齿轮啮合原理-第四章

1、LOGO 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 小组成员小组成员： 谭谭 惠惠 文文 张张 军军 王王 成成 非非 罗罗 彩彩 煌煌 平面曲线平面曲线 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 目目 录录 平面曲线的基本要素平面曲线的基本要素 1 几种特别的平面曲线几种特别的平面曲线 2 平面曲线的相关应用平面曲线的相关应用 3 4 平面曲线平面曲线 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 1 平面曲线的基本要素平面曲线的基本要素 1.1 平面曲线的三种表示形式平面曲线的三种表示形式 1.2 平面曲线的切线平面曲线的切线 1.3 平面曲线的法线平面曲线的法线 1.4 平面曲

2、线的曲率平面曲线的曲率 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 1.1 平面曲线的三种表示形式平面曲线的三种表示形式 ( , )0F x y ( )yf x1）函数方程：函数方程：（显函数曲线）（显函数曲线） 2）二元方程：二元方程：（隐函数曲线）（隐函数曲线） 3）参数方程：参数方程：( ),( )xx tyy t（参数曲线）（参数曲线） 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 1.2 平面曲线的切线平面曲线的切线 曲线的切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线，曲线的切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线， 更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线更准确地说，当切

3、线经过曲线上的某点（即切点）时，切线 的方向与曲线上该点的运动方向是相同的。的方向与曲线上该点的运动方向是相同的。 曲线曲线C 切点切点P 切线切线 已知：平面曲线的方程式已知：平面曲线的方程式 和和P点的坐标点的坐标 ( , )0F x y 00 ,x y 则：平面曲线的切线为：则：平面曲线的切线为： 00 00 00 , , x y F x y yyxx Fx y 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 1.3 平面曲线的法线平面曲线的法线 曲线的法线是垂直于曲线上一点的切线的直线，曲面曲线的法线是垂直于曲线上一点的切线的直线，曲面 上某一点的法线指的是经过这一点并且与该点切平面垂直的

4、上某一点的法线指的是经过这一点并且与该点切平面垂直的 那条直线（即向量）。那条直线（即向量）。 曲线曲线C 切点切点P 切线切线 法线法线 已知：平面曲线的方程式已知：平面曲线的方程式 和和P点的坐标点的坐标 ( , )0F x y 00 ,x y 则：平面曲线的法线为：则：平面曲线的法线为： 0 0 0000 , yx xxyy FxyFxy 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 1.4 平面曲线的曲率平面曲线的曲率 用矢量函数用矢量函数 ， 表示的曲线，式中表示的曲线，式中s是曲线的弧长。是曲线的弧长。 曲线上分别与曲线上分别与s和（和（s+ ）对应的两个相邻的点）对应的两个相邻的点

5、M和和N。 而而 是点是点M和和N处的两条切线之间的夹角。当点处的两条切线之间的夹角。当点N趋近于点趋近于点M时，时， 比值比值 的极限称为曲线在点的极限称为曲线在点M处的曲率。处的曲率。 2 r sC sE s s 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 2 几种特殊的平面曲线几种特殊的平面曲线 2.1 笛卡尔叶形线笛卡尔叶形线 2.2 心脏线心脏线 2.3 圆内摆圆内摆线线 2.4 阿基米德螺旋线阿基米德螺旋线 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 2.1 笛卡尔叶形线笛卡尔叶形线 方程式：方程式： 33 3xyaxy 渐近线：渐近线： 0 xya 圈套的面积：圈套的面积： 2

6、1 3 2 a S 曲线与渐近线之间的面积：曲线与渐近线之间的面积： 2 2 3 2 a S 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 2.2 心脏线心脏线 方程式：方程式： 极值点：极值点： 2 222222 2xyax xya y 它是使它是使OM = OP a的点的点M的轨迹（的轨迹（a为圆的直径，为圆的直径，P 为圆周上的一点）。它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆为圆周上的一点）。它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆 的直径相等）的直径相等） 33 3 , 44 C Daa 二重切线的切点：二重切线的切点： 33 , 44 E Fa 曲线长：曲线长： L L = 8 = 8a a 齿轮啮合

7、原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 2.3 圆内摆线圆内摆线 方程式：方程式： 曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周 上一点上一点M所描成的轨迹。所描成的轨迹。 全曲线长：全曲线长：L = 6a 曲线所围成的面积：曲线所围成的面积： coscos sinsin ab xabtbt b ab yabtbt b 3 3 8 Sa 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 2.4 阿基米德螺旋线阿基米德螺旋线 方程式：方程式： 曲线为一动点以常速沿一射线运动，而这一射线又以曲线为一动点以常速沿一射线运动，而这一射线又以 定角速度绕极点转动

8、时，该动点所描成的轨迹定角速度绕极点转动时，该动点所描成的轨迹.曲线由两曲线由两 支曲线组成，它们关于支曲线组成，它们关于x轴对称。轴对称。 弧长：弧长： a v a 2 1 2 OM a LArsh 曲率半径：曲率半径： 3 3 2 2 1 2 Ra 扇形扇形M M1 1OMOM2 2的面积：的面积： 2 33 21 6 a S 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 3 3、平面曲线相关应用、平面曲线相关应用 平面曲线本身是没有具体实物存在的，它只不过是我们为了平面曲线本身是没有具体实物存在的，它只不过是我们为了 理解事物，解决问题而抽象出来而又能代表问题，通过对曲理解事物，解决问题而

9、抽象出来而又能代表问题，通过对曲 线性质的理解和应用，从而解决问题。下面介绍几种常见的线性质的理解和应用，从而解决问题。下面介绍几种常见的 应用。应用。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 3.13.1齿轮传动中的应用齿轮传动中的应用 齿轮是各种机械设备中应用最为广泛的一种机械传动元件。齿轮是各种机械设备中应用最为广泛的一种机械传动元件。 齿轮传动水平的高低是衡量一个国家机械工业水平高低的重齿轮传动水平的高低是衡量一个国家机械工业水平高低的重 要标志。要标志。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 目前齿轮创新研究和发展的重点、难点集中在轮齿横截面目前齿轮创新研究和发展的重点、难

10、点集中在轮齿横截面 齿廓曲线形状上，齿轮齿廓形状是影响齿轮承载能力和使齿廓曲线形状上，齿轮齿廓形状是影响齿轮承载能力和使 用寿命的主要因素之一。用寿命的主要因素之一。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 渐开线齿廓渐开线齿廓自从二百多年前出现后，就一直在工程实践中自从二百多年前出现后，就一直在工程实践中 居于绝对的统治地位，目前渐开线仍是各种齿轮中最主要居于绝对的统治地位，目前渐开线仍是各种齿轮中最主要 的齿廓曲线形式。利用数学微分几何原理对渐开线曲线进的齿廓曲线形式。利用数学微分几何原理对渐开线曲线进 行行曲率分析曲率分析，求得渐开线各点处曲率中心的分布，可以简求得渐开线各点处曲率中

11、心的分布，可以简 化齿轮传动啮合运动机构分析化齿轮传动啮合运动机构分析。另外对渐开线曲线进行。另外对渐开线曲线进行曲曲 率分析率分析，是对，是对渐开线齿轮进行齿廓啮合分析、齿形创新设渐开线齿轮进行齿廓啮合分析、齿形创新设 计及齿廓修形加工新工艺开发的基础和前提计及齿廓修形加工新工艺开发的基础和前提，对齿轮传动，对齿轮传动 的创新研究和发展具有重要意义。的创新研究和发展具有重要意义。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 图中所示，对于特定的渐开线，其基圆半径为固定值，渐开图中所示，对于特定的渐开线，其基圆半径为固定值，渐开 线上各点处的压力角线上各点处的压力角 及曲率半径及曲率半径 可由

12、对应位置的极径可由对应位置的极径 根据理根据理 论公式计算求得。例如对于齿数为论公式计算求得。例如对于齿数为30、模数为、模数为2.0mm、分度圆、分度圆 压力角为压力角为20的渐开线标准齿轮，其基圆半径为的渐开线标准齿轮，其基圆半径为28.19mm，求，求 得压力角及曲率半径值沿渐开线齿廓的分布得压力角及曲率半径值沿渐开线齿廓的分布。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 3.2 3.2 凸轮轮廓的应用凸轮轮廓的应用 凸轮机构应用广泛。其最大优点是只要适当设计出凸轮的凸轮机构应用广泛。其最大优点是只要适当设计出凸轮的 轮廓曲线，就可以使推杆实现各种预期的复杂运动规律，轮廓曲线，就可以使

13、推杆实现各种预期的复杂运动规律， 而且响应快速，机构简单紧凑。而且响应快速，机构简单紧凑。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 设计方法有图解法、解析法。由于图解法难以满足对凸轮机设计方法有图解法、解析法。由于图解法难以满足对凸轮机 构精度的要求，现多采用构精度的要求，现多采用解析法解析法。用。用解析法设计凸轮轮廓曲解析法设计凸轮轮廓曲 线时需对该机构进行运动分析，列矢量方程表达式，建立方线时需对该机构进行运动分析，列矢量方程表达式，建立方 程，进行数值求解，得到推杆的运动学、动力学等规律程，进行数值求解，得到推杆的运动学、动力学等规律。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 如

14、图所示，为一通用凸轮如图所示，为一通用凸轮 曲线的各项运动规律曲线，曲线的各项运动规律曲线， 通过对推杆位移规律曲线通过对推杆位移规律曲线 S的分析处理，可以得到的分析处理，可以得到 速度速度V、加速度、加速度a、跃度、跃度J 等的参数变化规律从，从等的参数变化规律从，从 而获取凸轮的运动情况。而获取凸轮的运动情况。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 3.3 3.3 机械零件检测应用机械零件检测应用 机械零件自动检测是制造业中生产系统的一个重要环节，机械零件自动检测是制造业中生产系统的一个重要环节， 它从一定程度上决定了实现企业柔性制造自动化的进程，它从一定程度上决定了实现企业柔性制

15、造自动化的进程， 是制造业信息化的关键环节。是制造业信息化的关键环节。 一般认为，构成机械零件的基本元素是点、直线、圆、一般认为，构成机械零件的基本元素是点、直线、圆、 椭圆和曲线。当前运用计算机视觉技术对机械零件的检测椭圆和曲线。当前运用计算机视觉技术对机械零件的检测 和识别，绝大部分只是对零件的点、直线、圆和椭圆的研和识别，绝大部分只是对零件的点、直线、圆和椭圆的研 究，而其他形式的曲线的检测和识别研究却比较少。究，而其他形式的曲线的检测和识别研究却比较少。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 3.4 3.4 在道路设计中的应用在道路设计中的应用 公路平面设计主线通常采用导线法，即

16、先用导线标定线路走公路平面设计主线通常采用导线法，即先用导线标定线路走 廊带，然后采用直线、圆曲线和缓和曲线组合，将整个线路廊带，然后采用直线、圆曲线和缓和曲线组合，将整个线路 串连起来。匝道平面设计则先定出起点坐标和方位，然后根串连起来。匝道平面设计则先定出起点坐标和方位，然后根 据地形特点选择线形和设置线形参数分段向前推进。据地形特点选择线形和设置线形参数分段向前推进。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 道路设计通常在道路设计通常在同一线路坐标系同一线路坐标系中进行，道路平面曲线元中进行，道路平面曲线元 在线路坐标系中的快速定位、中桩测设坐标和道路中桩、在线路坐标系中的快速定位、

17、中桩测设坐标和道路中桩、 附属结构物施工放样坐标的准确计算是广大道路工程线路附属结构物施工放样坐标的准确计算是广大道路工程线路 设计人员、勘测人员以及道路施工放样人员十分关心的问设计人员、勘测人员以及道路施工放样人员十分关心的问 题，计算工具和测量仪器的改进使这些问题正朝着积极的题，计算工具和测量仪器的改进使这些问题正朝着积极的 方向发展。方向发展。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 3.5 3.5 齿轮啮合中常见的平面曲线齿轮啮合中常见的平面曲线 在啮合理论中常用到的平面曲线，除了直线和圆外还有在啮合理论中常用到的平面曲线，除了直线和圆外还有 以下几种常用曲线：以下几种常用曲线：

18、广义渐开线广义渐开线 广义摆线广义摆线 广义外摆线广义外摆线 广义内摆线广义内摆线 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 广义渐开线广义渐开线 在平面上，一条动直线在平面上，一条动直线( (发生线发生线) )沿沿 一个固定的圆一个固定的圆( (基圆基圆) )作纯滚动时，作纯滚动时， 与动直线固连的一点的轨迹称为渐与动直线固连的一点的轨迹称为渐 开线开线( (该点在发生线上该点在发生线上) )，或延伸渐，或延伸渐 开线开线( (该点与基圆圆心位于发生线的该点与基圆圆心位于发生线的 同侧同侧) )，或缩短渐开线，或缩短渐开线( (该点与基圆该点与基圆 圆心位于发生线的异侧圆心位于发生线的异侧

19、) )。在图中曲。在图中曲 线线C C1 1、C C2 2、C C3 3分别是渐开线、延伸渐分别是渐开线、延伸渐 开线和缩短渐开线。广义渐开线是开线和缩短渐开线。广义渐开线是 这三种曲线的总称。这三种曲线的总称。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 广义摆线广义摆线 在平面上，一个动圆在平面上，一个动圆( (发生圆发生圆) ) 沿一条固定的直线沿一条固定的直线( (基线基线) )作作 纯滚动时，与动圆固连的一纯滚动时，与动圆固连的一 点的轨迹称为摆线点的轨迹称为摆线( (该点在发该点在发 生圆上生圆上) )，或长幅摆线，或长幅摆线( (该点该点 在发生圆外在发生圆外) )，或短幅摆线，

20、或短幅摆线 ( (该点在发生圆内该点在发生圆内) )。图中曲。图中曲 线线C C1 1、C C2 2和和C C3 3分别是摆线、长分别是摆线、长 幅摆线和短幅摆线。广义摆幅摆线和短幅摆线。广义摆 线是这三种曲线的总称。线是这三种曲线的总称。 齿轮啮合原理齿轮啮合原理 平面曲线平面曲线 广义外摆线广义外摆线 在平面上，一个动圆在平面上，一个动圆( (发生圆发生圆) )沿一沿一 个固定的圆个固定的圆( (基圆基圆) )的外侧，作外切的外侧，作外切 或内切纯滚动时，与动圆固连的一或内切纯滚动时，与动圆固连的一 点的轨迹称为外摆线点的轨迹称为外摆线( (该点在发生圆该点在发生圆 上上) )，或长幅外摆线，或长幅外摆线( (该点与基圆圆该点与基圆圆 心位于发生圆的同侧心位于发生圆的同侧) )，或短幅外摆