湘教版数学八年级上册11分式的概念和分式的基本性质

1、本课内容本节内容 1.1 分分 式式 动脑筋动脑筋 1.（1） 某长方形画的面积为某长方形画的面积为S m2，长为，长为8m， 则它的宽为则它的宽为_m； 8 S （2）某长方形画的面积为某长方形画的面积为S m2，长为，长为x m， 则它的宽为则它的宽为_m； S x 2. 如果两块面积分别为如果两块面积分别为x公顷，公顷，y公顷的稻田，公顷的稻田， 分别产稻谷分别产稻谷akg，bkg，那么这两块稻田，那么这两块稻田， 平均每公顷产稻谷平均每公顷产稻谷_kg. a+b x+ y 代数式代数式 有什么共同点有什么共同点？ aSa+b xx x+ y , 说一说说一说 我们已经知道，一个整数我们

2、已经知道，一个整数m 除以一个非零整数除以一个非零整数n， 所得的商记作所得的商记作 ， 称称 为分数为分数. m n m n 类似地，一个多项式类似地，一个多项式f 除以一个非零除以一个非零整整式式g（g 中含中含 有字母）有字母），所得的商记作，所得的商记作 ，把代数式，把代数式 叫作叫作分式分式， 其中其中f是分式的分子，是分式的分子，g是分式的分母，是分式的分母，g0. f g f g 例如：例如： ， ， ， 都是分式都是分式. . a x S x a+b x+ y 举举 例例 例例1当当x取什么值时，分式取什么值时，分式 的值的值 （1）不存在；不存在； （2）等于等于0？ 2 2

3、3 x x - - - - 解解 （1）当当2x- -3=0，即时，即时， 3 2 x= 3 20 2 - - 分子的值，分子的值， 3 2 x= 因此当时，因此当时， 分式的值不存在分式的值不存在. （2）当当 x - -2=0， 即即 x=2 时，时， 2 23 x x - - - - 0 0 2 2 3 = - - 分式分式 的值为的值为 例例2 求求下列条件下下列条件下分式分式 的值的值. （1）x = 3；（2）x=- -0.4. 5 +6 x x - - 解解 （1）当）当 x = 3 时，时， 53 52 63 69 x = = x+ - - -； （2）当）当x= - -0.4

4、时，时， 50.4 55.427 60.4 65.628 x = = x+ - - - - - . . 举举 例例 练习练习 1. 填空填空： （1）某村有）某村有m个人，耕地面积约为个人，耕地面积约为50公顷，公顷， 则该村的人均耕地面积约为则该村的人均耕地面积约为_公顷；公顷； （2）某工厂接到加工）某工厂接到加工m个零件的订单，原计划个零件的订单，原计划 每天加工每天加工a个，由于技术改革，实际每天多个，由于技术改革，实际每天多 加工加工b个，则个，则_天可以完成任务天可以完成任务. 50 m m a+b 2. 已知分式已知分式 ，当，当x取什么值时，分式的值取什么值时，分式的值 （1）

5、不存在；不存在； （2）等于等于0？ +3 45 x x- - 解解 （1）当当4x- -5=0，即时，即时， 5 4 x= 分子的值分子的值 ， 5 4 x= 因此当时，因此当时， 分式的值不存在分式的值不存在. 0+3x （2）当当 x + +3=0， 即即 x=- -3 时，时， 分式分式 的值为的值为0.0. +3 45 x x- - 3. 填表：填表： x- -3- -2- -10123 3 2 x x- - 1-2-10 1 - 5 1 - 3 2 - 7 说一说说一说 填空，并说一说下列等式从左到右变化的依据填空，并说一说下列等式从左到右变化的依据. （1） ； 36 = 412

6、 （ ） （ ） 分数的分子、分母都分数的分子、分母都 乘同一个不为乘同一个不为0的数，分的数，分 数的值不变数的值不变. （2） . 63 = 183 （ ） （ ） 8 9 9 1 与分数类似，分式有以下基本性质：与分数类似，分式有以下基本性质： 分式的分子与分母都乘同一个非零分式的分子与分母都乘同一个非零 整式，所得分式与原分式相等整式，所得分式与原分式相等. 即对于分式即对于分式 ，有，有 f g 0 f f h = h g g h ( ( ) ) 公式公式从左到右看表明：分式的分子与分从左到右看表明：分式的分子与分 母都乘同一个非零多项式，所得分式与原分式母都乘同一个非零多项式，所得

7、分式与原分式 相等相等. 公式公式从右到左看表明：分式的分子与分从右到左看表明：分式的分子与分 母都除以它们的一个公因式，所得分式与原分母都除以它们的一个公因式，所得分式与原分 式相等式相等. 0 f f h = h g g h ( ( ) ) 下列等式是否成立下列等式是否成立？为什么为什么？ 议一议议一议 - - ffff = = gggg , ., . 举举 例例 例例3根据分式的基本性质填空：根据分式的基本性质填空： （1） ； （2） ； （3） . . 2 1 = - - - -aaa （ ） = x yxy （ ） 2 55 = 3 x xx（ （ ） - - 分析分析 （1）因为

8、）因为 的分母的分母- -a乘乘- -1就能化为就能化为a， 根据分式的基本性质，根据分式的基本性质， 分子也需乘分子也需乘- -1， 这样所得分式才与原分式相等这样所得分式才与原分式相等. 2 1 a a - - - - （1） ； 2 1 = - - - -aaa （ ） （2）因为）因为 的分母的分母y乘乘x就能化为就能化为xy， 根据分式的基本性质，根据分式的基本性质， 分子也需乘分子也需乘x， 这样所得分式才与原分式相等这样所得分式才与原分式相等. x y （2）= x yxy （ ） （3）因为）因为 的分子的分子5x除以除以x就能化为就能化为5， 根据分式的基本性质，根据分式的基

9、本性质， 分母也需除以分母也需除以x， 这样所得分式才与原分式相等这样所得分式才与原分式相等. 2 5 3- - x xx （3） 2 55 = 3 x xx（ （ ） - - 所以括号中应填所以括号中应填 a2- -1. 解解 （1）因为因为 ， 22 11 = - - -a a aa （2）因为因为 ， 2 = x x yxy 所以括号中应填所以括号中应填 x2. （3）因为因为 ， 2 55 = 3 3 x x xx - - - - 所以括号中应填所以括号中应填 x- -3. 像像例例3（3）这样，根据分式的基本性质）这样，根据分式的基本性质 （3） 2 55 = 3 x xx（ （ ）

10、 - -x - -3 把一个分式的分子与分母的公因式约去（即把一个分式的分子与分母的公因式约去（即 分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的分子与分母都除以它们的公因式），叫作分式的 约分约分. 像这样，分子与分母没有公因式的分式叫作像这样，分子与分母没有公因式的分式叫作 最简分式最简分式. 分式分式 经过约分后得到经过约分后得到 ，其分，其分 子与分母没有公因式子与分母没有公因式. 2 5 3 x xx- - 5 3x- - 举举 例例 例例4约分：约分： （1） ； （2） . . 3 2 24 4 ab ab 2 2 2 4 +4 aa aa - - - - 分析分析 约分的前提是要先

11、找出分子与分母的公因式约分的前提是要先找出分子与分母的公因式. 解解 （1） 3 2 24 4 ab ab （2） 2 2 2 4 +4 aa aa - - - - 2 2 46 = 4 abb ab .=6b 2 2 = 2 a a a ()() ()() - - - - .= 2 a a- - 先分解因式，找先分解因式，找 出分子与分母的公因出分子与分母的公因 式，再约分式，再约分. . 约分一般是将一个分式化成最简分式约分一般是将一个分式化成最简分式. 约分可以使求分式的值比较简便约分可以使求分式的值比较简便. 举举 例例 例例5先约分，再求值先约分，再求值： ， 其中其中x = 5，

12、y= 3. 22 22 2xxy+ y xy - - - - 22 22 2xxy+ y xy - - 解解 - - 当当x=5， y=3时，时， 2 = + ()() ()()()() x y xyx y - - - - =. + x y xy - - x y x+ y - - 5 3 = 5+3 - - 2 = 8 1 = . 4 练习练习 1. 填空填空： 2 2 2 211 1 = 2 = 6 221 3 = 4 = +122 2 +22 5 = +11 ； ； ( )()( )() ( )( )( )( ) ()( )()( ) ()()()() ( )( ) ()() ()() (

13、 ()() ( x yxxx y x yx xxyx x xx - - - - - - - 22 6 = ；. . ()() ()() )( ) )( ) x x yx xy - - - - x2- -62xy2 x2- -1 y x- -1x+ +y 2. 约分约分： 23 32 2 22 18 1 12 8 2 6 5 3 +10 +25 + 4 + ； ； ； . . ( )( ) ()() ()() ()() ()() ()() ()() a b a b x x y y y x xy+ x yy a bc a b+c - - - - - - 3 2 b a 4 3 x y - - +5

14、 x y +a b c- - 3. 先约分，再求值：先约分，再求值： , ,其中其中x=2，y= 3. 22 2xxy+ y y x - - - - 222 2 = ()() ()() xxy+ yx y y x y x x y - - 解解 - - - - - - - - - - 当当x=2， y=3时，时， y- -x = 3- -2 =1. . 中考中考 试题试题 例例1 若分式若分式 的值存在，则的值存在，则x的取值范围是（的取值范围是（ ）. A.x1 B.x1 C.x=1 D.x1 2 1- -x A 解析解析 要使分式要使分式 的值存在，分母不能的值存在，分母不能 为为0，所以，

15、所以x- -10，x1, ,故选故选A. . 2 1- -x 中考中考 试题试题 例例2 若分式若分式 的值为零，则的值为零，则x的值等于的值等于 . 1 1 - - - - x x 解析解析 由题意得：由题意得： x =- -1. 1=0 10 - - - - x x ， . . - -1 中考中考 试题试题 例例3 当当x= 时，分式时，分式 的值不存在的值不存在. 3 21- -x 解析解析 当分母当分母2x- -1=0， 即即 时，分式的值不存在时，分式的值不存在. 1 = 2 x 1 2 结结 束束 2. 已知分式已知分式 ，当，当x取什么值时，分式的值取什么值时，分式的值 （1）不

16、存在；不存在； （2）等于等于0？ +3 45 x x- - 分析分析 （1）因为）因为 的分母的分母- -a乘乘- -1就能化为就能化为a， 根据分式的基本性质，根据分式的基本性质， 分子也需乘分子也需乘- -1， 这样所得分式才与原分式相等这样所得分式才与原分式相等. 2 1 a a - - - - （1） ； 2 1 = - - - -aaa （ ） （2）因为）因为 的分母的分母y乘乘x就能化为就能化为xy， 根据分式的基本性质，根据分式的基本性质， 分子也需乘分子也需乘x， 这样所得分式才与原分式相等这样所得分式才与原分式相等. x y （2）= x yxy （ ） 举举 例例 例例4约分：约分： （1） ； （2） . . 3 2 24 4 ab ab 2 2 2 4 +4 aa aa - - - - 分析分析 约分的前提是要先找出分子与分母的公因式约分的前提是要先找出分子与分母的公因式. 3. 先约分，再求值：先约分，再求值： , ,其中其中x=2，y= 3. 22 2xxy+ y y x - - - - 222 2 = ()() ()() xxy+ yx y y x y x x y - - 解解 - - - - - -