第三章 线性系统的时域分析1

1、第三章第三章 时域分析法时域分析法 分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模， 一旦获得系统的数学模型，可以采用几种不同的方法去一旦获得系统的数学模型，可以采用几种不同的方法去 分析系统的性能。分析系统的性能。 时域分析法时域分析法ch3， 根轨迹法根轨迹法ch4， 频率法频率法ch5 描述函数法描述函数法， 相平面法相平面法ch7 Z 变换法变换法ch8 状态空间法状态空间法 分析系统的时间响应亦即分析描述其运动的微分方程的解。分析系统的时间响应亦即分析描述其运动的微分方程的解。 以以RC网络为例：网络为例： RC t 0 RC t c0c

2、eUUeU) t (uU)0(u. 1 ，则有若 RC t cc UeU) t (u,0)0(u.2 则有若 可见可见：不论哪种求解方法，也不论初始条件如何，不论哪种求解方法，也不论初始条件如何， 均有：系统响应均有：系统响应=稳态响应稳态响应+暂态响应暂态响应 s 1 1(t)LR(s)1(t) 1A 0t0 0tA r(t) 1. 记记为为 称称单单位位阶阶跃跃函函数数，令令 阶阶跃跃函函数数（位位置置函函数数） 动态性能动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分析需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分析 和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准和设计控制系

3、统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准-典典 型输入信号型输入信号。条件：。条件：1 能反映实际输入能反映实际输入；2 在形式上尽可能简单，在形式上尽可能简单， 便于分析便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态使系统运行在最不利的工作状态。 t f(t) 0 1 系统响应由稳态响应和暂态响应组成，稳态响应由稳态性系统响应由稳态响应和暂态响应组成，稳态响应由稳态性 能描述，而暂态响应由暂态性能描述，故系统的性能指标也就能描述，而暂态响应由暂态性能描述，故系统的性能指标也就 由稳态性能指标和暂态性能指标组成。由稳态性能指标和暂态性能指标组成。 因为阶跃输入对系统来说是最一般也是最严峻因为阶跃输

4、入对系统来说是最一般也是最严峻 的工作状态，如果系统在阶跃信号输入下的暂态性的工作状态，如果系统在阶跃信号输入下的暂态性 能满足要求，则在其他形式下的输入信号下，其暂能满足要求，则在其他形式下的输入信号下，其暂 态性能也会令态性能也会令 人满意。人满意。 00 0 )( t tAt tr 2 1 )( 1 s ttL t f(t) 0 00 0 2 1 )( 2 t tAt tr )( 1 2 1 2 tt 3 2 1 1 2 1 )( s ttLsR t f(t) 0 1)()( tLsR 00 0 t t t 并并有有 1 dtt 及及 t (t) 0 tttttt1 2 1 11 2 求

5、导求导 积分积分 求导求导 积分积分 求导求导 积分积分 tAtr sin 22 sin)( s A tALsR t f(t) 0 c(t) = ct(t) + css(t) = 暂态响应暂态响应 + 稳态响应稳态响应 非振荡阶跃响应过程非振荡阶跃响应过程衰减振荡阶跃响应过程衰减振荡阶跃响应过程 (1) 延迟时间延迟时间td：c(t)从从0到到0.5c()的时间。的时间。 (2：c(t)第一次达到第一次达到c()的时间。的时间。无超调时无超调时, c(t)从从0.1 c()到到0.9 c()的时间。的时间。 (3) c(t)到达第一个峰值的时间。到达第一个峰值的时间。 (4)调节时间调节时间t

6、s： c(t)衰减到与稳态值之差不超过衰减到与稳态值之差不超过2%或或5%所需所需 的时间。通常该偏差范围称作误差带的时间。通常该偏差范围称作误差带,用符号表示，用符号表示， 即即 =2%或或 =5% 。 快速性快速性 (5)c(t) 最大峰值最大峰值 偏离稳态值的部分，常用百分偏离稳态值的部分，常用百分 数表示，描述系统的数表示，描述系统的平稳性平稳性。 100 ()( ) % ( ) p p c tc c 稳态误差稳态误差ess：误差的终值。即误差的终值。即系统响应的系统响应的 实际值与期望值（即输入量）之差。实际值与期望值（即输入量）之差。 0 ss ts ee tsE slim ( )

7、lim( ) 现输入信号的最终精度。一现输入信号的最终精度。一 上述各种性能指标中，上述各种性能指标中， pr tt 、 描述系统起始段的快描述系统起始段的快 % 慢；慢；反映暂态过程振荡的剧反映暂态过程振荡的剧烈列程度；烈列程度； 总体上反映系统的总体上反映系统的 s t表示系统过渡过程持续时间，表示系统过渡过程持续时间， 快速性；快速性； sse反映系统复反映系统复 % s t ss e 般以般以 、和和评价系统评价系统 响应的稳、响应的稳、 快、准。快、准。 凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。 )()( )( trtc dt td

8、c T 1 1 )( )( )( TssR sC s R C r(t) c(t) 1 Ts + R(s)C(s) 1 Ts+1 R(s)C(s) 系统中只有一个参数系统中只有一个参数T, 一阶系统也叫惯性环节。一阶系统也叫惯性环节。 t c(t) T 2T 3T 4T 当输入信号当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。称作其单位阶跃响应。 01 t ec(t) T t T s ssTs sRssC 1 111 1 1 )()()( 响应曲线在响应曲线在0， ） 的时间区间中始终不会超的时间区间中始终不会超 过其稳态值，把这样的响过其稳态值，把这样的响

9、 应称为应称为。 无振荡无振荡 0.632 0.950.982 0.865 1.0 定义：定义：c(ts) 1 = ( 取取5%或或2%) T ts e %)2(4 %)5(3 Tt Tt s s 可以用时间常数可以用时间常数T去度量去度量 系统输出量的数值。系统输出量的数值。 T 2T 3T 4T t c(t) 0.632 0.95 0.982 0.865 1.0 T反映了系统的反映了系统的 惯性。惯性。 T越小惯性越小，越小惯性越小， 响应快！响应快！ T越大，惯性越越大，惯性越 大，响应慢。大，响应慢。 01 t ec(t) T t T )(tc 1与与有确定关系，是表征系统响应有确定关

10、系，是表征系统响应 特征的特征的 唯一参数。唯一参数。 Tdt tdc t 1 | )( 0 T 1 2.初始速度：初始速度：，若以，若以等速上升到等速上升到 1，所需时间正好为，所需时间正好为T。 0)(14ce ss 、 TtTtt ssp 34%.3 或或均均没没有有。和和 快快速速性性越越好好。 s tT T 2T 3T 4T t c(t) 0.632 0.95 0.982 0.865 1.0 系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲 线与下图的曲线作比较，就可以确定该系统是否为一阶系线与下图的曲线作比较，就可以确定该系统是否

11、为一阶系 统或等效为一阶系统。此外，用实验的方法测定一阶系统统或等效为一阶系统。此外，用实验的方法测定一阶系统 的输出响应由零值开始到达稳态值的的输出响应由零值开始到达稳态值的63.2%63.2%所需的时间，所需的时间， 就可以确定系统的时间常数就可以确定系统的时间常数T T。 r(t) = t T s T s T ssTs sC 1 11 1 1 22 )( )0( )( / tTeTttc Tt t c(t) 0 r(t)= t c(t) = t T + Te t/T 是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上 迟后了一个时间常数迟后了一个时间常数T的斜坡

12、函数。的斜坡函数。 T T 稳态分量（跟踪 项+常值） 暂态分量 Ttc )( 表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位 置上仍有误差，一般叫做置上仍有误差，一般叫做。 在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小， 最终趋于最终趋于0 0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也 最大；最大； 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，

13、最终趋于常值最终趋于常值T T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等 于于0 0。 0 t c(t) 1.0 t c(t) 0 r(t)= t T T 表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单 位斜坡输入之间，在位置上仍有误差。位斜坡输入之间，在位置上仍有误差。 4对斜坡响应求导：对斜坡响应求导： ( ) 1( ) t T dc t ect dt 阶 即单位斜坡响应的导数是单位阶跃响应。即单位斜坡响应的导数是单位阶跃响应。 2初始速度：初始速度：0111 00 t T t t e dt tdc |

14、 )( TTeT T t t )(lim)()(limtctre t ss 3 R(s)=1 1 1 )( Ts sC 它恰是系统的闭环传函，这它恰是系统的闭环传函，这 时输出称为脉冲（冲激）响应时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以函数，以g(t)标志。标志。 T t e T tCtg 1 )()( 脉冲 )()(tC dt d tC 斜坡阶跃 )()(tC dt d tC 阶跃脉冲 )()(tr dt d tr 斜坡阶跃 )()(tr dt d tr 阶跃脉冲 对应对应 T 2T 3T t h(t) 0 1/T 0.368/T 0.135/T 0.05/T 1一阶系统不能跟踪抛物线信号。一阶

15、系统不能跟踪抛物线信号。 2对抛物线响应求导：对抛物线响应求导： T t TeTt dt tdc )( 斜坡响应。斜坡响应。 ） T t eTTttctrte 1 ()()()( 2 T s T s T s T sTss sC 1 1 1 1 22 233 )( )( )1( 2 1 )( 22 T t eTTtttc lim)(lim 22 T t tt ss eTTTttee故故 这是线性定常系统的一个重要特征，适用于任这是线性定常系统的一个重要特征，适用于任 何线性系统，但不适用于非线性系统。何线性系统，但不适用于非线性系统。 )()()()( 3 3 2 2 tc dt d tc dt

16、 d tc dt d tg 抛抛斜斜阶阶 )( 1 2 1 )( 1)( 1)(. 2 3 3 2 2 tt dt d tt dt d t dt d t )()()(sRsGsC B )()()( )( )()( 1 ssCssRsG dt tdr LsGsC BB dt tdc tc )( )( 1 2. )( 1)( )()()()( 2 sC ss sR sGdttrLsGsC BB 2( ) ( )c tc t dt 1. 。 例1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来 的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数Ko和KH 的取值。 10 ( )10 0.21

17、( ) 10 1( )0.2110 1 0.21 O OO H HH K K G sK s s K K G ssK s 10* 101 10 02. 0* 101 2 . 0 K K K T K H O H 10 9 . 0 O H K K 1 101 2 . 0 101 10 s K K K H H O as a tgLs )()( at eth 1)( atat aeethtg 1 )()( )(1 )( )( sG sG s )( )(1)(sGsGs s a as a as a s s sG 1 )(1 )( )( 例例2 2 已知单位反馈系统的单位阶跃响应已知单位反馈系统的单位阶跃响

18、应 试求试求 s , , (t) , G(s) 。 解解 )()()()(ssGssG )(1 )( )( s s sG 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 标准化二阶系统的结构图为：标准化二阶系统的结构图为： 闭环传递函数为闭环传递函数为 22 2 2 2 2 )2( 1 )2( )( nn n n n n n ss ss ss s 二阶系统有两个结构参数二阶系统有两个结构参数 ( (阻尼比阻尼比) )和和 n n( (无阻尼振荡频无阻尼振荡频 率率) ) 。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。 s(s+2 n) R(s)C(

19、s) n2 + 微分方程式为：微分方程式为： )()( )()( 2 2 trtc dt tdc RC dt tcd LC 22 2 22 212 1 )( )( )( nn n ssTssTsR sC s 零零初初条条件件 LCT L CR 2 T n /1 例如例如: RLC电路电路 R C r(t)c(t) L j 0 二阶系统的闭环特征方程，即二阶系统的闭环特征方程，即 s 2 + 2 n s + n2 = 0 其两个特征根为：其两个特征根为：1 2 2, 1 nn s 上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比 的不同取值，的不同取值， 特征根有

20、不同类型的值，或者说在特征根有不同类型的值，或者说在s s平面上有平面上有 不同的分布规律。分述如下：不同的分布规律。分述如下： s1 s2 1 时，特征根为一对不等值时，特征根为一对不等值 的负实根，位于的负实根，位于s 平面的负实平面的负实 轴上，使得系统的响应表现为轴上，使得系统的响应表现为 过阻尼过阻尼的。的。 (3) 0 1 时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面平面 的左半平面上，使得系统的响应表现为的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼欠阻尼的。的。 (2) =1时，特征根为一对等值的负实根，位于时，特征根为一对等值的负实根，

21、位于s 平面的负实轴上，平面的负实轴上， 使得系统的响应表现为使得系统的响应表现为临界阻尼临界阻尼的。的。 j 0 s1= s2 = n n s1 s2 j d n j 0 1 2 2, 1 nn s j 0 (4)(4)=0 =0 时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，平面的虚轴上， 使得系统的响应表现为无阻尼的使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡等幅振荡过程。过程。 j n j 0 (5) 1 = 1 0 1 = 0 0 j 0 s1 s2 22 2 2 )( nn n ss s 由式由式 ，其输出的拉氏变换为其输出的拉氏变换为 sss s

22、RssC nn n 1 2 )()()( 22 2 )( )( 21 2 sssss sC n 式中式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。是系统的两个闭环特征根。 对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达 式。式。 。下面分。下面分 别加以讨论。别加以讨论。 （1 1）欠阻尼情况）欠阻尼情况 0 0变化率为正，变化率为正，c(t) 单调上升；单调上升；t ，变化率趋于，变化率趋于0。整整 个过程不出现振荡，无超调，稳态误差个过程不出现振荡，无超调，稳态误差0。 )0( )(11)( ttetc n t n ss sC n n

23、1 2 2 )( )( t c(t) 0 1 nn n sss 11 2 )( dnnn jjs 2 2 , 1 1 t n t n t n t n nnnn teteee dt tdc 22 )( 1 2 lim 2 2 2 0 0 nn n s ss A 其中其中 )1(12 1 )( lim 22 2 2 1 1 sss A n ss 2 2 1 10 21 2 2 2 2 2 ss A ss A s A sssss sss sC n nn n )( )( )( )1(12 1 )( lim 22 1 2 2 2 sss A n ss 1 2 2 . 1 nn s此此时时 （4 4）过阻

24、尼情况）过阻尼情况 1 1、)(tc由两项指数函数组成；由两项指数函数组成； 1)(0)0( cc， 。与与 p t% 2、 曲线单调上升，无曲线单调上升，无 1 1 1 1 12 1 1)( )1( 2 )1( 22 2 2 t t n n e etc 011 12 1 | )( 2 0 t dt tdc 0 c(t) 1.0 ts 引入等效时间常数1 2 2, 1 nn s 响应特性包含响应特性包含， 且它们的代数和不会超过且它们的代数和不会超过1，因而响应是，因而响应是非振荡非振荡的。的。调节速度慢调节速度慢。 （不同于一阶系统不同于一阶系统） 1/1/ 1)( 21 / 12 / 21

25、 TT e TT e tc TtTt )1( 1 2 1 n T )1( 1 2 2 n T sTsTs sC n 1 11 21 2 )/)(/( )( )/)(/()/)(/( 221112 11 1 11 11 TsTTTsTTs 0 t c(t) 1.0 ts t n etc )1( 2 1)( n T )1( 1 2 此时相当于此时相当于 的惯性环节。的惯性环节。 07. 1 n s t 8 . 5 07. 11 时时，可可用用 （一般（一般 ） 计算。计算。 n s Tt )1( 4 4 2 当当 响应是响应是非振荡非振荡的。的。调节速度慢调节速度慢。（。（不同于一阶系统不同于一阶

26、系统） 过阻尼系统响应缓慢，对于一般要求时间响应快的过阻尼系统响应缓慢，对于一般要求时间响应快的 系统过阻尼响应是不希望的。系统过阻尼响应是不希望的。 但在有些应用场合则需要过阻尼响应特性：但在有些应用场合则需要过阻尼响应特性： 例如（例如（1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。 （2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时 间响应尽可能快。间响应尽可能快。 另外，有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。另外，有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。 （5）不稳定系统不稳定系统 0 总结：总结： 1）1时，响应与一阶系

27、统相似，无超调，但调节时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节 速度慢；速度慢； 3）0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振 荡；荡； 4）01时，响应有超调，但上升速度快，调节时间时，响应有超调，但上升速度快，调节时间 短，合理选择短，合理选择可使响应既快又平稳，工程上把可使响应既快又平稳，工程上把0.707的的 二阶系统称为二阶系统称为； )0( )sin( 1 1 1)( 2 ttetc d t n 47 横坐标横坐标 nt ，曲线只是，曲线只是 的函数。的函数。 =0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2 1. 1.欠阻尼欠阻尼 用用

28、tr , tp , p , ts 四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。 四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。 c(t) t 0 1 0.5 0.05 或或 0.02 td d n r t 2 1 arccos (1) ：从零上升至：从零上升至第一次第一次到达稳态值所需的时到达稳态值所需的时 间，是系统响应速度的一种度量。间，是系统响应速度的一种度量。tr 越小，响应越快。越小，响应越快。 (2) ：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需 的时间。的时间。 1)sin( 1 1 1)( 2 r n ttd t r tetc 0)sin( r ttdt 0 )( p t

29、t dt tdc (k1) d r tk ktt t e pdpdpd t n n 00 1 2 sinsin d n p t 2 1 0)cos( 1 )sin( 1 22 pd t d pd t n tete pnpn (3) ：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分 比表示。比表示。 100 ()( ) % ( ) p p c tc c %100)sin( 1 1 2 pd t te pn )0( )sin( 1 1 1)( 2 ttetc d t n 0)cos(1 1 )sin( 1 2 22 pd t n pd t n tete pnpn 0)cos

30、()sin( 1 )sin()cos( 1 22 pd t n pd t n tete pnpn 2 1 100 pp te%代入 %只是只是 的函数，其大小与自然频率的函数，其大小与自然频率n无关无关。 (4) ：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5% 或或2%所需要的时间。所需要的时间。 )( )sin( 1 1 2 sd t ttte n c(t) c( ) c( ) ( t ts ) = 0.2 p = 52.7% = 0.4 p = 25.4% = 0.6 p = 9.5% = 0.707 p = 4.3% 工程上，工程上，为简单起见，可以采用近似的计

31、算方法，忽为简单起见，可以采用近似的计算方法，忽 略正弦函数的影响，认为指数项衰减到略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.050.05（或（或0.020.02）时，）时， 过渡过程即进行完毕，于是得到过渡过程即进行完毕，于是得到 2 1 t n e )( s tt 05. 0 02. 0 n s t 2 1 1 ln3 n s t 2 1 1 ln4 4 4 s n tT 3 3 s n tT 1 n T 2 11 (3ln) 1 s n t 2 11 (4ln) 1 s n t 其中 为包络线 的时间常数。 当当0.1 0.9 时，通常用下列二式近似计算调节时间。时，通常用下列二式近似计算调

32、节时间。 例例3-1单位负反馈随动系统如图所示单位负反馈随动系统如图所示 解解: (1) 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 与典型二阶系统比较可得：与典型二阶系统比较可得： K/T= n2 1/T = 2n TKTss TK KsTs K s / / )( 22 s(Ts+1) R(s)C(s)K + 2 22 2 ( ) n nn s ss (2) K = 16，T = 0.25时时 )/(8/sradTK n 25. 0 2 1 KT )(24. 0 25. 018 25. 0arccos 2 str )(41. 0 25. 018 2 st p )(5 . 1 25. 08 33

33、 st n s 2 0 25 1 0 25 10047 . . % p e ( =0.05 ) K/T= n2 1/T = 2n tr=? tp=? ts=? p=? ，%16% - C R ) 1(TSS K （3）若要求）若要求 取取何何值值？不不变变时时，当当KT )416425. 04 ) 1 (4 25. 0*5 . 0*2 1 2 1 2 1 2 2 ssn nn eKTK s TT （将使到从即则 当当T不变时：不变时： 22 1831160116 .ln%，则，则为使为使 50 353 353 353353 2 22 . . . .).( ，故故 22222 35. 335.

34、383. 1)1( 例例3-2已知已知单位单位负反馈系统的负反馈系统的 单位阶跃响应曲线如图所示，单位阶跃响应曲线如图所示， 试求系统的开环传递函数。试求系统的开环传递函数。 解：由系统的单位阶跃响应解：由系统的单位阶跃响应 曲线，直接求出超调量和峰值时曲线，直接求出超调量和峰值时 间。间。 p = 30% tp = 0.1 3 . 0%100 2 1 e 1 . 0 1 2 n 求解上述二式，得到求解上述二式，得到 = 0.357， n= 33.65(rad/s)。 于是二阶系统的开环传递函数为于是二阶系统的开环传递函数为 )24( 31.11 )65.33357. 02( 65.33 )2

35、( )( 22 ssssss sG n n 1 c(t) t 0 1.3 0.1 的性能指标。时，计算如图所示系统、当例)( 1)(3-3ttr - RC ) 6( 25 SS 解：解： rad ss s d n 93. 01 .536 . 0coscos 46 . 015 6 . 0 52 6 5 256 25 )( 011 2 2 且且 )(55.0 4 93.014.3 st d r 则则有有 Tp=0.785 p = e-2.355 ts=1 1. 1. 误差的比例微分控制误差的比例微分控制 具有误差比例微分控制的二阶系统如图所示具有误差比例微分控制的二阶系统如图所示: 系统的开环传递

36、函数为系统的开环传递函数为 )2( )1( )( 2 n dn ss sT sG 闭环传递函数为闭环传递函数为() 22 2 2 )1( )( nnd dn ss sT s dnd T 2 1 式中式中 d 为系统的为系统的。 s(s+2n) R(s)C(s) n2 + Td s + + K(=1) 比例微分控制的二阶系统有时称为比例微分控制的二阶系统有时称为。与。与 没有零点的二阶系统相比，由于没有零点的二阶系统相比，由于的原因，初始快速性提高，的原因，初始快速性提高， 超调量会增大一些，但整体响应的速度会加快。超调量会增大一些，但整体响应的速度会加快。 t 0 1 c(t) c1(t) 可

37、见，可见，的二阶系统不改变系统的自然频率，但的二阶系统不改变系统的自然频率，但 是可以是可以以抑制振荡。同时为系统增加了一个以抑制振荡。同时为系统增加了一个 闭环零点。若令闭环零点。若令Z=1/Td c1(t) 有零有零 点的二阶系统。点的二阶系统。 c(t) 没有没有 零点的二阶系零点的二阶系 统。统。 22 2 2 )1( )( nnd dn ss sT s 2 22 2 ( ) n dnn sZ s Z ss dnd T 2 1 2 1 ( ) 1 s G s ss 2 1 ( ) 1 G s ss (2)(1) 系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为： 22 2 2 )( nnt

38、n ss s 式中式中 为系统的有效阻尼比。为系统的有效阻尼比。 fnt K 2 1 2. 2.输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制 输出量的速度反馈控制也可以在不改变系统的自然频率基础输出量的速度反馈控制也可以在不改变系统的自然频率基础 上，增大系统的有效阻尼比，使超调量减小。上，增大系统的有效阻尼比，使超调量减小。 s(s+2n) R(s) C(s) n2 + Kf s + 与比例微分控制不同的是，输出量的速度反馈控制没有附与比例微分控制不同的是，输出量的速度反馈控制没有附 加零点的影响，两者对系统动态性能的改善程度是不同的。加零点的影响，两者对系统动态性能的改善程度是不同的。 都为系

39、统提供了一个参数选择的自由度，兼顾了都为系统提供了一个参数选择的自由度，兼顾了 系统响应的系统响应的和和。但是，二者改善系统性。但是，二者改善系统性 能的机理及其应用场合是不同的。简述如下：能的机理及其应用场合是不同的。简述如下： （1）微分控制的附加阻尼作用产生于系统）微分控制的附加阻尼作用产生于系统 ，而速度反馈控制的附加阻尼作用，而速度反馈控制的附加阻尼作用 来源于系统来源于系统。 微分控制为系统提供了一个实零点，可以缩短系微分控制为系统提供了一个实零点，可以缩短系 统的初始响应时间，但在相同阻尼程度下，将比速度统的初始响应时间，但在相同阻尼程度下，将比速度 反馈控制产生更大的阶跃响应超

40、调量。反馈控制产生更大的阶跃响应超调量。 (2) 比例微分控制位于系统的输入端，比例微分控制位于系统的输入端， 。当输入端噪声严重时，。当输入端噪声严重时， 不宜选用比例微分控制。同时，由于微分器的输入不宜选用比例微分控制。同时，由于微分器的输入 信号是低能量的误差信号，要求比例微分控制具有信号是低能量的误差信号，要求比例微分控制具有 足够的放大作用，为了不明显恶化信噪比，足够的放大作用，为了不明显恶化信噪比， 输出速度反馈控制，是从高能量的输出端向低能输出速度反馈控制，是从高能量的输出端向低能 量的输入端传递信号，无需增设放大器，并对输入端量的输入端传递信号，无需增设放大器，并对输入端 噪声

41、有滤波作用，噪声有滤波作用，。 G(s)，H(s) 一般是复变量一般是复变量s 的多项式之比，故上式可记为的多项式之比，故上式可记为 控制系统的基本结构如图所示。控制系统的基本结构如图所示。 )()(1 )( )( )( )( sHsG sG sR sC s 其闭环传递函数为其闭环传递函数为 G(s) R(s) C(s) + H(s) 式中式中0 k 0 ( i, j =1,2, , n) 即，即，。 如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满 足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面足上式，还不能确定一定是稳

42、定的，因为上式仅是必要条件。下面 给出系统稳定的充分必要条件。给出系统稳定的充分必要条件。 1. 1. 劳斯判据劳斯判据 劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位 于右半于右半s平面上根的个数。平面上根的个数。 表中：表中：1 1）最左一列元素按）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作的幂次排列，由高到低，只起标识作 用，不参与计算。用，不参与计算。 2 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。）从第三行起

43、各元素，是根据前二行的元素计算得到。 aa2 a4 aa3 a5 bb2 b3 an sn sn1 sn2 s1 s0 1 3021 1 a aaaa b 1 5041 2 a aaaa b 0 1 2 2 1 10 nn nnn asasasasasD)( 2. 2.劳斯判据的应用劳斯判据的应用 例例3-3 设有下列特征方程设有下列特征方程 D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0，试用劳试用劳 斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。 解解：劳斯表劳斯表 第一列元素第一列元素 符号改变了符号改变了2次，次，系统不稳定，且系统不稳

44、定，且s 右半平右半平 面有面有2个根。个根。 s4 s3 s2 s1 s0 1 3 5 2 4 6 15 5 例例3-4 系统的特征方程为系统的特征方程为 D(s) = s3 3s + 2 = 0 试用劳斯判据确定正实数根的个数。试用劳斯判据确定正实数根的个数。 解：系统的劳斯表为解：系统的劳斯表为 ：劳斯表中某劳斯表中某 行的第一列元素为零，而其余行的第一列元素为零，而其余 各项不为零，或不全为零。对各项不为零，或不全为零。对 此情况，可作如下处理：此情况，可作如下处理： s3 s2 s1 s0 1 3 0 2 用一个很小的正数用一个很小的正数 来代替第一列为零的项，从而使劳来代替第一列为

45、零的项，从而使劳 斯表继续下去。斯表继续下去。 可用因子可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中乘以原特征方程，其中a可为可为任意任意正数，正数， 再对新的特征方程应用劳斯判据。再对新的特征方程应用劳斯判据。 1 23 b 0+时，时，b1 0，劳斯表，劳斯表 中第一列元素符号改变了两中第一列元素符号改变了两 次次 系统有两个正根，不稳定。系统有两个正根，不稳定。 用（用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：）乘以原特征方程，得新的特征方程为： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0 s3 s2 s1 s0 1 3 0() 2 2 s4

46、 s3 s2 s1 s0 1 3 6 3 7 2/3 6 20 6 例例3-5 设某线性系统的闭环特征方程为设某线性系统的闭环特征方程为 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0 试用劳斯判据判断系统稳定性。试用劳斯判据判断系统稳定性。 解解:该系统的劳斯表如下：该系统的劳斯表如下： 劳斯表中某行元素全为零。此时，特征劳斯表中某行元素全为零。此时，特征 方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复 数根）。对此情况，可作如下处理：数根）。对此情况，可作如下处理： s4 s3 s2 s1 s0 1 3 2 1 1 2 2 0

47、 0 由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，系统有两个正系统有两个正 根，系统不稳定。通过根，系统不稳定。通过解辅助方程解辅助方程可求出关于原点对称的根：可求出关于原点对称的根： s1=1 和和 s2= 1 。 对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1 和和 s4= 2 。 用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助对辅助 方程求导方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。 s4 s3 s2 s1 s0 1 3

48、 2 1 1 2 2 4 2 F(s) = 2s2+ 2 F (s)= 4s 例例3-6 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K 的取值范围。的取值范围。 解：系统特征方程式解：系统特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0 要使系统稳定，劳斯表中第要使系统稳定，劳斯表中第 一列元素均大于零。一列元素均大于零。 0 K 0 , 1+0.5K 0 , 3(1+0.5K)K 0 , 1+0.5K 0 , 3(1+0.5K)2K 02K 0 解得解得 K 0K 0，K-2K-2，K 6K 6 所以，当所以，当0 K 60 K6K 6时，系统将不稳定

49、。时，系统将不稳定。 )12)(1( )15 .0( )( limlim 00 sss sK sGK ss p K sss SK sssGK ss v )12)(1( )15 .0( )( limlim 00 KKK e vp ss 55 1 10 r(t)=10+5tr(t)=10+5t 给定稳态误差给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）（由给定输入引起的稳态误差） 扰动稳态误差扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）（由扰动输入引起的稳态误差） 对于对于随动系统，随动系统，给定输入变化，要求系统输给定输入变化，要求系统输 出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定出量以一定的精度跟随输

50、入量的变化，因而用给定 稳态误差来衡量系统的稳态性能。稳态误差来衡量系统的稳态性能。 对对恒值系统，恒值系统，给定输入通常是不变的，需要分给定输入通常是不变的，需要分 析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动 稳态误差来衡量系统的稳态性能。稳态误差来衡量系统的稳态性能。 所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用 之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗 干扰能力。干扰能力。 例例3-11 G1(s

51、) R(s) C(s) + H(s) E(s) G2(s) N(s) + H(s) =1，G1(s)=K1，G2(s)=K2 / s(Ts+1) 试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。 解：（解：（1）单位阶跃给定作用下的稳态误差单位阶跃给定作用下的稳态误差: 系统是系统是型系统：型系统： Kp = ess = 0 （2）单位阶跃扰动作用下的稳态误差。单位阶跃扰动作用下的稳态误差。 系统误差的拉氏变换为系统误差的拉氏变换为 sKKsTs K sN Tss KK Tss K sEn 1 )( )1( 2 1 )1( )

52、( 21 2 2 1 2 K1 R(s) C(s) + E(s) N(s) + 1 0 /1)(limKssEe n s ssn （3）根据线性系统的叠加原理，系统在单位阶跃给定）根据线性系统的叠加原理，系统在单位阶跃给定 和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为 1 /1 Keee ssnssrss sKKsTs K sN Tss KK Tss K sEn 1 )( )1( 2 1 )1( )( 21 2 2 1 2 练习练习 系统结构图如图所示，已知输入系统结构图如图所示，已知输入 , 求系统的稳态误差。求系统的稳态误差。 2 42)(tttr 解解 )(

53、)1( )( 2 1 ass TsK sG 2 1 v aKK )1()( )( 1 2 1 TsKass K s 0)( 11 23 KTsKasssD ttr2)( 1 0 1 ss e 22 2 2 1 84)(tttr 1 2 8 K a K A ess 1 21 8 K a eee ssssss 例例3-12 3-12 系统结构图如图所示。系统结构图如图所示。 （1 1）Kt=0 时系统的性能时系统的性能? ? （2 2）Kt 时，时， , , ts 变化趋势变化趋势? ? 0.7070.707时时, , , , ts =？ （3 3）Kt ，r(t)=t ，ess变化趋势变化趋势?

54、 ? 0.7070.707时时, , ess=？ 0 t K解解. (1) . (1) 时时 2 100 )( s sG 0100)( 2 ssD 100 100 )( 2 s s 系统结构不稳定！系统结构不稳定！ (2 2) 时时0 t K )10( 100 )( t Kss sG 1 10 v K K t 10010 100 )( 2 sKs s t 22 10 10100 t n t n KK ns t t t t K K K 5 . 32 1, 2 0 0 s tt t KK 0 , 1, 2 0 0 414. 1 707. 0 2 t t K K 495. 0 5 5 . 3 ,5

55、0 0 0 0 t s K t (2 2) 时时 (3) ns tt t KK 3 :2 0 0 s tt t KK 0 :2 0 0 414. 1 707. 0 t K 424. 0 ,5 0 0 0 0 s t 0 t K t KK/10 10 1 t sst K K eK )10( 100 )( t Kss sG 1 10 v K K t 100)10( 100 )( t Kss s 上面的分析和例题可知：上面的分析和例题可知： 通过调整系统的结构和参数，可以提高系统精度，比如：通过调整系统的结构和参数，可以提高系统精度，比如： ；但积分环节个数一般不能超过；但积分环节个数一般不能超过

56、2个，个，K也不能任意扩大，否则会造成动态品质变差，甚至造成系统也不能任意扩大，否则会造成动态品质变差，甚至造成系统 不稳定。不稳定。 例例3-12 控制系统结构图如图所示。图中控制系统结构图如图所示。图中 试确定补偿通道的传递函数，使系统在试确定补偿通道的传递函数，使系统在单位斜坡给定作用下单位斜坡给定作用下无稳无稳 态误差。态误差。 432 1 )( 23 sss sG Gb(s) C(s) +G (s)+ 432 1 )( 23 sss sG 解：系统误差的拉氏变换为解：系统误差的拉氏变换为(根据梅逊公式根据梅逊公式) 223 23 1 532 )(432 )( )(1 )()(1 )(

57、 ssss sGsss sR sG sGsG sE bb 0)( 43)( 0 s b ssE ssG，即可符合要求。只要 练习：练习：系统结构图如图所示，已知输入系统结构图如图所示，已知输入 , ,求求 , ,使稳态误差为零。使稳态误差为零。Attr )( 解解)1( )( Tss K sG 1v KK KTss sKGTss Tss K Tss sKG sR sE s c c e )1( )()1( )1( 1 )1( )( 1 )( )( )( 0)( 2 KsTssD K s sGc )( )(sGc 0 )(1 )1( )(1 lim)(lim 0 2 0 K sG s K A KT

58、ss sG s K sTA s A sse cc s e s ss 按前馈补偿的复合控制方案可以有效提高系统的稳态精度按前馈补偿的复合控制方案可以有效提高系统的稳态精度 练习：设控制系统如图所示，其中 给定输入 ，扰动输入 （ 和 均为常数 ），试求系统的稳态误差。 s K sG 1 1 1 1 )( )1 ( )( 2 2 2 ss K sG )( 1)(tRtr r )( 1)(tRtn n r R n R 系统结构图系统结构图 C(s) R(s) - )( 1 sG)( 2 sG + N(s) 解 当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为 给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。

59、 令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为 所以给定稳态误差为 ) s (G) s (G1 1 ) s ( 21 er 0 s R KK) s1)(s1 ( s ) s1)(s1 (s ) s (G) s (G1 ) s (Rs e r 2121 21 2 0s 21 0s ssrlimlim C(s) R(s) - )( 1 sG)( 2 sG + N(s) s K sG 1 1 1 1 )( )1 ( )( 2 2 2 ss K sG 令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递 函数为 所以扰动稳态误差为 由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统中的

60、作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态 误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环 节的放大系数（即 ），可以减小系统的扰动稳态误差。 )()(1 )( )( 2 2 sGsG sG s en 12121 12 0 21 2 0 )1)(1 ( )1 ( )()(1 )()( limlim K R s R KKsss sKs sGsG sNssG e nn ss ssn 1 K s K sG 1 1 1 1 )( )1 ( )( 2 2 2 ss K sG 该系统总的稳态误差为 为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图3 中 给定输入和扰动输