第 2 章 平面汇交力系与平面力偶系

1、第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 静静 力力 学学 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则 F3 F2 F1 F4 A F1 F2 F3 F4 FR a b cd e ab c d e F1 F2 F4 F3 FR 各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。 力多边形中表示合力矢量

2、的边称为力多边形的封闭边。 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 结论：平面汇交力系可简化为一合力，其 合力的大小与方向等于各分力的矢量和 (几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为： R12n FFFFF 如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。 0i F 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：

3、 该力系的合力等于零。用矢量式表示为： 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 例例2-1 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过欲拉过h=8cm的障碍的障碍 物。求：在中心作用的水平力物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。的大小和碾子对障碍物的压力。 选碾子为研究对象选碾子为研究对象 取分离体画受力图取分离体画受力图 解：解： 当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时NA=0,拉力拉力F最大最大, 这时拉力这时拉力F和自重及支反力和自重及支反力NB构成一平衡力系。构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由平衡的几何

4、条件，力多边形封闭，故 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 F=11.5kN , NB=23.1kN 所以所以 577. 0 )( tg 22 hr hrr 又由几何关系又由几何关系： tgPF cos P N B 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 求：求： 3.3.力力 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力

5、多大？多大？ F F 2.2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 至少多大？至少多大？ F 1.1.水平拉力水平拉力 时，碾子对地面及障碍物的压力？时，碾子对地面及障碍物的压力？kN5F 例例2-22-2已知已知m0.08m,0.6kN,20hRP 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 解解:1.:1.取碾子，画受力图取碾子，画受力图. . 用几何法，按比例画封闭力四边形用几何法，按比例画封闭力四边形 30arccos R hR 11.4kN A F 10kN B F sin cos B AB FF FFP 1.1.水平拉力水平拉力 时，碾子对地

6、面及障碍物的压力？时，碾子对地面及障碍物的压力？kN5F 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 2.2.碾子拉过障碍物，碾子拉过障碍物，0 A F应有应有 用几何法解得用几何法解得FPtan=11.55kN 解得解得 kN10sin min PF3.3. 2.2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 至少多大？至少多大？ F 3.3.力力 沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 多大？多大？ 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 已知：已知： , ,各杆自重不计；各杆自重不计； 求：求： 杆及

7、铰链杆及铰链 的受力的受力. .CDA kN10,FCBAC 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 按比例量得按比例量得 kN4.22,kN3.28 AC FF 用几何法，画封闭力三角形用几何法，画封闭力三角形. . 解：解： 为二力杆，取为二力杆，取 杆，画受力图杆，画受力图. .CDAB 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 cos x FF cos y FF F x y Fx Fy O 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 F Fx Fy x y

8、i j xy xy FF FFFij O 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 Rxxi FF 平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等 于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。 Ryyi FF 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 2222 RRR ()() xyxiyi FFFFF R R R cos(, ) x F F Fi R R R cos(, ) y F F Fj 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 22 R ()()0 xiyi FFF 0 xi F 0 yi F 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力

9、在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 求：此力系的合力求：此力系的合力. . 解：用解析法解：用解析法 N3 .12945cos45cos60cos30cos 4321R FFFFFF ix x N3 .11245sin45sin60sin30sin 4321R FFFFFF iy y N3 .171 2 R 2 RR yx FFF 7548. 0cos R Rx F F 6556. 0cos R Ry F F 01.49,99.40 例例2-42-4已知：图示平面共点力系；已知：图

10、示平面共点力系； 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 0 X 0 Y 045coscos 0 CDASR 045sinsin 0 CDA SRP 例例2-5 已知已知 P=2kN 求求SCD , RA 解解: : 1. 取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象 2. 2. 画画ABAB的受力图的受力图 3. 3. 列平衡方程列平衡方程 由由EB=BC=0.4mEB=BC=0.4m， 3 1 2.1 4.0 tg AB EB 解得：解得： kN 24. 4 tg45cos45sin 00 P SCDkN 16. 3 cos 45cos 0 CDA SR ； 4. 4. 解

11、方程解方程 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 MO(F) Oh r F A B 力F与点O位于同一 平面内，点O称为矩心， 点O到力的作用线的垂 直距离h称为力臂。 力对对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的 大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物 体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。 ()2 OOAB MFhA F 力矩的单位常用Nm或kNm。 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 平面汇交力系的合力

12、对于平面内任一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。 R 1 ()() n i OO i MM FF F Fx Fy x y O q x y A ()sincos O yx MxFyF xFyF qq F (1) 合力矩定理 (2) 力矩的解析表达式 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 解解: :直接按定义直接按定义 cos 78.93N m O MFF hF r 按合力矩定理按合力矩定理 cos78.93 Nm OOtOr MFMFMF Fr 例例2-62-6 求求: : ,20 60mmr 已知已知: : N,1400F )(FM O 第二章第二章 平面汇

13、交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 ql 2 1 dxqP l 0 l 0 xdxqPh l 3 2 h 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 由两个大小相等、方向相反且不共线的平 行力组成的力系，称为力偶，记为(F, F)。力偶 的两力之间的垂直距离d称为力臂，力偶所在的 平面称为力偶作用面。 力偶不能合成为一个力，也不能用一个力 来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。 F F d D A B C 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 F F d D A B C 力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改 变物体的转动状态。力偶对

14、物体的转动效应用力偶矩 来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素 决定： (1) 力偶矩的大小； (2) 力偶在作用面内的转向。 平面力偶可视为代数量， 以M或M(F, F)表示， 2 ABC MFdA 平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小 与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时 针转向为正，反之则为负。力偶的单位与力矩相同。 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则 两力偶彼此等效。 推论： (1) 任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不 改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用 与力偶在其作用

15、面内的位置无关。 (2) 只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可 以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而 不改变力偶对刚体的作用。 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有 力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示 的符号表示力偶。M为力偶的矩。 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 1113 MFdF d 2224 MF dF d M1(F1, F1)， M2(F2, F2)3434 FFFFFF 343412 ()MFdFF dF dF dMM 在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶

16、， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。 1 n i i MM 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即 1 0 n i i M 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其 四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭 的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？ F1 F3 B A C D F2 F4 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 P O R M 从力偶理论

17、知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的 力P为什么能与M平衡呢？ FO 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 0M 0 321 MMMlFA 解得解得 N200 321 l MMM FF BA 解：由力偶只能由力偶平衡的性质，解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为其受力图为 例例2-72-7 ;200,20,10 321 mmmNmNlMMM 求：求： 光滑螺柱光滑螺柱 所受水平力所受水平力. . 已知：已知： AB 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 例例2-8 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径

18、在工件上同时钻四个等直径 的孔的孔,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为 ,求工件的求工件的 总切削力偶矩和总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? mN15 4321 mmmm mN60)15(4 4321 mmmmM 02 . 0 4321 mmmmNB N300 2 . 0 60 B N N 300 BA NN 解解: 各力偶的合力偶矩为各力偶的合力偶矩为 根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有: 由力偶只能与力偶平衡的性质，由力偶只能与力偶平衡的性质， 力力NA与力与力NB组成一力偶。组成一力偶。 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 例例2-9 图示结构，已知图示结构，已知M=800N.m，求，求A、C两点的约束反力。两点的约束反力。 ).(255. 0mNRdRM CCAC 0 i M 0 MM AC NRC3137 第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系 例例2-10图示杆系，已知图示杆系，已知m，l。求。求A、B处约束力。处约束力。 解解 1、研究对象二力杆：、研究对象二力杆：AD AD N C R 2、研究对象：、研究对象： 整体整体 AD N B R l m RN BAD 思考：思考：CB杆受力情况如何？杆受力情况如何？ B R C R m