第二章正投影基础(体投影)

1、基本形体的投影 2. 2. 棱锥 (1) 棱锥的投影棱锥的投影 由一个底面和三个侧棱面由一个底面和三个侧棱面组组 成。成。侧棱线交于有限远的一侧棱线交于有限远的一 点点 锥顶锥顶。正三棱锥是正三棱锥是锥体锥体中中 底面是底面是等边三角形等边三角形，三个侧面是，三个侧面是 全等的全等的等腰三角形等腰三角形的的三棱锥三棱锥。 棱锥处于图示位置时，其底棱锥处于图示位置时，其底 面面ABC是水平面，在俯视图上反是水平面，在俯视图上反 映实形，映实形，正面投影和正面投影和侧面投影侧面投影积积 聚聚成水平直线段成水平直线段 。 A B C S 以正三棱锥为例以正三棱锥为例 A B C S a b c a

2、(c) b s s a b c s 棱面棱面SAC为为 侧垂面，侧垂面，侧面投侧面投 影影积聚积聚成直线段成直线段, 正面投影和正面投影和水平水平 投影为类似形。投影为类似形。 另两个棱面另两个棱面 （SAB,SBC)为一为一 般位置平面，般位置平面，三三 投影均不反映实投影均不反映实 形。形。 ( ) k k k b s n n n A B C S s s N a b c 作图步骤：作图步骤： 画反映实形的底面的水平投画反映实形的底面的水平投 影（等边三角形），再画影（等边三角形），再画ABCABC的的 正面投影和正面投影和侧面投影，它们分别侧面投影，它们分别 积聚积聚成水平直线段；成水平直

3、线段； 根据锥高再画顶点根据锥高再画顶点S S的的三面三面投影；投影； a c a (c )b 最后将锥顶最后将锥顶S S与点与点A A、B B、C C 的同面投影相连，即得到三的同面投影相连，即得到三 棱锥的棱锥的投影图。投影图。 最后检查清理底稿，按最后检查清理底稿，按 规定线型加深。规定线型加深。 （2） 棱锥表面取点棱锥表面取点 一般采用辅助线法。一般采用辅助线法。判别可见性 判别可见性 K 动画演示动画演示 k 三棱锥表面上取点（一） a b c c ba s s a(c) s S A B C b k K K e e E e 棱线上取点 三棱锥表面上取点(二) a b c c ba

4、s s a(c)b s S A B C F E ef e f 1 D d d 1 1 平面立体可看作是由若干个 平面图形所围成的，所以在平 面立体表面上取点或取线时， 应把属于平面立体的棱面作为 单独的平面来考虑。 ABC为一般位置平 面,它的每个投影都没有 积聚。在该面上取点必须 作辅助线。作辅助线常用 的方法有两种1)过已知 点作该面底边的平行线； 2)作已知点与顶点的连线; 再于辅助线上定点。 棱面上取点 S A B C 棱面上取点(续) (4) a b c c ba s s a(c) s b 2 2 22 2 ( ) (3) 3 3 44 练习 已知正五棱柱底面半径为 2cm，高为3c

5、m，完成其三面 投影，其侧面朝前。同时在五 棱柱上，顶面及侧面上任意找 一点，并完成点的三面投影。 二、曲面立体及其表面取点 表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立 体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。 曲面可看作由一条运动的线按一定的规律运动曲面可看作由一条运动的线按一定的规律运动 所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母 线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。 1. 1. 圆圆 柱柱 圆柱由圆

6、柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直 线绕与它相平行的轴线旋转而成。线绕与它相平行的轴线旋转而成。 （1） 圆柱的投影圆柱的投影 a a a A1 A 直线直线AA1称为母线称为母线,母线在廻转面母线在廻转面 的任一位置称为素线的任一位置称为素线 。圆柱面上的圆柱面上的素素 线线都是平行于轴线的直线。都是平行于轴线的直线。 O O1 利用投影的积聚性利用投影的积聚性 最左素线最左素线 最右素线最右素线 最后素线最后素线 最前素线最前素线 圆柱面的俯视图积聚成圆柱面的俯视图积聚成 一个圆，在另两个视图上分一个圆，在另两个视图上分 别以两个方向的轮廓

7、素线的别以两个方向的轮廓素线的 投影表示。投影表示。 轮廓轮廓素线素线的投影与曲面的投影与曲面 可见性的判断可见性的判断 O O1 A （2） 圆柱面上取点圆柱面上取点 圆柱表面取点圆柱表面取点 ( ) ( ) A (D) C B c” 2. 2. 圆圆 锥锥 圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它 相交的轴线旋转而成。相交的轴线旋转而成。 S称为称为锥顶锥顶，直线直线SA称为母线称为母线。 圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥 面的面的素线素线。 O1 O （1） 圆锥体的投影圆锥体的投影 轮廓素线的投影与

8、曲面可见轮廓素线的投影与曲面可见 性的判断性的判断 （2） 圆锥面上取点圆锥面上取点 k 辅助素线法辅助素线法 辅助圆法辅助圆法 (n ) s n k (n) k S A 过锥顶过锥顶S和点和点K作一辅助素线。作一辅助素线。 圆的半径？圆的半径？ 最左素线最左素线 最后素线最后素线 最前素线最前素线最右素线最右素线 s s (N) K 过过N点作一平行于底面的点作一平行于底面的 水平辅助圆，该圆的正面投影水平辅助圆，该圆的正面投影 为过为过n且平行底面的直线段。且平行底面的直线段。 该圆锥俯视图为一圆。另两个视图该圆锥俯视图为一圆。另两个视图 为等腰三角形，三角形的底边为圆锥为等腰三角形，三角

9、形的底边为圆锥 底面的投影，两腰分别为圆锥面不同底面的投影，两腰分别为圆锥面不同 方向的两条轮廓素线的投影。方向的两条轮廓素线的投影。 3. 3. 球球 球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线 旋转而成。旋转而成。 三个视图分别为三个三个视图分别为三个 和圆球的直径相等的圆，和圆球的直径相等的圆， 它们分别是圆球三个方向它们分别是圆球三个方向 转向轮廓线的投影。转向轮廓线的投影。 （1）球的投影）球的投影 轮廓线的投影与轮廓线的投影与 曲面可见性的判断曲面可见性的判断 （2） 球表面取点球表面取点 k 辅助圆法辅助圆法 k k 圆的半径？圆的半

10、径？ 球面上平行于球面上平行于H面的最大圆面的最大圆 球面上平行于球面上平行于 W面的最大圆面的最大圆 球面上平行于球面上平行于V面的最大圆面的最大圆 上下分界圆上下分界圆 前后分界圆前后分界圆 左右分界圆左右分界圆 K 动画演示动画演示 四、圆环四、圆环 圆绕与其共面但不通过圆心的轴线旋转，生成环面。圆绕与其共面但不通过圆心的轴线旋转，生成环面。 外半圆周生成外环面，内半圆周生成内环面。外半圆周生成外环面，内半圆周生成内环面。 图示环面的正面投影上，画出了轴线和外形线，包括母线上最图示环面的正面投影上，画出了轴线和外形线，包括母线上最 高、最低点的轨迹及两个反映实形的母线圆的投影，其中内半圆

11、的高、最低点的轨迹及两个反映实形的母线圆的投影，其中内半圆的 投影为不可见。水平投影上画出了母线圆的圆心轨迹及外形线，包投影为不可见。水平投影上画出了母线圆的圆心轨迹及外形线，包 括母线圆上最外、最内点轨迹圆的投影。括母线圆上最外、最内点轨迹圆的投影。 四、圆环四、圆环 第二节 截交体和相贯体的投影 一、截切体一、截切体 二、相惯体二、相惯体 截交线的概念截交线的概念 平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平 面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交 线上的点是截平面与立体表

12、面上的线上的点是截平面与立体表面上的共有点共有点，它既在截平面上，它既在截平面上 又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以 截交线一定是截交线一定是封闭的线条封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲，通常是一条平面曲线或者是由曲 线和直线组成的线和直线组成的平面图形或多边形平面图形或多边形。 截平面截平面 截交线截交线 截交线的性质截交线的性质 截交线截交线是截平面与立体表面的是截平面与立体表面的共共 有线有线，截交线上的点是截平面与立体表，截交线上的点是截平面与立体表 面的面的共有点共有点。 截交线截交线一般是一般是封闭的平面图

13、封闭的平面图 形形。 截交线截交线形状形状取决于取决于立体表面的形立体表面的形 状状和和截平面与立体的相对位置截平面与立体的相对位置。 截切平面立体的三视图截切平面立体的三视图 由于平面立体是由平面围成的由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边截交线是封闭的平面多边 形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的 问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线 与平面交点的问题。与平面交点的问题。 例例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。三棱锥被一正垂面

14、所截切，求截交线的投影。 s a b c a s b c s a (c ) b B A 1 2 3 1 y y 2 3 1 2 3 例例2 2 求带切口三棱锥的投影求带切口三棱锥的投影 s s s bc c ba a b c a 1 yy yy 1 4 4 2 3 （3） 2 1 32 解题步骤解题步骤 1 1 分析分析 截交线截交线 的正面投影已知的正面投影已知 ，水平投影和侧，水平投影和侧 面投影未知；面投影未知； 2 2 求出截交线上求出截交线上 的折点的折点、 、 ； 3 3 顺次地连接各顺次地连接各 点，作出截交线点，作出截交线 ，并且判别可见，并且判别可见 性；性； 整理轮廓线。整

15、理轮廓线。 例例3 求立体截切后的投影求立体截切后的投影 2 3 5 1 1 1 6 6 5 4 3 2 6 4 （5） 2 （3） 例题求作正垂面P截割六棱柱的截交线。 PV 6 2 5 4 3 1 6 1 5 4 3 2 (5) 3 4 (6) 2 1 1、棱柱上截交线的求法 分析 作图 作出截平面与棱 柱的交点、交线 依次连接各点 判断可见性 整理轮廓线 检查 加深图线 分析 截平面P与六棱柱的六个 棱面都相交,截交线为一 个六边形;截平面P是正 垂面,其正面投影PV有积 聚性,截交线的正面投影 积聚在PV上,又因为六棱 柱的六个侧棱面都垂直 于水平面,故截交线的水 平投影积聚在六棱柱各

16、 棱面的水平投影上。所 以只需求截交线的侧面 投影。 点在铅垂线点在铅垂线 上上,利用点属利用点属 于直线求影于直线求影 4 5 例题 求立体截切后的投影 (6) (7) (9) (8) (10) 4 1 2（3） (5) 1 10 1 3 2 2 3 yy 5 4 yy 8（9）(7) 6 7 6 10 8 9 例题 求四棱锥的截交线。并求断面实形。 分析图 形,补 出完整 图形 根据已 知条件 求出棱 线上的 点 依次连 接 按线型 补出图 形 y3y4 2 2 1 1 y4y3 4 3 2 1 4 (3)4 3 作业评讲：作出带截面和缺口的四棱柱的水平投影。请一个 同学上来画 8 5 7

17、 6 2 4 3 1 8 7 6 5 4 3 21 7 8 3 4 1 26 5V 已知主、左视图，求画俯视图。已知主、左视图，求画俯视图。 答案：答案： 截切曲面立体的三视图截切曲面立体的三视图 曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线 和直线所围成的平面图形或多边形。和直线所围成的平面图形或多边形。 作图步骤：作图步骤： （1 1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。截交线的形状和性质。 （2 2）求出截交线上的特殊点。）求出截交线上的特殊点。 （3 3）根据需要求出若干

18、个一般点。）根据需要求出若干个一般点。 （4 4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。别可见性。 （5 5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们

19、是区分曲曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲 线可见与不可见部分的分界点。线可见与不可见部分的分界点。 特征点特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。 1. 1. 截切圆柱截切圆柱 圆圆 垂直轴线垂直轴线 矩形矩形 平行轴线平行轴线 椭圆椭圆 倾斜轴线倾斜轴线 例例 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。求切口圆柱的水平投影和侧面投影。 作图步骤作图步骤 1 1 分析分析 截交线的水平投影截交线的水平投影 为椭圆，侧面投影为圆；为椭圆

20、，侧面投影为圆； 2 2 求出截交线上的点求出截交线上的点、 、 、 ； 3 3 顺次地连接各点，作出截顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性；交线，并且判别可见性； 例例 求截切圆柱的水平投影和侧面投影。求截切圆柱的水平投影和侧面投影。 作图步骤作图步骤 1 1 分析分析 截交线的水平投影为圆的截交线的水平投影为圆的 一部分，侧面投影为矩形；一部分，侧面投影为矩形； 2 2 求出截交线上的点求出截交线上的点、 ； 3 3顺次地连接各点，作出截交线并顺次地连接各点，作出截交线并 判别可见性；判别可见性； 整理轮廓线。整理轮廓线。 2. 2. 截切圆锥截切圆锥 解释解释 =90=90 90

21、900 0 过锥顶过锥顶 两相交直线两相交直线圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线 双曲线双曲线 解题步骤解题步骤 例例1 已知圆锥与正垂面已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。相交，求截交线的投影。 1 1 分析分析 截交线的水平投影和截交线的水平投影和 侧面投影均为椭圆；侧面投影均为椭圆； 2 2 求出截交线上的特殊点；求出截交线上的特殊点； 3 3 求出一般点；求出一般点； 光滑且顺次地连接各点，作出光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性；截交线，并且判别可见性； 5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。 例例2 求正平面与圆锥的截交线。求正平面与圆锥的截交线。 解题步骤解题步骤 1 1 分析

22、分析 截交线的水平投影截交线的水平投影 和侧面投影已知，正面投影和侧面投影已知，正面投影 为双曲线并反映实形；为双曲线并反映实形； 2 2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点 、； 3 3 求出一般点求出一般点 ； 光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性出截交线，并且判别可见性 ； 5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。 1 1 1” 2”(3”) 4”(5”) 45 23 24 5 3 例例3 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。 1 1 1” 2(3) 2” 3” 2 3 5(6) 5”6” 6 5 ” 3. 3. 截切球

23、截切球 平面与圆球相交平面与圆球相交,截交线为截交线为 圆圆 例例1 已知正垂面所截切球的正面投影已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。求其余两面投影。 相贯体 利用积聚性法求相贯线利用积聚性法求相贯线 利用辅助平面法求相贯线利用辅助平面法求相贯线 相贯线特殊情况相贯线特殊情况 相贯线的性质相贯线的性质 立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两曲面立体表面的相贯线是两曲面立体表面的共有线共有线，相贯线上的点是两曲，相贯线上的点是两曲 面立体表面的面立体表面的共有点共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状

24、不同。两不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两 回转体相贯，相贯线一般是回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线封闭的空间曲线, , 特殊情况下为平特殊情况下为平 面曲线或直线。面曲线或直线。 相贯线的性质相贯线的性质 3)3)形状形状相贯线的形状决定于回转体的形状、大小以相贯线的形状决定于回转体的形状、大小以 及两回转体之间的相对位置（一般情况下相贯线是空及两回转体之间的相对位置（一般情况下相贯线是空 间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线）。间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线）。 2)2)封闭性封闭性由于立体的表面是封闭的，因此由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一相贯线一 般是封闭的

25、线框。般是封闭的线框。 1)1)共有性共有性相贯线是两相交回转体表面的共有线和分相贯线是两相交回转体表面的共有线和分 界线，线上所有点都是两相交回转体表面的共有点。界线，线上所有点都是两相交回转体表面的共有点。 是求相贯线投影的作图依据。是求相贯线投影的作图依据。 相贯线性质图例相贯线性质图例 平面立体与平面立体相交平面立体与平面立体相交 平面立体与曲面立体相交平面立体与曲面立体相交 曲面立体与曲面立体相交曲面立体与曲面立体相交 内表面相贯线内表面相贯线 外表面相贯线外表面相贯线 两平面立体相交，其相贯线在两平面立体相交，其相贯线在 一般情况下是封闭的空间折线，但一般情况下是封闭的空间折线，但

26、 有时也会是平面多边形。有时也会是平面多边形。 求作两平面立体相贯线，实质求作两平面立体相贯线，实质 上仍归结为上仍归结为求直线与平面的交点，求直线与平面的交点， 以及求平面与平面交线的问题。以及求平面与平面交线的问题。 两个两个 三棱柱相三棱柱相 贯，补全贯，补全 其正面投其正面投 影影。 V V 2 同坡屋面屋顶平面图的画法 （1） 檐线相交的两个屋平面的交线，必通过这两檐线 的交点，其水平投影，则是这两檐线水平投影夹角的平分线。 （2）檐线平行的两个屋平面的交线，必平行于这两条 檐线，其水平投影，则是这两檐线水平投影的等距平行线。 （3）通过两条屋面交线的已知交点，至少还有第三条 屋面交

27、线，其投影也是如此。该交点称为同坡屋面的顶点， 也可简称顶点。 30 3030 从平面图开始作图解题，补出俯视图和主视图从平面图开始作图解题，补出俯视图和主视图 : 补出同坡屋面的左视图：补出同坡屋面的左视图： 答案： 3 平面立体与曲面立体的相贯 平面立体与曲面立体相交的表面交线，一般是由 数段平面曲线组合而成的空间曲线，每一段平面曲线 都是平面立体的棱面与曲面立体表面的交线，相邻两 段平面曲线的连接点是平面立体的棱线与曲面立体表 面的交点。 例例1：求作四棱：求作四棱 柱与圆锥的相柱与圆锥的相 贯线。贯线。 .求特殊点：求特殊点： .求一般点：求一般点： .联接相贯线联接相贯线 .连接可见

28、连接可见 轮廓线轮廓线 V V W W .求特殊点：求特殊点： .求一般点：求一般点： .联接相贯线联接相贯线 .连接可见连接可见 轮廓线轮廓线 两曲面立体相交，在一般情况下其两曲面立体相交，在一般情况下其 相贯线是封闭的空间曲线，特殊情况下相贯线是封闭的空间曲线，特殊情况下 也可能是平面曲线或直线。也可能是平面曲线或直线。 在解决相贯线作图时，必须首先分在解决相贯线作图时，必须首先分 清楚两相交曲面的几何形状、相对位置清楚两相交曲面的几何形状、相对位置 及其大小，并对相贯线形成的情况（一及其大小，并对相贯线形成的情况（一 般情况、特殊情况）进行初步的判断。般情况、特殊情况）进行初步的判断。

29、4 两曲面立体相交 利用积聚性法求相贯线利用积聚性法求相贯线 当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相 贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投 影可按着曲面立体表面取点的方法求出影可按着曲面立体表面取点的方法求出, ,这种求作相贯这种求作相贯 线的方法又称为表面取点法。线的方法又称为表面取点法。 例例1 已知两圆柱的三面投影已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。求作其相贯线的投影。 yy yy de d e a c b a b c d （e） ba c 首先分析两曲面立体的几何形状、相

30、对大小和首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处 于特殊情况（平面曲线或直线）。于特殊情况（平面曲线或直线）。 分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面 立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。 根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况 分析相贯线哪个分析相贯线哪个 投影是已知的，哪个投影是投影是已知的，哪个投影是 要求作的。要求作的。 分分 析析 求特殊点求特殊点 确定相贯线投影范

31、围和变化趋势的点称为确定相贯线投影范围和变化趋势的点称为特殊点特殊点 包括：包括： 相贯线极限位置点相贯线极限位置点 最左、最右、最前、最后、最左、最右、最前、最后、 最高、最低各点；最高、最低各点； 曲面立体转向轮廓线上的点曲面立体转向轮廓线上的点 两曲面立体上下、两曲面立体上下、 左右、前后转向轮廓线上的各个点。左右、前后转向轮廓线上的各个点。 求相贯线的一般步骤求相贯线的一般步骤 （1）分析）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，然后分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况分相对位置，然后分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况分 析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有析两曲面立体对投影面