnkj dte 00 )sin()cos( 00 TT dttnkjdttnk 0sincos 00 00 TT tdttdt 正弦波的上波瓣和下波瓣的面积相等正弦波的上波瓣和下波瓣的面积相等 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-

12、下载中心下载中心 0sincos 00 00 TT tdtktdtk 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 nk nkTT tjntjk dtee 0 00 00 0 nkT , 0 Zke tjk 构成了一个正交函数集。构成了一个正交函数集。 复指数函数集复指数函数集 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 如果如果可以分解，可以分解，利用正交性来求傅里叶级数的系数利用正交性来求傅里叶级数的系数 k tjk ke atx 0 )( k tjk k tjntjn eaeetx 000 )( 0 0 0 0 )( )( T tnkj k k T tjn

13、dteadtetx k T tnkj k dtea 0 0 )( k k nkTa 0 0 Tan k tnkj k tjn eaetx 00 )( )( 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 0 0 )( 1 0 T tjn n dtetx T a k tjk k eatx 0 )( 傅里叶级数分析公式傅里叶级数分析公式 傅里叶级数综合公式傅里叶级数综合公式 0 0 )( 1 0 T tjk k dtetx T a 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 tjk k ea 0 tjk ke a 0 频率分量在信号中所占的比重 )cos( 0kk tk

14、A 频谱系数 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 0 )( 1 0 0 T dttx T a 一个特殊的频率分量一个特殊的频率分量 信号的均值信号的均值直流分量直流分量 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 例题例题3.2 试确定试确定ttx 0 sin)( 的傅里叶级数的傅里叶级数 ttx 0 sin)()( 2 1 00 tjtj ee j 解解：根据欧拉公式，：根据欧拉公式， j a 2 1 1 j a 2 1 1 0:1| k ak 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 例题例题3.3 试确定周期方波信号的傅里叶级数试

15、确定周期方波信号的傅里叶级数 )(tx 0 T 1 T 0 T 0 2T t 0 0 )( 1 0 T tjk k dtetx T a 解：解：根据傅里叶级数分析公式，根据傅里叶级数分析公式， 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 0k 避免被零除避免被零除 0k 1 1 0 0 1 T T tjk k dte T a 1 1 0 | 00 T T tjk Tjk e )( 1 1010 00 TjkTjk ee Tjk 00 0 )sin(2 Tjk tkj k Tk 10 sin 0 1 00 0 21 )( 11 10T T dt T dttx T a T TT 本

16、书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 k tjk k eatx 0 )( 每一项都是连续函数 不一定是连续函数 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 讨论傅里叶级数的收敛问题，所采用的收敛讨论傅里叶级数的收敛问题，所采用的收敛 准则是准则是误差平方和准则误差平方和准则，又称为，又称为误差能量准则误差能量准则。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 N Nk tjk kN eatxtx 0 )()( )()()(txtxte NN 近似的误差近似的误差 误差信号的能量误差信

17、号的能量 0 2 )( T NN dtteE 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 N0 N E )(tx )(tx)(tx N 能量的角度能量的角度,收敛收敛 近似近似 k tjk ke a 0 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 0 0 )( 1 0 T tjk k dtetx T a 最小 N E 可以证明可以证明 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 )(tx T dttx 2 )( 0 N E 如果 2.如果如果不连续，但是不连续，但是平方可积平方可积 不加证明地给出傅里叶级数收敛的条件不加证明地给出傅里叶级数收敛的

18、条件: 连续，其傅里叶级数一定收敛. )(tx 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 T dttx )( 0 N E )(tx 3. 狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件条件，该条件包括三个部分，分别是：该条件包括三个部分，分别是： 满足狄里赫利条件，可以保证，在满足狄里赫利条件，可以保证，在的意义上，的意义上， 的傅里叶级数收敛，并保证在每一个连续点上，的傅里叶级数收敛，并保证在每一个连续点上， 都收敛于其傅里叶级数表达。都收敛于其傅里叶级数表达。 条件条件1：绝对可积绝对可积(Absolutely Integrable) 条件条件2：在一个周期内，最大值和最小值

19、数目有限。在一个周期内，最大值和最小值数目有限。 条件条件3：有限区间内有有限个不连续点有限区间内有有限个不连续点 )(tx 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 从傅里叶级数的收敛条件可以看出，对于从傅里叶级数的收敛条件可以看出，对于 常见的信号而言，其傅里叶级数都是收敛常见的信号而言，其傅里叶级数都是收敛 的，这是傅里叶分析方法经久不衰，得到的，这是傅里叶分析方法经久不衰，得到 广泛应用的基础。广泛应用的基础。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 几个不满足收敛条件的例子几个不满足收敛条件的例子 10 , 1 )(t t tx 不满足狄里赫利条

20、件不满足狄里赫利条件1的例子。考虑信号，的例子。考虑信号， 并对它进行周期延拓并对它进行周期延拓 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 t tx 2 sin)( 10 t 不满足狄里赫利条件不满足狄里赫利条件2的例子。的例子。 并对它进行周期延拓，并对它进行周期延拓， 不满足狄里赫利条件不满足狄里赫利条件3的例子的例子 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 k FS atx)( 傅里叶级数傅里叶级数 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 3.4.2 时间平移性质时间平移性质 3.4.1 线性线性 k aFStx )( k bFS

21、ty )( k aFStx )( k tjktjk k k ttjk k eeaeattx 00000 )()( )( 0 00 )( 0 tjk k FS eattx kk BbAaFStBytAx )()( 系数系数 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 3.4.3 时间反转特性时间反转特性 k aFStx )( k tjk k eatx 0 )( k tjk k ea 0 k aFStx )( 3.4.4 时域尺度变换时域尺度变换 k aFStx )( k tajk k eaatx )( 0 )( k aFSatx )( 系数系数 基波频率 本书由天疯天疯上传于世界

22、工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 3.4.5 相乘特性相乘特性 k aFStx )( k bFSty )( l lkl FS batytx)()( 3.4.6 共轭及共轭对称性共轭及共轭对称性 k aFStx )( )()( 0 k tjk k eatx 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 k tjk ke atx 0 )( k tjk ke a 0 k FS atx)( )()( 0 k tjk k eatx 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 )()( * txtx 实信号实信号 kk aa | kk aa 实信号频谱的幅度谱线关于实信号频

23、谱的幅度谱线关于y轴对称。轴对称。 两个共轭的复指数信号组成了一个正弦信号。两个共轭的复指数信号组成了一个正弦信号。 kk aa 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 k k T adttx T 22 | )(| 1 时域平均功率时域平均功率频域平均功率频域平均功率 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 例题例题3.4 连续时间周期信号的傅里叶级数为：连续时间周期信号的傅里叶级数为： k tjk k eatx 0 )( 试证明：试证明： )(tx k a 1、如果、如果为实偶信号，则为实偶信号，则为实数；为实数； )(tx k a 2、如果、如果为实

24、为实奇奇信号，则信号，则为为虚虚数；数； )(tx k a 3、如果、如果为为虚虚偶信号，则偶信号，则为为虚虚数；数； )(tx k a 4、如果、如果为为虚奇虚奇信号，则信号，则为实数；为实数； 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 )()()( * txtxtx * kk aa kk aa * kk aa * kk aa 解：解： 实偶信号实偶信号 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 )()()( * txtxtx * kk aa kk aa * kk aa * kk aa 实实奇奇信号信号 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下

25、载中心 )()(),()( * txtxtxtx * kk aa kk aa * kk aa * kk aa 虚虚偶信号偶信号 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 )()(),()( * txtxtxtx * kk aa kk aa * kk aa * kk aa 虚奇虚奇信号信号 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 ,Zkn k 成谐波关系的复指数信号构成了信号分解的基本依据。成谐波关系的复指数信号构成了信号分解的基本依据。 n N jk k en 2 周期为周期为N 彼此成彼此成谐波

26、关系谐波关系 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 n N Nkj Nk en 2 ) （ Nnn kk nj n N jk ee 2 2 n N jk e 2 等于1 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 Nnnn kkNk 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 n N jk k k eanx 2 ? N lNmk 1, 0Nm m )(l l 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 n N jk k k eanx 2 l n N lNmj N m lNm lNmk ea 2 )( 1 0 l lNm N

27、m n N jm ae 1 0 2 l n N jm N m lNm ea 2 1 0 1 0 2 N ml n N jm lNm ea l lNkk ab l lNmm ab 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 n N jk N k k ebnx 2 1 0 l lNkk ab Nkk bb 离散时间信号的傅里叶级数只有有限多项离散时间信号的傅里叶级数只有有限多项 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 1 mN mn nx 任意一段长度为任意一段长度为N的区间上的求和的区间上的求和 :,:lkm lNkm 10 ,NkZl 本书由天疯天疯上传于世

28、界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 11 lNkN lNkn mN mn nxnx 1 Nk kr lNnr lNrx 1 Nk kr rx 11 Nk Nr N kr rxrx 1 0 1 0 N n N r nxrx 1 0 1 k r N kr rxrx 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 任意一个周期长度内的求和运算相等任意一个周期长度内的求和运算相等 Nk n N jk Nk k ebnx 2 n N jk Nk k eanx 2 离散时间周期信号存在一个离散时间周期信号存在一个傅里叶级数的表达傅里叶级数的表达，或者说成，或者说成 谐波关系的复指数信号的上述

29、组合是的谐波关系的复指数信号的上述组合是的傅里叶级数展开傅里叶级数展开， 也可以说，周期信号也可以说，周期信号分解分解为傅里叶级数为傅里叶级数 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 综合公式综合公式 弹性的求和起始位置，有时可以简化分析计算过程。弹性的求和起始位置，有时可以简化分析计算过程。 n N jk Nk k eanx 2 k次谐波分量 离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数 频谱系数频谱系数 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 , 2 Nke n N jk 正交正交? lNkNe n N jk N n 2 1 0 lNk n N jk N n

30、 e 2 1 0 0 1 1 2 2 N jk N N jk e e 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 ZllNk lNk Nn N jk Nn e , 0 2 n N jk Nk k eanx 2 n N jk Nk k n N jln N jl eaeenx 222 l n N lkj Nk k ea 2 )( 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 Nn n N lkj Nk k n N jl Nn eaenx 2 )( 2 两边都是以n为自变量，N为周期的周期序列 Nn n N lkj Nk k ea 2 )( Nn n N lkj N k

31、 k ea 2 )( 1 0 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 :,: 00 mkl Nmkl 00 10 0 Nk Nn n N lkj N k k ea 2 )( 1 0 Nn n N Nmkkj N k k ea 2 )( 1 0 00 Nn n N kkj N k k ea 2 )( 1 0 0 0 k Na lNml NaNa 0 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 n N jk Nn k enx N a 2 1 n N jk Nk k eanx 2 离散时间傅里叶级数的系数的一个特点就是它的周期性离散时间傅里叶级数的系数的一个特点就

32、是它的周期性 Nkk aa n N jl Nn l enx N a 2 1 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 例题例题3.6 计算周期序列计算周期序列 nnx 0 sin 的傅里叶级数的傅里叶级数 解解： N m 2 0 N 2 0 )( 2 1 22 n N jn N j ee j nx 111 2 1 2 1 N a j a j a， N m 2 0 )( 2 1 22 n N jmn N jm ee j nx j a j a mm 2 1 2 1 ， N m 2 0 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 lNkm10Nk kNkk a j

33、a j a 2 1 2 1 ， kNk aa ，k N组成了组成了在一个在一个周期内的频谱。周期内的频谱。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 1 0 nx 11 NkNnNkN otherwise 例题例题3.7 计算周期离散方波信号的傅里叶级数，其中计算周期离散方波信号的傅里叶级数，其中 N1 N 1 N N 解解：由傅里叶分解公式：由傅里叶分解公式 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 n N jk Nn k enx N a 2 1 n N jk N Nn enx N 2 1 1 1 lNk 1 1 1 2 0 )( 2 1 N m Nm N

34、 jk Nnm k e N a n N jk N n N N jk enxe N 2 2 0 2 1 1 1 N jk N N jk N N jk e e e N 2 )12( 2 2 1 11 1 1 )2/2sin( / )2/1(21sin1 1 Nk NNk N 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 N kk N Na 2 1 | 2/sin 2/) 12sin( lNk N N ak 12 1 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 n N jk M Mk ke anx 2 离散时间傅里叶级数与连续时间傅里叶级数的另外一个重要区别离散时间傅里

35、叶级数与连续时间傅里叶级数的另外一个重要区别 就是，因为离散时间傅里叶级数只有有限多项，因此它就是，因为离散时间傅里叶级数只有有限多项，因此它不存在收不存在收 敛问题敛问题，只要级数，只要级数 离散时间信号离散时间信号 n N jk Nk k eanx 2 有了有了N项离散时间傅里叶级数就可以如实地再现项离散时间傅里叶级数就可以如实地再现 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 0nx0n1 Nn 长度为长度为N的序列的序列 当当 或者或者 周期延拓周期延拓，形成一个周期信号，形成一个周期信号 r rNnxnx 本

36、书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 nx r rNnx nx nx 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 )( kXak )( )( NkXkX k FS anx 一个以一个以k为自变量的、以为自变量的、以N为周期的离散时间序列为周期的离散时间序列 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 修改一下离散周期信号的傅里叶级数表达式修改一下离散周期信号的傅里叶级数表达式 n N jk Nn k enxa 2 n N jk Nk k ea N nx 2 1 n N jk Nn k enx N a 2 1 n N jk Nk k eanx

37、2 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 Nn n N jk enxkX 2 )( n N jk Nk ekX N nx 2 )( 1 10Nn 10Nk 1 0 2 )( N n n N jk enxkX n N jk N k ekX N nx 2 1 0 )( 1 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 N j N eW 2 )()( )(kRkXkX N 101 0 )( Nk otherwise N kR 矩形窗矩形窗 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 )(kX 0 1 0 kn N N n Wnx 10Nk othe

38、rwise nx )( 1 0 1 0 kn N N k WkX N 10Nn otherwise 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 l我们注意到：离散时间傅里叶级数可以看成是将一个N 周期的序列变换为另外一个N周期的序列的变换； l而离散傅里叶变换（DFT）却是，将一个0到N-1的序列 变换到另外一个0到N-1的序列的变换。 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 )ReImIm(Re ImImReRe)( 1 0 kn N kn N kn N kn N N

39、 n WnxWnxj WnxWnxkX 4次实数乘法次实数乘法 4N次实数乘法次实数乘法 10),(NkkX 次乘法 2 4N 计算复杂性计算复杂性级 2 N 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 m N2 1 0 )( N n kn N WnxkX 为奇为偶n kn N n kn N WnxWnx 1-N/2 0 2 1-N/2 0 2 122 r kkr N r kr N WrxWrx rn212 rn 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 1-N/2 0 2/ 1-N/2 0 2/ 122)( r kr N k N r kr N WrxWWrxkX )()(kHWkG k N N j N eW 2 N N j a aN j a aN WeeW 22 )( kr N kr N WW 2/ 2 kr N k N kkr N WWW 2/ 2 k的变化范围均为0N-1 本书由天疯天疯上传于世界工厂网世界工厂网-下载中心下载中心 1-N/2 0 2/ 2)( r kr N WrxkG 1 -N/2 0 2/ 12)( r kr N WrxkH kr N kr N rrNk N WWWW )(kr N rNk N WW 2/ )2/( 2/ )()2/(kGNkG)()2/(kHNkH 1 r W )(kGng