微波工程第1章电磁理论

1、 1 1 电磁理论电磁理论 n麦克斯韦方程麦克斯韦方程 n媒质中的场和边界条件媒质中的场和边界条件 n波方程和基本平面波的解波方程和基本平面波的解 n能量和功率能量和功率 n介质分界面上的平面波反射介质分界面上的平面波反射 内容要点内容要点 1.2 麦克斯韦方程组以及本构关系麦克斯韦方程组以及本构关系 1 1 电磁理论电磁理论 0 B D JDjH MBjE 相量形式：相量形式： (1.14a) (1.14b) (1.14c) (1.14d) 其中，其中， 是媒质的磁导率是媒质的复介电常数，是电荷密度， 是电流密度，是（虚拟的）磁流密度 是磁感应强度，是电位移矢量， 是磁场强度，是电场强度，

2、JM BD HE EDHB 本构关系：本构关系： (1.28a)(1.28b) 1 1 电磁理论边界条件电磁理论边界条件 1.3 边界条件边界条件 Figure 1.6 (p. 12) Closed surface S for equation (1.29). S S s JHHn MnEE BnBn DDn )( )( )( 12 12 12 12 (1.31) (1.32) (1.36) (1.37) 1.31 一般材料分界面上的场一般材料分界面上的场 Figure 1.7 (p. 13) Closed contour C for Equation (1.33). 1 1 电磁理论边界条件

3、电磁理论边界条件 1.32 介质分界面上的场介质分界面上的场 21 21 21 21 HnHn EnEn BnBn DnDn 在两种无耗介电材料的分界面上，通常没有电荷或面电流 密度、磁流密度存在。这样，式（1.31）、（1.32） （1.36） （1.37）可简化为： （1.38a） （1.38b） （1.38c） （1.38d） 的切向分量连续。和磁场强度电场强度 的法向分量连续；和磁感应强度电位移矢量 HE BD 结论：结论： 在介质分界面处， 1 1 电磁理论边界条件电磁理论边界条件 1.33 理想导体（电壁）分界面上的场理想导体（电壁）分界面上的场 S s JHn En Bn Dn

4、0 0 （1.39a） （1.39b） （1.39c） （1.39d） 向单位矢量为指向理想导体外的法 n 0, 0 0, 0 S tSn S n S t HE HE 切向电场为零，切向磁场不为零切向电场为零，切向磁场不为零 的界面（电壁）均可视为等效短的界面（电壁）均可视为等效短 路面。路面。 1 1 电磁理论边界条件电磁理论边界条件 1.34 磁壁边界条件磁壁边界条件 0 0 0 Hn MEn Bn Dn S （1.40a） （1.40b） （1.40c） （1.40d） 向单位矢量为指向理想导体外的法 n 0, 0 0, 0 S tSn S n S t EH EH 切向磁场为零，切向电场

5、不为零切向磁场为零，切向电场不为零 的界面（磁壁）均可视为等效开的界面（磁壁）均可视为等效开 路面。路面。 麦克斯韦方程组与边界麦克斯韦方程组与边界 条件的结合条件的结合，是求解电，是求解电 磁场问题的手段！磁场问题的手段！ 1 1 电磁理论边界条件电磁理论边界条件 1 1 电磁理论波方程电磁理论波方程 1.4 波方程和基本平面波的解波方程和基本平面波的解 1.4.1 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 在无源、线性、各向同性和均匀的区域，相量形式的麦克斯韦方程为：在无源、线性、各向同性和均匀的区域，相量形式的麦克斯韦方程为： EjH HjE （1.41a） （1.41b） 对式（对式（1.41a）取旋

6、度，并应用式（）取旋度，并应用式（1.41b）可得：）可得： EHjE 2 由矢量恒等式：由矢量恒等式： AAA 2 )( 1 1 电磁理论波方程电磁理论波方程 兹方程：的波方程，又称亥姆霍得到E 0 22 EE （1.42） 的亥姆霍兹方程：得到同样，可以H 0 22 HH （1.43） 令令 , 22 k k称为媒质的波数，或传播常数，称为媒质的波数，或传播常数， 单位为单位为1/m 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 1.4.2 无耗媒质中的平面波无耗媒质中的平面波 得到方向均匀的电场，可以和分量而且在考虑一个只有yx x 亥姆霍兹方程平面波的基本解。 0 2 2 2 x x Ek z

7、 E （1.44） 该方程的解为： jkzjkz x eEeEzE )( （1.45） 是任意振幅常数。和其中， EE 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 )cos()cos()(kztEkztEzEx （1.46） ）的时域形式可写为：是实常数，式（和假定45. 1 EE 向+z方向传播的波向-z方向传播的波 相速（phase velocity）：波传播过程中一个固定相位点的运动速度波传播过程中一个固定相位点的运动速度 1 kk t dt d dt dz vp 常数 （1.47） 波长： 波在一个确定的时刻，两个相邻的极大值之间的距离波在一个确定的时刻，两个相邻的极大值之间的距离 f vv

8、 k pp 2 2 （1.48） 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 jkzjkz x eEeEzE )( 将式（1.45）： 代入式（1.41a） )( 1 )( jkzjkz y eEeEzH （1.49） 其中， 向+z方向传播的波向-z方向传播的波 之比与义为为平面波的波阻抗，定HEk/ HjE 可得： 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 1.4.3 一般有耗媒质中的平面波一般有耗媒质中的平面波(有耗导体和有耗介质有耗导体和有耗介质) 1.若媒质是导体，电导率为，麦克斯韦旋度方程可以写为： EEjH HjE （1.50a） （1.50b） 0)1 ( 22 EjE 的波方程变为：E

9、 （1.51） 类似的，定义复传播常数： jjj1（1.52） 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 得到方向均匀的电场，可以和分量而且在再次假设一个只有yx x 0 2 2 2 x x E z E （1.53） 该方程的解为： zz x eEeEzE )( （1. 54） 正向传输波的时域形式为： )cos(zte z 相速（phase velocity）： p v 波长： 2 化为无耗的形式 ，则 ，时，当 k jk 0 0 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 ，则复传播常数为：介电常数为若媒质是有耗介质，复 j- 2. )tan1 (jjj （1. 55） 是材料的损耗角正切。其中，

10、/tan )()( zzx y eEeE j z Ej zH 相关的磁场为： （1. 56） 无耗情况下，波阻抗可以定义为电场与磁场的比值： j )( 1 )( zz y eEeEzH 式(1.56)可以写为 （1. 57） （1. 58） 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 1.4.4 良导体中的平面波良导体中的平面波 良导体中导电电流远大于位移电流 此时，式(1.52d)的传播常数： jjj1（1.52） 可近似为： 2 )1 ( j j jj （1.59） 根据式（1.54）: zz x eEeEzE )( %)8 .36( 21 1 1 e eEeeEz zjz 变为原来的 ，的振幅

11、大小是时，当 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 21 S （1.60） 在微波频率下，良导体的趋肤深度非常小。因此，往往只需在导体 表面镀上一层很薄的良导体，便能得到低损耗的微波器件。 S jj j 1 )1 ( 2 )1 (（1.61） 良导体波阻抗的相位角为45 无耗材料波阻抗的相位角为45 任意有耗媒质阻抗的相位角在0 和45 之间 这个距离定义为趋肤深度 良导体的波阻抗 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 1.5 平面波的通解平面波的通解 三维情况下的平面波，真空中电场的亥姆霍兹方程可以写为： 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 Ek z E y E x E EkE

12、（1.62） 利用分离变量法可以得到正向传播电场的时域表达式： )cos( ),(Re),(Re),( 0 0 trkE ezyxeEezyxEtzyx tjrk jtj （1.77） 其中 量。为传输方向上的单位矢为位置矢量，为波矢量，nrk z zyyxxr nkzkykxkk zyx 0 （1.69） （1.70） 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 的方向和，量普遍的平面波的三个矢图nkkHE8 . 1 0 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 1.6 能量和功率能量和功率 SS MJHE，和电磁流源，包含了电磁场包围的体积由封闭曲面图VS10. 1 dvEHjdvHE dvEsdH

13、EdvMHJE VV VSSSV )( 2 )( 2 22 1 )( 2 1 2222 2 * 波印廷定理： （1. 88） 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 为：所携带的复功率和内，由源面左边的积分表示在封闭 SSS PMJS dvMHJEP SSVS )( 2 1 * 右边的第一个积分表示由封闭曲面S流出的复功率流P0： 为：若定义坡印廷矢量S * HES sdSsdHEP SS 2 1 2 1 * 0 右边的第二个积分和第三个积分是实数量，代表了体积V内消耗掉的 时间平均功率Pl： dvHEdvEP VVl )( 22 222 最后一项积分与电和磁的储能有关。 )(2 0emlS W

14、WjPPP 源携带的功率PS等于通过表面传输的功率P0，体积内损耗为热的功率Pl 及体积内存储的净电抗性能力的2 倍之和。 （1. 89） （1. 90） （1. 91） （1. 92） （1. 93） 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 1.6.1 良导体吸收的功率良导体吸收的功率 图1.11 有耗媒质和良 导体的分界面 导体体积内的实平均功率： dsnHEP SSav Re 2 1 * 0 （1. 94） 适当选择S面，Pav可写为： dszHEP Sav Re 2 1 * 0 （1. 95） dsH R P S S av 2 | 2 0 （1. 97） 可进一步改写为： 其中， S S

15、 jR 1 22 )1 (Re)Re( （1. 98） 导体的表面电阻导体的表面电阻 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 1.7 媒质分界面上的平面波反射媒质分界面上的平面波反射 图1.12 从有耗媒质的平面波入射；正入射 1 1 电磁理论平面波电磁理论平面波 1.7.1 普通媒质普通媒质 假定入射波具有沿x轴方向的电场，并沿z轴方向传播。对z0， 入射场可以写为： zjk i eExE 0 0 zjk i eEyH 0 0 0 1 （1. 99a） （1. 99b） 是任意振幅 是真空中的波阻抗 0 0 E 在z0区域，有耗媒质中的透射场可以写为： z t eTExE 0 z t eE T

16、 yH 0 （1. 101a） （1. 101b） 抗。区域有耗媒质的本征阻是，是透射电场的透射系数0zT 由式（1.57）和式（1.52）可得该区域的本征阻抗和传播常数分别为： j jjj1 （1. 102） （1. 103） 利用边界条件，Ex和Hy在z=0处必须连续，可得： T)1 ( T 0 1 （1. 104a） （1. 104b） 由此可得反射系数和透射系数为： 0 0 0 2 1 T （1. 105a） （1. 105b） 这是正入射到有耗材料分界面上电磁波反射系数和透射系 数的通解，其中是材料的阻抗。 下面，考虑以上结果的三种特殊情况。 1.7.2 无耗媒质无耗媒质 此时传播常

17、数为： 都是实数，和，且有的区域是无耗媒质，则若00z rr jkjj 0 是真空平面波的波数其中， 000 k 媒质中的波长为： rr 0 22 相速为： rr p c v 1 波阻抗为： r r j 0 （1. 106） （1. 107） （1. 108） （1. 109） 也是实数和为实数，因此T 在z0的区域，复坡印廷矢量为： )|1 ( 1 | | | | 2 0 2 0 22 0 Ez E zS （1. 110b） 界面时是守恒的。，因此复功率流在穿过处，在 SSz0 在z0的区域，通过1m2横截面的时间平均功率流为： PEzSP)|1 ( 1 | 2 1 ) Re( 2 1 2

18、0 2 0 实功率也守恒实功率也守恒 1.7.3 良导体良导体 若若z0的区域是良导体（非理想导体），则传播常数可写为：的区域是良导体（非理想导体），则传播常数可写为： s jjj 1 )1 ( 2 )1 ( 类似的，该导体的本征阻抗为：类似的，该导体的本征阻抗为： s jj 1 )1 ( 2 )1 ( 也是实数。也是实数。和和且且 相位差，相位差，具有具有和和相位角，因此相位角，因此为复数，具有为复数，具有 T 4545 HE 同理可得，在分界面处，复功率和实功率均守恒。同理可得，在分界面处，复功率和实功率均守恒。 1.7.4 理想导体理想导体 ，此此时时：有有的的区区域域是是理理想想导导体体，则则若若0z 10 00 T s 在在z0的区域，场衰