第三章 静定结构的内力计算

1、第三章第三章 静定结构的静定结构的内力计算内力计算 基本要求：基本要求： 理解理解恰当选取分离体和平衡方程计算 静定结构内力的方法和技巧，会根据几何 组成寻找解题途径。 掌握掌握内力图的形状特征和绘制内力图 的方法， 静定平面刚架、多跨梁、三铰拱、 平面桁架及组合结构的内力计算。 熟练掌握熟练掌握叠加法作弯矩图。 主要主要内容内容 静定结构静定结构内力计算内力计算的基本方法的基本方法 静定静定结构内力计算举例结构内力计算举例 5.叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图 1.单跨梁支反力单跨梁支反力 2.截面法求指定截面内力截面法求指定截面内力 3.作内力图的基本方法作内力图的基本方法 4.弯矩、剪力、荷

2、载集度之间的微分关系弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系 6.分段叠加法作弯矩图分段叠加法作弯矩图 单跨梁受力分析方法单跨梁受力分析方法 1.单跨梁支座反单跨梁支座反 力力 FX M FY L/2L/2 FP 例例.求图示梁支反力求图示梁支反力 A 解解: )(2/ )( 0 LFM FF F P PY X 0 0 0 A Y X M F F 弯矩 以使下侧受拉为正 剪力 绕作用截面顺时针转为正 轴力 拉力为正 2.截面法求指定截面内力截面法求指定截面内力 K Ay F By F Ax F q A B l C 求跨中截面内力求跨中截面内力 )(2/ ),(2/, 0 qlF qlFF By Ay

3、Ax 8/, 0 0, 0 0, 0 2 qlMM FF FF Cc C Qy Nx C (下侧受拉下侧受拉) Ay F 3.作内力图的基本方法作内力图的基本方法 By F Ax F q A B l 作图示粱内力图作图示粱内力图 22 1 )(, 0 2 1 )(, 0 0)(, 0 x qxqlxxMM qxqxxFF xFF Qy Nx )( )( )( xFF xFF xMM NN QQ )(2/ ),(2/, 0 qlF qlFF By AyAx 2 8 1 ql ql 2 1 ql 2 1 4.弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系 )(/ )( )(/

4、 )( )(/ )( 22 xqdxxMd xFdxxdM xqdxxdF Q Q q A B l x )(xM )(xFN xd )(xFQ MMd NN dFF Q dF Q F xqd FPl 截面弯矩等于该截面一截面弯矩等于该截面一 侧的所有外力对该截面侧的所有外力对该截面 的力矩之和的力矩之和 FP FP FP FP ql 2/ 2 ql 2/ 2 ql 2/ 2 ql FPl/4 FP/2 FP/2 2/ 2 ql A支座的反力支座的反力 大小为多少大小为多少, 方向怎样方向怎样? FPl/2 FP FP FP/2 F C m C 或或 q0 F m C 简易法简易法绘制内力图的一

5、般步骤绘制内力图的一般步骤 1 1）、）、求支反力；求支反力； 3 3）、）、定点；定点； 2 2）、）、分段；分段；（控制截面点的位置：集中力作用处、集中力偶作用处、（控制截面点的位置：集中力作用处、集中力偶作用处、 分布荷载起始点、支座处、杆与杆的连接点）分布荷载起始点、支座处、杆与杆的连接点） 4 4）、）、连线。连线。 FP a FP l ab AB A B l q ql2 2 BA F l ab Fab l BA q l ql2 8 m B A ab l m l a l m b l m m l FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP FP

6、FPFP 5.叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图 是竖标相加是竖标相加,不是不是 图形的简单拼合图形的简单拼合. 练习练习: q l 2 ql 2 ql 2 16 1 ql 2 16 1 ql q l 6.分段叠加法作弯矩图分段叠加法作弯矩图 q A B l/2l/2 C ql 8 1 2 16 1 ql q 2 16 1 ql q l/2 2 16 1 ql q l/2 2 16 1 ql q 2 16 1 ql 练习练习: 分段叠加法作弯矩图分段叠加法作弯矩图 q A B l C 2 4 1 ql q l ql ll ql 2 1 1.1.多跨静定梁的组成多跨静定梁的组成 练习练习:区分基本部分

7、和附属部分并画出关系图区分基本部分和附属部分并画出关系图 2.2.多跨静定梁的内力计算多跨静定梁的内力计算 qql llll2l4l2l ql ql ql q ql 2 1 ql ql ql 2 1 q2 2ql 2 ql AB Q F BA Q F AB 4/50 4/110 qlFF qlFM AB QY BA QA qql llll2l4l2l ql ql ql q ql 2 1 ql ql ql 2 1 2 ql 2 ql ql ql 4/5ql 4/11ql 2/ql 2/ql 3.3.多跨静定梁的受力特点多跨静定梁的受力特点 简支梁简支梁(两个并列两个并列) 多跨静定梁多跨静定梁

8、连续梁连续梁 为何采用多跨静定梁这种结构型式为何采用多跨静定梁这种结构型式? .对图示静定梁对图示静定梁,欲使欲使AB跨的最大正弯矩与支座跨的最大正弯矩与支座B截截 面的负弯矩的绝对值相等面的负弯矩的绝对值相等,确定铰确定铰D的位置的位置. q CB l A D l x D R 8/)( 2 xlq q D R B 解解:)(2/ )(xlqRD 2/)(2/ 2 xxlqqxM B 2/)(2/8/)( 22 xxlqqxxlq lx172. 0 2 086. 0qlM B q ll x lx172. 0 2 086. 0ql 2 086. 0ql 2 086. 0ql 2 8 1 ql q

9、 22 125. 0 8 1 qlql 与简支梁相比与简支梁相比:弯矩较小而且均匀弯矩较小而且均匀. 从分析过程看从分析过程看:附属部分上若无外力附属部分上若无外力,其上也无内力其上也无内力. 桁架结构桁架结构（truss structuretruss structure） 桁架内力分析桁架内力分析 主桁架主桁架 纵梁纵梁 横梁横梁 静定平面桁架 1 1、结点法、结点法 1 1）、）、定义：定义：利用各结点的平衡条件求解桁架内力的方法。利用各结点的平衡条件求解桁架内力的方法。 2 2）、）、实质：实质：作用在结点上的各力组成一平面汇交力系。作用在结点上的各力组成一平面汇交力系。 3 3）、）、

10、注意点：注意点： （1 1）一般结点上的未知力不能多余两个）一般结点上的未知力不能多余两个; ; （2 2）可利用比例关系求解各轴力的铅直、水平分量。）可利用比例关系求解各轴力的铅直、水平分量。 FN B A FN ly lx l A FN Fx Fy B y y x xN l F l F l F 桁架的内力计算桁架的内力计算 例例1. 1. 求以下桁架各杆的内力求以下桁架各杆的内力 -33 34.8 1919 0 5 . 1 5 . 0 N N AC CD X Y AD AD kN 11 0 N AD YY kN 333 NN ADAD YX kN 33 0 N AC FX -33 34.8

11、 1919 0-33 -8 -33 34.8 -33 -8 1919 0 - -8 kN 5 . 0 75. 0 CE CD X Y DE DE 37.5 -5.4 -33 34.8 -33 -8 37.5 -5.4 1919 0 -5.4 -8 -33-33 34.8 FAy FBy 对称结构受对称荷载作用对称结构受对称荷载作用, 内力和反内力和反 力均为对称力均为对称: FAy FBy 对称结构受反对称荷载作用对称结构受反对称荷载作用, 内力和内力和 反力均为反对称反力均为反对称: FN2=0 FN1=0 FN=0 FN=0 FP/ 2 FP/2 FP FP FP 判断结构中的零杆 特殊结

12、点：特殊结点： （1 1）L L形结点形结点：在不共线的两杆结点：在不共线的两杆结点 上，若无外荷载作用，则上，若无外荷载作用，则两杆内力两杆内力 均均 为零为零。内力为零的杆称为。内力为零的杆称为零杆零杆。 F FN1 N1=F =FN2 N2=0 =0 F FN2 N2F FN1 N1 F FN1 N1=F =FN2 N2 F FN3 N3=0 =0 F FN1 N1 F FN2 N2 F FN3 N3 F FN1 N1=F =FN2 N2 F FN3 N3=F =FN4 N4 F FN1 N1 F FN2 N2 F FN3 N3 F FN4 N4 （2 2）T T形结点形结点：三杆结点无

13、外荷载作用时，：三杆结点无外荷载作用时， 如其中两杆在一条直线上，则共线的两杆内如其中两杆在一条直线上，则共线的两杆内 力性质相同，力性质相同，而第三杆内力为零。而第三杆内力为零。 （3 3）X X形结点形结点：四杆结点无外荷载作用时，：四杆结点无外荷载作用时， 如其中两杆在一条直线上，另外两杆在另一如其中两杆在一条直线上，另外两杆在另一 条直线上，条直线上，则同一直线上的两杆内力性质相则同一直线上的两杆内力性质相 同。同。 （4 4）K K形结点形结点：四杆结点无外荷载作用时，：四杆结点无外荷载作用时， 如其中两杆在一条直线上，另外两杆在此直如其中两杆在一条直线上，另外两杆在此直 线同侧且交

14、角相等，线同侧且交角相等，则非共线两杆内力大小则非共线两杆内力大小 相等而符号相反。相等而符号相反。 F FN3 N3=-F =-FN4 N4 F FN1 N1 F FN2 N2 F FN3 N3 F FN4 N4 56 m 6m A B FPFPFPFPFP 1 2 34 2.5FP 2.5FP m m n n FN1 =-3.75FPFN2 =3.33FP FN3 =-0.50FPFN4=0.65FP 截面单杆截面单杆 截面法取出的隔离体，截面法取出的隔离体， 不管其上有几个轴力，如果某不管其上有几个轴力，如果某 杆的轴力可以通过列一个平衡杆的轴力可以通过列一个平衡 方程求得，则此杆称为方

15、程求得，则此杆称为截面单截面单 杆杆。 可能的截面单杆通常有相交型可能的截面单杆通常有相交型 和平行型两种形式。和平行型两种形式。 FPFPFPFPFP FP 平行情况平行情况 FP FP FP FP FP FN2 FN1 FN3 FAy FPFP 1 23 04530sinsin , 0 32 NN Y G 32 32 0coscos 0 NN NN X 1D N0M 4E N0M 刚架是由梁柱组成的含有刚结点的杆件结构刚架是由梁柱组成的含有刚结点的杆件结构 l 2 8 1 ql 2 8 1 ql 刚架刚架 梁梁 桁架桁架 . 刚架的受力特点刚架的受力特点 静定刚架的分类静定刚架的分类: .

16、 刚架的支座反力计算刚架的支座反力计算 简支刚架简支刚架 悬臂刚架悬臂刚架 单体刚架单体刚架 (联合结构联合结构) 三铰刚架三铰刚架 (三铰结构三铰结构) 复合刚架复合刚架 (主从结构主从结构) 1.单体刚架单体刚架(联合结构联合结构)的支座反力的支座反力(约束力约束力)计算计算 例例1: 求图示刚架的支座反力求图示刚架的支座反力 P F A C B l 2 l 2 l P F A C B A Y A X B Y 方法方法:切断两个刚片之间的约束切断两个刚片之间的约束, ,取一个刚片为隔离体取一个刚片为隔离体, ,假定约束力的方向假定约束力的方向, ,由由 隔离体的平衡建立三个平衡方程隔离体的

17、平衡建立三个平衡方程. . 解解: )(, 0, 0 PAPAx FXFXF )( 2 , 0, 0 P BABAy F YYYYF )( 2 , 0 2 , 0 P BBPA F YlY l FM 例例2: 求图示刚架的支座反力求图示刚架的支座反力 解解: )(, 0, 0 qlXqlXF AAx )(, 0, 0 qlYqlYF AAy )(2 , 0, 0 2 2 逆时针转qlM qllqlMM A AA A l 2 l 2 l A Y A X A M ql q 2 ql 例例3: 求图示刚架的支座反力求图示刚架的支座反力 P F A C B A Y B X B M l 2 l 2 l

18、解解: )(, 0 PBx FXF 0, 0 Ay YF )(2/, 0顺时针转plMM BB 例例4: 求图示刚架的约束力求图示刚架的约束力 )( 2 1 , 0 qlXFF CABNx 解解: 0, 0 Cy YF )( 2 1 , 0 2 , 0 qlXlX l qlM CCA l A C l B l ql ql q C Y ABN F C X ql A C 例例5: 求图示刚架的反力和约束力求图示刚架的反力和约束力 解解: 1)取整体取整体 )(, 0 PAx FXF )( 2 1 , 0 PAy FYF )( 2 1 , 0 PBA FYM l B Y l l E P F A C D

19、 B A Y A X DAN F B Y E D B DCN F ECN F 2)取取DBE部分部分 )( 2 , 0 P DANx F FF )( 2 1 , 0 P DCNy FFF )( 2 1 , 0 P BCND FFM 2.三铰刚架三铰刚架(三铰结构三铰结构)的支座反力的支座反力(约束力约束力)计算计算 例例1: 求图示刚架的支座反力求图示刚架的支座反力 方法方法:取两次隔离体取两次隔离体, ,每个隔离体包含一或两个刚片每个隔离体包含一或两个刚片, ,建立六个平衡方程求解建立六个平衡方程求解- 双截面法双截面法. . 解解:1)取整体为隔离体取整体为隔离体 0, 0 BPAx XF

20、XF )( 2 , 0, 0 P BABAy F YYYYF )( 2 , 0 2 , 0 P BBPA F YlY l FM P F A C 2 l 2 l B A Y A X B Y 2 l 2 l B X 2)取右部分为隔离体取右部分为隔离体 )( 4 , 0, 0 P CCBx F XXXF )( 2 , 0, 0 P BCBCy F YYYYF )( 4 , 0 2 , 0 P BBBC F X l YlXM B C B Y C Y C X B X 例例2: 求图示刚架的支座反力和约束力求图示刚架的支座反力和约束力 解解:1)取整体为隔离体取整体为隔离体 )(, 0 PBx FXF

21、)(, 0, 0 PBABAy FYYYYF )( 2 1 , 0 2 , 0 顺时针转lFM lY l FMM PA BPAA 2)取右部分为隔离体取右部分为隔离体 )(, 0, 0 PCCBx FXXXF )(2, 0, 0 PBCBCy FYYYYF )(2, 0 2 , 0 PBBBC FY l YlXM B C B Y C Y C X B X P F A C 2 l 2 l B A Y A M B Y 2 l 2 l B X 3)取整体为隔离体取整体为隔离体 例例3: 求图示刚架的约束力求图示刚架的约束力 解解:1)取取AB为隔离体为隔离体 0, 0 qlYYF ACy )(, 02

22、, 0 qlYqlYYF ABAy )(, 0 2 2 , 0 qlYlY l qlM BBA l A C l B l ql2 q A ql2 B A Y A X B Y B X C Y C X C A X A Y A 2)取取AC为隔离体为隔离体 3)取取AB为隔离体为隔离体 )( 2/, 0 2 , 0 qlXlY l qllXM ABAC )( 2/, 0 qlXXF BCx )( 2/, 0 qlXXF ABx 例例4: 求图示刚架的反力和约束力求图示刚架的反力和约束力 l B X l l E P F A C D B A Y A X B Y F l 解解:1)取取BCE为隔离体为隔离体

23、 0, 0 Ax XF CDN F EFN F ECB B X B Y P F 2)取整体为隔离体取整体为隔离体 )(3, 03, 0 PBBPA FYlYlFM 0, 0 Bx XF )(2, 0, 0 PAPBAy FYFYYF 3)取取BCE为隔离体为隔离体 )(4 , 0, 0 PEFN EFNBPC FF lFlYlFM )(6, 0 P CDNy FFF 3.复合刚架复合刚架(主从结构主从结构)的支座反力的支座反力(约束力约束力)计算计算 方法方法:先算附属部分先算附属部分, ,后算基本部分后算基本部分, ,计算计算 顺序与几何组成顺序相反顺序与几何组成顺序相反. . 解解:1)取

24、附属部分取附属部分 2)取基本部分取基本部分 例例1: 求图示刚架的支座反力求图示刚架的支座反力 P F A C 2/ l 4/ l B A Y A X B Y D C Y 4/ l ll D X D Y P F A C B A Y A X B Y D C Y D Y D X )( 4/ PD FY )( 4/ PC FY )( PD FX )( 4/ PB FY )( PA FY )( PA FX P F 思考题思考题: 图示体系支反力和约束力的计算途径是怎样的图示体系支反力和约束力的计算途径是怎样的? P F lFP P F P F P F P F P F P F lFP P F P F

25、P F P F 习题习题: 求图示体系约束力求图示体系约束力. M M l l A CD B lM / lM / lM / lM / lM /lM / M 习题习题: 求图示体系约束力求图示体系约束力. M l ll l l 0 lM / lM / M . 刚架指定截面内力计算刚架指定截面内力计算 与梁的指定截面内力计算方法相同与梁的指定截面内力计算方法相同. . 例例1: 求图示刚架求图示刚架1,2截面的弯矩截面的弯矩 解解: P F A C 2 l 2 l B A Y A X B Y 2 l 2 l B X 12 )(4/ PB FX )(2/ PA FY)(2/ PB FY )(4/ P

26、A FX 2 M 4/ P F 1 M 4/ P F )(4/ 1 上侧受拉lFM P )(4/ 2 右侧受拉lFM P )( 21 外侧受拉MM M M 连接两个杆端的刚结点连接两个杆端的刚结点, ,若若 结点上无外力偶作用结点上无外力偶作用, ,则两则两 个杆端的弯矩值相等个杆端的弯矩值相等, ,方向方向 相反相反. . . .刚架弯矩图的绘制刚架弯矩图的绘制 做法做法: :拆成单个杆拆成单个杆, ,求出杆两端的弯矩求出杆两端的弯矩, ,按与单跨按与单跨 梁相同的方法画弯矩图梁相同的方法画弯矩图. . 少求或不求反力绘制弯矩图少求或不求反力绘制弯矩图 例题例题1: 作图示结构弯矩图作图示结

27、构弯矩图 2/ lFP l 2/ l P 2/ l 2/ lFP2/ lFP ll l P FP F 练习练习: 作弯矩图作弯矩图 P F l llFP lFP lFP2 例题例题1: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图 2/Pl l 2/ l P 2/ l 2/Pl2/Pl Pl lPl Pl Pl2 练习练习: 作弯矩图作弯矩图 ll l P P 2/ l 2/ l l P 练习练习: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图 P F l l P F l l ll P F l l 练习练习: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图 例题例题2: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图 ll l P F 2/ l

28、FP 4/ lFP 4/3lFP 4/3lFP 4/ lFP 2/ lFP P F l l 2 l l 2 P F 2/ lFP 2/ lFP lFP 0 lFP 练习练习: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图 例题例题3: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图 ql 2/ 2 ql 2/ql l l q ql l 2/ l q 2/ l ll l q q 练习练习: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图 ll ql l l q 4/5ql 4/5ql 4/5 2 ql 4/5 2 ql 2 ql 2/3 2 ql ql l 2/ l q 2/ l ql 例四例四: 作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图 0

29、 P F P F lM 4/ ll M 2/M 4/M 2/M 4/3M ll lFP P F l l 2 ql l q l ql 2/ 2 ql ql2 练习练习: 试找出图示结构弯矩图的错误试找出图示结构弯矩图的错误 练习练习: 试找出图示结构弯矩图的错误试找出图示结构弯矩图的错误 做法做法: : 逐个杆作剪力图逐个杆作剪力图, ,利用杆的平衡条件利用杆的平衡条件, ,由由 已知的杆端弯矩和杆上的荷载求杆端剪力，已知的杆端弯矩和杆上的荷载求杆端剪力， 再由杆端剪力画剪力图再由杆端剪力画剪力图. . . .由做出的弯矩图作剪力图由做出的弯矩图作剪力图 注意注意: : 剪力图画在杆件任一侧均可

30、剪力图画在杆件任一侧均可, ,必须注明符必须注明符 号和控制点竖标号和控制点竖标. . P F a2 aa a /4F P /4F P 2/FPa 2/aFP 2/aFP aFP M 2/ P F /4F P 4/ P F P F Q P F l l 2 l l 2 lFP lFP lFP 练习练习: :作剪力图作剪力图 2/ P F P F QM 2/ P F 由做出的弯矩图作剪力图由做出的弯矩图作剪力图 l l 2 ql ql q 例例: :作剪力图作剪力图 M 2/P qlFF AB Q BA Q , 0 Q 2/ 2 ql 2 ql 2/3 2 ql ql A B 2 ql 2/3 2

31、 ql AB Q F BA Q F AB ql 0 BA Q F ql qlF AB Q ql 做法做法: : 逐个杆作轴力图逐个杆作轴力图, ,利用结点的平衡条件利用结点的平衡条件, , 由已知的杆端剪力和求杆端轴力由已知的杆端剪力和求杆端轴力, ,再由杆端再由杆端 轴力画轴力图轴力画轴力图. . . .由做出的剪力图作轴力图由做出的剪力图作轴力图 注意注意: : 轴力图画在杆件那一侧均可轴力图画在杆件那一侧均可, ,必须注明必须注明 符号和控制点竖标符号和控制点竖标. . N 2/3 P F 2/ P F 4/ P F 由做出的剪力图作轴力图由做出的剪力图作轴力图 P F a2 aa a

32、/4F P /4F P 2/FPa 2/aF P 2/aFP aFP M 2/ P F /4F P 4/ P F P F Q A B A 2/ P F 4/ P F B 2/ P F 4 /P F 4/ P F 2/ P F P F l l 2 l l 2 lFP lFP lFP 练习练习: :作轴力图作轴力图 2/ P F P F QM 2/ P F A B 2/ P F P F A 2/ P F P F B P F 2/ P F P F 2/ P F 2/ P F N P F kN2 m5 . 1 m4 例例: :作图示结构的作图示结构的M,Q,NM,Q,N图图 m5 . 1 A C B

33、kN/m4 x q A B l 2/ql 2/ql x A )(xM x 2/ql )( 2 1 22 )(xlqx x qxx ql xM 8/ 2 ql 8/ 2 ql q 4/ 2 ql 4/ 2 ql kN2 m5 . 1 m4 例例: :作图示结构的作图示结构的M,FM,FQ Q,F,FN N图图 m5 . 1 A C B kN/m4 mkN3 MkN7FkN,8 . 5 BC Q CB Q F A C B BC Q F CB Q F C B FQ kN2 7kN 5.8kN B BAN F BCN F C Y C CBN F kN2 kNF kNF kNF CBN BCN BAN

34、85. 6 75. 2 25. 7 kN75. 2 kN85. 6 A C B kN5 . 7 FN 3-5 组合结构受力分析 下面讨论组合结构的内力计算。 所谓组合结构是指结构中既有梁式杆，又有只 受轴力作用的二力杆。梁式杆的任一截面有弯矩、 剪力和轴力作用。 即：由梁式杆和桁架杆（链式杆）组成的结构。 实例与计算简图 （1）下撑式五角形屋架 (a) 钢筋混凝土钢筋混凝土 角钢角钢 (b) 实例 计算简图 (a) 加劲梁加劲梁 上图a为拱桥的 计算简图，其中由 多根链杆组成链杆 拱，再与加劲梁用 链杆连接。组成整 个结构。当跨度较 大时，加劲梁可换 成加劲桁架，如上 图 b 所示。 (b)加

35、劲桁架加劲桁架 （2）拱桥的计算简图 （3）计算原则 1）在用截面法取隔离体时，不能随意切断梁式 杆，可以切断二力杆，也可以拆开铰结点。 2）先计算链杆的内力，然后依据荷载和所求得 的链杆轴力求梁式杆的内力M、FQ、FN。 FP E C B FxB FyB FNED FPA D E CB 例3-5-1 作图示组合结构内力图。 解：结构对称荷载对称。 （1）求支座反力如图示。 （2）求FNDE，取截面II以左为隔离体。 C 1kN/m B A DE FG 0 6kN 6kN I I 3m3m3m3m 0.5m 0.7m 结点D 0.7 15153.5 3 3.0806 1515.4() 3 xD

36、AyDA NDA FkNFkN FkN 拉 0 x F 0 C M 0 y F FNDFFNDA D 15kN 0.7 3 3.0806 (6 6 1 6 3)/1.215() NDE FkN 拉 0 3.5() NDFyDA NDFyDA FF FFkN 压 （3） 求梁式杆的内力M、FQ、FN 。 取FC段作隔离体： 求：MF 0 F M 1 3 1.5 15 0.25 4.53.750.75. () F M kN m 上拉 15 3.01 3 0.25 F 1kN/m 3m FQCF C FQFCMF FNFC FNCF 15 0.25m ? 求FC杆的剪力和轴力 0 1 (0.75 1

37、 3 1.5)1.744 3.01 C QFC M FkN 3 15cos1514.95() 3.01 0.25 1 3 sin14.953 3.01 15.20() NCF NFCNCF FkN FF kN 压 压 0.25 15sin15 3.01 1.246 QCF F kN 3.01 3 0.25 15 F 1kN/m 3m FQCF C FQFC0.75kN.m FNFC FNCF 15 0.25m 取AF段作隔离体： 30.25 2.5cos15sin2.5151.246 3.013.01 QAF FkN 1 (0.75131.5)1.744 3.01 Q FA FkN 0 A M

38、 15 2.5 3.01 3 0.25 A 1kN/m 3m FQFA F FNAF FNFA 15 2.5 0.75kN.m FQAF 0.25m 0.253 2.5sin15cos2.515 3.013.01 15.16( NAF F kN 压) 0.25 1 3sin15.163 3.01 15.160.24914.91( NFANAF FF kN 压) 15 2.5 3.01 3 0.25 A 1kN/m 3m FQFA F FNAF FNFA 15 2.5 0.75kN.m FQAF 0.25m M图(kNm) 0.75 0.75 0.75 C A F FQ图(kN) 1.246 1

39、.246 1.744 1.744 C A F FN图(kN) 15.16 15.2 14.95 C A F 14.91 （4）结构内力如下图示。 15kN -3.5kN 15.4kN C B A DE FG 0 6kN6kN 考虑：剪力图和轴力图在F点的变化。 可见高跨比越小， 轴力FNDE越大，屋架的 轴力也越大。 （5）讨论（看书） 影响下撑式五角星形组合屋架的主要因素有两个。 1)高跨比f/l 轴力FNDE可用三铰拱 的推力公式计算： f M F C NDE 0 2) f1 与 f2 的关系 当 f 确定后，内力状态随f1 与 f2 的比例关系不 同而变，从上图给出的结果可以看出： 下弦

40、杆轴力的变化幅度不大，但是上弦杆弯 矩的变化幅度很大； 当f1减小时，上弦负弯矩增大。当f1=0时，上 弦全部为负弯矩，此时成为“下撑式平行弦组合结 构”。上弦弯矩有如支在A和F两点的伸臂梁。 当 f1 加大时，上弦正弯矩增大。当 f2=0时， 上弦全部为正弯矩，此时成为“带拉杆的三铰拱式 屋架”。上弦弯矩有如支在A、C两点的简支梁。 当 f1=0.450.5f 时，上弦结点F处的负弯矩 与两个节间的最大正弯矩，在数值上将大致相等， 且数值比两种极限情形小得多。 所有情况参见上页图。 例3-5-2 作图示结构的内力图。 5kN 5kN 5kN 3m4=12m 8m 3m (a) A C G F

41、 E B D I I NEG NDF NDG 2.73kN 7.5kN E D 7.28kN 2.51kN 10.61kN 7.5kN 7.5kN 2.73kN 7.5kN 21.84kNm 解：1、支反力计算(与三铰刚架相同) FyA= FyB=7.5kN ()， FxA= -FxB =2.73kN ( ) 2、用截面法先求链杆内力 取左半部分考虑。 FyDG=-7.5kN， FxDG=-7.5kN， FNDG=-10.61kN FNEG=7.28kN， FNDF=-2.51kN 利用以上结果可作出梁式杆FQ图和FN图。 7.28kN 2.51kN 7.5kN 2.73kN E D 7.5k

42、N A + FQ 图 7.28 2.73 7.5kN E D 7.5kN FN 图 A 7.5 7.5 3、用结点法求其他链杆内力。 FxFC= FyFC=-2.51kN，FNFC =-3.55kN FNFG =2.51kN ，FNGC=0.22kN 4、利用对称性可作出另一梁杆的内力图。 例3-5-3 作图示结构的内力图。 3m3m 3m 3m 2m 2m 4m A B C D E FG 10kN FxA Fy A FxB I I 解：1、求支座反力 FyA=10kN () FxA=8.18kN () FxB=8.18kN () D E FG 10kN C FNDE FxDE FyDE Fx

43、C FyC 隔离体图 2、取截面I-I，切开C铰和DE杆，截面以右为隔 离体。 将 FNDE在D点分解为 FxDE和FyDE。 求得：FxDE = -12.86kN FyDE = -17.14kN FxC = -FxDE =12.86kN FyC =10 +FyDE =-7.14kN D E FG 10kN C FNDE FxDE FyDE FxC FyC 隔离体图 3、取E结点分析 求得：FNEC =-3.03kN， FNEF -21.21kN 即有：FxEC =-2.14kN， FyEC -2.14kN FxEF = FxEC =-15kN 4、据此作出内力图(如下页图) D E FG 1

44、0kN C FNDE FxDE FyDE FxC FyC 隔离体图 n n 也可以取nn截面，求EF、EC杆的内力（更简单）。 A B C D E F G 10kN 8.18k N 10kN 8.18kN 30 16.36 16.36 M 图(kNm) A B C D E F G 10kN 8.18kN 10kN 8.18kN 5 4.68 FQ 图(kN) + 8.18 8.18 10 4.68 - - - + + - A B C D E F G 10kN 15 FN 图(kN) 10 7.14 -21.21 -21.42 -3.03 - 3-6 三铰拱受力分析 三铰拱式结构广泛应用于实际工

45、程建设中： 桥梁、渡槽、屋架等。 三铰拱的构造特征为：杆轴通常为曲线，三 个刚片(包括基础)用不在同一直线上的三个铰两两 相连组成三铰拱结构。 三铰拱的受力特征为:在竖向荷载作用下，拱 脚处产生水平推力;因此，拱轴任一截面轴力FN比 较大，弯矩较小。有时用拉杆来承受水平推力， 称为拉杆拱。 通常认为：具有水平推力的结构为“拱结构”。 按计算特点拱结构分为“静定拱”和“超静定 拱”两种形式。 “三铰拱”是典型的静定拱。 主要参数：高跨比f/l与拱的受力状态密切相 关。 轴线形式：抛物线、圆弧线、悬链线。 后面将证明，“承受沿水平方向均匀分布的竖 向荷载作用的三铰拱的合理轴线是抛物线”。 拱分为“

46、平拱”和“斜拱”。 在此，主要研究“平拱” 。 (下页图为三铰拱的两种形式) (拉杆) l (跨度) f (矢高) (拱脚) A B C(拱顶) 通常 在11/10之间变化， 的值对内力有很 大影响。 f lf l l (跨度) f (矢高) (拱脚) C(拱顶) FVA B FP AFH FH FVB 一、三铰拱内力计算的数解法 下面以图示三铰拱为例加以说明。 f=4m C A J B K FP1=15kNFP2=5kN yJyk y FHA FVA FHBx FVB 4m4m4m4m l/2l/2 解：拱轴方程为() f yx lx l 2 4 = 1. 支座反力 整体平衡 4m4m4m4

47、m l/2l/2 CA J B K FP1=15kNFP2=5kN 代梁 0 VA F 0 VB F 0 B M 0 12 11 (124)(15 125 4) 1616 200 16 12.5( ) VAVAPP FFFF kN 0 020 12.5 7.5 ( ) yVBVB FFFkN 0 02 0 1 2 .57 .5() yV BV B F FFk N 考虑拱AC部分平衡： 下面求支座水平推力。 0 () C HB M F f 0 C M 1 0 1 0 24 1 ()() 24 VAHAP C HAVAP ll FFfF Mll FFF ff 上式中， 为代梁C截面弯矩。 0 C

48、M f=4m A FHA FVA K FP1=15kN C yk 4m4m l/2 42 1 0 l F l FM PVAC 分析FH 的表达式可知： (1) 推力FH与拱轴的曲线形式无关，而与拱高 f 成反比，即：拱愈低水平推力FH愈大。 (2) 荷载向下时，FH为正值，推力是向内的。 (3) 当 f0时， FH，此时三铰共线，称为 几何瞬变体系。 0 () C HB M F f 后面的计算将证明：在竖向荷载作用下，因水 平推力的存在，将使得： (1) 三铰拱的基础比简支梁的基础要坚固； (2) 三铰拱截面上的弯矩比简支梁的弯矩小(使拱 更能充分发挥材料的作用，适用于较大的跨度和较 重的荷载

49、) ； (3) 拱的截面内轴力较大，且一般为压力(利用受 压性能好的材料) 。 小结： 支座反力FVA、FVB、FHA、FHB与拱轴形状无 关，只与三个铰A、B、C及荷载的相对位置和荷 载的大小有关。 00 1 0 12.5 8 15 440. 24 40 10()10() 4 CVAP C HAHB ll MFFkN m M FkNFkN f 将本例题数据代入得： 2. 弯矩计算公式 求任意截面D的弯矩。 由AD段隔离体可得： AFHA FVA FP1 D yD xD FND FQD MD d1 A FVA D MD d1 FP1 FQD 代梁 0 D M 11 11 0 11 0 () (

50、) DVADHADP VADPHAD VADPHAD DHAD MFxFyFd FxFdFy FxFdFy MFy 由上式可见，因为有推力存在，三铰拱任一截 面之弯矩小于代梁中相应截面的弯矩。 11 11 0 11 0 () () DVADHADP VADPHAD VADPHAD DHAD MFxFyFd FxFdFy FxFdFy MFy 0 DD MM即： 求MK 2 4 4 4(164)3 16 k ym 求MJ 下面求K、J截面的弯矩MK和MJ。 012.5 4 10 320. () KK MMkN m 下拉 07.5 4 10 330300 JJ MM 3 J ym A10kN 12

51、.5kN 15kN yK=3m MK K 4mB10kN 7.5kN yJ=3m MJJ 4m 5kN 3. 求FQ、FN的计算公式 拱轴任意截面D切 线与水平线夹角为。 00 1 0 0 cossin sincos QDVAP QDQDH NDQDH FFF FFF FFF 相应代梁中， 设 为正方向。 0 QD F A FHA FVA FP1 D FH A D FP1 代梁 0 QD F 0 QD F 0 VA F FND FQD b a a2+b2 下面用上述公式求FQK、FNK。 xK4m 2 4 41 162 4 162 ()y A 12.5kN K左 FQK左 12.5kN 2)

52、是代梁截面D的剪力，设为正方向。 故 可能大于零、等于零或小于零。 0 QD F 0 QD F 2.5kN 12.5kN 0 0 右 左 QK QK F F 2 4 (2 ) fa tgylx lb 小结： 1) 左半拱 ，右半拱 。 00 0 0 cossin12.5 0.894 10 0.447 11.184.476.71 sincos12.5 0.447 10 0.894 5.598.9414.53() HQKQK HNKQK FFF kN FFF kN 左左 左左 压 0 0 cossin2.5 0.894 10 0.447 2.244.476.71 sincos( 2.5) 0.44

53、7 10 0.894 1.12 8.947.82() HQKQK HNKQK FFF kN FFF kN 右右 右右 压 (sin0.447,cos0.894) 1 2 5 A 12.5kN K右 FQK右-2.5kN 15kN kNF kNF QK QK 2.5 12.5 0 0 右 左 求FQJ右、FNJ右 。 xJ12m 2 4 41 (162 12) 162 y -1 2 5 0 0 cossin7.5 0.894 10 ( 0.447) 6.71 4.472.24 sincos( 7.5) ( 0.447) 10 0.894 3.35 8.9412.29( HQJQJ HNJQJ F

54、FF kN FFF kN 右右 右右 压) sin0.447 cos0.894 kNF QK 7.5 0 右 J右 B 7.5kN kNF QK 7.5 0 右 二、三铰拱的压力线（自学） 如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的合 力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴力可 按下式计算： FND FQD FRD MD FRD FRD D D r FP1 C FP2 A B D FRAFRB D r 90。 由此看出，确定截面内力的问题归结为确定截 面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线的问 题。 sin cos DRD D QDRDD NDRDD MF r FF FF 截面D形心到F

55、RD作用线之距离。 FRD作用线与截面D轴线切线的夹角。 D D r 作压力线的方法和步骤为： 1）求三铰拱的支座反力FHA、FVA、 FHB、FVB，进而求出反力FRA、FRB的大 小和方向。 FHA FVAFRA 2）作封闭的力多边形，以确定拱轴各截面一边 外力合力的大小及方向。作力多边形时应按力的大 小按比例绘制。 定义：三铰拱每个截面一边所有外力的合力作 用点的连线，就称为三铰拱的压力线。 A B FP1 C D FP2 E FP3 F 12 23 12 23 FP1 FP2 FP3 FRB FRA o FRA FRB 在上图所示力多边形中，射线12代表FRA与FP1 合力的大小和方向

56、；射线23代表FRA与FP1、FP2合 力的大小和方向。 3）画压力线 过A作FRA的延长线交FP1于D，过D作射线12的 平行线交FP2于E，过E作射线23的平行线交FP3于F ，则FB必为FRB的作用线。 小结： 1) 压力线一定通过铰C。 2) 压力线与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、C 及荷载的相对位置和荷载的大小有关。 3) 合力大小由力多边形确定，合力作用线由压力 线确定。 4) 若荷载是竖向集中力，则压力线为折线；若为 均布荷载，压力线为曲线。 三、 三铰拱的合理轴线 在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零 的轴线就称为合理拱轴。 若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩 都为零，故压力线为合理拱轴。 三铰拱任一截面弯矩为 令： 得到： 0 H M y F 合