高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2 事件的相互独立性学案（含解析）2-3

1、学必求其心得，业必贵于专精22.2事件的相互独立性甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件a“从甲箱里摸出白球”,b“从乙箱里摸出白球问题1：事件a发生会影响事件b发生的概率吗？提示:不影响问题2:试求p(a），p（b)，p(ab)提示：p（a），p(b），p（ab）.问题3：p(b|a）与p(b）相等吗？提示：因为p(b|a)，所以p（b|a）与p（b)相等问题4：p（ab)与p(a）p（b）相等吗？提示:因为p（b|a）p(b），所以p（ab）与p(a)p（b）相等1相互独立事件的概念设a，b为两个事件，若p(ab）p（a)p（b)，则

2、称事件a与事件b相互独立2相互独立事件的性质(1)若事件a与b相互独立,则p(ba）p（b)，p（ab)p(a），p（ab)p（a）p(b)(2）如果事件a与b相互独立，那么a与，与b，与也相互独立1相互独立的两个事件实质上是一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响，也就是若事件a与b相互独立，则p(ba）p(b)，且p（ab）p（a)，因而有p(ab）p(a）p(b|a）p（a）p(b)2定义的推广:对于n个事件a1,a2,，an，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件a1，a2，an相互独立.相互独立事件的判断判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件

3、（1)掷一枚骰子一次,事件m：“出现的点数为奇数”；事件n：“出现的点数为偶数”（2)掷一枚骰子一次,事件a:“出现偶数点”；事件b：“出现3点或6点”(1）二者不可能同时发生,m与n是互斥事件（2)基本事件空间为1，2,3,4，5,6，事件a2,4,6，事件b3,6，事件ab6，p（a），p(b），p(ab),即p（ab）p（a)p（b）故事件a与b相互独立当“出现6点”时，事件a，b可以同时发生，因此,a,b不是互斥事件判断事件是否相互独立的方法(1）定义法：事件a，b相互独立p(ab)p(a）p(b)（2）利用性质：a与b相互独立,则a与，与b，与也都相互独立(3)有时通过计算p(ba）

4、p(b）可以判断两个事件相互独立下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？（1）袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件m：“第一次摸到白球；事件n:“第二次摸到白球”(2)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件m：“第一次摸到白球”；事件n：“第二次摸到黑球”解：(1)根据事件的特点易知，事件m是否发生对事件n发生的概率没有影响，故m与n是相互独立事件(2）由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，但不会造成“再从中任意取1球是黑球的事件不发生，所以这两个事件既不是互斥事件，又不是相互独立事件.相互独立事件的概率掷三枚

5、骰子，试求:(1）没有一枚骰子出现1点或6点的概率；（2）恰好有一枚骰子出现1点或6点的概率记“第一、二、三枚骰子出现1点或6点”分别为事件a，b,c，由已知a，b，c是相互独立事件，且p（a)p(b）p(c）。（1）没有一枚骰子出现1点或6点，也就是事件a，b，c全不发生,即事件 ，所以所求概率为p（ ）p(）p()p（).（2）恰好有一枚骰子出现1点或6点，即a，b，c恰有一个发生，用符号表示为事件a b c，所求概率为p(a b c）p(a )p（ b ）p（ c)p（a)p(）p(）p()p（b）p（）p()p（)p(c).1公式p（ab)p（a)p(b)可以推广到一般情形：如果事件a

6、1，a2，an相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即p（a1a2an）p（a1)p（a2）p（an）2用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：(1）用恰当的字母表示题中有关事件;(2）根据题设条件，分析事件间的关系；（3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和（相互乘积的事件之间必须满足相互独立）；（4）利用乘法公式计算概率设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0。6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的求：(1）进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；（2）进入商场的

7、1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率解：记a表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则p（a)0.5;记b表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则p(b)0。6；记c表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；记d表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”(1)易知cab，则p（c）p（ab）p（a)p（b)0。50。60。3。（2）易知d（a )(b)，则p（d）p(a ）p(b）p(a）p（）p（）p(b）0。50。40。50.60.5.相互独立事件概率的实际应用某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.求：(1）

8、恰有一名同学当选的概率； （2)至多两人当选的概率设甲、乙、丙当选的事件分别为a，b和c.p(a)，p(b），p(c).（1)因为事件a，b,c相互独立，恰有一名同学当选的概率为p(a ）p（ b ）p( c)p(a）p()p()p()p(b）p（）p(）p（)p(c)。(2)至多有两人当选的概率为1p(abc)1p(a）p（b）p（c)1。求相互独立事件同时发生的概率的主要方法（1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解（2)正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合,线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概

9、率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率解：如图所示，记这段时间内开关ka，kb，kc能够闭合为事件a，b，c。由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是p（）p（)p（）p()(10.7)（10。7）（10。7)0.027。于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是1p（）10.0270。973.即这段时间内线路正常工作的概率是0.973。3“罗列”相互独立事件的几种类型 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求两个人都译出密码的概率记“甲独立地译出密码”为

10、事件a，“乙独立地译出密码”为事件b，a，b为相互独立事件,且p(a)，p(b).2个人都译出密码的概率为p(ab)p(a)p(b)。解此类问题首先要判断事件的相互独立性，然后使用公式p(ab)p（a）p（b）求解;若事件a与b相互独立,则a与,与b，与也相互独立，本例条件不变,下面利用它们的相互独立性求下列类型的概率本例条件不变，两个人都译不出密码的概率解：两个人都译不出密码的概率为p(）p(）p（）.本例条件不变,恰有1个人译出密码的概率解:恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件,所以恰有1个人译出密码的概率为p（ab)p(a)p(b)p(

11、a）p()p（)p（b）.本例条件不变，至多1个人译出密码的概率解:“至多1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为1p（ab)1p（a）p(b)1。本例条件不变，至少1个人译出密码的概率解:“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为1p(）1p()p()1。已知两个事件a，b相互独立，它们的概率分别为p（a），p（b)，则有事件表示概率a,b同时发生abp(a)p(b)a，b都不发生 p（)p(）a，b恰有一个发生（a )（b)p（a）p（）p（)p(b)a,b中至少有一个发生(a )(b）（ab）p(a

12、)p（）p（）p(b）p（a)p（b)a，b中至多有一个发生（a )(b）（ )p（a）p(）p(）p(b）p（）p(）1两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是（)a0.56b0。92c0.94 d0.96解析:选c两人都没有击中的概率为0。20。30。06, 目标被击中的概率为10.060。94。2甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是()a。 b。c。 d。解析：选c两班各自派出代表是相互独立事件，设事件a，b分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件ab为

13、两班派出的都是三好学生,则p(ab）p（a）p（b）。3甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球,从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是_解析：由题意知p。答案:4甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0。6,0.5，则三人都达标的概率是_，三人中至少有一人达标的概率是_解析：由题意可知三人都达标的概率为p0.80。60.50.24；三人中至少有一人达标的概率为p1（10.8）（10。6)（10。5）0.96.答案：0.240。965在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：（1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的

14、概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率解：记“甲气象台预报天气准确”为事件a，“乙气象台预报天气准确”为事件b。（1)p(ab)p(a）p（b)。(2）至少有一个气象台预报准确的概率为p1p（ )1p(）p()1。一、选择题1袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用a表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球记为b，否则记为c,那么事件a与b，a与c的关系是(）aa与b，a与c均相互独立ba 与b相互独立，a与c互斥ca与b，a与c均互斥da与b互斥，a与c相互独立解析:选a由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件a与b，a与c均相互独立,且a

15、与b，a与c均有可能同时发生，说明a与b，a与c均不互斥，故选a。2甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）a.b.c。d.解析:选d设ai(i1,2）表示继续比赛时,甲在第i局获胜，b事件表示甲队获得冠军法一：ba11a2，故p(b）p(a1)p(1）p（a2）.法二：p(b）1p（1 2）1p（1)p（2）1。3设两个独立事件a和b都不发生的概率为，a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相同,则事件a发生的概率p(a）是（）a. b. c. d。解析：选d由p（a)p(b),得p（a

16、）p()p（b)p（)，即p(a)p(b），p(a)p(b),又p( )，则p（)p().p(a）.4。荷花池中，有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示假设现在青蛙在a叶上,则跳三次之后停在a叶上的概率是（)a. b. c. d。解析：选a青蛙跳三次要回到a叶只有两条途径第一条：按abca，p1；第二条：按acba,p2，所以跳三次之后停在a叶上的概率为pp1p2。5在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是()a. b. c。 d.解析：选b设开关a

17、，b，c闭合的事件分别为a,b，c,则灯亮这一事件eabcab a c，且a,b，c相互独立,abc，ab ，a c互斥，所以p(e)p(abcab a c)p（abc)p(ab )p（a c)p(a)p(b）p(c)p（a）p（b）p（)p（a）p（）p（c）.二、填空题6已知p(a）0.3，p（b)0。5,当事件a,b相互独立时，p（ab）_，p(a|b)_.解析：因为a，b相互独立,所以p（ab)p(a)p（b)p（a)p（b)0。30。50。30.50。65，p(a|b)p(a）0。3。答案：0。650。37甲、乙两人参加环保知识竞赛，在10道备选试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对

18、其中的8道题现规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题为合格则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为_解析：设甲、乙两人考试合格的事件分别为a，b，事件a，b相互独立p（a)，p(b）。所以甲、乙两人考试均不合格的概率为p（）p（)（)，故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为p1p(）1。答案：8同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0。8，0.6，0。5，且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是_解析：设“同学甲答

19、对第i个题为事件ai(i1，2，3)，则p(a1)0。8，p(a2）0.6，p（a3)0。5,且a1,a2，a3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件a1a2a3a1 2a31a2a3发生,故所求概率为pp(a1a2a3a1 2a31a2a3）p(a1a2a3)p(a1 2a3)p（1a2a3)p（a1)p(a2）p（a3)p(a1）p(2）p（a3)p(1）p（a2）p(a3）0。80.60.50.80.40.50。20。60.50.46.答案:0.46三、解答题9(山东高考节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语在一轮活动中，如果两人都猜对,则“星队”

20、得3分；如果只有一人猜对，则“星队得1分；如果两人都没猜对,则“星队”得0分已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动,求:（1)“星队”至少猜对3个成语的概率;（2)“星队”两轮得分之和x的分布列解：（1)记事件a:“甲第一轮猜对，记事件b：“乙第一轮猜对”，记事件c：“甲第二轮猜对”，记事件d：“乙第二轮猜对”，记事件e:“星队至少猜对3个成语由题意，eabcdbcdacdabdabc，由事件的独立性与互斥性，得p(e)p(abcd)p（bcd)p（acd)p(abd）p(abc)p（a)p(b）p(c)p（d)p(）p(b）p（c)p(d)p(a)p(）p(c)p(d）p（a）p（b）p（)p（d）p（a)p(b）p（c)p(）2，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.（2）由题意，随机变量x可能的取值为0,1,2，3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得p（x0），p（x1）2，p(x2），p(x3），p(x4)2，p（x6）.可得随