第四章 振动基础理论

1、第四章第四章 振动理论基础振动理论基础 单自由度系统强迫振动单自由度系统强迫振动 工程中的自由振动由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止工程中的自由振动由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止 实际上又存在有大量不衰减的持续振动，由于外界有能量输入以补充阻尼实际上又存在有大量不衰减的持续振动，由于外界有能量输入以补充阻尼 的消耗，有的承受外加的激振力。的消耗，有的承受外加的激振力。 在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。 k m 一一. 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动 交流电通过电磁交流电通过电磁 铁产生交变的电铁产生交变的电 磁力

2、引起振动系磁力引起振动系 统；统； 弹性梁上的电动机由于转子偏心在弹性梁上的电动机由于转子偏心在 转动时引起的振动等。转动时引起的振动等。 )sin(tHF简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力：简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力： H：激振力力幅；激振力力幅；：激振力的圆频率；：激振力的圆频率；：激振力初相位：激振力初相位 m 设设F为简谐激振力，为简谐激振力， F在坐标轴上的投在坐标轴上的投 影写成：影写成： )sin(tHF )sin( 2 2 tHkx dt xd m m k n 2 M H h k F F kxFk 1.振动微分方程振动微分方程 k m x O x 图示振动系统，

3、物块质量为图示振动系统，物块质量为m。 取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下. )sin( 2 2 2 thx dt xd n 恢复力恢复力Fk 在坐标轴上的投影为在坐标轴上的投影为 两端除以两端除以m，并设：，并设： 物块受力有恢复力物块受力有恢复力Fk和激振力和激振力F。 质点的运动微分方程为质点的运动微分方程为 则得：则得： 该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 )sin( 2 2 2 th dt xd n 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 21 xxx )sin( 1 tAx

4、 n )sin( 2 tbx 解由两部分组成：解由两部分组成： 齐次方程的通解为齐次方程的通解为: : 将将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：代入无阻尼受迫振动微分方程，得： )sin()sin()sin( 22 thtbtb n 22 n h b )sin()sin( 22 t h tAx n n b为待定常数为待定常数设特解为：设特解为： 得得无阻尼受迫振动微分方程无阻尼受迫振动微分方程的全解的全解： 解得：解得： 表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的： 第一部分是频率为固有频率的自由振动；第一部分是频率为固有频率的自由振动； 第二部分是频率

5、为激振力频率的振动，称为受迫振动。第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。 实际振动系统存在阻尼，自由振动部分总会逐渐衰减下去，实际振动系统存在阻尼，自由振动部分总会逐渐衰减下去， 因而我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态的振动。因而我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态的振动。 )sin()sin( 22 t h tAx n n 2.受迫振动的振幅受迫振动的振幅 )sin( 2 tbx 22 n h b 在简谐激振的条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动在简谐激振的条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动 频率等于激振力的频率，振幅的大小与运动起始条件无关，频率等于激振力的频

6、率，振幅的大小与运动起始条件无关， 与振动系统的固有频率与振动系统的固有频率n激振力的力幅激振力的力幅H、激振力频率、激振力频率 有关。有关。 (1) 若若0，此时激振力的周期趋近于无穷大，激振力为一恒力，并不振，此时激振力的周期趋近于无穷大，激振力为一恒力，并不振 动，所谓的动，所谓的b0振幅实为静力振幅实为静力H作用下的静变形。作用下的静变形。 下面讨论受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系下面讨论受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系 22 n h b k Hh b n 2 0 (2)若若0n 按式按式b为负值。习惯上把振幅都取为正值，因而取其绝对值，为负值。习惯上把振幅都取为正值，因而取其

7、绝对值， 而视受迫振动与激振力反向，相位应加（或减）而视受迫振动与激振力反向，相位应加（或减）1800。 随着激振力频率随着激振力频率增大，振幅增大，振幅b减小。当减小。当趋于趋于，振幅，振幅b减小趋减小趋 于零。于零。 将纵轴取为将纵轴取为= b/b0，横轴取为，横轴取为=/n， 和和都是无量纲的都是无量纲的 量，绘出无量纲的振幅频率曲线。量，绘出无量纲的振幅频率曲线。 b n 0 b b 1 n 振幅振幅b与激振力频率与激振力频率之间的关系之间的关系 22 n h b 绘出曲线表示。该曲线称为振幅频率曲线绘出曲线表示。该曲线称为振幅频率曲线 上述分析，当上述分析，当=n时，即激振力频率等于

8、系统的固有频率时，振幅时，即激振力频率等于系统的固有频率时，振幅b在在 理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。理论上应趋向无穷大，这种现象称为共振。 22 n h b )sin( 2 2 2 thx dt xd n 此时特解应设为：此时特解应设为： )cos( 2 tBtx n (3) 共振现象共振现象 当当=n时时 是没有意义的是没有意义的 无阻尼受迫振动微分方程无阻尼受迫振动微分方程 得： n h B 2 )cos( 2 2 tt h x n n t h b n 2 它的幅值为：它的幅值为： 共振时受迫振动的运动规律为共振时受迫振动的运动规律为: : t t O 实际上，由于系统存在阻尼，

9、共振时振幅不可能达到无限大，实际上，由于系统存在阻尼，共振时振幅不可能达到无限大， 一般来说，共振时的振幅都是相当大，往往使机器产生过大一般来说，共振时的振幅都是相当大，往往使机器产生过大 的变形，甚至造成破坏。的变形，甚至造成破坏。 因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。 当当=n时，系统共时，系统共 振，受迫振动的振振，受迫振动的振 幅随时间无限地增幅随时间无限地增 大，其运动图线如大，其运动图线如 图示。图示。 )cos( 2 2 tt h x n n 例例. 图示为一无重刚杆图示为一无重刚杆AO，杆长为，杆长为l，其一端，其一端

10、O铰支另一端铰支另一端A水平悬挂在刚水平悬挂在刚 度为度为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球。若在点的小球。若在点A加一激振力加一激振力 F=F0sint,其中激振力的频率其中激振力的频率=1/2n , , n为系统的固有频率。忽略阻尼，为系统的固有频率。忽略阻尼， 求系统的受迫振动规律。求系统的受迫振动规律。 k m 2 l 2 l F A O 解：解： 设任一瞬时刚杆摆角为设任一瞬时刚杆摆角为， 根据刚体转动微分方程可以根据刚体转动微分方程可以 建立系统的运动微分方程。建立系统的运动微分方程。 tlFkl l msin) 2 ( 0 22 令 ml F

11、m lF h O0 2 4 ) 2 1 ( m k l m kl n 4 ) 2 ( 2 2 2 微分方程整理为：微分方程整理为： th n sin 2 t h n sin 22 将将=1/2n代入上式代入上式 t h n sin 4 3 22 k m 2 l 2 l F A O th n sin 2 解得：解得： )sin 4 4 3 /( 4 0 t m k ml F t kl F sin 3 4 0 研究受迫振动方程特解研究受迫振动方程特解 t 1 m 2 m 例例. 图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1

12、， 偏心块的质量为偏心块的质量为m2 ，偏心距为，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速，求当电机以角速 度度匀速旋转时系统的受迫振动规律。匀速旋转时系统的受迫振动规律。 解：解： 1) 取电机与偏心块质点系为研究对取电机与偏心块质点系为研究对 象象 设电机轴心在瞬时设电机轴心在瞬时t相对其平衡位置相对其平衡位置 O的坐标为的坐标为x， kxp dt d x x x O 2）作用力：在系统上的恢复力）作用力：在系统上的恢复力: 3) 质点系动量定量的微分形式质点系动量定量的微分形式 k F kxFk 则偏心块坐标为：则偏心块坐标为：x+esint 。 kxtex

13、dt d m dt dx m dt d )sin( 21 temkxxmmsin)( 2 221 此微分方程为质点受迫振动，激振力项此微分方程为质点受迫振动，激振力项 m2e2sint 即电机旋转时，偏心块的离心惯性力在即电机旋转时，偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影。轴方向的投影。 激振力力幅为激振力力幅为 m2e2 等于离心惯性力的大小等于离心惯性力的大小 激振力的圆频率等于转子的角速度激振力的圆频率等于转子的角速度。 这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。 )sin( 21 tex dt d m dt dx m mp ixix kxp

14、 dt d x t 1 m 2 m x x O k F 整理后得：整理后得： 当当n时，振幅随着增大而减时，振幅随着增大而减 小，最后趋于小，最后趋于m2e/(m1 +m2) 。 b 21 2 mm em n O 此曲线当此曲线当n时，振幅时，振幅 从零开始，随着频率增大从零开始，随着频率增大 而增大；而增大； 令：令： 2 2 emH 21 2 2 mm em h 2 21 2 2 2 )( mmk emh b n 绘出振幅频率曲线。绘出振幅频率曲线。 当当=n时，振幅趋于时，振幅趋于； 受迫振动振幅：受迫振动振幅： 例例. 图为一测振仪的简图，其中物块质量为图为一测振仪的简图，其中物块质量

15、为m，弹簧刚度为，弹簧刚度为k。测振仪放。测振仪放 在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为s=esint， 求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。 解：解： 1）取测振仪为研究对象）取测振仪为研究对象 测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬 挂点的运动规律就是挂点的运动规律就是s=esint 。 2）位移分析）位移分析 取取t=0时物块的平衡位置为坐标原时物块的平衡位置为坐标原 点点O，取，取x轴如图。如弹簧原长为轴如图。如弹簧原长为l0， st

16、为其静伸长。设任一时刻为其静伸长。设任一时刻t时，物时，物 块的坐标为块的坐标为x，弹簧的变形量为，弹簧的变形量为 s s s 0 l st x x O sx st 3）物块运动的微分方程：）物块运动的微分方程： )(sxkmgxm st s s s 0 l st x x O teskmg st sin, 整理为：整理为： tkekxxmsin 可见物块的运动微分方程为可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。无阻尼受迫振动的微分方程。 物块的受迫振动形式：物块的受迫振动形式： tbxsin 激振力的力幅为激振力的力幅为 keH 2 2222 )(1 )( n nn e m keh

17、b b为物块绝对运动的振幅。为物块绝对运动的振幅。 由于测振仪壳体运动的振幅为由于测振仪壳体运动的振幅为e，记录纸上画出的振幅为物块相对于，记录纸上画出的振幅为物块相对于 测振仪的振幅测振仪的振幅 a=|b-e|。当。当n 时，时，b0，有，有ae。 一般测振仪的物块质量较大，弹簧刚度一般测振仪的物块质量较大，弹簧刚度k很小，使很小，使n很小。很小。 用它来检测频率用它来检测频率不太低的振动时，物块几乎不动，记录纸上画出的不太低的振动时，物块几乎不动，记录纸上画出的 振幅也就接近于被测物体的振幅。振幅也就接近于被测物体的振幅。 s s s 0 l st x x O tkekxxmsin kxF

18、k dt dx ccFc tHFsin 可建立质点运动微分方程可建立质点运动微分方程 tH dt dx ckx dt xd msin 2 2 k c m F c F k F 若选平衡位置若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。为坐标原点，坐标轴铅直向下。 则各力在坐标轴上的投影为：则各力在坐标轴上的投影为： 二二. 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动 x 图示有阻尼振动系统，设物块的质量为图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性恢，作用在物块上的力有线性恢 复力复力Fk、粘性阻尼力、粘性阻尼力Fc和简谐激振力和简谐激振力F。 , 2 m k n ,2

19、 m c n m h h 整理得：整理得： thx dt dx n dt xd n sin2 2 2 2 有阻尼受迫振动微分方程的标准形式有阻尼受迫振动微分方程的标准形式 二阶线性常系数非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程 其解由两部分组成：其解由两部分组成： 21 xxx x1 ：齐次方程的通解：齐次方程的通解 在小阻尼在小阻尼（n n ）情形下，有情形下，有 )sin( 22 1 tnAex nn nt tH dt dx ckx dt xd msin 2 2 k c m F c F k F x 两端除以两端除以m，并令：，并令： x2 ：对应齐次方程的特解：对应齐次方程的特解 设它的

20、形式为：设它的形式为： )sin( 2 tbx 其中其中表示受迫振动的相位落表示受迫振动的相位落 后于激振力的相位角。后于激振力的相位角。 代入微分方程，可得：代入微分方程，可得： thtb tnbtb n sin)sin( )cos(2)sin( 2 2 将右端改写为：将右端改写为： )sinsinthth )cos(sin)sin(costhth 可整理为：可整理为： k c m F c F k F x thx dt dx n dt xd n sin2 2 2 2 对任意瞬时对任意瞬时t，必须满足：，必须满足： 0sin2 0cos)( 22 hnb hb n 22222 4)(n h b

21、 n 22 2 tan n n )sin()sin( 22 tbtnAex n nt 其中其中A A和和 为积分常数，由运动的初始条件确定。为积分常数，由运动的初始条件确定。 有阻尼受迫振动由两部分合成：有阻尼受迫振动由两部分合成： 第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动 0)cos(sin2)sin(cos)( 22 thnbthb n k c m F c F k F x 两方程联立，可解出：两方程联立，可解出： 得微分方程的通解为：得微分方程的通解为： x O t x O t x O t )sin()sin( 22 tbtnAex n nt 由于阻尼的

22、存在由于阻尼的存在 第一部分振动随时间第一部分振动随时间 的增加，很快地衰减，的增加，很快地衰减， 这段过程称为过渡过这段过程称为过渡过 程（瞬态过程）程（瞬态过程）. . 过渡过程是很短暂的。过渡过程是很短暂的。 过渡过程之后，系统过渡过程之后，系统 进入稳态过程。进入稳态过程。 )sin( 2 tbx 有阻尼存在，受简谐激振力作用的受迫振动仍然是谐振动，其振动频率有阻尼存在，受简谐激振力作用的受迫振动仍然是谐振动，其振动频率 等于激振力的频率，其振幅表达式为：等于激振力的频率，其振幅表达式为： 22222 4)(n h b n 受迫振动的振幅不仅与激振力的力幅有关，还与激振力的频率受迫振动

23、的振幅不仅与激振力的力幅有关，还与激振力的频率以及振以及振 动系统的参数动系统的参数m、k和阻力系数和阻力系数c有关。有关。 下面研究稳态过程的振动。下面研究稳态过程的振动。 由受迫振动的运动方程特解可知：由受迫振动的运动方程特解可知： 2222 4)1 ( 1 o b b 2 1 2 tan 22222 4)(n h b n 22 2 tan n n 采用无量纲形式，横轴表示频率比采用无量纲形式，横轴表示频率比=/=/n, ,纵轴表示振幅比纵轴表示振幅比=b/b=b/b0。 阻尼的改变用阻尼比阻尼的改变用阻尼比=c/c=c/cc c= =n/n来表示。来表示。 0 15. 0 20. 0 2

24、5. 0 50. 0 70. 0 00. 1 不同阻尼条件下受迫振动的振幅频率曲线不同阻尼条件下受迫振动的振幅频率曲线 阻尼对振幅的影响程度与频率有关阻尼对振幅的影响程度与频率有关 1）当）当n时，阻尼对振幅的影响甚微，可忽略系统的阻尼而时，阻尼对振幅的影响甚微，可忽略系统的阻尼而 当作无阻尼处理。当作无阻尼处理。 2）当）当n （即（即1）时，振幅显著地增大。这时阻尼对振幅）时，振幅显著地增大。这时阻尼对振幅 有明显的影响，即阻尼增大，振幅显著地下降。有明显的影响，即阻尼增大，振幅显著地下降。 22222 4)(n h b n 振幅振幅bmax具有最大值，这时的频率具有最大值，这时的频率称为

25、共振频率。称为共振频率。 在共振频率下的振幅为：在共振频率下的振幅为： 22 max 2nn h b n 22222 4)(n h b n 222 212 nn n 当当 时时 或 2 max 12 o b b 在一般情况下，阻尼比在一般情况下，阻尼比n时，有阻尼受迫振动的振幅影响也较小，时，有阻尼受迫振动的振幅影响也较小， 这时可以忽略阻尼，将系统当作无阻尼系统处理。这时可以忽略阻尼，将系统当作无阻尼系统处理。 )sin( 2 tbx 有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角， 称为相位差。称为相位差。 22 2 tan n n 表达了相位差随

26、谐振力频率的变化关系。表达了相位差随谐振力频率的变化关系。 2 1 2 tan 或 2 1 2 tan 由微分方程的特解由微分方程的特解 画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线） 01 . 0 2 . 0 5 . 0 0 . 1 0 . 4 0 . 2 0 . 4 1 . 0 2 . 0 5 . 0 0 . 1 相频曲线可看到：相位差总是在相频曲线可看到：相位差总是在0至至180区间变化，是一区间变化，是一 单调上升的曲线。共振时：单调上升的曲线。共振时：=n =90 ，阻尼值不同的曲，阻尼值不同的曲 线都交于这一点。越过共振区之后，随着频率线都

27、交于这一点。越过共振区之后，随着频率的增加，相的增加，相 位差趋近位差趋近180，这时激振力与位移反相。，这时激振力与位移反相。 相频曲线相频曲线 2 1 2 tan 解：解： 1) 取系统为研究对象取系统为研究对象 2）受力分析）受力分析 kc m lll F 例例. 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端如图所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端l处有一质量为处有一质量为m的质点，的质点， 距距2l处有一阻尼器，其阻尼系数为处有一阻尼器，其阻尼系数为c，距，距3l处有一刚度为处有一刚度为k的弹簧，并作用一的弹簧，并作用一 简谐激振力简谐激振力F=F0sint。刚杆在水平位置平衡，试列出

28、系统的振动微分方程，。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程， 并求系统的固有频率并求系统的固有频率n以及当激振力频率以及当激振力频率等于等于n时质点的振幅。时质点的振幅。 k F c F 3）建立系统的振动微分方程）建立系统的振动微分方程 设刚杆在振动的摆角为设刚杆在振动的摆角为，由动量，由动量 矩定理：矩定理： tlFklclmlsin394 0 222 整理得：整理得： t ml F m k m c sin 394 0 令： m k n 9 m c n 2 ml F h 0 3 k m c F lbB 4 0 当当=n时，其摆角时，其摆角的振的振 幅为：幅为： 22222 4)(n

29、 h b n k m cl F lc F n h b n 44 3 2 00 t ml F m k m c sin 394 0 kc m lll F k F c F 质点的振幅：质点的振幅： 工程中的回转机械，如涡轮机、电机等，在运转时经常由工程中的回转机械，如涡轮机、电机等，在运转时经常由 于转轴的弹性和转子偏心而发生振动。于转轴的弹性和转子偏心而发生振动。 当转速增至某个特定值时，振幅会突然加大，振动异常激当转速增至某个特定值时，振幅会突然加大，振动异常激 烈，当转速超过这个特定值时，振幅又会很快减小。使转子烈，当转速超过这个特定值时，振幅又会很快减小。使转子 发生激烈振动的特定转速称为发

30、生激烈振动的特定转速称为临界转速临界转速。 三三. 转子的临界转速转子的临界转速 以单圆盘转子为例，说明这现象以单圆盘转子为例，说明这现象 y x t O A C g F F z O C A 设圆盘的质量为设圆盘的质量为m，质心为，质心为C，点，点A为圆盘与转轴的为圆盘与转轴的 交点，偏心距交点，偏心距e=AC。 圆盘与转轴一起以匀角速度圆盘与转轴一起以匀角速度转动时，由于惯性力转动时，由于惯性力 的影响，转轴将发生弯曲而偏离原固定的几何轴线的影响，转轴将发生弯曲而偏离原固定的几何轴线 z 。 设点设点O为为z轴与圆盘的交点，轴与圆盘的交点，rA=OA为转轴上点为转轴上点A的的 挠度（变形）挠

31、度（变形） 在俯视图上，设转轴安在圆盘中点，在俯视图上，设转轴安在圆盘中点， 当轴弯曲时，圆盘仍绕点当轴弯曲时，圆盘仍绕点O匀速转动。匀速转动。 圆盘惯性力的合力圆盘惯性力的合力Fg通过质心，背离轴心点通过质心，背离轴心点O，大，大 小为小为Fg =m2OC。 作用在圆盘上的弹性恢复力作用在圆盘上的弹性恢复力F指向轴心点指向轴心点O，大小，大小 为为F=krA ，k为轴的刚度系数。为轴的刚度系数。 图示的单圆盘转子垂直地安装在无质量的弹性转轴上。图示的单圆盘转子垂直地安装在无质量的弹性转轴上。 )( 22 ermOCmkr AA 由达朗伯原理，惯性力由达朗伯原理，惯性力Fg与恢复力与恢复力F相

32、互平衡相互平衡 而点而点O、A、C应在同一直线上，且有：应在同一直线上，且有： y x t O A C g F F 2 2 mk em rA 以以m除分子与分母除分子与分母 m k 系统的固有频率系统的固有频率 22 2 n A e r则上式为：则上式为： 解出解出A点挠度：点挠度： 2 2 m k e rA 当转动角速度从当转动角速度从0逐渐增大时，挠度逐渐增大时，挠度rA也逐渐增大；也逐渐增大； 当当=n时，时， rA趋于无穷大。趋于无穷大。 实际上由于阻尼和非线性刚度的影响，实际上由于阻尼和非线性刚度的影响，rA为一很大的有限为一很大的有限 值。值。 使转轴挠度异常增大的转动角速度称为临

33、界角速度，记为使转轴挠度异常增大的转动角速度称为临界角速度，记为 cr ，它等于系统的固有频率，它等于系统的固有频率n； 此时的转速称为临界转速，记为此时的转速称为临界转速，记为nn 22 2 n A e r A r e ncr O 当当 cr时上式为负值，取时上式为负值，取rA其绝对值；其绝对值； 再增大时，挠度值再增大时，挠度值rA迅速减小而趋于定值迅速减小而趋于定值e（偏心距），（偏心距）， 此时质心位于点此时质心位于点A与点与点O之间，如之间，如b图所示。图所示。 当当cr时，时，rA e，这时质心，这时质心C与轴心点与轴心点O趋于重合，即圆趋于重合，即圆 盘绕质心盘绕质心C转动，这种

34、现象称为自动定心现象。转动，这种现象称为自动定心现象。 22 2 n A e r A r e ncr O 偏心转子转动时，由于惯性力作用，偏心转子转动时，由于惯性力作用， 弹性转轴将发生弯曲而绕原几何轴线转动，弹性转轴将发生弯曲而绕原几何轴线转动， 称称“弓状回转弓状回转”。轴承压力的方向周期性。轴承压力的方向周期性 变化。变化。 当转子角速度接近临界角速度、转轴当转子角速度接近临界角速度、转轴 的变形和惯性力都急剧增大，轴承承受很的变形和惯性力都急剧增大，轴承承受很 大的动压力，机器会发生剧烈振动。大的动压力，机器会发生剧烈振动。 在一般情况下，转子不允许在临界转在一般情况下，转子不允许在临

35、界转 速下运转，只能在远低于或远高于临界转速下运转，只能在远低于或远高于临界转 速下运行。速下运行。 z O C A 工程中，振动现象是不可避免的，因为有许多回转机械中工程中，振动现象是不可避免的，因为有许多回转机械中 的转子不可能达到绝对的转子不可能达到绝对“平衡平衡”，往复机械的惯性力更无法平，往复机械的惯性力更无法平 衡，这些都是产生振动的来源。衡，这些都是产生振动的来源。 对这些不可避免的振动只能采用各种方法进行隔振或减振。对这些不可避免的振动只能采用各种方法进行隔振或减振。 四四.隔隔 振振 将振源与需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼元件进将振源与需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼元

36、件进 行隔离，这种措施称为隔振。行隔离，这种措施称为隔振。 隔振分为：隔振分为： 主动隔振主动隔振 被动隔振被动隔振 主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来。 图示电动机为一振源，在电动机与基础之间用橡胶块隔离开来，以减弱图示电动机为一振源，在电动机与基础之间用橡胶块隔离开来，以减弱 通过基础传到周围物体去的振动。通过基础传到周围物体去的振动。 k c m F k F c F 1.主动隔振主动隔振 振源产生的激振力振源产生的激振力 F(t)=Hsint 物块与基础间弹簧刚度：物块与基础间弹簧刚度：k 阻尼系数：阻尼系数：c 根据有阻尼受迫振动的理论根

37、据有阻尼受迫振动的理论 物块的振幅为：物块的振幅为： 2222 0 22222 4)1 (4)( b n h b n 对图示主动隔振的简化模型。对图示主动隔振的简化模型。 物块振动时传递到基础上的力为两部分：物块振动时传递到基础上的力为两部分： 一部分是由于弹簧变形而作用于基础上的力：一部分是由于弹簧变形而作用于基础上的力： )sin(tkbkxFk )cos(tcbxcFck c m F k F c F 两部分力相位差为两部分力相位差为90，频率相同，合成为一个，频率相同，合成为一个 同频率合力，合力的最大值为：同频率合力，合力的最大值为： 222 max 2 maxmax )()(cbkb

38、FFF ckN 22 max 41 kbFN即：即： FNmax：振动时传递给基础作用力的最大值：振动时传递给基础作用力的最大值 另一部分是通过阻尼元件作用于基础的力：另一部分是通过阻尼元件作用于基础的力： 2222 22 max 4)1 ( 41 H FN 它与激振力的力幅它与激振力的力幅H之比为：之比为： 2 0 125. 0 2 . 0 35. 0 7 . 0 0 . 2 )( n 称为力的传递率。称为力的传递率。 表明力的传递率与阻尼和激振频率有关。表明力的传递率与阻尼和激振频率有关。 1）1.414，1.414时，加大阻尼会使时，加大阻尼会使 振幅增大，降低隔振效果。振幅增大，降低隔

39、振效果。 5）阻尼太小，机器过共振区）阻尼太小，机器过共振区 时会产生很大的振动，隔振，时会产生很大的振动，隔振， 要选择恰当阻尼值。要选择恰当阻尼值。 不同阻尼时传递率不同阻尼时传递率与频率比与频率比的关系曲线。的关系曲线。 地基振动将引起物体的振动，这种激振称为位移激振。地基振动将引起物体的振动，这种激振称为位移激振。 设物块的振动位移为设物块的振动位移为x，则作用在物块上，则作用在物块上 )( 1 xxk tdxsin 1 k c m tdxsin 1 x 将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振。 例如，在精密仪器的底下垫上橡皮或泡沫塑料，将放置在

40、汽车上的测量例如，在精密仪器的底下垫上橡皮或泡沫塑料，将放置在汽车上的测量 仪器用橡皮绳吊起来等。仪器用橡皮绳吊起来等。 图示一被动隔振的简化模型。物块表示被隔振的图示一被动隔振的简化模型。物块表示被隔振的 物体，质量为物体，质量为m；弹簧和阻尼器表示隔振元件，；弹簧和阻尼器表示隔振元件， 弹簧的刚性系数为弹簧的刚性系数为k，阻尼器的阻尼系数为，阻尼器的阻尼系数为c。 设地基振动为简谐振动，即：设地基振动为简谐振动，即： )( 1 xxc 2.被动隔振被动隔振 弹簧力为：弹簧力为： 阻尼力为：阻尼力为： )()( 11 xxcxxkxm 质点运动微分方程为质点运动微分方程为 整理得整理得 11

41、 cxkxkxxcxm tdxsin 1 tdctkdkxxcxmcossin 右端两个同频率的谐振动合成，得右端两个同频率的谐振动合成，得 )sin(tHkxxcxm 222 ckdH k c m tdxsin 1 x 其中：其中： k c arctan 设上述方程的特解（稳态振动）为设上述方程的特解（稳态振动）为 )sin(tbx )sin(tHkxxcxm 2222 222 )( cmk ck db 写成无量纲形式为写成无量纲形式为 2222 22 4)1 ( 41 d b 其中其中 是振动物体的位移与地基激振位移之比，称为位移的是振动物体的位移与地基激振位移之比，称为位移的 传递率。位

42、移传递率曲线与力的传递率曲线相同。传递率。位移传递率曲线与力的传递率曲线相同。 在被动隔振中，对隔振元件的要求与主动隔振是一样的。在被动隔振中，对隔振元件的要求与主动隔振是一样的。 k c m tdxsin 1 x 曲线曲线 当当 1 , 1，无隔振效果无隔振效果（ n ）。）。 2 1在在区域内，区域内，不隔振，反而放大不隔振，反而放大 1共振共振 1 , 2，隔振区隔振区 令令 , %100)1 (为隔离振动百分率。为隔离振动百分率。 %100 1 2 %100 1 1 1 2 2 当当 55 . 2时，时， %9681一般取一般取 55 . 2 1.0 1.0 2 隔振要求隔振要求 5)

43、2.5( n 55 . 2 即：高频振动易隔离，即：高频振动易隔离，低频振动很难隔离低频振动很难隔离,因因系系 统弹簧刚度要低（统弹簧刚度要低（k要小，但要小，但k太小系统又不稳太小系统又不稳 定定,，应，应无法满足隔振要求无法满足隔振要求 采用主动，半主动隔振）采用主动，半主动隔振） 隔振设计步骤隔振设计步骤 a. 按按 要求确定要求确定 b. 计算设备质量计算设备质量m（从图纸等有关资料）（从图纸等有关资料） c. 计算隔振装置刚度计算隔振装置刚度 d. 验算隔振后振幅，若振幅太大可增大设验算隔振后振幅，若振幅太大可增大设 备质量备质量m或改变隔振器参数出（增大或改变隔振器参数出（增大 ）

44、 55 . 2 mk 2 n 例：系统固有频率为例：系统固有频率为3.8Hz ，隔振器阻尼，隔振器阻尼 比比 ，地基干扰为正弦干扰。振，地基干扰为正弦干扰。振 幅幅 ，最大振动速度，最大振动速度 求隔振后设备振幅。求隔振后设备振幅。 125. 0 m102Y 5 4 1.256 10/Ym s c m k y(t) 地面扰动频率为地面扰动频率为 srad Y Y /28. 6 102 10256. 1 5 4 而而 ) s/rad(9 .238 . 32f2 n 2 . 0 )2()1 ( )2(1 222 2 设备振幅设备振幅 mYX 65 1042 . 0102 例：一机器质量为例：一机器

45、质量为kg690m ，机器工作时产生，机器工作时产生 的激振力为的激振力为 tsinF) t (F o ， 122.5rad/s 186gNFo 已知已知s/cm1v，作隔振设计。，作隔振设计。 取取 srad n /8 .40 3 5 .122 3 n 初步设计取初步设计取 0有有 125. 0 1 1 2 XX 则则 )/(45. 2125. 0 6908 .40 981186 5 .122 22 Vscm m F X n o 为此增大质量，设增加质量为为此增大质量，设增加质量为 m （基础质量），（基础质量）， 则总质量则总质量 mmM 从从 2 V M F X n o 有：有： kg

46、V F M n o 1690 18 .40 125. 09811865 .122 22 kg1000mMm 隔振弹簧刚度隔振弹簧刚度 )m/N(108 . 21690)8 .40(Mk 622 n 五五. 振系在任意周期力作用下的强迫振动振系在任意周期力作用下的强迫振动 )(tfkxxm 对 tnatftnbtf nn cos)( sin)(与有 )sin( nn tnXx及 )cos( nn tnXx 其中 k A n n X n n n n 2 2 2 22 21 1 nnn baA或 2 1 1 2 n n n n n tg 任意周期力可展为富里叶级数任意周期力可展为富里叶级数 ) tn

47、sinbtncosa ( 2 a ) t (f nn o 则则 22222 )/2()/1 ( )sin()(cos 2 nn nnnno nnk tnbtna k a x 六六.振系在任意激励下的强迫振动振系在任意激励下的强迫振动 脉冲响应函数脉冲响应函数 假定在假定在 0t 时的极短时的极短 时间间隔时间间隔 之内质量之内质量m受到一个受到一个 冲量冲量I作用，且作用，且 dtPI)( 则质量则质量m将产生一个初速度将产生一个初速度 o x 而初位移为零（而初位移为零（d很短，系统很短，系统 来不及产生位移）来不及产生位移） d m p m I xo o x 0 c k P(t) m 系统对此初始条件的响应为系统对此初始条件的响应为 txt d xx ex dod on nt cossin )(sin tIhte m I d t d n teth d t n sin m 1 )( d 是系统对单位脉冲是系统对单位脉冲1I 的响应，叫单位的响应，叫单位 脉冲响应，它只与系统参数有关。脉冲响应，它只与系统参数有关。 ) t (h 2.