第六章 梁的应力

1、1 第六章第六章 梁的应力梁的应力 学习要求：学习要求： 了解主应力的概念及强度理论；了解主应力的概念及强度理论； 掌握梁正应力及切应力的计算及其强度条件；掌握梁正应力及切应力的计算及其强度条件； 理解主应力迹线的概念。理解主应力迹线的概念。 2 6.1 6.1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 6.2 6.2 惯性矩的计算惯性矩的计算 6.36.3 弯曲正应力的强度计弯曲正应力的强度计算算 6.4 6.4 弯曲切应力及弯曲切应力及其强度计算其强度计算 6.5 6.5 提高梁的强度的主要措施提高梁的强度的主要措施 第六章第六章 梁的应力梁的应力 3 平面弯曲平面弯曲 纯弯曲纯弯曲 横力弯曲

2、横力弯曲 内力只有弯矩内力只有弯矩 内力有弯矩和剪力内力有弯矩和剪力 B 20kN20kN A 1m1m D 20kN20kN 1m C A B DC 2020 20 20 Q图图( (kNkN) ) A B DC 2020M图图( (kNkNm m) ) CDCD段段 CACA、DBDB段段 6.1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 4 假定：假定： a.平面假设平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，：变形前横截面是平面，变形后仍是平面， 只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。 b.中性层假设：中性层假设： 梁内存在一个纵向层，梁内存

3、在一个纵向层， 在变形时，该层的纵向在变形时，该层的纵向 纤维即不伸长也不缩短，纤维即不伸长也不缩短， 称为称为中性轴中性轴。 纯弯曲梁和横截面上的正应力纯弯曲梁和横截面上的正应力 5 z y dA M 力矩平衡力矩平衡 y I M z M：横截面上的弯矩：横截面上的弯矩 y：所求正应力点处到中性轴的距离：所求正应力点处到中性轴的距离 Iz：截面对中性轴的惯性矩：截面对中性轴的惯性矩 z 6 等截面梁内的最大应力发生在弯矩最大的截面，等截面梁内的最大应力发生在弯矩最大的截面， 且是距中性层最远的地方。且是距中性层最远的地方。 有拉应力和压应力有拉应力和压应力 zz W M y I M max

4、max max max 宽宽b、高高h的矩形的矩形 2 6 1 bhWz 直径为直径为D的圆截面的圆截面 32 3 D Wz 轧制型钢（工字钢、槽钢等）的轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得从型钢表中查得 7 一一.惯性矩：惯性矩： 2 z A Iy dA z y dA z y r r O 为图形对为图形对z轴的轴的惯性矩惯性矩 6.2 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 dy b/2b/2 z y y h/2 h/2 C dA 3 /2 22 /2 d( d ) 12 h z Ah bh IyAy by （1）矩形截面）矩形截面 （2）圆截面）圆截面

5、4 64 z d I 8 二、平行移轴公式二、平行移轴公式 注意注意： zC轴是形心轴轴是形心轴 n i i 1 zz II 三、组合图形的惯性矩：三、组合图形的惯性矩： O z y C dA zC yC a b y z zC yC 2 z A Iy dA A 2 C C 2 A 2 C dA)yay2a(dA)ya( A 2 CA C A 2 dAydAya2dAa 2 C zz IIa A 2 0 C CCz AAA dAAy dAy dAI ， 9 例例9-1 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用作用 。试计算截面。试计算截面B-B的最大弯

6、曲拉应力与最大弯曲压应力。的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 解解： 1确定截面形心位置确定截面形心位置 选参考坐标系选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为如图示，将截面分解为I和和II两部分，形两部分，形 心心C的纵坐标为的纵坐标为: m045. 0 12. 002. 002. 012. 0 06. 002. 012. 002. 001. 002. 012. 0 c y 20 120 20 120 单位：单位： mm I II z z y C c y F mm400 B B 10 3 计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力 截面截面BB的弯矩为的弯矩为: mN60004 . 0 FM B 在截

7、面在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大 压应力，其值分别为：压应力，其值分别为： MPa5 .64Pa1045. 6 1084. 8 045. 002. 012. 06000 MPa5 .30Pa1005. 3 1084. 8 045. 06000 7 6- max, 7 6- max, c l 46 2 3 1 m1002. 301. 0045. 002. 012. 0 12 )02. 0(12. 0 z I 2计算截面惯性矩计算截面惯性矩 46 2 3 2 m1082. 5045. 008. 012. 002. 0 12 )12. 0(0

8、2. 0 z I 4-6-66 m108.84105.081002. 3 z I 20 120 20 120 单位：单位： mm I II z z y C c y 0.045m c y 11 1 1强度校核强度校核 6.3 6.3 弯曲正应力的强度计算弯曲正应力的强度计算 max max z M W max max z M W 2 2截面设计截面设计 max M W 3. 3. 计算容许荷载计算容许荷载 maxz MW 12 例例1：图示矩形梁，材料的：图示矩形梁，材料的=170MPa，试对该梁作强，试对该梁作强 度校核。度校核。 2kN2kN A 2m B 1m 5kN5kN C 20 20

9、 z 20 单位：单位：mm 13 解：解： 2kN2kN A 2m B 1m 5kN5kN C (1) (1) 绘内力图绘内力图 AB和和BC段，斜直线段，斜直线 A B C M图图( (kNkNm m) ) MB=0 kNm 2 4 弯矩图弯矩图: MC=21=2 kNm MA=2352 =-4 kNm 0 14 mkNM 4 max (2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量 332 103354020 6 1 mm.Wz 20 20 z 20 2 6 1 bhWz (3)(3)强度校核强度校核 MPa W M z 750 1033. 5 104 3 6 max max MPa17

10、0 不安全不安全 15 (3)(3)讨论讨论 MPa750 max MPa170 bh=20mm=20mm40mm40mm时时 bh=20mm=20mm100mm100mm时时 342 1033310020 6 1 mm.Wz MPa W M z 120 1033. 3 104 4 6 max max MPa170 16 弯矩弯矩 产生产生 正应力正应力 剪力剪力 产生产生 切应力切应力 横力弯曲梁的横截面上横力弯曲梁的横截面上 6.4 6.4 梁内切应力、强度条件梁内切应力、强度条件 研究对象研究对象 (1) (1) 矩形梁截面矩形梁截面 (2) (2) 工字形梁截面工字形梁截面 (3) (

11、3) 圆形梁截面圆形梁截面 17 (1) (1) 矩形梁截面的切应力矩形梁截面的切应力 (1) (1) 截面上各点切应力截面上各点切应力 方向与方向与Q方向一致方向一致 假定：假定： (2) (2) 切应力沿截面宽度切应力沿截面宽度 方向均匀分布。方向均匀分布。 18 z y aa y b A* h/2 h/2 bI QS y z z * )( 切应力计算式切应力计算式 Q ：横截面上剪力：横截面上剪力 b：计算点处横截面宽度：计算点处横截面宽度 Iz:整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩 S* *z：面积矩：面积矩 19 z y aa y b A* h/2 在切割线以外的一块

12、被切割在切割线以外的一块被切割 面积面积A* *对中性轴的面积矩，不必对中性轴的面积矩，不必 考虑带负号考虑带负号 h/2 ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 2 * y hb y h by h yAS cz S* *z：面积矩：面积矩 20 z y aa y b A* h/2 h/2 bI QS y z z * )( 切应力计算式切应力计算式 3 12 z bh I ) 4 ( 2 2 2 * y hb S z 2 2 4 1 2 3 )( h y bh Q y 21 2 2 4 1 2 3 )( h y bh Q y (1)(1)沿高度方向抛物线分布沿高度方向抛物线分布 (

13、2)(2)梁上下表面处梁上下表面处切应力切应力为零为零 结论结论: : (3)(3)y=0=0时，时，切应力切应力值最大值最大 max 3 2 Q A 22 (2) (2) 工字型截面梁的切应力工字型截面梁的切应力 主要考虑工字型截面梁主要考虑工字型截面梁 腹板上的切应力计算。腹板上的切应力计算。 * z z QS I d 切应力计算式切应力计算式 d : :腹板宽度腹板宽度 A* 23 (1)(1)沿腹板高度方向抛物线分布沿腹板高度方向抛物线分布 (2)(2)腹板上下边处腹板上下边处切应力切应力最小最小 结论结论: : (3)(3)y=0=0时，时，切应力切应力值最大值最大 * z z QS

14、 I d 24 (3) (3) 圆形截面梁的切应力圆形截面梁的切应力 实心圆截面：实心圆截面： 最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上 max 4 3 Q A 空心圆环：空心圆环： z max 2 Q A max max 25 例例1 1 图示矩形梁，求图示矩形梁，求C C左 左截面上 截面上a、b、c三点处的切应力三点处的切应力 20kN20kN A 2m B 1m 35kN35kN C 150 150 z 150 单位：单位：mmmm a c b 80 分析：分析： (1)(1)确定指定截面上的剪力确定指定截面上的剪力 bI QS z z * (2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何

15、参量 26 20kN20kN A 2m B 1m 35kN35kN C (1)(1)确定指定截面上的剪力绘剪力图法确定指定截面上的剪力绘剪力图法 A B AC和和BC段，水平线段，水平线 Q图图( (kNkN) ) QB=- -20kN 20kN20kN A 35kN35kN QA QA=35- -20=15kN 20 15 C 27 (2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量 150 150 z 150 单位：单位：mmmm a c b 80 384 1 150 3003 38 10 12 z I.mm * zc SA y 12 3 bh I z 3 * * 00mmAS iza 36

16、* 1021. 1 2 80150 8015080150mmS zb C C点直接用切应力计算公式点直接用切应力计算公式 28 (3) (3) 计算切应力计算切应力 QC左 左=15kN bI QS z z * 48 10383mm.I z 0 a 150 150 z 150 a c b 80 MPa A Q c 33. 0 300150 1015 5 . 15 . 1 3 MPa bI QS z z b 36. 0 1501038. 3 1021. 11015 8 63* 36 10211mm.S * zb 29 例例2 2 图示梁。求梁的最大正应力、最大切应力图示梁。求梁的最大正应力、最大

17、切应力 (1)(1)采用矩形截面采用矩形截面 bh=200mm=200mm500mm500mm (2)(2)采用圆形截面采用圆形截面 D=400mm=400mm (3)(3)采用采用I56a56a型钢型钢 150kN150kN A 5m B 5m C 30 分析：分析： (1)绘制梁的内力绘制梁的内力确定确定Mmax和和Qmax bI SQ z z * max max (2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量 z W M max max 31 解：解： 150kN150kN A 5m B 5m C VA VB HA (1)(1)求支座反力求支座反力 HA=0VB=75kNVA=75kN

18、 力的平衡条件力的平衡条件 32 (2)(2)绘制梁的内力图绘制梁的内力图150kN150kN A 5m B 5m C7575 Q图图( (kNkN) ) M图图( (kNkNm m) ) 7575 375375 A C B A C B QB=-75 7575 MC=150*10/4=375 MB=0 MA=0 QA=75 0 00 0 33 (3)(3)矩形矩形 bh=200mm=200mm500mm500mm A Q 1.5max z W M max max 36 22 10338 6 500200 6 mm. bh Wz 45.02MPa 1033. 8 10375 6 6 max ma

19、x z W M Mmax=375kNm MPa A Q 13. 1 500200 1075 5 . 15 . 1 3 max max Qmax=75kN 34 (4)(4)圆形截面圆形截面 D=400mm=400mm 3A 4Q max z W M max max 36 33 10286 32 400 32 mm. D Wz MPa71. 95 1028. 6 10375 6 6 max max z W M Mmax=375kNm MPa8 . 0 /4D3 10754 3A 4Q 2 max max 3 Qmax=75kN 35 (5)(5)采用采用I56a56a型钢型钢 Mmax=375k

20、Nm Qmax=75kN 参数查型钢表参数查型钢表 33 10342cm.Wzcm.b251 cmSI zz 73.47/ * max MPa26.160 101034. 2 10375 33 6 max max z W M MPa. .bI SQ z * z 5712 10251107347 1075 3 maxmax max 36 提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施 弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件： max max z W M 在在 一定时，提高弯曲强度的主要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径： max ,MWz （一）选择合理截面（一）选择合理截面 （1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。 1. 根据应力分布的规律选择根据应力分布的规律选择 z 6.5 提高梁的强度的主要措施提高梁的强度的主要措施 37 （2 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。）为降低重量，可在中性轴附近开孔。 38 2. 根据材料特性选择根据材料特性选择 塑性材料：塑性材料：, 宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。 脆性材料：脆性材料：, 宜采用中性轴为非对称轴的截面，宜采用中性轴为非对