第2章 振动与波

1、第二章 振动与波 1 第二章 振动与波 主要内容主要内容 振动的基本概念振动的基本概念 质点的自由振动质点的自由振动 质点的衰减振动质点的衰减振动 质点的强迫振动质点的强迫振动 2 第二章 振动与波 声音是由机械振动产生的。当 一物体振动时，会激励它周围的媒质发生 振动。若媒质具有压缩性，则在媒质的相 互作用下，周围的媒质就产生了交替的压 缩和膨胀，并且逐渐向外传播。因此，凡 是具有强性的物质，如气体、水、钢铁、 混凝土等强性物质，都能传播声波。 3 声音是一种波动现象。当声源 （机械振动源）振动时，振动体对周围相 邻媒质产生扰动，而被扰动的媒质又会对 它的外围相邻媒质产生扰动，这种扰动的 不

2、断传递就是声音产生与传播的基本机理 。 存在着声波的空间称为声场。 声场中能够传递上述扰动的媒质称为声场 媒质。 4 什么是声音？什么是声音？ 5 物体围绕它的平衡位置的往复运动叫做振动物体围绕它的平衡位置的往复运动叫做振动, , 而振动在连续介质中的传播就产生而振动在连续介质中的传播就产生声音声音。 声波有声波有两个基本要素两个基本要素： 声源，即振动的物体。声源，即振动的物体。 声波赖以传播的介质（媒质），这种介质可以是声波赖以传播的介质（媒质），这种介质可以是 固体、液体或气体。固体、液体或气体。 声音是机械振动在连续媒质中的传播声音是机械振动在连续媒质中的传播 第二章 振动与波 声学现

3、象实质上就是传声媒质质点所产生 的力学振动传递过程的表现。 振动学是研究声学的基础振动学是研究声学的基础 6 第二章 振动与波 与振动相关的概念 振荡 振荡是一种物理量在观测时间内，不断 地经过最大值和最小值而变化的过程。 振动 振动是指物理量是一个机械系统的运动 参量时的振荡。主要是指机械运动。 7 与振动相关的概念 弹簧振子 弹性力 f 与拉伸长度 x 的关系为 8 k fkx 与振动相关的概念 简谐振动 以时间参量按照正弦（或余弦）函数进 行的运动称为简谐振动。 9 cosx tAt 与振动相关的概念 周期 系统完成一次完整的振动过程所需要的 时间，称为周期T。 频率 单位时间内，一个物

4、体完成振动的次数 ，称为频率f ，单位为赫（Hz）。 10 1 f T 与振动相关的概念 角频率 通常用表示，是频率的2倍。 11 2f 与振动相关的概念 振幅 振动过程中，振动的物理量偏离平衡位 置的最大值成为振幅。 12 与振动相关的概念 振动速度 表征系统在某一时刻振动的快慢速度。 对于简谐振动，振动位移与振动速度的关 系为 振动加速度 表征振动系统的振动速度变化的快慢程 度 13 sinvAtx t 2 a tx t 与振动相关的概念 相位 某一物理量随时间（或位置）作余弦（ 或正弦）变化时，决定该量在任一时刻（ 或位置）的状态的一个相当于角度的量叫 相位，单位是弧度。 14 与振动相

5、关的概念 相位差 两个同频率振动的相位差值。它们的初 始相位是一个不变的量，当相位差值等于 零或为的偶数倍时为同相；等于的奇数 倍时为反相。 15 l质点振动系统（集中参数系统）质点振动系统（集中参数系统） 假设构成振动系统的物体，不论其几何 大小如何，都可以看成是一个物理性质集 中的系统，对于这种系统，质量块的质量 认为是集中在一点的，运动状态都是均匀 的。 16 什么样的振动系统可以看做质点振动系统？什么样的振动系统可以看做质点振动系统？ 物体的线度与物体中振动传播波长（振动 一次所传播的距离）小的多，那么这个物 体的各部分振动状态就可以看成近似均匀， 而这个振动系统就可以近似的看做质点振

6、 动系统。 17 第二章 振动与波 18 第二章 振动与波 主要内容主要内容 振动的基本概念振动的基本概念 质点的自由振动质点的自由振动 质点的衰减振动质点的衰减振动 质点的强迫振动质点的强迫振动 19 第二章 振动与波 质点的自由振动 20 外力仅在初始时刻起作用，而后 就去掉，在这种情况下质点所做 的振动称为自由振动自由振动 第二章 振动与波 21 f= -kx(t) 1 m c k 为力顺，它反映弹簧的柔顺程度 2 2 d x mkx dt 根据牛顿第二运动定律 f= ma 所以 2 2 0 2 0 d x x dt 2 0 k m 质点自由振动方程质点自由振动方程 其中 第二章 振动与

7、波 二阶齐次方程 22 2 2 0 2 0 d x x dt 自由振动的一般规律 23 第二章 振动与波 00 22Tf 2秒钟的振动次数 00 cos A t 自由振动的一般规律 24 00000 sin()sin() AA d vtvt dt 2 2 000 2 cos() A d at dt 第二章 振动与波 2 2 d mk dt 2 00000 cos()cos() AA k tt m 根据牛顿第二定律可得 所以 位移 速度 加速度 00 cos A t 位移最大值，称为位移振幅 速度振幅 角频率 系统的固有频率 力顺 25 0 k m 0 1 2 k f m 1 m C k 0 1

8、1 2 m f mC 第二章 振动与波 质点作自由振动时， 系统的固有频率仅与 系统的固有参量有关， 而与振动初始条件 （位移、速度等）无 关。 质量m越大或弹性系 数k越小，固有频率 越低。 思考 若需要降低动圈扬声器的固有频率，应采 取什么措施？ 增加系统的质量，即增加音圈与纸盆的 质量 减小系统的弹性系数，即使纸盆边缘的 折环部分更为柔顺。 26 例：扬声器力学振动系统在低频时可视为集中参数系统， 设系统原质量为M，力顺为 ，采用新材料后，系统的 质量为2M，力顺为2 ，请问采用新材料后，扬声器的 固有频率是提高还是降低了。 解： 27 0 11 2 m f MC 00 111111 2

9、42 22 mm ff MCMC 第二章 振动与波 m C m C 自由振动的能量 振子原来处于静止状态，振动能量为零。 在初始时刻，振子从外部获得能量。 给其初位移相当于给系统初势能 给其初速度相当于给系统初动能 振子在获得这种外部来的能量后就开始振 动，将其转化为振动能。 28 自由振动的能量 振子在振动时，任一时刻系统所具有的总 振动能等于势能和动能的总和。 系统具有的势能，等于当质点离开静止位 置时克服弹簧弹力所做的功。 根据牛顿第三定律（作用力等于反作用力 ），因为弹簧对质点的作用力为- kx，所以 质点对弹簧的反作用力为kx。 29 自由振动的能量 贮存在弹簧中的势能为 系统所具有

10、的动能为 系统的总振动能为 30 2 1 2 p Ekx 2 1 2 k Emv 22 11 22 pk EEEkxmv 自由振动的能量 31 22 11 22 pk EEEkxmv 00 sin() A vvt 00 cos A t 22 22 11 22 11 22 pk AA EEEkmv kmv 主要内容主要内容 振动的基本概念振动的基本概念 质点的自由振动质点的自由振动 质点的衰减振动质点的衰减振动 质点的强迫振动质点的强迫振动 32 第二章 振动与波 质点的衰减振动 33 在不存在阻尼力的理想情况下， 当质点在初始时刻受到外界的扰动，就开 始做等幅的简谐振动。 实际上，任何振动系统

11、在振动过 程中，总有阻尼力存在，不可能永远作等 幅简谐振动。 第二章 振动与波 质点的衰减振动 系统在振动时，始终会受到阻 尼力的作用。这种阻力作用可能是振动体 与周围媒质之间的粘滞摩擦（或振动物体 自己的内摩擦）的效果，振动能逐渐变化 为热能；也可能是振动物体向周围媒质辐 射声波的效果，这种情况下，机械能通过 辐射转化为声能而耗散失去。这便使得系 统的能量有所损耗。 34 衰减振动方程 35 令阻力： 衰减系数衰减系数 第二章 振动与波 rmm d FRvR dt 阻力系数，也称力阻，正常数阻力系数，也称力阻，正常数 2 2 d mk dt r F 2 2 0 m dd mRk dtdt 2

12、 2 0 m Rddk dtmdtm 2 2 0 2 20 dd dtdt 质点的衰减振动方程质点的衰减振动方程 2 m R m 无阻尼时的固有角频率 阻尼系数（衰减系数） 质点衰减振动规律 过阻尼状态 系 统不发生振动 临界阻尼状态 系统 按指数规律衰减 欠阻尼状态 系 统发生衰减振动 36 2 m R m 0 0 0 第二章 振动与波 质点位移随时间t的变化 欠阻尼状态 系统发生衰减振 动 37 0 cos() t d xAet 振动规律为 22 0d 有阻尼时系统的固有频率 第二章 振动与波 实际的振动系统由于有阻尼，如果不能从 外部持续获得能量，那么系统的振动就会 逐渐衰减。 衰减的快

13、慢同 和m的比值有关。 对某一系统希望振动持续时间的长短，具 体问题具体分析。 锣、鼓、钢琴 扬声器 38 m R 主要内容主要内容 振动的基本概念振动的基本概念 质点的自由振动质点的自由振动 质点的衰减振动质点的衰减振动 质点的强迫振动质点的强迫振动 39 第二章 振动与波 一个振动系统受到阻力作用后，振动会渐 渐衰减到停止。要使振动持续不停，就要 不断的从外部获得能量。 强迫振动：强迫振动： 受到外部持续作用而产生的振动 40 第二章 振动与波 质点的强迫振动 41 jt FA FF e 外部持续作用力 j t AM F eMaR vkx 力平衡方程 外力刚加上时，系统的振动有一过渡状态，

14、很快达到 稳定状态，在稳定状态系统的振动频率与外力的频率 相同，即系统完全受外力的支配 第二章 振动与波 质点的强迫振动方程质点的强迫振动方程 42 j t a xx e 此时，质点振动位移和位移振幅为 | A A m F x Z 系统的力阻抗力阻抗 力阻：力阻： m R 力抗：力抗： m mm K XM 质量抗质量抗弹性抗弹性抗 第二章 振动与波 位移振幅 43 22 () AA a m FF Zk RM 设力学品质因素力学品质因素 0 m M Q R 设静态位移振幅静态位移振幅 0时的位移振幅 0 A a F k 设外力频率与固有频率的比值外力频率与固有频率的比值 00 f z f 第二章

15、 振动与波 位移振幅的比值 44 曲线在z=zr位置出现峰值 这一现象称为 系统的位移共振系统的位移共振 对应的频率称为 位移共振频率位移共振频率 归一化位移共振曲线归一化位移共振曲线 Q越大，共振位移振幅越大越大，共振位移振幅越大 第二章 振动与波 00 f z f 位移达到极大值时的z值 45 位移共振的频率位移共振的频率 第二章 振动与波 若不满足此条件， 出现零根和虚根，共振现象消失。 此时位移振幅随频率单调下降。 r z 系统的位移共振频率与固有频率并不相等 位移共振时的位移振幅比 46 当Qm=1时，Ar=1.115，共振峰仅比平坦区的极限值 高0.115倍，在f=f0处，可得A1

16、。 当系统的当系统的Qm控制在控制在1附近，位移共振曲线最为均匀附近，位移共振曲线最为均匀 第二章 振动与波 质点振动速度和加速度幅值质点振动速度和加速度幅值 47 22 () AA A m FF v Zk RM 22 () AA A M FF a Zk RM 系统的总体振动状况取决于系统的各个参数的相对 关系和驱动力的频率。 第二章 振动与波 22 () AA A m FF Zk RM 速度的振幅 48 将 除以常数 0 a m F M a v 第二章 振动与波 速度的振幅比 49 速度共振频率为 0r ff 速度共振时，Br=Qm 第二章 振动与波 当z=1时，发生速度共振 规格化的速度共

17、振曲线 加速度的振幅 50 将 除以 a a a m F M 第二章 振动与波 加速度的振幅比 51 加速度共振时 加速度的共振频率为 第二章 振动与波 加速度的振幅比 52 仅当 时，加速度振幅才出现共振 1 2 m Q 共振时，加速度振幅 第二章 振动与波 归纳如下： 描述一单振子系统稳态振动的 量可以有位移、速度和加速度，且它们可 用共振曲线来描述。这些曲线都有共振频 率，并且互不相同。三种曲线的共振峰高 度都和品质因素Q有关：Q越大共振峰高而 尖锐，Q越小共振峰低而平坦。 53 电声器件的工作原理 54 第二章 振动与波 22 () A A F k RM 22 () AA A m FF

18、 v Zk RM 22 () AA A M FF a Zk RM 55 第二章 振动与波 电声器件的工作原理 （1） 质量控制区： m a a M F 2 m a a M F v m a a M F a 0 ff 强迫力的频率远大于系统的固有频率 系统的质量对振动起着主要作用，质量越大，振幅越小。 在此区域内，加速度随时间变化规律与频率无关。 56 第二章 振动与波 电声器件的工作原理 （2） 弹性控制区： m a a K F m a a K F v 2 a a m F a K 0 ff 强迫力的频率远小于系统的固有频率 系统的弹性对振动起着主要作用，弹性系数越大，振幅 越小。在此区域内，位移振幅与频率无关。 57 电声器件的工作原理 第二章 振动与波 （3）