第二章 地图的数学基础(1)

1、 u数字地图制图的流程 u地图的分幅与编号 u地图学的定义 u地图学的学科体系，由哪些内容组成 u地图学的发展趋势 地图学是研究地理信息的表达、处理和传输的理论和方法，以地图学是研究地理信息的表达、处理和传输的理论和方法，以 地理信息可视化为核心，探讨地图的制作技术和使用方法地理信息可视化为核心，探讨地图的制作技术和使用方法。 l一、空间坐标系 l二、地图比例尺 l三、地图定向 l四、地图投影 通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量通过天文大地测量、地球重力测量、卫星大地测量 等精密测量，发现：等精密测量，发现： 地球并不是一个正球体，而是一个极半径略短、地球并不是一个正球体，而是一个极

2、半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形 的椭球体。的椭球体。 地球的自然表面 地球的自然表面是一个起伏不平，十分不规则的表地球的自然表面是一个起伏不平，十分不规则的表 面。对于地球测量而言，地表是一个无法用数学公式面。对于地球测量而言，地表是一个无法用数学公式 表达的曲面。表达的曲面。 为了寻求一种规则的曲面来代替地球的自然表面，为了寻求一种规则的曲面来代替地球的自然表面， 人们设想当海洋静止时，平均海水面穿过大陆和岛屿，人们设想当海洋静止时，平均海水面穿过大陆和岛屿， 形成一个闭合的曲面，该面上的各点与重力方向（铅形成一个闭合

3、的曲面，该面上的各点与重力方向（铅 垂线）成正交，这就是垂线）成正交，这就是大地水准面。大地水准面。大地水准面所包大地水准面所包 围的球体，叫大地球体。围的球体，叫大地球体。 大地水准面是对地球形状的一级逼近大地水准面是对地球形状的一级逼近 l地心坐标系地心坐标系 l原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。 lZ轴指向轴指向BIH1984.0定义的协议极地方向（定义的协议极地方向（BIH国际时间局）国际时间局） X轴指向轴指向BIH1984.0定义的零子午面与协议赤道的交点，定义的零子午面与协议赤道的交点， lY轴按右手坐标系确定。轴按右手坐标系确定

4、。 l2000国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下：国家大地坐标系采用的地球椭球参数如下： l长半轴长半轴 a=6378137m l扁率扁率f=1/298.257222101 l地心引力常数地心引力常数GM=3.9860044181014m3s-2 l自转角速度自转角速度=7.292l1510-5rad s-1 l1954年北京坐标系、1980西安坐标系是 参心坐标系， lWGS84坐标系、2000 国家大地坐标系是 地心坐标系 100 120 140 160 180 地图比例尺地图比例尺 将椭球面上的将椭球面上的 客观世界表现在有客观世界表现在有 限的平面上，必然限的平面上，必然 遇到大与小

5、的矛盾遇到大与小的矛盾. 图解比例尺 地图比例尺的含义和表示 由于地图投影的原因会造成地图上各处的缩小比例不一 致性，因此，进行地图投影时，应考虑地图投影对地图比例 尺的影响。 在以纸质为信息载体的地图上，地图内容的选取、概 括程度、数据精度等都与比例尺密切相关， 电子地图出现后传统的比例尺概念发生新变化，在计 算机生成的屏幕地图上，比例尺主要表明地图数据的精度。 屏幕上比例尺的变化，并不影响上述内容涉及的地图本身比 例尺的特征。 一、地图比例尺的含义一、地图比例尺的含义 u 当制图区域比较小，地图投影后，各方面变形都相对当制图区域比较小，地图投影后，各方面变形都相对 比较小，因此，图面上各处

6、长度缩小的比例都可以看成是相比较小，因此，图面上各处长度缩小的比例都可以看成是相 等的。在这种情况下，地图比例尺的含义，具体指的是图上等的。在这种情况下，地图比例尺的含义，具体指的是图上 长度与相应地面之间的长度比例。长度与相应地面之间的长度比例。 u 当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当 大，在这种情况下采用的地图投影比较复杂，地图上的长度大，在这种情况下采用的地图投影比较复杂，地图上的长度 也因地点和方向不同而有所变化。在这种情况下所注明的比也因地点和方向不同而有所变化。在这种情况下所注明的比 例尺含义，其实质指的是在进行地图投影时，

7、对地球半径缩例尺含义，其实质指的是在进行地图投影时，对地球半径缩 小的比率，通常称之为小的比率，通常称之为地图主比例尺地图主比例尺。地图经过投影后，体。地图经过投影后，体 现在地图上只有个别的点或线才没有长度变形。换句话说，现在地图上只有个别的点或线才没有长度变形。换句话说， 只有在这些没有变形的点或线上，才可以用地图上注明的主只有在这些没有变形的点或线上，才可以用地图上注明的主 比例尺进行量算。比例尺进行量算。 二、地图比例尺的表示二、地图比例尺的表示 1.比例尺的表示 传统地图上的比例尺通常有以下几种表现形式：数字式比 例尺、文字式比例尺、图解式比例尺。 （1）数字式比例尺 如如11000

8、0110000 （2）文字式比例尺 如图上如图上1 1厘米等于实地厘米等于实地1 1千米千米 （3）图解比例尺：可分为直线比例尺、斜分比例尺和复式比 例尺。 直线比例尺直线比例尺，是以直线线段形式标明图上线段长度所对应 的地面距离。 斜分比例尺斜分比例尺，是一种根据相似三角形原理制成的图解比例尺，利，是一种根据相似三角形原理制成的图解比例尺，利 用这种斜分比例尺，可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。用这种斜分比例尺，可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。 斜分比例尺是由纵、横两种分划组成的复合比例尺，纵分划为斜斜分比例尺是由纵、横两种分划组成的复合比例尺，纵分划为斜 线，横分划及其注记与直线

9、比例尺相同。使用该比例尺时，先在图上线，横分划及其注记与直线比例尺相同。使用该比例尺时，先在图上 用量角规卡出欲量线段的长度，然后再到复合比例尺上去比量。比量用量角规卡出欲量线段的长度，然后再到复合比例尺上去比量。比量 时应注意：每上升一条水平线，斜线的偏值将增加时应注意：每上升一条水平线，斜线的偏值将增加0.010.01基本单位；量基本单位；量 角规的两脚务必位于同一水平线上。角规的两脚务必位于同一水平线上。 如图中如图中ab线段为线段为2.64个单位长度，若地图比例尺为个单位长度，若地图比例尺为1:10万，则实地长万，则实地长 度为度为5.28km。 复式比例尺复式比例尺，又称投影比例尺，

10、是一种根据地图主比，又称投影比例尺，是一种根据地图主比 例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。 2.2.特殊比例尺特殊比例尺 （1 1）变比例尺）变比例尺 当制图的主区分散且间隔的距离比较远时，为了突出主当制图的主区分散且间隔的距离比较远时，为了突出主 区和节省图面，可将主区以外部分的距离按适当比例相应压区和节省图面，可将主区以外部分的距离按适当比例相应压 缩，而主区仍按原来规定的比例尺表示。缩，而主区仍按原来规定的比例尺表示。 （2 2）无级别比例尺）无级别比例尺 是一种随数字制图的出现而与传统的比例尺系统相对而是一种随数字制

11、图的出现而与传统的比例尺系统相对而 言的一个新概念，并没有一个具体的表现形式。在数字制图言的一个新概念，并没有一个具体的表现形式。在数字制图 中，由于计算机或数据库里可以存贮物体的实际长度面积体中，由于计算机或数据库里可以存贮物体的实际长度面积体 积等数据，并且根据需要可以很容易按比例任意缩小或放大积等数据，并且根据需要可以很容易按比例任意缩小或放大 这些数据，因此没有必要将地图数据固定在某一比例尺这些数据，因此没有必要将地图数据固定在某一比例尺上。 数字比例尺数字比例尺文字比例尺（地图名称）文字比例尺（地图名称）图上图上1cm相当于实地相当于实地 km数数 实地实地1km相当于图上相当于图上

12、 cm数数 1 10000一万分之一一万分之一0.110 1 25000二万五千分之一二万五千分之一0.254 1 50000五万分之一五万分之一0.52 1 100000十万分之一十万分之一11 1 250000二十五万分之一二十五万分之一2.50.4 1 500000五十万分之一五十万分之一50.2 1 1000000百万分之一百万分之一100.1 国家基本地图的比例尺系列 l（1）按地图投影变形分类）按地图投影变形分类 l 主比例尺主比例尺 指投影面上没有变形的点或线上的比例尺。指投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 l在地图投影中的切点、切线及割线上是没有任何变化的，这在地图投影中的切

13、点、切线及割线上是没有任何变化的，这 些地方的比例尺为主比例尺。通常以切点、切线及割线缩小些地方的比例尺为主比例尺。通常以切点、切线及割线缩小 的倍数表示地面的缩小程度。各种地图上通常所标注的都是的倍数表示地面的缩小程度。各种地图上通常所标注的都是 这种比例尺，故称这种比例尺，故称“普通比例尺普通比例尺”。 l 局部比例尺局部比例尺 指投影面上有变形处的比例尺。指投影面上有变形处的比例尺。 l地图投影中，除标准点、标准线之外，其他地方均有不同程地图投影中，除标准点、标准线之外，其他地方均有不同程 度的变形。地图上一般不标注的这种比例尺，它不反映地面度的变形。地图上一般不标注的这种比例尺，它不反

14、映地面 实际的缩小程度。用于研究投影变形大小、分布规律和投影实际的缩小程度。用于研究投影变形大小、分布规律和投影 性质。性质。 l（2）按比例尺大小分类）按比例尺大小分类 比例尺大小是以比例尺的比值来衡量的，分母越大比 值越小，反之亦然。比例尺大小是一个相对的概念，各部门 根据用图时需要达到的精度要求的不同，划分比例尺大小的 标准不尽相同。 u例；建筑或施工单位，研究作业区小，精度要求高，使用的 比例尺较大，一般 1：1万 大比例尺 1：2.5万1：10万 中比例尺 1：25万、1：50万、1：100万 小比例尺 u在测绘、地学或其它部门，研究区大，精度要求不十分高， 使用的比例尺较小： 1：

15、10万 大比例尺 1：25万、1：50万 中比例尺 1：100万 小比例尺 l人们习惯地图上的方向是“上北下南，左西右东”，其 说法并不准确。地图上确定方向的正确方法是：利用经 线来确定南北方向，北半球图上经线向北极方向为北， 向南极方向为南；利用纬线来确定东西方向，北半球图 上沿纬线逆时针方向是从西向东。 北极北极 A B C 南极南极 A B C ESW N E S W N E S W N E S W N E S W N E S W N 方位角方位角 测绘或使用地形图时，首先要确定一个南北标准方测绘或使用地形图时，首先要确定一个南北标准方 向线，作为标定地图方向和测定目标方位的依据，常用向

16、线，作为标定地图方向和测定目标方位的依据，常用 的是方位角和三北方向线。的是方位角和三北方向线。 方位角，系从过某点方位角，系从过某点P的指北方向线起，顺时针方的指北方向线起，顺时针方 向量到某一目标方向线的水平夹角向量到某一目标方向线的水平夹角a l大比例尺地形图上绘有三种指向北方的线，即真子大比例尺地形图上绘有三种指向北方的线，即真子 午线、磁子午线、坐标纵线、称为三北方向线。这三种午线、磁子午线、坐标纵线、称为三北方向线。这三种 方向线虽然都是指向北方，但这方向线虽然都是指向北方，但这“北方北方”实际上是不一实际上是不一 致的，分别称为真北、磁北和坐标北，统称为三北方向。致的，分别称为真

17、北、磁北和坐标北，统称为三北方向。 由三北方向线构成的三种方位角为真方位角、磁方位角由三北方向线构成的三种方位角为真方位角、磁方位角 和坐标方位角和坐标方位角 三北方向线三北方向线 1.真北真北 过地面上任意一点，指向北极的方向，叫真北。过地面上任意一点，指向北极的方向，叫真北。真子午线，真子午线， 系通过地面某点系通过地面某点P指向地球南北两极的方向线，即经线。在地指向地球南北两极的方向线，即经线。在地 形图上，东、西内图廓线和经度相同各点的连线都是真子午线，形图上，东、西内图廓线和经度相同各点的连线都是真子午线， 它指向正南、正北方向。它指向正南、正北方向。被称为真北方向线或真子午线。被称

18、为真北方向线或真子午线。 2、磁北、磁北 磁子午线，系在某一地点上，罗盘仪磁针水平静止时所指的磁子午线，系在某一地点上，罗盘仪磁针水平静止时所指的 南北方向线。磁子午线方向可以用罗盘仪测得。在小面积测图南北方向线。磁子午线方向可以用罗盘仪测得。在小面积测图 中常用磁子午线作为定向的标准。大比例尺地形图右半幅中央中常用磁子午线作为定向的标准。大比例尺地形图右半幅中央 的南北图廓间的的南北图廓间的PP连线即为该图的磁子午线。连线即为该图的磁子午线。 3、坐标纵线北、坐标纵线北 坐标纵线，系高斯坐标纵线，系高斯-克吕格投影带坐标纵轴（中央经线）克吕格投影带坐标纵轴（中央经线） 及与其平行的方里网纵线

19、，即坐标北方向线。除中央经线外，及与其平行的方里网纵线，即坐标北方向线。除中央经线外， 它们均不指向真北方向，所指的为坐标北方向。它们均不指向真北方向，所指的为坐标北方向。 1.真方位角：从真子午线北 段顺时针方向量至某一直线 的水平角，叫真方位角。 2.磁方位角：从磁子午线北 端顺时针方向量至某一直线 的水平角，叫磁方位角。 3.坐标方位角：从坐标纵线 北端顺时针方向量至某一直 线的水平角，叫坐标方位角。 三种方位角 由于真北、磁北、坐标纵线北在一般情 况下方向是不一致的，所以三者之间互相形 成三种偏角。 1.磁偏角：以真子午线为准，磁子午线与真 子午线的夹角。磁子午线东偏为正，西偏为 负，

20、磁偏角是实测得来的，由于磁偏角因地 而异，所以图幅的磁偏角是本图幅几个点的 平均值。 2坐标纵线偏角（子午线收敛角） 以真子午线为准，坐标纵线与真子午线 之间的夹角。东偏为正，西偏为负，在投影 带的中央经线以东的图幅均为东偏，以西的 图幅均为西偏。 3磁坐偏角：以坐标纵线为准，坐标纵线 与磁子午线之间的夹角。磁子午线东偏为正， 西偏为负。 三种偏角 子午线收敛角子午线收敛角 偏角与方位角间的换算关系：偏角与方位角间的换算关系： 坐标方位角=磁磁 方位角方位角+ +磁坐偏角磁坐偏角 磁方位角=坐标坐标 方位角方位角+ +磁坐偏角磁坐偏角 真方位角=坐标坐标 方位角方位角+ +坐标纵线偏角坐标纵线

21、偏角 注意偏角的正负号，注意偏角的正负号， 各偏角在运算中均应各偏角在运算中均应 带着原有的正负号。带着原有的正负号。 野外用图主要是对照实地阅读填图。使用地形图的 前提，是地形图的定向。 一、地形图的野外定向 地形图定向就是使地形图的方向与实地一致，图 上地物符号与地面上相应的物体方向对应。 （一）利用罗盘定向 在野外用罗盘定向是最方便而常用的方法，使用 时远离铁轨、高压线等地物。 利用罗盘定向示意图 根据磁子午线定向根据磁子午线定向 地形图南北图廓线上注有磁南、磁北（或与地形图南北图廓线上注有磁南、磁北（或与）两点）两点 的连线即为磁子午线。定向时将罗盘的直尺边或（叫南北线）的连线即为磁子

22、午线。定向时将罗盘的直尺边或（叫南北线） 与磁子午线重合，然后转动地形图，使磁针北端对准度盘与磁子午线重合，然后转动地形图，使磁针北端对准度盘 “”分划线，即磁针与磁子午线平行即可，地形图方向就分划线，即磁针与磁子午线平行即可，地形图方向就 与实地一致了。与实地一致了。 按真子午线定向按真子午线定向 首先使罗盘上的直尺边与地形图上的东西图内廓线重合，首先使罗盘上的直尺边与地形图上的东西图内廓线重合， 从从“三北三北”方向上查得磁偏角是多少，然后转动地图，使磁方向上查得磁偏角是多少，然后转动地图，使磁 针偏角与磁偏角相等，则地形图标定好。针偏角与磁偏角相等，则地形图标定好。 根据坐标纵线定向根据

23、坐标纵线定向 把罗盘直尺边与坐标纵线（方里网纵线）重合，从把罗盘直尺边与坐标纵线（方里网纵线）重合，从“三三 北北”方向线上查得磁坐偏角值，然后转动地图，使磁针北端方向线上查得磁坐偏角值，然后转动地图，使磁针北端 指向磁坐偏角相应的分划值，即完成地图定向。指向磁坐偏角相应的分划值，即完成地图定向。 利用直长地物（如 直长的铁路、公路的路 段、河渠等）标定地图， 应在地图上找到这段地 物，对照两侧地形使地 形与实地的关系位置概 略相符；再转动地图， 使地图直长地物符号与 实地直长地物的方向一 致，地图即标定。 （二）利用直长地物定向 利用明显地形点标定利用明显地形点标定 先确定站立点在图上的位置，再选定远方一个实地先确定站立点在图上的位置，再选定远方一个实地 和地图上都有的明显地形点（如山顶、独立物等），将和地图上都有的明显地形点（如山顶、独立物等），将 直尺边切于图上的站立点和该地形点上，转动地图，通直尺边切于