第十六章振动理论基础

1、1 2 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机 床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利利：振动给料机 弊弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。 3. 研究振动的目的研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。 2. 振动的利弊振动的利弊： 1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 3 4. 振动的分类振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系

2、统的自由度分类按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动，衰减振动 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动 本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 4 161 单自由度系统无阻尼自由振动单自由度系统无阻尼自由振动 162 求系统固有频率的方法求系统固有频率的方法 163 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 164 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由度系统的无阻尼强迫振动 165 单自由度

3、系统的有阻尼强迫振动单自由度系统的有阻尼强迫振动 166 临界转速临界转速 减振与隔振的概念减振与隔振的概念 第十六章第十六章 机械振动基础机械振动基础 动力学动力学第十六章第十六章 机械振动基础机械振动基础 5 19-1单自由度系统无阻尼自由振动单自由度系统无阻尼自由振动 一、自由振动的概念一、自由振动的概念： 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 6 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 7 运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。 )/( 0

4、 , )/( 0 , )/( 0 , 22 222 22 JmgamgaJ lgmglml mkxxkxxm nn nn nn 质量质量弹簧系统：弹簧系统： 单摆：单摆： 复摆：复摆： 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 8 二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是： 0 ee qkq m ke, me是与系统的物理参数有关的常数。令 ee 2 n /mk 则自由振动的微分方程的标准形式：则自由振动的微分方程的标准形式： 0

5、2 n qq 解解为： )sin( n tAq 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 9 0 0n 2 n 2 0 2 0 arctg , q qq qA 设 t = 0 时， 则可求得： 00 , qqqq 或： tCtCq n2n1 sincos C1，C2由初始条件决定为 n02 01 / ,q CqC t q tqq n n 0 n0 sincos 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 10 三、自由振动的特点三、自由振动的特点： A物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置

6、。 T 周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 固有频率，振体在2秒内振动的次数。 反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有 参数有关。 n 2 T n 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 11 无阻尼自由振动的特点是 无阻尼自由振动的特点是： (2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (1) 振动规律为简谐振动； 四、其它四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动

7、基础机械振动基础 12 2. 弹簧并联系 统和弹簧串联系 统的等效刚度 21eq 21 stst21 21 2 2 1 1 st , )( , kkk kk mg kkmg FFmg k F k F 并联 21 21 eq 21eq st 2121 2stst1st ) 11 ( ) 11 ( kk kk k kk mg k mg kk mg k mg k mg 串联 并 联 串 联 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 13 1. 由系统的振动微分方程的标准形式由系统的振动微分方程的标准形式 2. 静变形法：静变形法： 3. 能量法能量法： 19-2 求系统固有频率的方法求

8、系统固有频率的方法 0 2 n qq st n g st ：集中质量在全部重力 作用下的静变形 n 由Tmax=Vmax , 求出 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 14 如图表示一简支梁和悬臂 梁各有一集中载荷，重量为F， 位置如图所示。已知梁的跨度 为l，材料的弹性模量为E，截 面惯性矩为J，不计梁的质量， 求梁的固有频率。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 例例1 15 简支梁中点和悬臂梁端点的静挠度分别为 F EJ l 48 2 st F EJ l 3 2 st 和 相当的弹簧系数分别为 2 48 l EJ C 2 3 l EJ C 和 则固

9、有频率分别为 2 0 48 2 1 Fl EJg 2 0 3 2 1 Fl EJg 和 解：解： 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 16 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达 到最大值。 mgAAkV)( 2 1 2 st 2 stmax 2 maxst 2 1 kAVmgk 222 max 2 1 2 1 n mAxmT 如： 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 17 m k kAm

10、A VT n 22 n 2 maxmax 2 1 2 1 由 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。 例例2 图示系统。设轮子无侧向摆动， 且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹 簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质 量为m1，重物质量 m2 ，试列出系统微幅 振动微分方程，求出其固有频率。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 18 解解1：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点） RkgRmm2)( st21 g k mm 2 21

11、st 则任意位置x 时： kxg mm xkF st 2 2 )2( 21 静平衡时： 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 19 应用动量矩定理： kxRRFgRmmM xRmm R x RmRxmRxmL A A 42)()( ) 2 3 ( 2 1 21 21 2 112 F 由 ， 有 )( d d F A A M t L kxRxRmm4) 2 3 ( 21 振动微分方程： 固有频率： 21 21 23 8 0 23 8 mm k x mm k x n 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 A 20 解解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取

12、静平衡位置为原点） 2 21 2 2 2 2 1 2 1 ) 2 3 ( 2 1 2 1 )( 22 1 2 1 xmm xm R xRm xmT 以平衡位置为计算势能的零位置， 并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x gxmmxkkx gxmmx k V )(22 )()2( 2 21st 2 21 2 st 2 st 因平衡时 gxmmxk t )(2 21s 2 2kxV 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 21 由 T+V= 有： const const2) 2 3 ( 2 1 22 21 kxxmm 04) 2 3 ( 21 kxxmm 21 n 21 23 8 0 2

13、3 8 mm k x mm k x 对时间 t 求导，再消去公因子 ，得 x 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 22 如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径皆为R， 半径为r的鼓轮上绕有细绳，轮连一铅直弹簧，轮挂 一重物。塔轮对轴的转动惯量皆为J，弹簧刚度为k。重物 质量为m，求此系统的固有频率。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 例例3 x R x x r 23 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 24 解：解： 22 )( 2 1 2 2 1 r x JxmT 系统平衡处弹簧虽有拉长，但如前所述，从平衡位置起计算弹性 变形，

14、可以不再计入重力。由几何关系，当重物位于x处，弹簧由平衡 位置计算的变形量也是x，则系统的势能为 2 2 1 kxV 以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴 如图。重物于任意坐标x处，速度为x的导数， 两塔轮的角速度皆为 。系统动能为r x 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 x R x x r 25 不计摩擦，系统的机械能守恒，有 常数 22 2 2 2 1 2 1 kxx r J xmVT 两端对时间取一阶导数，得 0) 2 ( 2 kxx r J m 上式为自由振动微分方程，系统固有频率为 Jmr kr 2 2 2 0 x R x x r 动力学动力学第十九章第十九章

15、机械振动基础机械振动基础 26 如图所示表示以质量为m，半径是r的圆柱体，在一 半径是R的圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位 置附近做微小振动的固有频率。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 例例4 27 解：解：用能量法求解这个问题。 )( 1 rRvO 设在振动过程中，圆柱体 中心与圆槽中心的连线OO1与 铅直线OA的夹角为。圆柱体 中心O1的线速度为 由运动学知，当圆柱体做纯滚动时，其角速度为 r rR )( 2 2 22 2 1 2 1 )( ) 2 ( 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 r rRmr rRm JmvT OO 因此系统的动能为 动力学动力学

16、第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 28 整理后得 22 )( 4 3 rR m T 系统的势能即重力势能， 圆柱在最低处平衡，取该处 圆心位置C为零势能点，则 系统的势能为 2 sin)(2) cos1)( 2 rRmgrRmgV 22 sin 当圆柱体作微振动时，可认为 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 因此势能可改写成 2 )( 2 1 rRmgV 29 设系统做自由振动时的变化规律为 )( sin 0 tA 则系统的最大动能 2 2 0 2 max )( 4 3 ArR m T 2 max )( 2 1 ArRmgV 由机械能守恒定律，有Tmax=Vmax

17、，解得系统的固有频率为 )( 3 2 0 rR g 系统的最大势能 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 30 例例5 鼓轮：质量m1，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑， 大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物质量为m2, 不计 轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。 21 , kk 解解：取静平衡位置O为坐标原 点，取C偏离平衡位置x为广义 坐标。系统的最大动能为： 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 31 ) )( )( ( )( 2 1 )( 2 1 21 2 st 2 max21 max2 2 st 2 stmax21ma

18、x Rkk rRgm xkk x R rR gmxkkV 2 max 2 2 22 1 2 2 max2 2 max 2 1 2 max1max 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 xr)(Rm)R(m R x R rR m R x mxmT 系统的最大势能为： 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 系统的最大动能为： 32 设 则有 )sin( n Ax nmaxmax , AxAx )( 2 1 2 )()( 2 21max 22 n 2 2 2 22 1 max AkkVA R rRmRm T 根据Tmax=Vmax , 解得 2 2 22 1 2 21

19、n )()( )( rRmRm Rkk 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 33 19-3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性 引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘 性阻尼。 vFc 投影式： xcFc c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 34 二、有阻尼自由振动微分方程及其解二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量弹簧系统存在粘性阻尼： xckxx

20、m 02 2 , 2 n 2 n xxnx m c n m k 则令 有阻尼自由振动微分方程的标准形式。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 35 其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形、小阻尼情形mkcn2 )( n )sin( d tAex nt 22 nd n有阻尼自由振动的圆频率 则时设 , , , 0 00 xxxxt 00 22 n01 22 n 2 00 2 0 tan ; )( nxx nx n nxx xA 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 36 衰减振动的特点： (1) 振动周期变大，振动周期变大， 频率减小频率减小。 mk cn

21、n T 2 1 2 22 n 2 n 22 n d d 阻尼比 有阻尼自由振动： 当 时， 可以认为 n n1 TT dnd 2 nd 2 d 2 d 1 1 1 ff T T 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 37 (2) 振幅按几何级数衰减振幅按几何级数衰减 对数减缩率 2 1 2 lnln 2 d 1 d nTe A A nT i i 2、临界阻尼情形、临界阻尼情形 临界阻尼系数 ) 1 , ( n n mkc2 c )( 000 tnxxxex nt ) , , 0( 00 xxxxt 时 d d) ( 1 nT Ttn nt i i e Ae eA A A i

22、i 相邻两次振幅之比 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 38 可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置， 不再具备振动的特性。 )( 2 n 22 n 2 21 tn tnnt eCeCex 代入初始条件 ) , , 0( 00 xxxxt 时 2 n 2 00 2 n 2 2 2 n 2 0 2 n 2 0 1 2 )( ; 2 )( n xxnn C n xnnx C ) 1 , ( n n)( c cc 3、过阻尼（大阻尼）情形、过阻尼（大阻尼）情形 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0， 不具备振动特性。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基

23、础机械振动基础 39 例例6 质量弹簧系统，P=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。 20 21 20 3 2 2 1 21 1 )( d nT e A A A A A A A A 解：解： 20 )( 16. 0 8 . 0 dnT e 2 n n dn 1 220 205ln T 由于 很小， 405ln )s/cmN(122. 0 9801 150 2 40 5ln 2 40 5ln 2 2 st P g P mkc 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 40 如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kt ， 圆

24、盘对杆轴的转动惯量为J。如圆盘外缘受到与转动速度成正 比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为Td 。求圆盘所受阻 力偶矩系数。 kt 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 例例7 41 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 42 解： t kJ 盘外缘切向阻力与转动速度成正比，则此阻力偶矩M与角速度成正比， 且方向相反。设M=， 为阻力偶系数，圆盘绕杆轴转动微分方程为 或 0 t J k J 2 t d ) 2 ( 2 JJ k T 由上式解出阻力偶系数 22 t 2 d d 4 2 JJkT T 可得衰减振动周期 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机

25、械振动基础 43 19-4 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由度系统的无阻尼强迫振动 一、强迫振动的概念一、强迫振动的概念 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力： 激振力的初相位 H力幅； 激振力的圆频率 。 )sin(tHF )sin(tHkxx m 则令 , 2 m H h m k n )sin( 2 thxx n 无阻尼强迫振动微分方程的标准形式， 二阶常系数非齐次线性微分方程。 二、无阻尼强迫振动微分方程及其解二、无阻尼强迫振动微分方程及其解 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 44 21 xxx )sin( )sin( 2 n1 tbx tAx为对应齐

26、次方程的通解 为特解 )sin( , 22 n 2 22 n t h x h b )sin()sin( 22 n n t h tAx全解为： 稳态强迫振动 3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。 三、稳态强迫振动的主要特性三、稳态强迫振动的主要特性： 1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。 2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 45 (1) =0时 k Hh b 2 n 0 (2) 时，振幅 b随 增大而增大；当 时， n

27、b n (3) 时，振动相位与激振力相位反相，相差 。 rad n 22 n h b b 随 增大而减小； 0 ; , 2 0n bbb时时 振幅比或称动力系数 频率比 曲线 幅频响应曲线 （幅频特性曲线）1 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 46 4、共振现象 , n 时b ，这种现象称为共振。 此时， )cos( n2 tBtx )cos( 2 2 , 2 n n 2 nn tt b x t h b h B 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 47 如图表示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。 设电机的质量为 m1，偏心块的质量为m2，偏心距为

28、e，弹 性梁的刚度系数为k，求当电机以角速度匀速旋转时系统 的受迫振动规律。 t 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 例例8 48 t 解：解： 将电机与偏心块看成一质点系。设电机轴心在瞬时t 相对其平 衡位置O的坐标为x，则偏心块的x坐标应为x+esint。此时作用在 系统上的恢复力为-kx。列出质点系动量定理的微分形式 kxvm t ixi d d kxtex t m t x m t )sin( d d d d d d 21 得 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 49 t 整理后得微分方程 temkxxmm sin)( 2 221 则 21 2 2

29、 mm em h 受迫振动振幅 2 21 2 2 2 2 0 )( mmk emh b 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 50 如图所示为一无重刚杆AO，杆长为l，其一端O铰支， 另一端A水平悬挂在刚度为k的弹簧上，杆的中点装有一质 量m为的小球。若在点A加一激振力F=F0sin t，其中激振 力的频率= 0/2， 0为系统的固有频率。忽略阻尼，求 系统的受迫振动规律。 m A O 2 l 2 l k 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 例例9 51 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 52 m A O 2 l 2 l k 解：解：

30、 设任一瞬时杠杆的摆角为 ，根据刚体转动微分方程可以建立 系统的运动微分方程，为 tlFkl l msin) 2 ( 0 22 令 ml F l m lF h m k l m kl 0 2 0 2 2 2 0 4 ) 2 ( , 4 ) 2 ( thsin 2 0 则上述微分方程可以整理为 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 53 m A O 2 l 2 l k thsin 2 0 上述方程的特解，即受迫振动为 t h sin 2 2 0 将 =0/2 代入上式，可解得 t h sin 4 3 2 0 t m k ml F sin 4 4 3 4 0 t kl F sin

31、3 4 0 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 54 19-5 单自由度系统的有阻尼强迫振动单自由度系统的有阻尼强迫振动 一、有阻尼强迫振动微分方程及其解一、有阻尼强迫振动微分方程及其解 tHFxcFkxFksin , , c tHxckxxmsin 将上式两端除以m ，并令 m H h m c n m k ; 2 ; 2 n thxxnx n sin2 2 有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微 分方程。 21 xxx 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 55 x1是齐次方程的通解)02( 2 n xxnx 小阻尼： )sin( 22 n

32、1 tAex nt （A、 积分常数，取决于初始条件） x2 是特解：)sin( 2 tbx代入标准形式方程并整理 22 n 22222 n 2 tan 4)( n n h b 强迫振动的振幅 强迫振动相位滞后激振力相位角 振动微分方程的全解为 )sin()sin( 22 n tbtAex nt 衰减振动 强迫振动 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 56 振动开始时，二者同时存在的过程瞬态过程。 仅剩下强迫振动部分的过程稳态过程。需着重讨论部分。 n0n ; , n b b 令 频率比 振幅比 阻尼比 因此： 2 2222 1 2 tan; 4)1 ( 1 二、阻尼对强迫

33、振动的影响二、阻尼对强迫振动的影响 1、振动规律 简谐振动。 2、频率： 有阻尼强迫振动的频率，等于激振力的频率。 3、振幅 )sin( 2 tbx 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 57 (1) , 1 , )( 1 n 时 可不计阻尼。 , 0 bb (2) , 0 , )( 1 n 时 阻尼也可忽略。 时时0.70 , )( 1 n (3) 阻尼对振幅影响显著。一 定时，阻尼增大，振幅显著 下降。 2 n 22 n 212 , 0 d d n b 得由 共振频率 此时： 2 0 max 22 n max 12 2 b b nn h b或 动力学动力学第十九章第十九章

34、 机械振动基础机械振动基础 58 2 , , 1 0 maxn b b 时当 4、相位差 有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一相位角， 称为相位差。 2 1 2 tan (1) 总在0至 区间内变化。 (2) 相频曲线（ - 曲线）是一条单调上升的曲线。 随 增 大而增大。 (3) 共振时 =1， ，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线， 均交于这一点。 (4) 1时， 随 增大而增大。当 1时 ，反相。 2 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 59 例例10 已知P=3500N，k=20000N/m , H=100N, f=2.5Hz , c=1600Ns/m , 求b, ,强迫

35、振动方程。 解解： rad/s 58.10 3500 8 . 92000022 eq n P kg m k m 105 . 2 200002 100 2 3 eq 0 k H k H b 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 ; 212. 0 58.10 24. 2 rad/s 24. 2 8 . 9/35002 1600 2 n n m c n 60 mm 84. 15 . 2736. 0 736. 0 485. 1212. 04)485. 11 ( 1 4)1 ( 1 0 2222222 bb )847. 05sin(84. 1 847. 0 522. 0)1/(2tan

36、 2 2 tx 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 485. 1 58.10 5 . 222 ; 212. 0 58.10 24. 2 rad/s 24. 2 8 . 9/35002 1600 2 nnn fn m c n 61 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端l处有一 质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻尼系数为c，距3l处 有一刚度为k的弹簧，并作用一简谐振力F=F0sin t。刚杆在水 平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频 率0，以及当激振力频率 等于0 时质点的振幅。 m l ll k c 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 例例11 62 解解: 设刚杆在振动时的摆角为 ，由刚体转动微分方程可建立系 统的振动微分方程为 tlFklclml sin394 0 222 整理后得 t ml F m k m c sin 394 0 ml F h m c n m k 0 0 329 令 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 m l ll