第4章根轨迹PPT

1、第四章根 轨 迹 法 第四章 根 轨 迹 法 4.1 根轨迹的概念根轨迹的概念 4.2 绘制根轨迹的依据绘制根轨迹的依据 4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 4.4 参数根轨迹和多回路系统根轨迹参数根轨迹和多回路系统根轨迹 4.5 正反馈根轨迹正反馈根轨迹 4.6 滞后系统的根轨迹滞后系统的根轨迹 4.7 根轨迹的应用根轨迹的应用 4.8 计算机绘制根轨迹计算机绘制根轨迹 小结小结 第四章根 轨 迹 法 )()(1 )( )( )( )( 1 1 sHsG sG sR sC sG 41 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 一、根轨迹的定义一、根轨迹的定义 如图所示一般闭环系统的闭如

2、图所示一般闭环系统的闭 环传递函数为环传递函数为 闭环控制系统的性能取决于闭环零、极点闭环控制系统的性能取决于闭环零、极点 闭环零点闭环零点G 1(s)中的零点和中的零点和H(s)中的极点，很容易求得中的极点，很容易求得 闭环极点由特征方程：闭环极点由特征方程：1+ G1 (s) H(s)0 求出，很难求得求出，很难求得 R(s) G1(S) H(S) C(s) 第四章根 轨 迹 法 ) 3( 10 )(; )2( ) 1( )( 1 s sH ss s sG 则闭环传递函数则闭环传递函数 为为 ) 1(10)3)(2( )3)(1( )3( 10 )2( ) 1( 1 )2( ) 1( )(

3、 ssss ss sss s ss s sG 例如例如 闭环零点闭环零点： G 1(s) 中的零点中的零点z 11 和和 H(s) 中的极点中的极点 z 23 闭环极点由：闭环极点由： s (s+2) (s+3)+10 (s+1)0 求出求出，这是一，这是一 个一元三次方程，用解析的方法求解是很困难的。个一元三次方程，用解析的方法求解是很困难的。 第四章根 轨 迹 法 根轨迹法的优点：根轨迹法的优点：不用求解高阶方程，通过图解的方法不用求解高阶方程，通过图解的方法 找出闭环极点，并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地找出闭环极点，并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地 实现高阶系统的性能分析和

4、设计。实现高阶系统的性能分析和设计。 根轨迹的定义：根轨迹的定义：开环传递函数中某一参数从开环传递函数中某一参数从0变化时，变化时， 闭环极点的变化轨迹称为根轨迹。闭环极点的变化轨迹称为根轨迹。 第四章根 轨 迹 法 式中 m zz, 1 开环传递函数的零点；开环传递函数的零点； n pp, 1 开环传递函数的极点；开环传递函数的极点； 系统开环传递函数的零极点表达式为系统开环传递函数的零极点表达式为 K1 根轨迹放大系数。常规根轨迹根轨迹放大系数。常规根轨迹 )()( )()( )()()( 21 211 10 n m pspsps zszszsK sGsHsG 计算机绘根轨迹可使用 n n

5、n m mm asas bsbsK sGsHsG 1 1 1 11 10 )( )()()( 第四章根 轨 迹 法 确定闭环极点的特征方程为确定闭环极点的特征方程为 0)()(1)(1 10 sGsHsG 0)()()()( 21211 nm pspspszszszsK 若令若令 K1 由由 00连续变化，则连续变化，则 n 个闭环极点个闭环极点 都将都将连续变化，在连续变化，在SS平面上将各绘出一条变平面上将各绘出一条变 化轨迹，即共有化轨迹，即共有n条特征根的轨迹；这些轨迹条特征根的轨迹；这些轨迹 就是系统的根轨迹。就是系统的根轨迹。 或者写为或者写为 第四章根 轨 迹 法 二、根轨迹的示

6、例二、根轨迹的示例 设系统如图设系统如图42 42 所示，它的所示，它的开环传递函数为开环传递函数为 )4( )( 1 0 ss K sG 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 1 2 1 0 0 4)(1 )( )( Kss K sG sG sG 第四章根 轨 迹 法 由此可得系统的特征方程式为由此可得系统的特征方程式为 求解得出两个特征根为求解得出两个特征根为 令参数令参数K1 在在 00范围内变化范围内变化 ，就可在复平面上得到根轨迹图，就可在复平面上得到根轨迹图 。 04 1 2 Kss 12 11 42 42 Ks Ks 从图中可看出系统性能随从图中可看出系统性能随K1变化变化而

7、变化的趋势：而变化的趋势： 当当K10 0时，系统始终是稳定的时，系统始终是稳定的 当当K144时，系统有两个负实根，对应的过渡过程无振荡时，系统有两个负实根，对应的过渡过程无振荡 当当K144时，系统有一对共轭复根，系统是衰减振荡的。时，系统有一对共轭复根，系统是衰减振荡的。 第四章根 轨 迹 法 42 绘制根轨迹的依据和条件绘制根轨迹的依据和条件 根轨迹的绘制依据是特征方程，根轨迹的绘制依据是特征方程，根据特征方程可以得出比根据特征方程可以得出比 较详细的绘制条件和规则。较详细的绘制条件和规则。 根轨迹的绘制条件根轨迹的绘制条件 对于图对于图4-14-1所示一般系统，其特征方程为所示一般系

8、统，其特征方程为 0)()(1)(1 10 sGsHsG 1)( 0 sG 写成复指数形式为写成复指数形式为 也就是也就是 2 , 1 , 01)( )12()( 0 0 qeesG qjsGj 第四章根 轨 迹 法 1)( 0 sG 210 ) 12(180)( 0 、qqsG )()( )()( )()()( 21 211 10 n m pspsps zszszsK sGsHsG 1 1 1 m j j n i i zs ps K 2 , 1 , 0 ) 12(180)()( 11 qqpszs n i i m j j 相角条件相角条件 幅值条件幅值条件 对于零极点形式的开环传递函数对于零

9、极点形式的开环传递函数 相角条件相角条件 幅值条件幅值条件 第四章根 轨 迹 法 相角条件是点相角条件是点Sd 在根轨迹上的充要条件，满足相角条件，在根轨迹上的充要条件，满足相角条件， Sd 必在根轨迹上必在根轨迹上。 幅值条件可计算根轨迹上任意一点的幅值条件可计算根轨迹上任意一点的根轨迹增益根轨迹增益K1。 43 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 根据根轨迹的绘制条件和特征方程的性质可推出一些规则根据根轨迹的绘制条件和特征方程的性质可推出一些规则 ，利用这些规则，可以帮助我们迅速、方便地绘出根轨迹。，利用这些规则，可以帮助我们迅速、方便地绘出根轨迹。 规则一、根轨迹的形状规则一、根轨

10、迹的形状 根轨迹是连续的，且对称于实轴，根轨迹是连续的，且对称于实轴， 共有共有 n 条。它们从开环极点出发，其中，条。它们从开环极点出发，其中，m 条终止于开环零条终止于开环零 点，点，nm 条趋向无穷远。条趋向无穷远。 其中其中 n开环极点个数；开环极点个数；m开环极点个数开环极点个数 第四章根 轨 迹 法 例例4.1 开环传递函数为开环传递函数为 k1 (s+5) G0(s) s(s+4)(s2+2s+2) 逐步绘制出系统的根轨迹。逐步绘制出系统的根轨迹。 解解 起点：起点：p1=0，p2= - -4，p3= - -1+j1，p4= - -1- -j1，共四条根轨迹，共四条根轨迹 终点：

11、终点：z1= - -5，另外三条趋向于无穷远，另外三条趋向于无穷远 用用MATLAB指令：指令： s=tf(s);G=(s+5) /s*(s+4)*(s*s+2*s+2);rlocus(G) 绘出绘出精确的根轨迹如图。与规则一吻合。精确的根轨迹如图。与规则一吻合。 第四章根 轨 迹 法 规则二、实轴上的根轨迹规则二、实轴上的根轨迹 在复平面中，实轴上的在复平面中，实轴上的 线段是根轨迹的条件是，在这些线段的右边的开环零、线段是根轨迹的条件是，在这些线段的右边的开环零、 极点的个数之和为奇数。极点的个数之和为奇数。 用相角条件证明：用相角条件证明： 1.实轴上的点到两个共轭复数的相角之合为零实轴

12、上的点到两个共轭复数的相角之合为零 2.实轴上的点到该点左边实轴上的零极点的相角为零实轴上的点到该点左边实轴上的零极点的相角为零 3.实轴上的点到该点右边实轴上的零极点的相角为实轴上的点到该点右边实轴上的零极点的相角为180，所以，所以， 实轴上某段右边零极点个数为奇数时，该段实轴是根轨迹。实轴上某段右边零极点个数为奇数时，该段实轴是根轨迹。 第四章根 轨 迹 法 规则三、根轨迹的渐近线规则三、根轨迹的渐近线 无穷远处根轨迹的切线称为根轨无穷远处根轨迹的切线称为根轨 迹的渐近线。渐近线与实轴正方向的夹角称为渐近线的倾角，迹的渐近线。渐近线与实轴正方向的夹角称为渐近线的倾角， 倾角的计算公式倾角

13、的计算公式如下：如下： 2 , 1 , 0 ) 12(180 q mn q 证明：证明：无穷远的无穷远的 s点与所有开环零、极点的连线可近似点与所有开环零、极点的连线可近似 为同一条线，设该线与实轴正方向的夹角为为同一条线，设该线与实轴正方向的夹角为 ,由相角条由相角条 件可知件可知 ) 12(180qnm 解之，就能得到倾角的计算公式。解之，就能得到倾角的计算公式。 第四章根 轨 迹 法 则则渐近线与实轴交点为渐近线与实轴交点为 证明：设任一渐近线与实轴交于证明：设任一渐近线与实轴交于点，则无穷远处的点，则无穷远处的s点与所点与所 有开环零、极点的连线长度都近似相等。由幅值条件可得有开环零、

14、极点的连线长度都近似相等。由幅值条件可得 mn zp n j m i ij 11 1 1 1 1 )( 1 )( 1 )( )( 1 mnmnmn n j j m i i smnss ps zs K 所有的渐近线与实轴共交于一点，设交点坐标为所有的渐近线与实轴共交于一点，设交点坐标为(，j0) 第四章根 轨 迹 法 而把幅值条件直接展开可得而把幅值条件直接展开可得 由于由于s，所以忽略以上两式中的低阶项，并将两式对比，所以忽略以上两式中的低阶项，并将两式对比 可得可得 得证。得证。 n j m i mn ij mn n j n j n m i m i m n j j m i i szpssps

15、 szs ps zs K 11 1 1 1 1 1 1 1 1 )( 1 )( )( )( )( 1 n j m i ij zpmn 11 )( 第四章根 轨 迹 法 例例4.1的渐近线的渐近线 180,60 14 ) 12(180 ) 12(180q mn q 333. 0 14 )5() 111140( 11 jj mn zp n j m i ij 第四章根 轨 迹 法 第四章根 轨 迹 法 规则四、根轨迹的分离点和会合点规则四、根轨迹的分离点和会合点 由特征方程解出由特征方程解出K1f(s) ，通过令导数等于零，可求出分，通过令导数等于零，可求出分 离点和会合点。即离点和会合点。即 说明

16、：在说明：在分离点和会合点处分离点和会合点处，K1是一定条件下的极限值，是一定条件下的极限值， 因此，可以因此，可以通过令导数等于零，可求出分离点和会合点。通过令导数等于零，可求出分离点和会合点。 0 1 ds dK 另外，必须指出，另外，必须指出，用上式求出的点不一定都是分离点或用上式求出的点不一定都是分离点或 会合点，还必须满足特征方程或用相应的规则来检验。会合点，还必须满足特征方程或用相应的规则来检验。 第四章根 轨 迹 法 例例4.1的分离点和汇合点的分离点和汇合点 )5( )22)(4( 2 1 s ssss k syms s;k=-1*s*(s+4)*(s2+2*s+2)/(s+5

17、)%符号表达式符号表达式 dk=diff(k) %对对k求导求导 dk=simple(dk) %化简化简 n,d=numden(dk) %提取分子和分母多项式提取分子和分母多项式 num=sym2poly(n) %提取分子多项式系数向量提取分子多项式系数向量 roots(num) %用数值求根指令求根用数值求根指令求根 执行程序得到：执行程序得到：ans=-5.93,-3.38,-0.67+j0.46,-0.67-j0.46 第四章根 轨 迹 法 其中，其中，s= -5.93是汇合点是汇合点,s= -3.38是分离点，两个复数不是分离点，两个复数不 在根轨迹上，舍去。在根轨迹上，舍去。 第四章

18、根 轨 迹 法 规则五、根轨迹的出射角与入射角规则五、根轨迹的出射角与入射角 出射角：根轨迹在复数开环极点处的切线与正实轴方向的夹角出射角：根轨迹在复数开环极点处的切线与正实轴方向的夹角 入射角：根轨迹在复数开环零点处的切线与正实轴方向的夹角入射角：根轨迹在复数开环零点处的切线与正实轴方向的夹角 在复数开环极点处的出射角为在复数开环极点处的出射角为 在复数开环零点处的入射角为在复数开环零点处的入射角为 )(180 1 11 n j j m i ip )(180 1 1 1 n j j m i iz 第四章根 轨 迹 法 证明：设想在离开环极点证明：设想在离开环极点p1处很近的处很近的 地方找一

19、点地方找一点S d ，若该点在根轨迹上，则，若该点在根轨迹上，则 应满足相角条件，即应满足相角条件，即 因此可解出因此可解出p1处的出射角处的出射角 ) 12(180 211 q ppz 211 ) 12(180 pzp q 其中，其中， pz 21 同理，可证明入射角的计算公式。同理，可证明入射角的计算公式。 第四章根 轨 迹 法 例例4.1的出射角的出射角 180)3/1 (90135)4/1 (arctgarctg 49 第四章根 轨 迹 法 规则六、根轨迹与虚轴的交点规则六、根轨迹与虚轴的交点 用用 s = j代入特征方程求解，代入特征方程求解， 或利用劳斯判据可求出根轨迹与虚轴的交点

20、。或利用劳斯判据可求出根轨迹与虚轴的交点。 例例4.1的根轨迹与虚轴的交点的根轨迹与虚轴的交点 系统特征方程为系统特征方程为 05)8(106 11 234 ksksss 0 )22)(4( )5( 1 2 1 ssss sk 第四章根 轨 迹 法 使用劳斯判据，列劳斯表 1 0 2 1 1 1 2 1 3 1 4 5 52 136416 5 6 52 86 5101 ks k kk s k k s ks ks 令劳斯表第一列与k1有关的项为零，解出k1=3，-139舍去。 k1=52时，第四行为，系统不稳定舍去。 第四章根 轨 迹 法 根据劳斯表第三行的系数组成辅助方程根据劳斯表第三行的系数

21、组成辅助方程 05 6 52 1 2 1 ks k 将将k1=3代入，得代入，得09049 2 s 解方程得解方程得 s =j1.36，即为与虚轴的交点。，即为与虚轴的交点。 最后绘出根轨最后绘出根轨 迹，蓝色部分需迹，蓝色部分需 要用相角条件再要用相角条件再 找一些点，准确找一些点，准确 性才能达到要求。性才能达到要求。 第四章根 轨 迹 法 44 参数根轨迹和多回路根轨迹 一、参数根轨迹 参数根轨迹：系统闭环极点随K1 1以外的参数变化而变化的 轨迹。 绘制方法：把特征方程作等效处理，把要研究的参数换到 原来K1的位置，借助常规根轨迹的绘制方法，进行绘制。 例例4.24.2 单位反馈系统开

22、环传递函数为 绘制以a为变量的根轨迹。并分析a与系统性能的关系。 )2( )1(5 )( 0 ss as sG 第四章根 轨 迹 法 解解 系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 asss as s 552 ) 1(5 )( 2 开环零点：开环零点：z1=0，开环极点：，开环极点：p1= - -1+j2，p2= - -1- -j2 闭环极点由特征方程闭环极点由特征方程 确定。确定。0552 2 asss 分别绘出闭环零、极点随分别绘出闭环零、极点随a变化而变化的轨迹。变化而变化的轨迹。 闭环零点：闭环零点：Sz- -1/a 0 52 5 1 2 ss as 特征方程可变为特征方程可变为 对照特征

23、方程为：对照特征方程为：1+G0(s)=0，则，则等效开环传递函数等效开环传递函数 的根轨迹，就是闭环极点随的根轨迹，就是闭环极点随a变化的轨迹。变化的轨迹。 aK ss sK sG5 52 )( 1 2 1 / 0 第四章根 轨 迹 法 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：整个负实轴整个负实轴 汇合点：汇合点： s ss K 52 2 1 0 )52()22( 2 2 1 s ssss ds dK 出射角：出射角： 6 .20690) 2 1 90(180 1 arctg p a=0.494 rlocus(tf(1 0,1 2 5) 由幅值条件，求出汇合点处的由幅值条件，求出汇合点处的K1及及a

24、 47. 2 24. 2 224. 1224. 1 5 2222 1 aK 解得汇合点为解得汇合点为 , s=2.24不在根轨迹上舍弃不在根轨迹上舍弃. 24. 25s 第四章根 轨 迹 法 1. 无论无论a取何值，系统都是稳定的。取何值，系统都是稳定的。 2. a较小时，系统有超调，且较小时，系统有超调，且a越小越小 ，超调量越大。，超调量越大。 3. a0.494后，系统变得非常平稳。后，系统变得非常平稳。 4. a 越大，零点与一个极点抵消，主越大，零点与一个极点抵消，主 导极点远离虚轴，上升速性快。导极点远离虚轴，上升速性快。 a=0.494 Z=-1/a 系统性能分析： a=.01;

25、step(tf(5*a ,5,1 ,2+5*a ,5) a=0.01、0.4、0.494、9、30 软实验验证以上分析结果：软实验验证以上分析结果： 第四章根 轨 迹 法 a 例例4.34.3 求图示双环系统的根轨迹，分析系统性能与求图示双环系统的根轨迹，分析系统性能与a的关的关 系，并求系，并求a3/83/8时，系统的主导极点。时，系统的主导极点。 二、多回路根轨迹二、多回路根轨迹 系统具有多个反馈环时的根轨迹。系统具有多个反馈环时的根轨迹。 从内到外，逐一绘制，内环的闭环极点是外环的部分开环极从内到外，逐一绘制，内环的闭环极点是外环的部分开环极 点，因此，外环的根轨迹的起点有一部分在内环的

26、根轨迹上。点，因此，外环的根轨迹的起点有一部分在内环的根轨迹上。 解解 外环的传递函数：外环的传递函数： )873()873( 8 )( 23 1 23 0 ssss K ssss a sG：开环 assss a s 8873 8 )( 234 闭环： 第四章根 轨 迹 法 的根轨迹，根轨迹上的根轨迹，根轨迹上 K11=8 的地方是外环的的地方是外环的部分部分开环极点。开环极点。 )73( )( 2 11 1 sss K sG 1.开环极点：开环极点：0，- -1.5j2.18 j 0 2 1 求求 的根较困难，所以，先绘出内环的根较困难，所以，先绘出内环0873 23 sss 绘制内环的根轨

27、迹：绘制内环的根轨迹： a 第四章根 轨 迹 法 解得解得=2.64 rad/s，K11=21 3.出射角：出射角： 5 .3490) 18. 2 5 . 1 90(180 1 arctg p 2.渐近线：渐近线： 180,60 1 03 18. 25 . 118. 25 . 10 jj 4.与虚轴的交点：与虚轴的交点： 0)(7)(3)( 11 23 Kjjj 第四章根 轨 迹 法 用长除法可得下式：用长除法可得下式： 解得另外两个根为：解得另外两个根为：0.660.66j 2.12.1 )78. 4325. 1)(675. 1(873 223 ssssss aK ssss K sG8, )

28、78. 4325. 1)(67. 1( )( 1 2 1 0 外环的开环传递函数的零极点形式为外环的开环传递函数的零极点形式为 绘制外环的根轨迹：绘制外环的根轨迹： 1.开环极点：开环极点：0，- -1.67，- -0.66j2.1 用幅值条件，求得用幅值条件，求得s = - -1.675 为为 K11=8 时的一个根时的一个根 第四章根 轨 迹 法 75. 0 04 ) 1 . 266. 01 . 266. 067. 10( 11 jj mn zp n j m i ij 3.出射角：出射角： 82 66. 067. 1 1 . 2 ) 1 . 2 66. 0 90(90180 1 arctg

29、arctg p 2.渐近线：渐近线： 135,45 04 ) 12(180 ) 12(180q mn q j 0 2 -1 -2 -2 第四章根 轨 迹 法 4.分离点：分离点：从特征方程从特征方程 中解出中解出K1 令令K1对对s的导数为零，得分离点为：的导数为零，得分离点为：s=- -0.87,K1=3.06 )873( 234 1 ssssK 5.与虚轴的交点：与虚轴的交点： 1 0 1 1 1 2 3 1 4 69. 08 3 . 4 83 71 Ks Ks Ks s Ks 令劳斯表第一列、第四行为零，求得令劳斯表第一列、第四行为零，求得K1=11.56，由，由辅辅 助方程：助方程：4

30、.3s2+K1=0，求得交点，求得交点s=j1.63 0873 1 234 Kssss 第四章根 轨 迹 法 用幅值条件试探求得用幅值条件试探求得 S1= -= -1 1和和 S2= - -0.740.74为为a =3/8,=3/8,K1= =3时的两个时的两个 实数根，用长除法降阶后，可得另实数根，用长除法降阶后，可得另 外两个共轭复数根外两个共轭复数根 92. 163. 0 4, 3 js 1. K1. K1 111.6,11.6,a 1.451.45系统不稳定。系统不稳定。 2. K2. K1 13.06,3.06,a 0.380.38系统出现超调。系统出现超调。 系统不能近似为低阶系统

31、。系统不能近似为低阶系统。 rlocus(tf(1,1 3 7 8 0)， r=rlocus(tf(1,1 3 7 8 0),3), rlocus(tf(1,1 3 7 8 0),3) 系统性能：系统性能： 第四章根 轨 迹 法 45 正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹 一、正反馈系统的特征方程一、正反馈系统的特征方程 )()(1 )( )( )( )( 1 1 sHsG sG sX sY sG 传递函数传递函数 特征方程特征方程 0)(1)()(1 01 sGsHsG 简写为简写为 1)( 0 sG X(s) G1(S) H(S) Y(s) 第四章根 轨 迹 法 二、正反馈系统根轨迹的绘制

32、条件二、正反馈系统根轨迹的绘制条件 2 , 1 , 01)( 2)( 0 0 qeesG qjsGj 1 1 1 m j j n i i zs ps K 2 , 1 , 0 )2(180)()( 11 qqpszs n i i m j j 相角条件相角条件 幅值条件幅值条件 正反馈根轨迹的幅值条件与常规根轨迹相同正反馈根轨迹的幅值条件与常规根轨迹相同 正反馈根轨迹的相角条件为相角之和为正反馈根轨迹的相角条件为相角之和为360的倍数。的倍数。 第四章根 轨 迹 法 三、三、 零度根轨迹的零度根轨迹的绘制规则绘制规则 把常规根轨迹的绘制规则中与相角条件有关的规则稍把常规根轨迹的绘制规则中与相角条件

33、有关的规则稍 作修改就可以用来绘制零度根轨迹。作修改就可以用来绘制零度根轨迹。 实轴右边开环零极点的个数之和为偶数，则该段实轴右边开环零极点的个数之和为偶数，则该段 实轴是根轨迹。实轴是根轨迹。 2. 渐近线的相角为渐近线的相角为 2 , 1 , 0 )2(180 q mn q 3. 出射角、入射角出射角、入射角 )()2(180 1 11 n j pj m i zip q )()2(180 1 1 1 n j pj m i ziz q 第四章根 轨 迹 法 例例4.4 单位单位正反馈正反馈系统开环传递函数为系统开环传递函数为 ) 1( )( 1 0 ss K sG 绘制根轨迹。绘制根轨迹。

34、解解 1.开环极点：开环极点：s=0;s=- -1 实轴上的根轨迹：除实轴上的根轨迹：除(- -1，0)外外 2.渐近线：渐近线： j 0 1 -1 -1 180 0-2 2180 )2(180 mn q 负反馈 正反馈 负反馈系统的根轨迹与正反馈系统的根轨迹具有一负反馈系统的根轨迹与正反馈系统的根轨迹具有一 定的互补性定的互补性 第四章根 轨 迹 法 46 滞后系统的根轨迹滞后系统的根轨迹 滞后时间为滞后时间为的开环传递函数为的开环传递函数为 )()()()( 01 sGesHsGesG ss 闭环特征方程为闭环特征方程为 1)( 0 sGe s 令令s=+j，即，即 )(js ee 2 ,

35、 1 , 01)( )12()( 0 0 qeesGe qjsGj 第四章根 轨 迹 法 1 1 1 m j j n i i e zs ps K 2 , 1 , 0 ) 12()()( 11 qqpszs n i i m j j 相角条件相角条件 幅值条件幅值条件 第四章根 轨 迹 法 说明：说明： 1.滞后系统有无数条滞后系统有无数条根轨迹根轨迹，且平行于实轴。其中对系，且平行于实轴。其中对系 统性能影响最大的是实轴附近的根轨迹。统性能影响最大的是实轴附近的根轨迹。 2.根轨迹起点除开环极点外，还有许多无穷远的起点。根轨迹起点除开环极点外，还有许多无穷远的起点。 3.根轨迹终点除开环零点外，

36、还有许多无穷远的终点。根轨迹终点除开环零点外，还有许多无穷远的终点。 4.实轴上的根轨迹与常规根轨迹系统相同。因实轴上的根轨迹与常规根轨迹系统相同。因=0 时，时， 相角条件相同。相角条件相同。 5.常规根轨迹渐近线的计算方法对滞后根轨迹不适用。常规根轨迹渐近线的计算方法对滞后根轨迹不适用。 6.分离点满足：分离点满足： 0 )()( 1 ds sHsGed s 第四章根 轨 迹 法 7.出射角、入射角，由滞后系统相角条件确定。出射角、入射角，由滞后系统相角条件确定。 8.与虚轴的交点只能令与虚轴的交点只能令s=j，代入特征方程求解，代入特征方程求解。劳斯。劳斯 判据法失效。判据法失效。 近似

37、处理近似处理 s1 1 ! 2 1 s1 1 22 s e s s1 )()( )( 1 0 sHsG sG 按下式用常规根轨迹的绘制方法可绘制出滞后系统按下式用常规根轨迹的绘制方法可绘制出滞后系统 的近似根轨迹的近似根轨迹 第四章根 轨 迹 法 例例4.5 单位反馈系统开环传递函数为单位反馈系统开环传递函数为 js s eK sG s , 1 )( 1 0 绘制根轨迹，并分析滞后环节对系统性能的影响。绘制根轨迹，并分析滞后环节对系统性能的影响。 解解 幅值条件和相角条件为幅值条件和相角条件为 s esK) 1( 1 2 , 1 , 0 ) 12( ) 1(qqs 实轴上（实轴上（0）的根轨迹

38、：）的根轨迹：s 1，满足相角条件是根轨迹，满足相角条件是根轨迹， 并且并且 s 和和s1（K10）为根轨迹起点。）为根轨迹起点。 s时，只要时，只要 ，3均满足相角条件，为均满足相角条件，为 无数条根轨迹的终点和渐近线。无数条根轨迹的终点和渐近线。 j 0 j 1 j2 -j 第四章根 轨 迹 法 s时，时，0，2 ，4 。均满足。均满足 相角条件，为无数条根轨迹的起点和渐近线。相角条件，为无数条根轨迹的起点和渐近线。 分离点：分离点： 0 ) 1( )2( )( 2 1 0 s esK sG s 与虚轴的交点：令与虚轴的交点：令s=j代入特征方程代入特征方程 1 1 1 j eK j )1

39、2()( 2 1 1 1 qjarctgj ee K j 0 j 1 j2 -j j3 K1 0 K1 K1=8 K1=2.26 0 K1 K1=2.26 s=- -2， 135. 0) 1( 2 1 s s esK 第四章根 轨 迹 法 j 0 j 1 j2 -j j3 K1 0 K1 K1=8 K1=2.26 0 K1 K1=2.26 性能分析：性能分析： 1.滞后的加入使系统稳定性变差。滞后的加入使系统稳定性变差。 K1 2.26 系统不稳定。系统不稳定。 2.主导极点在主根轨迹上。主导极点在主根轨迹上。 3.K10.135系统出现超调。系统出现超调。 解得：解得： 2.03，K1=2.

40、26； 7. 98，K1=8 k,w=solve(w+atan(w)=pi,k=sqrt(w*w+1) 第四章根 轨 迹 法 47根轨迹的应用根轨迹的应用 绘制出根轨迹后，可用根轨迹进行系统的分析、校正和设绘制出根轨迹后，可用根轨迹进行系统的分析、校正和设 计。计。 一、用根轨迹分析系统性能一、用根轨迹分析系统性能 1. 稳定性稳定性 根轨迹在复平面的左半平面时系统是稳定的，根轨迹在复平面的左半平面时系统是稳定的，反之，系统反之，系统 就不稳定。就不稳定。闭环极点离虚轴越远，稳定裕量越大。闭环极点离虚轴越远，稳定裕量越大。 第四章根 轨 迹 法 2.2.暂态性能暂态性能 用幅值条件找出指定K1

41、的闭环极点，根据第三章时域分析的 方法，求出主导极点，进行暂态性能分析。 a.a.主导极点在实轴上，则系统很平稳无超调。主导极点在实轴上，则系统很平稳无超调。 b.b.主导极点在复数区域，则系统出现振荡，且阻尼角越大，振主导极点在复数区域，则系统出现振荡，且阻尼角越大，振 荡越利害。荡越利害。 c.c.主导极点离虚轴越近，系统快速性越差。主导极点离虚轴越近，系统快速性越差。 d.d.若主导位置确定，从根轨迹图中量出若主导位置确定，从根轨迹图中量出、nn、等，可定等，可定 量计算系统暂态性能指标。量计算系统暂态性能指标。 第四章根 轨 迹 法 j 0 加偶极子 3.稳态性能稳态性能 在坐标原点处

42、的开环极点个数越多，稳态精度越高。在坐标原点处的开环极点个数越多，稳态精度越高。 二、用根轨迹设计系统二、用根轨迹设计系统 增加开环零、极点，改变根轨迹走向。增加开环零、极点，改变根轨迹走向。 怎么加？根据根轨迹的不同，而有所不同。怎么加？根据根轨迹的不同，而有所不同。 j 0 加开环零点 如图，如图，加开环零点加开环零点（绿线）。稳定性变好（绿线）。稳定性变好 如图，如图，加偶极子加偶极子（绿线）。暂态性能不变（绿线）。暂态性能不变 稳态精度提高。稳态精度提高。 05. 0 1 . 0 )( s s sGc增加的零、极点： 第四章根 轨 迹 法 例例4-64-6 单位反馈系统开环传递函数为单

43、位反馈系统开环传递函数为 绘制根轨迹绘制根轨迹, ,分析系统性能分析系统性能, ,求求 K1 1= 4 = 4 时系统的暂态性能指标。时系统的暂态性能指标。 解解 运行仿真软件，输入开环传递函数，绘出根轨迹如图。运行仿真软件，输入开环传递函数，绘出根轨迹如图。 )22)(3( )( 2 1 0 ssss K sG 性能分析：性能分析： 1. 根轨迹与虚轴的交点为根轨迹与虚轴的交点为j1.1，交点处，交点处 K1 = 8.2，即，即K1 8. 2时，系统稳定。时，系统稳定。 rlocus(tf(1,1 3 0)*tf(1,1 2 2);axis(-3.2,1,-2 2) 第四章根 轨 迹 法 2

44、.2.分离点为分离点为2.32.3，此处的，此处的K K1 1 = 4.33= 4.33，因此，因此，当当K K1 14.334.33后，后， 系统的闭环极点为两对共轭复数，系统出现超调，系统的闭环极点为两对共轭复数，系统出现超调，且且K K1 1越大，越大， 超调量越大。超调量越大。 3.3.当当K K1 14.334.33后，系统的闭环极点为一对共轭复数和两个负实后，系统的闭环极点为一对共轭复数和两个负实 数，数，当当K K1 1远远小于远远小于4.334.33，则主导极点为负实数，系统无超调，则主导极点为负实数，系统无超调， 但是调节时间但是调节时间3/3/（主导极点到虚轴的距离），因为

45、主导极点到虚轴的距离），因为 很小，所以调节时间很长。很小，所以调节时间很长。 4.4.在在K K1 12 2的附近，系统近似为三阶系统，性能指标较难求的附近，系统近似为三阶系统，性能指标较难求。 第四章根 轨 迹 法 5.5.用幅值条件试探得用幅值条件试探得s = -2和和s = -2.52是系统是系统K1=4的的两两 个实数闭环极点。个实数闭环极点。 002. 001. 0 98. 357. 379. 0 458. 379. 0 42. 217. 248. 0 46 96. 2 48. 0 04. 552. 4 79. 0 48. 0 4 6 8 5 04. 552. 4 2 2 23 2

46、3 234 2 2342 s ss ss sss sss sss ss ssssss 第四章根 轨 迹 法 解得解得两个复数闭环极点为两个复数闭环极点为S3、4= -0.24j0.86 。由于由于S3、4距虚距虚 轴的距离远小于轴的距离远小于S1、2距虚轴的距离，距虚轴的距离，所以所以S3、4是系统的主导极是系统的主导极 点。点。由由 解出解出n0.890.89，0.2680.268，用二，用二 阶系统指标计算公式算得：阶系统指标计算公式算得： =41.7%，ts12.5s。 用仿真软件得系统的准确阶跃响应曲用仿真软件得系统的准确阶跃响应曲 线如图。准确的性能指标为：线如图。准确的性能指标为：

47、 =31.2%，ts12.4s 估算值还是比较准确。估算值还是比较准确。 79. 0 48. 0 2 ss 第四章根 轨 迹 法 48 MATLAB绘制根轨迹绘制根轨迹 在在MATLAB中提供了绘制系统根轨迹的中提供了绘制系统根轨迹的rlocus(Go)函数。函数。 已知系统开环传递函数的形式已知系统开环传递函数的形式, 利用此函数可以方便地绘制出利用此函数可以方便地绘制出 系统的根轨迹。系统的根轨迹。 例例 4-7 设一单位负反馈系统的开环传递函数如下设一单位负反馈系统的开环传递函数如下: ) 3)(2( ) 1( )( 1 0 sss sK sG 试绘制该系统的根轨迹。试绘制该系统的根轨迹

48、。 第四章根 轨 迹 法 解解 使用使用MATLAB绘制此根轨迹的程序如下绘制此根轨迹的程序如下: s=tf(s); G= (s+1) /s*(s+2)*(s+3); rlocus(G) 指令指令 r=rlocus(G,K1)，给出指定，给出指定K1的所有特征根的所有特征根 指令指令 rlocus(G,K1)，绘出指定，绘出指定K1的所有特征根的所有特征根 指令指令 rlocfind(G)，标出指定点对应的所有闭环极点，标出指定点对应的所有闭环极点， 给出指定点的给出指定点的K1和闭环极点值。和闭环极点值。 第四章根 轨 迹 法 8 6 4 2 0 2 4 6 8 3 2.5 2 1.5 1 0.50 Re Im 第四章根 轨 迹 法 例例 4-8 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为设单位负反馈控制系统的开环传递函数为 )