第三章 单自由度系统受迫振动

1、2021-7-1 1 2021-7-1 2 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 2021-7-1 3 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 2021-7-1 4 线性系统的受迫振动线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 弹簧质量系统弹簧质量系统 设设 ti eFtF 0 )( 0 F外力幅值外力幅值 外力的激励频率外力的激励频率 ti eFkxxcxm 0 振动微分方程：振动微分方程： tFcos 0 x 为复数变量，分别与为复数变量，分别与 和和 相对应相对应 tFsin 0 实部和虚部分别与实部和虚部分别与 和和 相对应相对应 tFsin 0 tFcos 0

2、 m x c x m kx )(tF 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 受力分析受力分析 k c x 0m )(tF 2021-7-1 5 ti eFkxxcxm 0 振动微分方程：振动微分方程：显含时间显含时间 t 非齐次微分方程非齐次微分方程 非齐次微分方程非齐次微分方程 通解通解 齐次微分方程齐次微分方程 通解通解 非齐次微分方程非齐次微分方程 特解特解 阻尼自由振动阻尼自由振动 逐渐衰减逐渐衰减 暂态响应暂态响应 持续等幅振动持续等幅振动 稳态响应稳态响应 本节内容本节内容 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的

3、强迫振动简谐力激励的强迫振动 2021-7-1 6 ti eFkxxcxm 0 振动微分方程：振动微分方程： 设：设： ti exx 0 )(FHx代入，有：代入，有： icmk H 2 1 )( 复频响应函数复频响应函数 振动微分方程：振动微分方程： ti nnn eBxxx 22 2 m k n km c 2 k F B 0 引入：引入： n s )2()1 ( 21 1 )( 222 2 ss sis k H 222 )2()1 ( 1 )( ss s 2 1 1 2 )( s s tgs 振幅放大因子振幅放大因子 相位差相位差 则：则： i e k 1 ：稳态响应的复振幅：稳态响应的复

4、振幅 x 静变形静变形 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 2021-7-1 7 ti eFkxxcxm 0 ti exx i e kss sis k H 1 )2()1 ( 21 1 )( 222 2 0 )(FHx )( 0 ti e k F xBA稳态响应的实振幅稳态响应的实振幅 222 )2()1 ( 1 )( ss s k F B 0 tFtFcos)( 0 若：若： )cos()(tAtx则：则： ti e s B tx 2 1 )( 无阻尼情况：无阻尼情况： )( ti Ae ti e sk F 2 0 1 1 2 1 1 2

5、)( s s tgs 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 2021-7-1 8 ti eFkxxcxm 0 222 )2()1 ( 1 )( ss s )()( 0 titi Aee k F x 2 1 1 2 )( s s tgs 222 0 )2()1 ( 1 ss k F A 结论：结论： 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 2021-7-1 9 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 2021-7-1 10 稳态响应的特性稳态响应的特性 以以s为横坐标画出为横坐标画出 曲线曲线 )

6、(s 222 )2()1 ( 1 )( ss s 幅频特性曲线幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性：简谐激励作用下稳态响应特性： （1）当）当s1（ ） n 1 激振频率相对于系统固有频率很低激振频率相对于系统固有频率很低 结论：响应的振幅结论：响应的振幅 A 与静位移与静位移 B 相当相当 )()( 0 titi Aee k F x 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 2021-7-1 11 稳态响应特性稳态响应特性 222 )2()1 ( 1

7、 )( ss s （2）当）当s1（ ） n 0 激振频率相对于系统固有频率很高激振频率相对于系统固有频率很高 结论：响应的振幅结论：响应的振幅 很小很小 )()( 0 titi Aee k F x 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 2021-7-1 12 稳态响应特性稳态响应特性 （3）在以上两个领域）在以上两个领域 s1，s1 结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 对应于不同对应于不同 值值,曲线较为

8、密集，说明阻尼的影响不显著曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 222 )2()1 ( 1 )( ss s 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 2021-7-1 13 稳态响应特性稳态响应特性 结论：共振结论：共振 振幅无穷大振幅无穷大 222 )2()1 ( 1 )( ss s （4）当）当 1s n 对应于较小对应于较小 值，值， 迅速增大迅速增大 )(s 当当0)(s 但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1

9、附近的区域内，附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降增加阻尼使振幅明显下降 )()( 0 titi Aee k F x 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 2021-7-1 14 稳态响应特性稳态响应特性 222 )2()1 ( 1 )( ss s )()( 0 titi Aee k F x （5）对于有阻尼系统，）对于有阻尼系统， 并不并不 出现在出现在s=1处，而且稍偏左处，而且稍偏左 max 0 ds d 2 max 12 1 2 21s 0

10、123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 2021-7-1 15 稳态响应特性稳态响应特性 222 )2()1 ( 1 )( ss s （6）当）当2/11 振幅无极值振幅无极值 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 2021-7-1 16 稳态响应特性稳态响应特性 222 )2()1 ( 1 )( ss s )()(

11、 0 titi Aee k F x 2 1 1 s Q 记：记：品质因子品质因子 在共振峰的两侧取与在共振峰的两侧取与 对应的两点对应的两点 ， 2/Q 1 2 12 带宽带宽 Q与与 有关系有关系 ： n Q 阻尼越弱，阻尼越弱，Q越大，带越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭宽越窄，共振峰越陡峭 s 2 Q 2/Q 1 n 2 n 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 2021-7-1 17 稳态响应特性稳态响应特性 相频特性曲线相频特性曲线 )()( 0 titi Aee k F x 2 1 1 2 )( s s tgs 以以s为横坐标画出为横坐标画出

12、曲线曲线 )(s 相位差相位差 0位移与激振力在相位上几乎相同位移与激振力在相位上几乎相同 （2）当）当s1（ ） n （1）当）当s1（ ） n 位移与激振力反相位移与激振力反相 （3）当）当1s n 共振时的相位差为共振时的相位差为 ，与阻尼无关，与阻尼无关 2 )(s 0123 0 90 180 s 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 2021-7-1 18 有阻尼单自由度系统有阻尼单自由度系统 外部作用力规律：外部作用力规律： tFtFcos)( 0 假设系统固有频率：假设系统固有频率：1 n 从左到右：从左到右： 6 . 1,01. 1, 4

13、. 0 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 0 0 0 2021-7-1 19 讨论讨论 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s )(s 0123 0 90 180 s 假设系统固有频率：假设系统固有频率： 0 sin(15*2)Ft 30*2 n 激励为：激励为： 响应如何？响应如何？ 0 sin(60*24)Ft 系统静变形量：系统静变形量： 0 X 如何得到系统的幅频和如何得到系统的幅频和 相频特性？相频特性？ 2021-7-1 20 0 ( )( )( )sinmx tcx tkx tFt 0 ( )( )( )sin0mx tcx tk

14、x tFt 惯性力阻尼力弹性恢复力+激振力+ =0 激振力： 0 sinFt 阻尼力： 0 ( )sincx tcXt 2 0 ( )sin(/2)mx tmXt 惯性力： 0 ( )sin(/2)kx tkXt 弹性恢复力： 0 ( )sin() d x tXt稳态响应： 矢量表示法矢量表示法 0 F 0 kX 0 cX 2 0 mX 0 X 2021-7-1 21 0 F 0 90 0 kX 0 cX 2 0 mX 0 F 0 90 0 kX 0 cX 2 0 mX 2021-7-1 22 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 2021-7-1 23 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶

15、段 在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 ti eFkxxcxm 0 显含显含 t，非齐次微分方程，非齐次微分方程 非齐次微分方程非齐次微分方程 通解通解 齐次微分方程齐次微分方程 通解通解 非齐次微分方程非齐次微分方程 特解特解 阻尼自由振动阻尼自由振动 逐渐衰减逐渐衰减 暂态响应暂态响应 持续等幅振动持续等幅振动 稳态响应稳态响应 回顾：回顾： 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡

16、阶段 2021-7-1 24 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 考虑无阻尼的情况考虑无阻尼的情况 tFkxxmsin 0 正弦激励正弦激励 0 )0(xx 0 )0(xx tBxx nn sin 22 k F B 0 t s B tctctx nn sin 1 sincos)( 2 21 通解：通解： 齐次通解齐次通解 非齐次特解非齐次特解 n s 21 cc、 初始条件决定初始条件决定 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 25 tFkxxmsin 0 0 )0(xx 0 )0(xx t s B tctctx nn sin

17、1 sincos)( 2 21 0 )0(xx 01 xc 0 )0(xx 2 2 (0) 1 n B xc s 0 2 2 1 n xBs c s t s B t s Bs t x txtxtxtx nnn sin 1 sin 1 sincos)()()( 22 0 0 021 初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应 特点：以系统特点：以系统 固有频率为振固有频率为振 动频率动频率 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 零初始条件的响零初始条件的响 应中是否包含固应中是否包含固 有频率振动分量有频率振动分量 ？ 2021

18、-7-1 26 t s B t s Bs t x txtxtxtx nnn sin 1 sin 1 sincos)()()( 22 0 0 021 初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应 如果是零初始条件如果是零初始条件 t s B t s Bs txtxtx n sin 1 sin 1 )()()( 22 21 自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 27 零初始条件零初始条件t s B t s Bs txtxtxsin 1 sin 1 )()()( 2 0 2

19、21 (2) s 1)( n )( n TT (1) s 1)( n )( n TT 稳态受迫振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动进行一个循环时间内， 自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动完成多个循环 自由伴随振动进行一个循环时间自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态受迫振动完成多个循环内，稳态受迫振动完成多个循环 受迫振动响应成为自由振动响应受迫振动响应成为自由振动响应 曲线上迭加的一个振荡运动曲线上迭加的一个振荡运动 受迫振动响应成为稳态响应曲线受迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动上迭加的一个振荡运动 n /2 /2 0 t )(tx n /2 /2 0 t )(tx 稳态响

20、应稳态响应 全响应全响应 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 28 零初始条件零初始条件t s B t s Bs txtxtx n sin 1 sin 1 )()()( 22 21 0 /2 /2 0 t )(tx 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 29 由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解 00 0 )0()0( sin xxxx tFkxxm ， 00 2 )0()0( 0 xxxx xx n ， 0)0(0)0( s

21、in 22 xx tBxx nn ， t x txtx n n n sincos)( 0 01 t s B t s Bs tx n sin 1 sin 1 )( 22 2 )()()( 21 txtxtx 通解：通解： t s B t s Bs t x tx nn n n sin 1 sin 1 sincos 22 0 0 初始条件响应初始条件响应 自由伴随振动自由伴随振动 强迫响应强迫响应 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 30 t s B t s Bs t x txtxtxtx n n n sin 1 sin 1 sinc

22、os)()()( 22 0 0 021 )sin(sin 1 sincos 2 0 0 0 tst s B t x tx nnn tFkxxmsin 0 0 )0(xx 0 )0(xx 实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会 逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 31 0 0 x 例：例：计算初始条件，以使计算初始条件，以使tFkxxmsin 0 的响应只以频率的响应只以频率 振动振动 解

23、：解： t s B t s Bs t x txtxtxtx nn n n sin 1 sin 1 sincos)()()( 22 0 021 的全解：的全解：tFkxxmsin 0 如果要使系统响应只以如果要使系统响应只以 为频率振动为频率振动 必须成立：必须成立： 2 0 1s Bsx n 初始条件：初始条件： 0 0 x 2 0 1s Bs x n k F B 0 n s 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 是否只要满足零是否只要满足零 初始条件就可以初始条件就可以？ 2021-7-1 32 若激励频率与固有频率十分接近若激励频率与固有频率十

24、分接近 n s 令：令： 21s 小量小量 )sin(sin 1 )( 2 tst s B tx n t s B t s Bs t x txtxtxtx nn n n sin 1 sin 1 sincos)()()( 22 0 021 )sin(sin 1 sincos 2 0 0 tst s B t x tx nn n n 考虑零初始条件，有：考虑零初始条件，有： tFkxxmsin 0 0 )0(xx 0 )0(xx 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 33 )sin(sin 1 )( 2 tst s B tx n 代入

25、：代入：21s )sin(sin ) 144(1 2 tst B n tt B nn cossin 2 )sin(sin 4 tst B n sin)21sin( 4 tt B nn )sin2sincos2cos(sin 4 ttttt B nnnnn tt B nn 2sincos 4 ttt B nnn cossin2cos 4 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 34 tt B tx nn cossin 2 )( 可看作频率为可看作频率为 但振幅按但振幅按 规律缓慢变化的振动规律缓慢变化的振动 n t B n sin 2

26、 这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍拍” n 2 B t B n sin 2 n 2 t B n sin 2 0 t )(tx n 拍的周期：拍的周期： t B n sin 2 图形包络线：图形包络线： 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 35 0当当tt B tx 00 cossin 2 )( 随随 t 增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形 0 )(tx t tB 0 2 1 tB 0 2 1 ttB 00 cos 2 1 响应曲线响应曲

27、线 21s tt B 00 cos 2 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 36 012345 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 n=50 rad/s, f=2sin(50t), m=10kg u, m t, s 图图 共振响应共振响应 【思考思考】：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？ 1.1.实际系统都存在实际系统都存在阻尼阻尼，阻尼能够使系统在共振时维持，阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅有限的振幅。 2.2.当振幅增大到一定程度后，支配系

28、统运动的微分方程已经当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经不再是不再是 线性微分方程了线性微分方程了，而，而是非线性运动微分方程是非线性运动微分方程，所以此时根据线性，所以此时根据线性 运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。 2021-7-1 37 讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应 00 0 )0(,)0( sin xxxx tFkxxcxm )sin(sin)cossin(cossin )sincos()( 0 000 0 0 0 tBtsteB t xx txetx d d d t d

29、 d d t m k 0 km c 2 2 0 1 d 0 s k F B 0 222 )2()1 ( 1 ss 2 1 1 2 s s tg 初始条件响应初始条件响应 自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应 利用前述相同的方法，有：利用前述相同的方法，有： 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 38 )sin(sin)cossin(cossin )sincos()( 0 000 0 0 0 tBtsteB t xx txetx d d d t d d d t 初始条件响应初始条件响应 经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动

30、都将消失，经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失， 只剩稳态强迫振动只剩稳态强迫振动 自由伴随振动自由伴随振动 强迫响应强迫响应 0 )(tx t 0 x 强迫响应强迫响应 全响应全响应 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 39 )sin(sin)cossin(cossin )sincos()( 0 000 0 0 0 tBtsteB t xx txetx d d d t d d d t 初始条件响应初始条件响应 自由伴随振动自由伴随振动 强迫响应强迫响应 )sin(sin)cossin(cossin)( 0 0 t

31、BtsteBtx d d d t 0)0(x0)0( x 对于零初始条件：对于零初始条件： 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 2021-7-1 40 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 2021-7-1 41 基础简谐激励下的强迫振动基础简谐激励下的强迫振动 2021-7-1 42 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动 特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 xf kc 1 x m x 0 m k x x

32、f c 1 x 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 m x c 2 k 2 k t e 2021-7-1 43 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动 特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 ti f Detx )( 坐标：坐标： 动力学方程：动力学方程： 111 ()0 f m xxcxkx 基座位移规律基座位移规律 ： x1 相对基座位移相对基座位移 )( 1f xxm 1 kx 1 x c mm

33、)( 1f xxm 1 x c 1 kx 受力分析受力分析 xf kc 1 x m x 0 m k x xf c 1 x D：基座位移振幅：基座位移振幅 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2 111 i t mxcxkxmDe 2021-7-1 44 2 111 i t mxcxkxmDe ti eFkxxcxm 0 )( ti Bex k F B 0 222 )2()1 ( 1 ss 2 1 1 2 )( s s tgs 回顾：回顾： 令：令： 0 2 FmD )( 1 1 ti Bex )( 0 1 ti e k F )( 2

34、1 ti e k mD )( 222 2 1 )2()1 ( ti De ss s )( 1 1 ti De 有：有： 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs 其中：其中： 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 xf kc 1 x m x 0 m k 2 0 0 s 2021-7-1 45 2 111 i t mxcxkxmDe )( 11 1 ti Dex 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs 0 s 0.25 0.5 0.7

35、5 1.0 2.0 1 0 )( 1 s s 1 0 01 90 180 s )( 1 s 幅频曲线幅频曲线相频曲线相频曲线 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021-7-1 46 系统固有频率从左到右：系统固有频率从左到右： 63. 0, 0 . 1, 6 . 1 000 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 0.25 0.5 0.75 1. 0 2.0 1 0 )( 1 s s 1 0 01 90 180 s )( 1 s 支撑运动：支撑运动： tDtx f sin)(

36、 001. 1 D )( 11 1 ti Dex 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs D 如何分析如何分析s1，s1，s=1? 2021-7-1 47 若以绝对位移若以绝对位移 x 为坐标为坐标 f xxx 1 titi DeDex )( 1 1 )( 11 1 ti Dex ti f Detx )( 其中：其中： 则有：则有： )( 1 11 )( tii Dee 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs 0 s xf kc 1 x m x 0 m k x xf c 1 x 单自由度

37、系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021-7-1 48 )sin(cos )2()1 ( 11 222 2 1 1 i ss s ei 222 2 2 )2()1 ( )2(1 ss s )2( 1 2 stg )( 1 11 )( tii Deex 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs 222222 2 222 2 )2()1 ( 2 )2()1 ( 1 )2()1 (ss s i ss s ss s 222 )2()1 ( 21 ss si 2 222 2 )2()1 ( )2(

38、1 i e ss s 2 2 i e 2 2 222 )2(1 )2()1 ( 1 i es ss 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021-7-1 49 )( 1 11 )( tii Deex 21 21 ii ee 222 2 2 )2()1 ( )2(1 ss s )2( 1 2 stg )( 2 )( 2 21 titi DeDex 21 代入：代入： ti e s Dx 2 1 1 无阻尼情况：无阻尼情况： 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs xf kc 1 x

39、m x 0 m k x xf c 1 x 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021-7-1 50 222 2 2 )2()1 ( )2(1 ss s )( 2 )( 2 21 titi DeDex 幅频曲线幅频曲线 01 0 1 0 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 )( 2 s s 2 可看出：可看出： 当当 时，时，2s1 2 振幅恒为支撑运动振幅振幅恒为支撑运动振幅D 当当 时，时，2s 1 2 振幅恒小于振幅恒小于D 增加阻尼反而使振幅增大增加阻尼反而使振幅增大 xf kc 1 x m x 0 m k x xf

40、c 1 x 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021-7-1 51 总结总结 ti f Detx )( 坐标：坐标： 111 ()0 f m xxcxkx 基座位移规律基座位移规律 ： x1 相对基座位移相对基座位移 xf kc 1 x m x 0 D：基座位移振幅：基座位移振幅 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2 111 i t f mxcxkxmxmDe 若以绝对位移若以绝对位移 x 为坐标为坐标 f xxx 1 111 () fffff i ti t ff m

41、xxc xxk xxcxkx mxcxkxcxkxcDi ekDe 2021-7-1 52 0.25 0.5 0.75 1. 0 2.0 1 0 )( 1 s s 1 0 01 0 1 0 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 )( 2 s s 2 222 2 2 )2()1 ( )2(1 ss s )2( 1 2 stg 21 )( 11 1 ti Dex 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs )( 21 ti f Dexxx 相对位移相对位移 绝对位移绝对位移 2021-7-1 53 振动测试仪器振动测试仪器(惯性式）惯性式）

42、2021-7-1 54 2 111 i t f mxcxkxmxmDe 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s )( 11 1 ti Dex 11 XD 2 1 222 (1)(2) s XD ss D：基座位移振幅：基座位移振幅 0.25 0.5 0.75 1. 0 2.0 1 0 )( 1 s s 1 0 位移传感器位移传感器 2021-7-1 55 2 111 i t f mxcxkxmxmDe 2 1 222 (1)(2) s XD ss 2 1 2222 0 (1)(2) D X ss 1 2 2222 0 0 (1)(2) a AA X ss A：基座加速度振幅：基座加

43、速度振幅 222 1 (1)(2) a ss 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 加速度传感器加速度传感器 2021-7-1 56 222 (1)(2) v s ss 1 222 0 (1)(2) Ds X ss 1 222 0 0 (1)(2) v VsV X ss 2 111 i t f mxcxkxmxmDe 2 1 222 (1)(2) s XD ss V：基座速度振幅：基座速度振幅 速度传感器速度传感器 2021-7-1 57 例：例： 汽车的拖车在波形道汽车的拖车在波形道 路上行驶路上行驶 已知拖车的质量满载已知

44、拖车的质量满载 时为时为 m1=1000 kg 空载时为空载时为 m2=250 kg 悬挂弹簧的刚度为悬挂弹簧的刚度为 k =350 kN/m阻尼比在满载时为阻尼比在满载时为 5 . 0 1 车速为车速为 v =100 km/h路面呈正弦波形，可表示为路面呈正弦波形，可表示为 l z ax f 2 sin 求：求： 拖车在满载和空载时的振幅比拖车在满载和空载时的振幅比 l =5 ml =5 m m k/2 c x 0 k/2 xf a l xf z 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021-7-1 58 解：解： 汽车行驶的路程可

45、表示为：汽车行驶的路程可表示为： 路面的激励频率：路面的激励频率： t l v ax f 2 sin vtz srad /9 .34 kmccr2 0 2 m c 得：得：kmcc cr 2c、k 为常数，因此为常数，因此 与与 成反比成反比 m 因此得到空载时的阻尼比为：因此得到空载时的阻尼比为： 2 1 12 m m 满载和空载时的频率比：满载和空载时的频率比： 01 1 s 93. 0 2 02 2 k m s 因为有：因为有： 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 l =5 m m k/2 c x 0 k/2 xf a l xf

46、 z 满载满载: m1=1000 kg 空载空载: m2=250 kg 5 . 0 1 车速车速 : v =100 km/h l z ax f 2 sin l v 2 0 . 1 k =350 kN/m k m1 87. 1 2021-7-1 59 满载时频率比满载时频率比 记：满载时振幅记：满载时振幅 B1，空载时振幅，空载时振幅 B2 有：有： 满载时阻尼比满载时阻尼比 空载时阻尼比空载时阻尼比 0 . 1 2 87 . 1 1 s 空载时频率比空载时频率比 93. 0 2 s 68. 0 )2()1 ( )2(1 2 11 22 1 2 111 ss s a B 13. 1 )2()1

47、( )2(1 2 22 22 2 2 222 ss s a B 因此满载和空载时的振幅比：因此满载和空载时的振幅比：60. 0 2 1 B B 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 l =5 ml =5 m m k/2 c x 0 k/2 xf a l xf z 2021-7-1 60 例：例： 已知梁截面惯性矩已知梁截面惯性矩I，弹性模量，弹性模量E， 梁质量不计梁质量不计 支座支座B不动不动 求：质量求：质量m的稳态振动振幅的稳态振动振幅 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫

48、振动问题 / 振动的隔离振动的隔离 支座支座A产生微小竖直振动产生微小竖直振动 tdyAsin a m b AB A y 解：解： 固有频率：固有频率：/ 0 g 简化图简化图 在质量在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度作用下，由材料力学可求出静挠度 m k f x f x：因：因yA的运动而产生的质量的运动而产生的质量m处的运动处的运动 tabdyabx Af sin)/()/( 动力学方程：动力学方程：0)( f xxkx m takbdkxxmsin)/( 振幅：振幅： 2 1 1/ sk akbd x 0 s 2 1 1 sa bd 杆做刚性处理，其柔性由弹簧表示杆做刚性处理，其柔性

49、由弹簧表示 2021-7-1 61 高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转 机械总质量为机械总质量为M，转子偏心质量为，转子偏心质量为m，偏心距为，偏心距为e，转子转动角速度为，转子转动角速度为 x：机器离开平衡位置的：机器离开平衡位置的 垂直位移垂直位移 则偏心质量的垂直位移：则偏心质量的垂直位移： texsin 由达朗伯原理，系统在垂直方由达朗伯原理，系统在垂直方 向的动力学方程：向的动力学方程： 0)sin()( 2 2 kxxctex dt d mxmM tmekxxcxMsin 2 简化图形简化图形

50、 m x c 2 k 2 k t e 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 M k c tmesin 2 x M k c x t e m 激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 2021-7-1 62 tmekxxcxMsin 2 me ：不平衡量：不平衡量 ：不平衡量引起的离心惯性力：不平衡量引起的离心惯性力 2 me 2 0 meF 设：设： )sin()(tBtx 222 )2()1 ( 1 ss k me k F B 2 0 2 1 1 2 s s tg 0 s M K 0 得：得： 单自由度系

51、统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 M k c tmesin 2 x 2021-7-1 63 )sin()(tBtx 222 )2()1 ( 1 ss k me k F B 2 0 2 1 1 2 s s tg B 又写为又写为 ： M me k me B 2 0 22 )sin( )2()1 ( )( 222 2 t M me ss s tx 222 2 1 )2()1 (ss s M me B 1 2 s M me )sin( 11 tB 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 202

52、1-7-1 64 0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 )( 1 s s 1 0 222 2 1 )2()1 (ss s 01 90 180 s )( 1 s 2 1 1 2 s s tg 2021-7-1 65 例：偏心质量系统例：偏心质量系统 共振时测得最大振幅共振时测得最大振幅 为为0.1 m 由自由衰减振动测得由自由衰减振动测得 阻尼系数为阻尼系数为05. 0 假定假定%10 M m 求：求： （1）偏心距）偏心距 e，（ （2）若要使系统共振时振幅为）若要使系统共振时振幅为0.01 m， 系统的总质量需要增加多少？系统的总质量需要增加多少？ m x c 2 k 2 k

53、t e 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 M k c tmesin 2 x 2021-7-1 66 解解:（1） 共振时测得最大振幅共振时测得最大振幅 为为0.1 m 由自由衰减振动测得由自由衰减振动测得 阻尼系数为阻尼系数为05. 0 %10 M m 共振时最大振幅共振时最大振幅 )sin( )2()1 ( )( 222 2 t M me ss s tx )(1 . 0 2 1 m M me )(1 . 0me （2）若要使系统共振时振幅为）若要使系统共振时振幅为0.01 m )(01. 0 2 1 m MM me )(01. 0

54、 1 . 0 05. 02 1 m MM m 9 M M MM9 m x c 2 k 2 k t e 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 M k c tmesin 2 x 2021-7-1 67 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 tmekxxcxMsin 2 m x c 2 k 2 k t e M k c tmesin 2 x M k c x t e m )sin()(tBtx 222 )2()1 ( 1 ss k me B 2 2 1 1 2 s s tg 0 s M k

55、 0 偏心质量小结偏心质量小结 )sin()( 11 tBtx 222 2 1 )2()1 (ss s 解解1：解解2： M me B 1 2021-7-1 68 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 2021-7-1 69 回顾：回顾： 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 222 2 2 )2()1 ( )2(1 ss s )2( 1 2 stg 21 相对位移相对位移 ti f Detx )( 基座位移规律基座位移规律 ： ti emDkxxcxm 2 1111 )( 11 1 ti De

56、x 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs 绝对位移绝对位移 )( 21 ti f Dexxx xf kc 1 x m x 0 m k x xf c 1 x 支承运动情况支承运动情况 2021-7-1 70 惯性式测振仪惯性式测振仪 ti f Dex 基础位移基础位移 x 为为 m 相对于外壳的相对位移相对于外壳的相对位移 动力方程动力方程 ： 0)(kxxcxxm f ti emDkxxcxm 2 D ss s A 222 2 1 )2()1 ( 振幅振幅 ： kc m f x 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振

57、动问题工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪惯性测振仪 DA s 1 lim 0 s 当仪器的固有频率远小于外壳当仪器的固有频率远小于外壳 振动频率时，仪器读数的幅值振动频率时，仪器读数的幅值 A1 接近外壳振动的振幅接近外壳振动的振幅 D. 低固有频率测量仪用于测量振低固有频率测量仪用于测量振 动的位移幅值，称为动的位移幅值，称为 2021-7-1 71 惯性式测振仪惯性式测振仪 D ss s A 222 2 1 )2()1 ( 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪惯性测振仪 使用频率范围使用频率范围 当当 s1以后，以后， A

58、1曲线逐渐进入平坦区，并随着曲线逐渐进入平坦区，并随着 s的增加而趋的增加而趋 向于向于1。这一平坦区就是位移计型传感器的使用频率范围。这一平坦区就是位移计型传感器的使用频率范围。 对于位移计型惯性接收的传感器来说，测量频率要大于传感对于位移计型惯性接收的传感器来说，测量频率要大于传感 器的自然频率。为了压低使用频率下限，一般引进器的自然频率。为了压低使用频率下限，一般引进 =0.6-0.7 的的 阻尼比，这样，阻尼比，这样，A1 曲线在过了曲线在过了s=1之后，很快进入平坦区。之后，很快进入平坦区。 2021-7-1 72 D ss s A 222 2 1 )2()1 ( 当仪器的固有频率远

59、大于外壳振动频率时，仪器读数的当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的 幅值幅值 A1与外壳加速度的幅值成正比与外壳加速度的幅值成正比. )( )2()1 ( 1 2 0 2 222 1 D ss A A1 还可写为：还可写为： )( 1 lim 2 2 0 1 0 DA s 0 0s 高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪惯性测振仪 kc m f x 2 D：被测物体的加速度幅值：被测物体的加速度幅值 2021-7-1 73 工

60、程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题 2021-7-1 74 图 几种振动 抑制手段 振源振源受控对象受控对象 消振消振隔振隔振 阻振阻振 吸振吸振 消振消振: : 隔振隔振: : 在振源和受控对象之间加入弹性支撑来减小相互之间所在振源和受控对象之间加入弹性支撑来减小相互之间所 传递的振动量。传递的振动量。 阻振阻振: : 吸振吸振: : 在受控对象上附加一个子系统，振动能量主要集中在子在受控对象上附加一个子系统，振动能量主要集中在子 系统中；系统中； 消除振源的振动；消除振源的振动； 在受控对象上加阻尼