第四五章弯曲内力应力

1、第四章第四章 梁的弯曲内力梁的弯曲内力 梁的弯曲是材料力学梁的弯曲是材料力学 部分最重要的内容部分最重要的内容 弯曲变形是工程构件弯曲变形是工程构件 最常见的基本变形最常见的基本变形 P PP PP PP P 工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题 本单元主要内容本单元主要内容 v 梁弯曲的概念梁弯曲的概念 v 梁的载荷与支座反力梁的载荷与支座反力 v 梁的内力梁的内力 v 梁的应力梁的应力 v 梁的强度条件梁的强度条件 4-1 梁弯曲的概念梁弯曲的概念 P q M RA RB 产生弯曲变形的杆称为梁产生弯曲变形的杆称为梁 梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形梁受到与其轴线垂直的横向

2、力作用要发生弯曲变形 平面弯曲的概平面弯曲的概 念念 我们只研究矩形截面梁的弯曲我们只研究矩形截面梁的弯曲 矩形截面梁有一个纵向对称面矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲 4-2 梁的载荷与支座反力梁的载荷与支座反力 # 集中力集中力 # 均布载荷均布载荷 # 集中力矩集中力矩 集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负； 集中力

3、矩逆时针为正、顺时针为负。集中力矩逆时针为正、顺时针为负。 2、梁的支座反力、梁的支座反力 滑动铰支滑动铰支 1 (Ry) 固定铰支固定铰支2 (Rx，Ry) 固固 定定 端端3 (M， Rx，Ry) Ry Rx M Ry 图图 示示 法法反反 力力未知反力数未知反力数名名 称称 Rx Ry 梁的支承方法及反力梁的支承方法及反力 3、梁的类型、梁的类型 根据梁的支撑情况可以将梁分为根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型种类型 一端固定铰支座一端固定铰支座 一端活动铰支座一端活动铰支座 一端固定一端固定 一端自由一端自由 一端固定铰支座一端固定铰支座 活动铰支座位于梁中活动铰支座位于梁中 某个

4、位置某个位置 求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系 0M,0Y,0X 举例说明举例说明 P 左边固定铰支座，有两个约束反力左边固定铰支座，有两个约束反力 A B x y Ay R Ax R By R 0X 右边活动铰支座，右边活动铰支座，1个约束反力个约束反力 0RAx 0Y 0PRR ByAy 0M A l 02/lPlRBy 2/PRBy2/PRAy 2/l x y q l 固定端有固定端有3个约束反力个约束反力 Rx Ry AB MA 0X 0Rx 0Y 0lqRy qlRy 0M A 0 2 l qlM A 2 2 1 qlM A 4-3 梁的内

5、力梁的内力 1、剪力和弯矩、剪力和弯矩 与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类： 剪力和弯矩剪力和弯矩 考察弯曲梁的某个横截面考察弯曲梁的某个横截面 x y z Q 弯矩作用面在纵向对称面内弯矩作用面在纵向对称面内 方向沿方向沿Z 轴方向轴方向 M 用用M 表示表示 2、剪力和弯矩正负号的规定、剪力和弯矩正负号的规定 剪力正负号剪力正负号 对所截截面上任一点的对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负力矩顺时针为正，逆时针为负 弯矩正负号弯矩正负号 QQ M MM M 正正 负 正正负负 使梁使梁 x y P1 P2 RAy AB RAx R

6、B x P1 RAy a a MQ 0M 0 xRaxPM Ay1 axPxRM Ay 1 m m 0 Y 0 1 QPRAy 1 PRQ Ay RAx 说明：说明： 1、一般情况下，、一般情况下，x 方向的约束反力为零。方向的约束反力为零。 2、如果不求剪力，可以不建立、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的方向的 平衡方程。平衡方程。 3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要 建立在截面的中心。建立在截面的中心。 举例：举例： x y l q x 求图示简支梁求图示简支梁 x 截面的弯矩截面的弯矩 q RAy M A B 在在x 处截开，取左半部分分析处截开，取

7、左半部分分析 画出外力、约束反力、弯矩画出外力、约束反力、弯矩 x 截面剪力、力矩平衡方程截面剪力、力矩平衡方程 0M 0 xR 2 x qxM Ay qx 2 2 1 qxxRM Ay Q 0 Y 0QqxRAy qxRQ Ay 2 2 1 qxxRM Ay 弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有弯矩最大值在梁的中点，此处剪力为零，有 2 l x 由对称性，可以求得由对称性，可以求得 2 ql RAy 2 ql 8 1 M x y l q x A B qxRQ Ay 4、剪力图和弯矩图、剪力图和弯矩图 将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截 面的分布规律用图形表示面的分

8、布规律用图形表示 x y l q x A B qxRQ Ay 2 2 1 qxxRM Ay x x Q M 2 ql RAy 2 ql 8 1 M （1）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程 PxM MPxM PQ PQY 得 由 得 00 00 0 , , （2）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图 例例4-4 图图4-14a 所示为一简支梁，在所示为一简支梁，在C点受集中力点受集中力P 的作用，的作用， 作此梁的剪力图和弯矩图作此梁的剪力图和弯矩图。 (1) 求支座反力求支座反力 0,0 A MY l Pa R l Pb R BA , (2) 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程

9、AC段段: l Pb RQ A 1 (0 x a) x l Pb xRM A 1 )(ax 0 CB段：段： l Pa P l Pb PRQ A 2 )(lxa )( )()( 2 xl l Pa axPx l Pb axPxRM A )(lxa AC段段: l Pb RQ A 1 (0 x a) x l Pb xRM A 1 )(ax 0 CB段：段： l Pa Q 2)lxa( )( 2 xl l Pa M )(lxa l M RMlR,M l M RlRM,M AAB BBA 0 0 0 0 00 00 0 0 02 0 2 : Mx l M MxRM l M RQCB A A 段 )(

10、lxa （3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图 l bM M 0 max x l M xRM l M RQAC A A 0 1 0 1 : 段 )0(ax 2 , 2 00 00 P l M R P l M R MM BA AB 可得和由 )xl( P x l M Pl Pxx P x l M ) l x(PxRM :CB A 2 22 2 0 0 2 段段 x P x l M xRM :AC A 2 0 1 段段 5、分布载荷、分布载荷q、剪力剪力Q 和弯矩和弯矩 M之间的之间的微分微分 关系关系 0 2 0 0 0 0 dMM dx qdxQdxM M dQQqdxQ Y : : qdx

11、dQ QdxdM q dx Md ,Q dx dM ,q dx dQ 2 2 （1） q = 0 ，Q =常数，为一水平线。常数，为一水平线。M 为为 x 的一次函数，是的一次函数，是 一条斜直线。（一条斜直线。（计算特殊点按计算特殊点按x 顺序连直线顺序连直线） （2）q =常数时，常数时，Q 为为 x 的一次函数，是一条斜直线。的一次函数，是一条斜直线。M 为为 x 的二次函数，是一条抛物线（的二次函数，是一条抛物线（附加中间的特殊点值，用三附加中间的特殊点值，用三 点连抛物线点连抛物线）。）。 （3）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负，为一向右下倾）若均布载荷向下，剪力图曲线的斜率为负

12、，为一向右下倾 斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极斜的直线。此时弯矩图曲线的开口向下，具有极大值，极 值点位于剪力值点位于剪力Q 为零的截面。为零的截面。 （4）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（）集中力使剪力图突变，集中力偶矩使弯矩图突变。（突变突变 值等于集中力或集中力偶矩的值值等于集中力或集中力偶矩的值） m4m4m4m3 kNP2 1 kNP2 2 kNmM D 10m/kNq1 A C D B E A R B R kNRA7 kNRB5 4-2（e） A R B R A B C q =10 kN/m m.20m.40 Q M 0 B M 060204010

13、 0602040 .R. .R.q A A kN.RA331 0 Y kN.RB672 1.33 2.67 0.27 m.130 0.36 A R B R A B m.20m.10 C 10 Nm NRR BA 50 Q M 50 N 10 Nm 4-2（h） A R B R A a2 C a q 0 B M 02 2 1 2aRaaqaaq A qaRA 4 3 qaRB 4 9 Q M 0.28 3/4 5/4 1 a.750 0.5 4-2（j） 4-5（h） A R B R A B C q 2 qam a2aa Q M 5/6 qa1 a 6 11 3/6 0 A M 05233 2

14、a.aqqaaRB qaRB 6 13 qaRA 6 5 7/6 5/6 qa2 1/6 13/72 q 2 qam aa A B C a2 a 2 qam 2 3qa 2 qa qa 2 qa 2 2 qa 2 qa 2 3qa 2 3qa 2 qa A B q P=qa A a4 a q aaaa qa qa qaqa qa2 qa2 2 qa 2 8 11 qa 2 qa 2 3 2 qa 第五章第五章 梁的弯曲应力梁的弯曲应力 5-1 5-1 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力 # 纯弯曲与剪切弯曲纯弯曲与剪切弯曲 # 中性层和中性轴中性层和中性轴 # 弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规

15、律 # 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 各横截面上同时有弯矩各横截面上同时有弯矩M和剪力和剪力Q，称为，称为。 各横截面只有弯矩各横截面只有弯矩M，而无剪力，而无剪力Q，称为，称为。 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂 直于轴线，只是绕直于轴线，只是绕转过一个角度，称为弯曲问转过一个角度，称为弯曲问 题的平面假设。题的平面假设。 中中 性性 层层 中中 性性 轴轴 # 中性层和中性轴中性层和中性轴 x y z 中性层中性层 梁弯曲变形时，既梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中

16、性层。纤维层称为中性层。 对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。 中性轴中性轴 梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。 如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部 将缩短将缩短 dyab ddxab dxdOO )( 21 )( )( a y d ddy ab abab 变形的几何关系为：变形的几何关系为： 2、应力和变形的关系（物理关系）、应力和变形的关系（物理关系） y EE 由虎克定律由虎克定律 )( )( a y d ddy ab abab 弯曲

17、正应力分布规律弯曲正应力分布规律 M 与中性轴距离相等的点，与中性轴距离相等的点， 正应力相等；正应力相等； M y EE 3、静力学关系分析、静力学关系分析 0 A dA 0 AA ydA E ydA E 0 A ydA 00 0 c c zc A yA Ay SAyydA 没有轴向力没有轴向力 y EE 中性轴必然通过横中性轴必然通过横 截面的形心截面的形心 质心坐标质心坐标 静矩，面积矩静矩，面积矩 MdAy A MdAy E dA)y E (y AA 2 z z A z EI M M EI dAyI 1 2 或或 令令 y EE 抗弯刚度抗弯刚度 z I My z I My 横截面上横

18、截面上 某点正应力某点正应力 该点到中性轴该点到中性轴 距离距离 该截面弯矩该截面弯矩 该截面惯性矩该截面惯性矩 mN ql M max 3000 2 16000 2 22 图图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布，均布 载荷集度载荷集度q=6kN/m；梁由；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面号槽钢制成，由型钢表查得横截面 的惯性矩的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。 （1）作弯矩图，）作弯矩图， 求最大弯矩求最大弯矩 因危险截面上的弯因危险截面上的弯 矩为负，故截面矩为负，故截面

19、上缘上缘受受 最大拉应力，其值为最大拉应力，其值为 在截面的在截面的下端下端受最大压应力，其值为受最大压应力，其值为 MPa385Pa10385 0328. 0 106 .25 3000 6 8 2 max max y I M z C （2）求最大应力）求最大应力 MPa178Pa10178 0152. 0 106 .25 3000 6 8 1 max max y I M z T 5-2 5-2 惯性矩的计算惯性矩的计算 1、简单截面的惯性矩、简单截面的惯性矩 123 3 2 2 3 22 2 2 bhy bbdyydAyI h h A z h h 12 3 bh Iz 12 3 hb Iy

20、矩形截面矩形截面 圆形与圆环截面圆形与圆环截面 32 4 2 D dAI A p yzP y A z A A A P III IIdAzdAy dA)zy( dAI 22 22 22 2 实心圆实心圆 642 4 dI II P yz 空心圆空心圆 44 642 dD I II P yz 4 4 1 642 DI II P yz D d zIIz AA z IIdAydAyI 12 22 平行移轴公式平行移轴公式 AAAA z A z dAaydAadAydAayI dAyI 222 2 1 2)( 1 1 AbII AaII yy zz 2 2 1 1 A A ccz ydA yAySydA

21、 0 0且且 求求T字形截面的中性轴字形截面的中性轴 z，并求，并求截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩. 将截面划分为将截面划分为 、两矩形，取两矩形，取 与截面底边相重合的与截面底边相重合的z 轴为参考轴为参考 轴，则两矩形的面积及其形心至轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为：轴的距离分别为： cm1 2 2 cm1226 cm5 2 6 2 cm1262 2 2 II II I I y A y A 整个截面的形心整个截面的形心C 在对称轴在对称轴 y上的位置则为：上的位置则为： cm3 1212 112512 III IIIIIIii C AA yAyA A yA y 即中

22、性轴即中性轴 z 与轴与轴 z 的距离为的距离为3cm。 （2）求各组合部分对中性）求各组合部分对中性 轴轴z的惯性矩的惯性矩 设两矩形的形心设两矩形的形心C 和 和C ；其形心轴为 ；其形心轴为z1和和z2，它们距，它们距z轴的轴的 距离分别为：距离分别为： cm2,cm2 IIIIII CCaCCa 由平行移轴公式，两矩形对中由平行移轴公式，两矩形对中 性轴性轴z的惯性矩为：的惯性矩为： 42 3 2 2 42 3 2 1 cm52122 12 26 cm84122 12 62 IIIIIIzzII IIIzzI AaII AaII 将两矩形对将两矩形对z轴的惯性矩相加，得轴的惯性矩相加，

23、得 4 cm1365284 zIIzIz III （3）求整个截面对中性轴）求整个截面对中性轴 的惯性矩的惯性矩 3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大弯某截面上最大弯 曲正应力发生在截面曲正应力发生在截面 的上下边界上：的上下边界上： Z max W M WZ 称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，Z 为中性轴为中性轴. 矩形截面矩形截面 Z b h 6 bh W 2 Z 实心圆截面实心圆截面 Zd 32 d W 3 Z max Z Z y I W 5-3 梁的强度条件梁的强度条件 # 梁的最大正应力梁的最大正应力 # 梁的强度条件梁的强度条件 # 举例举例 1、梁的最大正应力、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面 梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上 危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部 危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力 梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危 险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处 Z max max W M 2、梁的强度条件、梁的