高中数学 考点35 直线、平面垂直的判定及其性质（含2014高考试题）

1、学必求其心得，业必贵于专精考点35 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题（2014辽宁高考文科4）与（2014辽宁高考理科4）相同已知表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是a。若m,n,则mnb.若m，n，则mnc.若m，mn,则nd。若m,mn，则n【解题提示】否定一个结论，只需一个反例即可。【解析】选b.如图，正方体中, 直线分别与平面平行,但是直线相交,故选项（a）错误；根据线面垂直的定义，一条直线垂直一个平面,则该直线垂直于平面内的任一条直线,可见选项（b）正确；直线，但直线故选项（c）错误；直线，但直线故选项（d）错误2。（2014广东高考文科t9) (2014广东高考理科

2、）若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是(）a。l1l4 b。l1l4c。l1与l4既不垂直也不平行 d。l1与l4的位置关系不确定【解题提示】由于l2l3，所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线加以判断.【解析】选d。因为l2l3，所以l1l2,l3l4实质上就是l1与l4同垂直于一条直线，所以l1l4，l1l4，l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立，但不是一定成立,故l1与l4的位置关系不确定。二、解答题3。 （2014湖北高考文科t13）如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f,p,q，m,

3、n分别是棱ab,ad,dd1，bb1，a1b1，a1d1的中点。求证:（1)直线bc1平面efpq.（2）直线ac1平面pqmn。【解题指南】(1）通过证明fpad1，得到bc1fp，根据线面平行的判定定理即可得证。(2)证明bd平面acc1，得出bdac1,进而得mnac1,同理可证pnac1，根据线面垂直的判定定理即可得出直线ac1平面pqmn。【解析】(1）连接ad1，由abcda1b1c1d1是正方体,知ad1bc1，因为f,p分别是ad，dd1的中点，所以fpad1。从而bc1fp.而fp平面efpq,且bc1平面efpq，故直线bc1平面efpq.（2)连接ac，bd,则acbd.

4、由cc1平面abcd,bd平面abcd，可得cc1bd.又accc1=c,所以bd平面acc1.而ac1平面acc1，所以bdac1.因为m，n分别是a1b1，a1d1的中点,所以mnbd,从而mnac1。同理可证pnac1。又pnmn=n，所以直线ac1平面pqmn。4。 （2014湖南高考文科18）(本小题满分12分）如图3，已知二面角的大小为，菱形在面内，两点在棱上,是的中点，面，垂足为。（1） 证明：平面；（2)求异面直线与所成角的余弦值. 【解题提示】(1)利用线面垂直的判定定理证明；（2）根据二面角的平面角的定义，及线线角的定义解。【解析】（1）如图，因为，所以连接，由题设知，是正

5、三角形,又e是ab的中点，所以，面，故.（2）因为所以bc与od所成的角等于ad与od所成的角，即是bc与od所成的角。由（1）知，,所以又,于是是二面角的平面角，从而不妨设,则,易知在中，连接ao，在中，故异面直线bc与od所成角的余弦值为5。(2014广东高考文科t18)（13分)如图1，四边形abcd为矩形,pd平面abcd，ab=1,bc=pc=2。作如图2折叠，折痕efdc，其中点e,f分别在线段pd，pc上，沿ef折叠后点p叠在线段ad上的点记为m，并且mfcf。（1)证明:cf平面mdf。（2）求三棱锥mcde的体积。【解题提示】（1)可利用pd平面abcd,证明md平面cdef

6、。(2）只需求高md及cde的面积，即可求得结论。【解析】(1）因为pd平面abcd,所以pdmd.在矩形abcd中mdcd，又pdcd=d。所以md平面cdef,所以mdcf.又因为mfcf，所以cf与相交直线md和mf都垂直,故cf平面mdf。（2)在cdp中，cd=ab=1,pc=2,则pd=,pcd=60；cf平面mdf,则cfdf，cf=，df=.因为ef/dc，所以=,de=，pe=me,scde=cdde=。由勾股定理可得md=，所以vmcde=mdscde=.6.（2014福建高考文科19）（本小题满分12分）如图，三棱锥中，.（1） 求证：平面;（2） 若，为中点，求三棱锥的

7、体积.【解题指南】（1)利用线面平行的判定定理证明（2）分别求出的面积和高cd,继而求出体积或利用va-mbc =va-bcd -vm-bcd求解【解析】（1）平面bcd，平面bcd，。又，平面abd,平面abd，平面.（2）由平面bcd，得。，。m是ad的中点，。由（1）知,平面abd，三棱锥c-abm的高,因此三棱锥的体积 。解法二：（1)同方法一.（2)由平面bcd知，平面abd平面bcd，又平面abd平面bcd=bd，如图，过点m作交bd于点n。则平面bcd,且，又，。三棱锥的体积 。7. （2014浙江高考文科6）设是两条不同的直线，是两个不同的平面（ ) a若，则 b若，则 c若，

8、则 d若，则【解题提示】依据线、面平行,垂直的条件与性质逐一判断.【解析】选c。对a若，,则或或，错误;对若，则或或，错误;对若，则，正确；对若，则或或，错误；8。 (2014浙江高考文科20）20、如图，在四棱锥abcde中,平面平面;，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面abc所成的角的正切值. 【解析】(1)连结bd，在直角梯形bcde中,，cd=2所以bd=bc=由，ab=2，得,所以又平面平面，所以平面(2） 过点e作emcb交cb的延长线于点m,连接am又平面abc平面bcde,所以em平面acb所以eam是直线ae与平面abc所成的角在rtbem中，eb=1，ebm=45所以。

9、在rtacm中,在rtaem中，9、(2014浙江高考理科20）（本题满分15分）如图,在四棱锥中，平面平面.（1） 证明：平面;（2） 求二面角的大小。 【解析】（1）在直角梯形bcde中，由de=be=1,cd=2,得bd=bc=,由ac=，ab=2，得，所以又平面abc平面bcde,从而ac平面bcde所以acde，又dedc，从而de平面acd。（2）方法一：作bfad,交ad于f，过点f作fgde，交ae于点g，连结bg由（1)知,dead，而fgad，所以是二面角的平面角在直角梯形bcde中，由，得又平面abc平面bcde,从而bdab由于平面bcde，得bd平面bcde，得acc

10、d在rtacd中，由dc=2,ac=，得ad=在rtaed中,由de=1，ad=，得ae=在rtabd中,由bd=，ab=2，ad=，得bf=，af=ad，从而gf=在abe，abg中，利用余弦定理分别可得，bg=在bfg中,所以,，即二面角的大小是方法二:以d为原点，分别以射线de,dc为轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示由题意知各点坐标如下：，设平面ade的法向量为，平面abd的法向量为可算得，,由即可取由即可取所以由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角的大小是.10. （2014辽宁高考理科19）（本小题满分12分）如图,和所在平面互相垂直,且，e、f分别为ac、dc的中点.（

11、）求证：;（）求二面角的正弦值。【解析】（)如图，以点b为坐标原点,在平面dbc内过b作垂直bc的直线为轴，bc所在的直线为轴，在平面abc内过b作垂直bc的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,则,从而。所以因此,（）平面bfc的一个法向量为，设平面bef的一个法向量为又,则由得令得,所以设二面角的大小为，则所以，即所求二面角的正弦值。11. （2014辽宁高考文科19）（本小题满分12分）如图，和所在平面互相垂直，且，分别为的中点.（）求证:平面；（)求三棱锥的体积.附：锥体的体积公式，其中为底面面积,为高。【解析】（）由已知得,因此。又为ad的中点，则；同理,.因此平面。由题意，为的中位

12、线，所以；所以平面。(）在平面abc内作，交cb的延长线于,由于平面平面，平面平面，所以平面。又为ad的中点，因此到平面的距离是.在中,，所以12。 （2014山东高考文科18)如图，四棱锥中，,分别为线段的中点。 （）求证：(）求证：【解题指南】（)本题考查线面平行的证法，可利用线线平行,来证明线面平行；()本题考查了线面垂直的判定，在平面pac中找两条相交直线与be垂直即可。【解析】（）连接ac交be于点o，连接of,不妨设ab=bc=1,则ad=2四边形abce为菱形又（）,13. （2014天津高考文科t17）如图，四棱锥p-abcd的底面abcd是平行四边形，ba=bd=,ad=2，

13、pa=pd=，e，f分别是棱ad,pc的中点。(1)证明：ef平面pab.(2)若二面角padb为60，证明：平面pbc平面abcd;求直线ef与平面pbc所成角的正弦值.【解析】(1)如图，取pb中点m，连接mf,am. 因为f为pc中点，故mfbc且mf=bc。 由已知有bcad，bc=ad.又由于e为ad中点，因而mfae且mf=ae，故四边形amfe为平行四边形，所以efam。又am平面pab,而ef平面pab,所以ef平面pab.（2)连接pe,be，因为pa=pd,ba=bd,而e为ad中点，故pead,bead.所以peb为二面角padb的平面角。在pad中，由pa=pd=，ad

14、=2，可解得pe=2，在abd中，由ba=bd=,ad=2,可解得be=1.在peb中,pe=2，be=1，peb=60，由余弦定理,可解得pb=，从而pbe=90,即bepb.又bcad，bead,从而bebc，因此be平面pbc,又be平面abcd，所以平面pbc平面abcd.连接bf.由知,be平面pbc,所以efb为直线ef与平面pbc所成的角,由pb=及已知，得abp为直角。而mb=pb=，可得am=,故ef=。又be=1,故在rtebf中，sinefb=。所以直线ef与平面pbc所成角的正弦值为.14。（2014安徽高考文科19）如图，四棱锥的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为。

15、点分别是棱上共面的四点,平面平面，平面.(1) 证明：(2) 若，求四边形的面积。【解题提示】(1）由线面平行得出bc平行于线线ef、gh；（2）设bd相交ef于点k，则k为ob的中点，由面面垂直得出,再由梯形面积公式计算求解.【解析】(1）因为bc/平面gefh，bc平面pbc，,且平面pbc平面gefh=gh,所以gh/bc，同理可证ef/bc，因此gh/ef.（2）连接ac，bd交于点o，bd交ef于点k,连接op，gk,因为pa=pc,o是ac的中点，所以,同理可得，又，且ac,bd都在底面内，所以底面abcd，又因为平面gefh平面abcd,且平面gefh，所以po/平面gefh，因

16、为平面pbd平面gefh=gk,所以po/gk,且gk底面abcd，从而,所以gk是梯形gefh的高，由ab=8，eb=2得eb：ab=kb：db=1：4,从而,即k是ob的中点.再由po/gk得，即g是pb的中点，且，由已知可得，所以gk=3，故四边形gefh的面积15、(2014安徽高考理科20）如图，四棱柱中,底面。四边形为梯形,，且.过三点的平面记为，与的交点为。（1） 证明：为的中点;（2） 求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（3） 若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小。【解题提示】 （1）由及得；（2)将问题转化为求出特殊几何体的体积，即+，从而得出结果；(3）

17、利用平面abcd,作证明为平面与底面abcd所成二面角的平面角，解求得。【解析】（1）因为所以平面qbc/平面a1ad，从而平面a1cd与这两个平面的交线相互平行，即qc/a1d,故的对边相互平行，于是,所以，即q为bb1的中点。（2）如图所示，连接qa,qd,设aa1=h，梯形abcd的高位d,四棱柱被平面分成上下两部分的体积分别为v上和v下，bc=a,则ad=2a，所以+，又，所以。所以。(3）如上图所示,在中，作，垂足为e，连接a1e，又，所以，于是，所以为平面与底面abcd所成二面角的平面角。因为bc/ad，ad=2bc，所以，又因为梯形abcd的面积为6，dc=2,所以，于是,故所求二面角的大小.16. （2014四川高考文科18）在如图所示的多面体中,四边形和都为矩形（1)若,证明:直线平面；(2）设,分别是线段，的中点,在线段上是否存在一点,使直线平面？请证明你的结论.【解题提示】本题主要考查空间线面平行和垂直的判断与性质等基础知识,考