索洛增长模型

1、索洛增长模型 高伟 中央财经大学经济学院 问题的引出 v自1950年以来，美国的储蓄率(即储蓄占GDP的比 例)仅为18.7左右，而德国为24.8，日本为33.8 。这一事实能否解释美国同大多数OECD国家相 比增长率低的原因？储蓄率储蓄率不断上升能否带来经济 的长期持续增长？ 预备知识：技术进步的类型 vY=F(K,AL)（哈罗德型，劳动增进型） vY=F(AK,L)（索洛型，资本增进型） vY=AF(K,L)（希克斯型，同等密集型） 新古典经济增长模型的提出新古典经济增长模型的提出 v由美国经济学家R Solow(索洛)和TSwan(斯旺)提 出,即Solow- Swan Model v模

2、型认为:H-D模型所指出的经济增长途径是很难实 现的(即GA=Gw=Gn) v他们把H-D模型提出的经济增长途径称为“刃锋”。 vSolow模型就是要通过改变资本-产量比来解决这一 “刃锋”，并且考虑技术进步对经济增长的作用。 索洛模型 （一）模型的基本假定 （二）模型的动态学 （三）参数变化的影响 （四）收敛问题 （五）模型的主要结论 （一）模型的基本假定 1.关于生产函数的假定 v产量取决于三个变量：资本、劳动、知识； vA和L以相乘形式影响Y ：劳动力 ：知识水平； ：资本存量； tL tA tK tLtAtKFtY, （一）模型的基本假定 v规模报酬不变 v这意味着： a 经济规模足够

3、大（专业化收益已被穷尽）； b 其他因素，如自然资源等不重要。 0c LKcFcLcKF, （一）模型的基本假定 v根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集 形式： v其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL，有 效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=ALf(k) 资本量。为单位有效劳动的平均 产量；为单位有效劳动的平均 k y kfy ALKF ALAL K F , 1 1 , （一）模型的基本假定 v进一步假设： 0lim lim )( 0 0 0 kf kf Inada kf kf k k 条件：满足稻田 边际报酬递减 保证经济增长路径不发散 （一）模型的基本假定 k f(k

4、) 新古典生产函数新古典生产函数新古典增长理论新古典增长理论 v第一，每种投入的边际产品为正且递减。第一，每种投入的边际产品为正且递减。 v第二，规模报酬不变。第二，规模报酬不变。 v第三，稻田条件：第三，稻田条件： 00 limlim limlim0 KL KL KL KL FF FF 满足这满足这三个三个条件的条件的 生产函数被称为生产函数被称为新新 古典生产函数古典生产函数。 因此，索洛增长模因此，索洛增长模 型又被称为型又被称为新古典新古典 增长模型增长模型。 （一）模型的基本假定 v通常使用CD生产函数（索洛）： 10 10 0 A KALQ 1替代弹性： ：决定规模报酬性质； ：资

5、本的产出弹性； ：劳动的产出弹性； （一）模型的基本假定 v满足索洛模型的CD函 数形式为： 1 (,)(); (,1);01 ( )0,( )0 tttt YF K ALKAL YK yFk ALAL fkfk （一）模型的基本假定 2.关于投入品的假设 资本、劳动、知识的初始水平既定，劳动、 知识以不变速度（外生）增长： gt nt eAtA eLtL tgAtA tnLtL 0 0 则可得到： 指数增长 v假设时间t是连续的（非离散的） v（1）劳动力的增长： v（2）知识的增长： v其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为 外生参数，表示不变增长速度 ntLdttdLtLtL )(/

6、/ )()(/ )( gtAdttdAtAtA )(/ / )()(/ )( 有效劳动的增长 v劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增 长，其增长率为： ng tL tL tA tA tLtA tLtAtLtA tLtA dttLtAd )( )( )( )( )()( )()()()( )()( )()( （一）模型的基本假定 v资本的增长（投资）： ：折旧率（外生）。 ：储蓄率（外生）； s tKtsYtK 索洛经济 v经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L和知识A 是生产的三大要素（其他要素都可以忽略），经济在任何时 刻都处于充分就业的均衡状态，储蓄总是等于投资； v生产的规模报

7、酬不变； v技术进步表现为劳动效率的提高，即技术进步属于哈罗德型 （劳动密集型）； v生产函数的集约形式满足新古典假设； v人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数， 人口和知识呈指数增长。 （二）模型的动态学 vk的动态变化 tkgntksf gtkntk tLtA tKtsY tA tA tLtA tK tL tL tLtA tK tLtA tK tAtLtLtA tLtA tK tLtA tK dt tLtAtKd dt dk tk 2 （二）模型的动态学 v索洛模型的核心公式： v单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之 差： ：单位有效劳动的平均投资 ：持平投资持平投资，使

8、k保持现有水平所 必需的投资 tkgntksftk ksf tkgn 经济解释 k k(t)=sf(k(t)-(n+g+ )k(t) 是索洛模型的基本微分方程， 它表明k(t)是 的方程。 含义说明：人均实际投资sf(k(t) 用于两个方面：一是“资本的深化”， 即k(t)，二是“资本的广化”（持平投资）， 即（n+g+ ）k(t)。 （二）模型的动态学 k 每每单单位位有有效效劳劳动动 平平均均投投资资 k* ksf tkgn （二）模型的动态学 vk的相图（三维空间在平面的投影） k )(tk k* k 稳 态 定义“稳态”：一种其中各种变量 都以不变速度增长的情况，即k(t)=0。 当s

9、f(k(t) (n+g+ )k(t)时，k(t) 0（资本存量增加） 当sf(k(t) (n+g+ )k(t)时，k(t) 0（资本存量减少） 当sf(k(t)(n+g+ )k(t)时，k(t)0 （实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*） 趋势定理 v在索洛经济中，只要起始时刻的有效人均资 本k=k(0)，那么就有 。 lim ( )* t k tk （二）模型的动态学：平衡增长路径平衡增长路径 vk=k*时各变量的变动： 增长；：以速率 增长；：以速率等于 按固定增长率增长； gnY gnALkK LA )( , （二）模型的动态学 vk=k*时各变量比例的变动： 增长。

10、：以速率 增长；：以速率 ：不变； gLK gLY KY / / / 证明 vK的增长率： )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( gn tK tK tA tA tL tL tK tK tk tk Y的增长率 规模报酬不变之假设。这一假设说明了总产出是按 照资本和有效劳动的边际生产力来分配的： v其中 是资本的边际生产力， 是有效劳动的边际 生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率 在增长，所以， 。 LAFKFY ALK K F AL F gn )()()(tKgntK )()()()( )(tLtAgntLA ， Y的增长率 v从以上可推导： v总产出的增长率也是

11、 gn tY gntY tY gntLtAFtKF tY tLAFtKF tY tY ALKALK )( )( )( )()()( )( )( )()( )( )( gn 人均产出增长率 v人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长。 v注意区分人均产出与人均有效劳动产出。 )( )( )( )( )( )()( )( )( )( )( )( )( )( )( tL tY gn tL tY tL tYgn tL tL tL tY tL tY tL tY dt d 平衡增长路径 在索洛模型中，无论从任何一点出发，在索洛模型中，无论从任何一点出发， 经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径经济向平衡增

12、长路径收敛，在平衡增长路径 上，每个变量的增长率都是常数，且是外生上，每个变量的增长率都是常数，且是外生 决定的。特别是，在该路径上，人均产出的决定的。特别是，在该路径上，人均产出的 增长率仅取决于技术进步率。增长率仅取决于技术进步率。 变量含义平衡增长速度备注证明 K资本存量n+gk=K/AL 绝L劳动力n 对A知识或技术g 量AL 有效劳动n+g Y 总产出 n+g F(cK,cAL)=cF(K,AL) C总消费n+gC=(1-s)Y k(K/AL) 有效劳动的平均资本 0 K/L人均资本g 相 y(Y/AL) 有效劳动的人均产出 0 y=f(k)=Y/AL 对Y/L人均产出g 量 c(C

13、/AL) 有效劳动的人均消费 0 c=(1-s)f(k) C/L人均消费g K/Y资本产出比0 大道定理 v在索洛经济中，存在惟一的一条稳态增长道路。不 论经济从哪种初始资本水平启动，经济总是朝着这 条稳态增长道路不断靠近。一旦在某个时刻登上这 条道路，那么从这个时刻开始，经济中的有效人均 资本水平、有效人均产出水平和资本的边际收益都 将永远保持不变，总产出、总资本和有效劳动将以 同样的增长率保持稳定增长，人均产出将与技术进 步（知识）以同样的增长率保持稳定增长。 （三）参数变化的影响 v索洛模型中，主要参数有： v政策最有可能影响的是储蓄率 sgn, （三）参数变化的影响 1.储蓄率增加的影

14、响方向分析（定性）； 2.储蓄率增加的影响程度分析（定量）； 3.最优储蓄率资本的黄金规则水平。 1.储蓄率增加的影响方向分析 k y kgn)( )(kfsold )(kfsnew old k new k o ld y n ew y 1.储蓄率增加的影响方向分析 v如果两个国家除了储蓄率外，其他一切都相 同，则储蓄率高国家的收入水平会永远高于 储蓄率低国家，差距为： * 1 * 2 * 1 * 2 1 2 kf kf kALf kALf Y Y 1.储蓄率增加的影响方向分析 t t0 s t t0 k,y 1.储蓄率增加的影响方向分析 t t0 lnK lnY 1.储蓄率增加的影响方向分析

15、t t0 ln（Y/L） t t0 Y/L 的的增长率增长率 1.储蓄率增加的影响方向分析 t t0 Y/K 1.储蓄率增加的影响方向分析 v储蓄率的一个永久增加： 导致k在一定时期上升，保持在一个较高水平； 在短期内会改变Y、K的增长率，长期无影响； 造成Y/L增长率的暂时性增长； 储蓄率的变化有水平效应水平效应（Level Effect），但没有 增长效应（增长效应（Growth Effect） ，在该模型中只有技术 进步率有增长效应。 1.储蓄率增加的影响方向分析 v对消费的影响（c为每单位有效劳动的平均消 费） t t0 c 2.储蓄率增加的影响程度分析 v对单位有效劳动平均产量的影响

16、 * * * * * * * * * * * , 0 , kf sgn kf s k s k gnkf s k kf s gnskgngnsksf kkk s gnsk kf s y kfy 满足：来决定的，因此是 2.储蓄率增加的影响程度分析 * * * * * * * * * * * * /1 / / / kfkfk kfkfk kfkfkgngnkf kfkgn s kf sgn kfkf kf s s y y s ys kf sgn kfkf s y 替换掉：将 ：同乘以 2.储蓄率增加的影响程度分析 * /kfkfk * * * * 1k k s y y s kkk K K K 为处

17、的资本产出弹性，记 2.储蓄率增加的影响程度分析 v如何估计 ： 在平衡增长路径上，资本获得的总收入（完 全竞争市场假设）： 所以 可以用资本收入占总收入的比重来 估计 * k K * kfk * k K 完全竞争市场假设 * * * * = () = () () = () fk fkk fkk f k 单位资本报酬， 所以总资本报酬 资本报酬占总产出的比例 案例：储蓄率增加的影响程度分析 v中国1997年劳动报酬占净增加值的比重为 0.6353，所以： 资本收入/净增加值=0.3647 v所以，人均产量对储蓄的弹性： 5742. 0 * * s y y s 案例：储蓄率增加的影响程度分析 v

18、储蓄率增加10%（从30%到33%），则单位 有效劳动的平均产出增加5.742%； v增加50%，则单位有效劳动的平均产出增加 28.71%； v影响幅度并不大 总结：在长期内对产出的影响总结：在长期内对产出的影响 *)(*kfy s k kf s k k kf s y * *)( * * *)(* *)(1 *)(* k k y s s y K K *)( *)(* *)( * kf kfk Y K K Y k kkK 稳态时，人均资本和人均产出不变稳态时，人均资本和人均产出不变 储蓄率变化储蓄率变化 对产出的长对产出的长 期影响期影响 变化得到产出变化得到产出 的储蓄率弹性的储蓄率弹性 产

19、出的资产出的资 本弹性本弹性 产出的资本弹性等于资本收入在总收入产出的资本弹性等于资本收入在总收入 中所占的份额。中所占的份额。 在多数国家，在多数国家， 支付给资本支付给资本 的收入份额的收入份额 约为约为1/31/3。则。则 产出的储蓄产出的储蓄 率弹性约为率弹性约为 0.50.5。 因此，储蓄因此，储蓄 的显著变化的显著变化 只会对平衡只会对平衡 路径上的产路径上的产 出产生中度出产生中度 的影响。的影响。 3.最优储蓄率资本的黄金规则水平 v储蓄率越高，人均收入水平会越高 v收入的目的毕竟是消费，收入本身不是最终 目的 v从消费最大化角度来确定一个最优储蓄率， 相对应的人均资本，就是资

20、本的黄金规则水 平 3.最优储蓄率资本的黄金规则水平 v在稳态下，消费等于： s gnsk gnkf s c gnkf k c kgnkfc , * * * * * * * 定性分析 *( , , , )* 0 ( *( , , , )() * *( *( , , , )()0 * *( *( , , , )()0 gold gold ks n gc ss fks n gng c kkfks n gng s c kkfks n gng s ，因此的符号取决于 与的大小。 当， 当， 3.最优储蓄率资本的黄金规则水平 * kf k * 稳稳 态态 人人 均均 产产 量量 * kgn 3.最优储蓄

21、率资本的黄金规则水平 v消费最大，也即资本黄金规则的条件： v也即： gnkf * gnkf 3.最优储蓄率资本的黄金规则水平 f (k) E g c y 0 k k g k i=sgf(k) i=s1f(k) i=s2f(k) k2* c2* c1* k1* 3.最优储蓄率资本的黄金规则水平 t t0 c 储蓄率提高，消费减少（储 蓄率高于黄金规则水平） 3.最优储蓄率资本的黄金规则水平 t t0 c 储蓄率降低，消费增加（储 蓄率高于黄金规则水平） 3.最优储蓄率资本的黄金规则水平 t t0 c 储蓄率提高，消费增加（储 蓄率低于黄金规则水平） 3.最优储蓄率资本的黄金规则水平 t t0

22、c 储蓄率降低，消费降低（储 蓄率低于黄金规则水平） 黄金律和动态无效率黄金律和动态无效率 过 度 储 蓄 的过 度 储 蓄 的 经济被称为经济被称为 ，因为降低储，因为降低储 蓄率不仅提高了稳蓄率不仅提高了稳 态消费，也提高了态消费，也提高了 转移过程中的消费，转移过程中的消费， 即原来的人均消费即原来的人均消费 路径在所有时点都路径在所有时点都 位于另一条可行的位于另一条可行的 路径之下。路径之下。 k 0 (n+g+)k f(k) s1f(k) k1* c1* sgf(k) kg* cg* 动态无效率区域动态无效率区域 （四）收敛问题 v收敛速度 v绝对收敛与相对收敛 收敛速度的定性分析

23、 k/( )/() ( ( )() ( )( )0 ( ( )() ( )( )0 k k ksf kkng sf k tngk tk t sf k tngk tk t 定义 的增长率 当时，； 当时，； 结 论 v v这表明这表明k离离k*越远，其增长率（正或负）越大。越远，其增长率（正或负）越大。 ( )( )/0 k ksfkf kkk 其他变量的收敛速度 v可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动 态增长率与保持比例或线形关系，例如： kKky kfkkfkfkkfyy )(/ )( )(/)( / gn kK 结论（索洛模型的收敛性）结论（索洛模型的收敛性） v每个经济都收敛于其自身

24、的稳态，而且这一每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一 收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者 说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率 就越快。就越快。 “转型动态原理转型动态原理” v经济体低于稳态越多，将会增长越快；经济 体高于稳态越多，将会增长越慢。 绝对收敛与相对收敛 v对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同 质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛 的概念。 v绝对收敛：不同经济体； v相对收敛：同质经济体。 绝对收敛 v不同的经济体：穷国比富国增长快。 v绝对收敛假说。 ( )( )/0 k ksfkf kk

25、k 相对收敛 v一个经济离其自身的稳态值越远，增长就越快。 v相对收敛假说。 ( )( )/0 k ksfkf kkk 收敛速度：定量分析 v收敛速度： k以多快的速度趋近于k*。 gnk gn kf kfkgn gnkf s k kk kk k kk k kkkk kkk K kk kk 1 * * * * * * * * 作一阶泰勒级数近似：处，对在 2.储蓄率增加的影响程度分析 txtx gnk ktktx kkgnk kkgnk kk k kk k K K K kk 公式可以表示为： 定义 * * * * * 1 1 1 * 2.储蓄率增加的影响程度分析 x的增长路径： *1* 0 0

26、 * kkektk k extx tgnk t K 的形式：写成 2.储蓄率增加的影响程度分析 v 为变化的速率： v 估计为1/3； 估计为6% v所以，速率为4% gnk K * 1 * k K gn 2.储蓄率增加的影响程度分析 k和y每年向平衡结果移动剩余距离的4% 移动到一半需要18年；移动到3/4需要不到35 年； 如果储蓄率增加10%，1年后产出增加0.2% （总共能增加5%） v收敛速度是比较慢的 收敛速度总结收敛速度总结 每单位效率工每单位效率工 人资本变化：人资本变化： * ( ) () (*)(*) ()*(0)* (1)() k k kk t k sf kx nk kk

27、 kk k k tkkk e x n 围绕围绕k k* *的一阶的一阶 泰勒展开式：泰勒展开式： 上式的解析解上式的解析解 意味着意味着k k与稳与稳 态值态值k k* *之间的之间的 距离以距离以的速的速 度减少。度减少。 在稳态的邻域内，产出和资本具有相在稳态的邻域内，产出和资本具有相 同的增长速度。同的增长速度。 案例：日本和德国的增长奇迹： 验证了新古典增长理论？ 19481972人均产出年增长率： v日本：8.2 v德国：5.7 v美国：2.2 图 示 0 y k2 k1 k A2 A1 （n1+ ）k sf（k） 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 v资本的边际产出递减资本的边际

28、产出递减意味着有着更低人均意味着有着更低人均 资本的经济趋于在人均项上更快的增长。资本的经济趋于在人均项上更快的增长。 v绝对收敛绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，穷国有着更快的人均增长率， 因此穷国趋于追上富国。因此穷国趋于追上富国。 v条件收敛条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越一个经济离其自身的稳态值越 远，增长越快。远，增长越快。 v巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。 索洛模型总结 Solow-Swan模型：（1）核心方程 Solow-Swan模型： （2）经济稳态和“黄金律”下的最优资本存量 Solow-Swan模型： （3）参数变化对稳态和黄金律水平

29、的影响 Solow-Swan模型： （4）参数变化对 转移动态的影响 Solow-Swan模型： （5）条件收敛、 收敛速度和时间 Solow-Swan模型：（6）基本结论 Solow-Swan模型能解释增长吗？ vSolow-Swan模型的问题： 仅仅是物质资本的差异不能解释各国巨大的收入差距和 增长率差异。（Lucas，1990） 物质资本投资是否有外部性？物质资本投资对经济增长 的作用是否比Solow-Swan模型所描绘的要来得强？ AL 的确切含义是什么？其增长率g由哪些因素决定？ Solow-Swan模型假定技术进步率外生，实际上是就把决 定增长的最关键的因素给忽略掉了。 如果储蓄率决定最终的人均收入水平，那么什么决定储 蓄率？很多其它的因素（如人口增长率）可否内生？ Solow-Swan模型能解释增长吗？ Solow-Swan模