【高二数学】高二数学《正弦定理》说课稿(第1课时)（共6页）

1、正弦定理的说课稿（第1课时） 一、 教材分析1、本节课的地位、作用和意义本节课内容选自普遍高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社出版) 必修5 ，第2章第1节内容。在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系、全等三角形等与三角形有关的基础知识；同时在必修4 ，学生也学习了三角函数、向量三角恒等变换等内容。这些为学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式，在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。 2、课时安排：2课时，其中第1课时为正弦定理的推导、正弦定理以及利用正弦定理来解已知两角一边的三角形等

2、；第2课时为利用正弦定理来解已知两边以及其中一边的对角的三角形和其它简单应用。3、本节课的教学重点和难点我通过解读新课标和分析教材，认为：重点：通过新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为正弦定理的推导有利于培养的学生发散思维，学生能体验数学的探索过程，能加深对数形结合解决数学问题的理解，所以正弦定理的证明是本节课的重点之一；同时，数学知识的学习最终是为了应用，所以正弦定理以及正弦定理的应用也是本节课的重点之一。突出重点的方法：用引导学生进行分类讨论、类比法、分组讨论法来突出正弦定理的推导；用讲练结合，精选例题、练习和问题，归纳法来突出正弦定理的应用。难点：新定理的发现需要一定得创新意识和发散

3、思维，这正是多数学生所缺乏的，但是社会需要的是创新人才，因此，正弦定理的猜想发现是本节课的难点。突破难点的方法：转化法（由特殊向一般转化）、鼓励和引导法。二、教学目标分析1、知识与技能目标（1）能在2分钟内写出正弦定理的符号表达式，准确率为97%；（2）能利用正弦定理来解决已知两角一边的三角形以及相关简单的实际问题。2、过程方法与能力目标（1）通过正弦定理的推导，逐步培养合情推理、探索数学规律的思维能力；（2）在利用正弦定理来解已知两角及一边的三角形的过程中，逐步培养应用数学知识来解决社会实际问题的能力。3、情感、态度、价值观目标（1）通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索

4、精神和创新意识。（2）在运用正弦定理的过程，逐步培养实事求是、扎实严谨的科学态度。三、学情分析 学法：以讨论法（师生对话、生生讨论）为主，以发现法、类比法、接受法、练习法为辅。理由：学生的认知发展理论； 高中生已有的数学学习能力；本节课的内容特点； 本班学生的实际情况四、教法分析教法：以引导启发法为主，以讲授法、讨论法以及多媒体演示法。理由：学生的学习方法；我个人的知识水平以及经验；学校的条件五、教学程序分析教学环节教学内容以及问题设计设计意图情景导入我会利用多媒体放映一幢建筑物（图1），并提出如下问题：（1）如何用量角器量出测量建筑物的高度h？（2）如果建筑物前有小湖等障碍物，又该如何测量其

5、高度h？ 在学生进行思考、讨论后，根据同学的思路，我会引导学生分别建立如图1和图2的数学模型，利用初中的解直角三角形知识求解。最后引入这节课的问题：这个实际问题说明了三角形的边与角有紧密的联系，这节课将研究表示一般三角形的边与角的等量关系的定理正弦定理通过生活中的知识引入，激发学生学习需要和学习期待，以问题引起学生学习热情和探索新知的欲望。新课学习新课学习探索发现猜想bacbca我请同学们思考：在直角三角形中，各角的正弦怎么表示？能找到等量关系吗？因为：sina=,sinb=,所以c= = ，同时不难发现：= =c。于是：= = 说明：这个过程通过师生互动过程实现，我的角色是引导、鼓励学生积极

6、思考，并表达其想法。 接着，我提出问题：这个结论对一般三角形成立吗？如果成立，该如何证明？1、奥苏伯尔认为，意义学习就是将符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立起非人为的和实质的联系。在此环节上，我突破难点（正弦定理的发现）的方法是利用学引导学生从熟悉的求直角三角形各角的正弦入手，鼓励、引导学生积极主动地思考，创造意义学习的条件。2、对正弦定理的发现采用的是由特殊到一般地思想方法。探索正弦定理的证明 首先，我引导学生认清“一般三角形”的含义，包括直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。其次，把全班分组八个组（平时上课时候，已经分好组，各组差异不大），教室左边四个组探究锐角三角形，另

7、四个组探究钝角三角形，引导学生讨论探究：式对于锐角、钝角三角形是否成立？如成立，怎么证明？学生活动：分组讨论探究，我走动观察，收集信息，对有困难的学生进行启发，对证明有进展的进行全班表扬，鼓励其继续努力。 教师讲授：首先，我放映利用几何画板制作的多媒体动画，画面将显示：不管三角形的边、角如何变化， 比值：，的值都会相等。正弦定理的证明方法有：作高法、面积法、外接圆法以及向量法等，我将根据学生探究的实际情况利用多媒体显示这四种方法的一种或两种，其中向量法证明钝角三角形的正弦定理书写过程如下：如下图，以a为原点，以射线ab的方向为x轴正方向建立直角坐标系，c点在y轴上的射影为c1。 因为，向量与在

8、y轴上的射影均为，即=cos（a）=bsina,=sinb=asinb，所以 bsina= asinb即 同理， 所以 若a为锐角或直角，也可以得到同样的结论。于是，我们得到了这样的定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即1、该环节在我的引导下，学生分组讨论，合作交流，进行“再创造”，体现了数学新课标所倡导的积极主动，勇于探索的学习方式的课程理念。2、正弦定理的证明即是重点，这里，我采用多媒体技术来突出重点，直观且效率高，与数学新课标注重信息技术与数学课程的整合的理念相符。3、对我的教学行为分析。新课程不仅要求教师的理念要更新，而且要求教师的角色也作相应的变化，在这里，我的角色

9、是学生学习的促进者、帮助者和引导者。应用举例例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩（如图4），其中一角已经破损。现测得如下数据：bc=2.67cm，ce=3.57cm，bd=4.38cm，b=, c=。为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.001cm）。解 如图5，将bd,ce分别相交于一点a，在中，a=180(b+c)= , 7.02（cm）同理， ab8.60（cm）小结1（用方程的思想来解释）：已知两角及任一边，利用正弦定理可求另两边及一个角（有唯一解）。例2在abc中，一定成立的等式是（ ）aasina=bsinb bacosa=bcosbcasinb=bsina daco

10、sb=bcosa小结2 如果等式两边是边（或者角的正弦）的齐次式，那么就可以利用正弦定理，将边（或正弦）的齐次式换成对应正弦（或边）的齐次式。设计此环节目的有三，其一是进一步深化学生对定理本质的理解，突出重点（正弦定理的应用）；其二，从例1的小结中，学生可以体会方程的思想来思考、解决问题；其三，培养学生养成及时进行归纳的意识，提高其总结能力。练习反馈在abc中，已知下列条件，解三角形1、a=45,c=120,c=10cm2、a=60,b=45,c=20cm注：请两个同学到黑板上进行解答并进行简单讲解通过动手练习来巩固、加深学生正弦定理的理解，培养学生的口头表达能力。课堂小结1、利用多媒体显示正

11、弦定理：（适用一般三角形）2、正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角以及任何一边； （2）下节课学习3、正弦定理的其他应用如果等式两边是边（或者角的正弦）的齐次式，那么就可以利用正弦定理，将边（或正弦）的齐次式换成对应正弦（或边）的齐次式通过师生的互动对话，再现本节课的主要内容和思想方法，再次加深学生对对正弦定理的认识 作业布置1阅读作业:预习2课后作业: ，2，73弹性作业: 在中，已知，解三角形。作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，同时考虑学生的差异性。阅读作业是后续课堂的铺垫，而弹性作业不做统一要求，供学有余力的学生课后研究。板书设计1正弦定理正弦定理的证明（向量

12、法）1.正弦定理2.正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角以及任何一边；3.正弦定理的其他应用正弦定理的证明（向量法）例1 （题目）解答：（板书）空白区，可以随意书写，擦除学生解答1例2 （题目）学生的解答2设计意图：我的板书设计的指导原则：简明直观，重点突出。本节课的板书教学重点放在黑板的正中间，为了能加深学生对正弦定理以及其应用的认识，把例题放在中间，以期全班同学都能看得到。 高中数学联赛几何定理梅涅劳斯定理一直线截abc的三边bc,ca,ab或其延长线于d,e,f则。逆定理：一直线截abc的三边bc,ca,ab或其延长线于d,e,f若，则d,e,f三点共线。塞瓦定理在abc内

13、任取一点o,直线ao、bo、co分别交对边于d、e、f，则 =1。逆定理：在abc的边bc，ca，ab上分别取点d，e，f，如果=1，那么直线ad，be，cf相交于同一点。托勒密定理abcd为任意一个圆内接四边形，则。逆定理：若四边形abcd满足，则a、b、c、d四点共圆西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。 相关的结果有： （1）称三角形的垂心为h。西姆松线和ph的交点为线段ph的中点，且这点在九点圆上。 （2）两点的西姆松线的交角等于该两

14、点的圆周角。 (3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点p对应两者的西姆松线的交角，跟p的位置无关。 （4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。斯特瓦尔特定理设已知abc及其底边上b、c两点间的一点d，则有ab2dc+ac2bd-ad2bcbcdcbd。三角形旁心 1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。 2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。费马点在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 (1) 若三角形abc的3个内角均小于120，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为

15、三角形的等角中心。 (2) 若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。判定（1）对于任意三角形abc，若三角形内或三角形上某一点e,若ea+eb+ec有最小值,则e为费马点。费马点的计算（2）如果三角形有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120，则在三角形内部对3边张角均为120的点，是三角形的费马点。九点圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。几何不等式1托勒密不等式:任意凸四边形abcd，必有acbdabcd+adbc，当且仅当abcd四点共圆时取等号。2埃尔多斯莫德尔不等式:设p是abc内任意一点，p到abc三边bc,ca,ab的距离分别为pd=p,pe=q,pf=r，记pa=x,pb=y,pc=z。则 x+y+z2(p+q+r) 3外森比克不等式:设abc的三边长为a、b、c,面积为s,则a2+b2+c244欧拉不等式:设abc外接圆与内切圆的半径分别为r、r，则r2r,当且仅当abc为正三角形时取等号。圆幂 假设平面上有一点p，有一圆o，其半径为r，则