第2章 初等模型

1、 第第二二章章 初等模型初等模型 2.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗 2.2 汽车刹车距离汽车刹车距离 2.3 核军备竞赛核军备竞赛 2.4 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效 2.5 实物交换实物交换 2.6 启帆远航启帆远航 2.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析问题分析 模模 型型 假假 设设 通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面

2、曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。只脚同时着地。 通过旋转的方式调整椅子的位置通过旋转的方式调整椅子的位置 模型构成模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性 x B A D C O D C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地 距离是距离是 的函数的函数 四个距离四个距离 (四只脚四只脚) A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f

3、( ) B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( ) 两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零 正方形正方形ABCD 绕绕O点旋转点旋转 正方形正方形 对称性对称性 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f( ) , g( )是是连续函数连续函数 对任意对任意 , f( ), g( ) 至少一个为至少一个为0 数学数学 问题问题 已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0)

4、 = g( 0) = 0. 模型构成模型构成 地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置 至少三只脚着地至少三只脚着地 模型求解模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。 由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0. 令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米) “2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则规则 不同不同 刹刹 车车 距距 离离 反应时

5、间反应时间 司机司机 状况状况 制动系统制动系统 灵活性灵活性 制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比， 使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。 车速车速 常数常数 反反 应应 距距 离离 制制 动动 距距 离离 常数常数 假假 设设 与与 建建 模模 1. 刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和 2. 反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比 3. 刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F， F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;

6、vtd 11 F d2= m v2/2F m 2 1 kvvtd t1为反应时间为反应时间 21 ddd 且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比 2 2 kvd 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒 参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k 2 1 kvvtd模模 型型 最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间 “2秒准则秒准则”应修正为应修正为 “t 秒准秒准 则则” 22 1 06. 075. 0vvkvvtd模模 型型 2.3 核军备竞赛核军备竞赛 军军 备备 竞竞 赛赛

7、背背 景景 几乎所有的现代战争都以反复无常的军备竞赛作为几乎所有的现代战争都以反复无常的军备竞赛作为 前导。有力的证据表明前导。有力的证据表明, ,强国之间的军备竞赛强国之间的军备竞赛, ,以军事能以军事能 力方面的迅速提升为特征力方面的迅速提升为特征, ,是战争的预警指示器。在一是战争的预警指示器。在一 篇篇19791979年的文章中年的文章中, ,加拿大加拿大British ColumbiaBritish Columbia大学的大学的 Michael WallaceMichael Wallace研究了在研究了在1816181619651965年间年间9999件国际争件国际争 端。他发现端。

8、他发现, ,有反复军备竞赛在前的有反复军备竞赛在前的2828次争端中次争端中,23,23次升次升 级为战争级为战争, ,而没有军备竞赛先行的而没有军备竞赛先行的7171次争端中次争端中, ,只有只有3 3次次 导致战争。导致战争。 前苏联和美国在冷战时期致力于核军备竞赛前苏联和美国在冷战时期致力于核军备竞赛, ,那时那时, , 政治和军事战略家们问道：对于苏联核武库在数量和技政治和军事战略家们问道：对于苏联核武库在数量和技 术改进方面的种种变化，美国应当如何反应？为回应此术改进方面的种种变化，美国应当如何反应？为回应此 难题，多少武器是充足的？难题，多少武器是充足的？ 军军 备备 竞竞 赛赛

9、背背 景景 前任美国参谋长联席会议主席，Maxwell D. Taylor将军为美国战略核力量提出如下核威慑目标核威慑目标： 战略核力量拥有实施大规模破坏的绝无仅有的能力，它们应战略核力量拥有实施大规模破坏的绝无仅有的能力，它们应 当承担一项威慑苏联的特殊任务，使之怯于采取任何形式的当承担一项威慑苏联的特殊任务，使之怯于采取任何形式的 战略核冲突。为了使威慑效力达到最大限度，它们必须能够战略核冲突。为了使威慑效力达到最大限度，它们必须能够 在大规模的第一次打击之后生存下来，而且还能够破坏足够在大规模的第一次打击之后生存下来，而且还能够破坏足够 的敌方目标，也就是摧毁对于决定战争与和平的国家领导

10、人的敌方目标，也就是摧毁对于决定战争与和平的国家领导人 十分敏感的有效政府、社会和经济，从而消灭苏联。十分敏感的有效政府、社会和经济，从而消灭苏联。 为了实现Taylor将军提出的目标，他陈述了以下 内容： 我们需要的武器数量将足以摧毁这个体系内部若干我们需要的武器数量将足以摧毁这个体系内部若干 特定目标。作为一个安全因素，我们应当增添额外的武器，特定目标。作为一个安全因素，我们应当增添额外的武器， 以求补偿在第一次打击中可能蒙受的损失以及武器性能的不以求补偿在第一次打击中可能蒙受的损失以及武器性能的不 确定性。总的武器需求量应当大体上少于我们现在的军火库确定性。总的武器需求量应当大体上少于我

11、们现在的军火库 中可供使用的数量。中可供使用的数量。 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存 在暂时的平衡状态。在暂时的平衡状态。 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导 弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个 数量受哪些因素影响。数量受哪些因素影响。 问问 题题 以双方以双方( (战略战略) )核导弹数量描述核军备的大小。核导弹数量描述核军备的大小。 假定双方

12、采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部 核导弹攻击己方的核导弹基地；核导弹攻击己方的核导弹基地； 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹， 给对方重要目标以毁灭性的打击。给对方重要目标以毁灭性的打击。 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹 只能攻击对方的一枚核导弹。只能攻击对方的一枚核导弹。 摧毁一枚导弹的可能性是常数，它由一方的攻击摧毁一枚导弹的可能性是常数，它由一方的攻击 精度和另

13、一方的防御能力决定。精度和另一方的防御能力决定。 模模 型型 假假 设设 图图 的的 模模 型型 y=f(x)甲方有甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数枚导弹，乙方所需的最少导弹数 x=g(y)乙方有乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数枚导弹，甲方所需的最少导弹数 当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值 xyy 0 x y y0 0 xyxfyy 00 )( y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲 方工业、交通中心等目标所需导弹数方工业、交通中心等目标所需导弹数 x1x0 y1 P(xm,ym) x=g(y) x y

14、0 y0 y=f(x)y=f(x) 乙安全区乙安全区 甲甲 安安 全全 区区 双方双方 安全区安全区 P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数) 乙安全线乙安全线 精细精细 模型模型 乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一枚甲方一枚导弹攻击乙方一枚 导弹，导弹未被摧毁的概率。导弹，导弹未被摧毁的概率。 sx枚导弹未摧毁，枚导弹未摧毁，yx枚导弹未被攻击。枚导弹未被攻击。 xy y0=sx+yx x=yy0=sy 乙的乙的xy个被攻击个被攻击2次，次，s2(xy)个未摧毁；个未摧毁； y (xy)=2y x个被攻击个被攻击1次，次，s(2y x )个未摧毁个未摧毁 y0= s2(x

15、y)+ s(2y x ) x=2yy0=s2y yx2y x s s ss y y 2 1 )2( 0 y= y0+(1-s)x y=y0/s y=y0/s2 yxa s y s y y / 00 a交换比交换比(甲乙导弹数量比甲乙导弹数量比) x=a y, 精细精细 模型模型 x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2 y0威慑值威慑值s残存率残存率 y=f(x) y是一条上凸的曲线是一条上凸的曲线 y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡 s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变平 x y 0 y0 xy, y= y0+(1-s)x x=y x=2y yx2y,x s s ss

16、 y y 2 1 )2( 0 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标 乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大 x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) mmmm yyxx, 甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。 ),( mm yxP （其它因素不变）（其它因素不变） 乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移 模型解释模型解释 平衡点平衡点PP 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变 甲方残存率变大甲方残存率变大

17、威慑值威慑值x 0和交换比不变和交换比不变 x减小，甲安全线减小，甲安全线 x=g(y)向向y轴靠近轴靠近 mmmm yyxx, x y 0 y0 x0 P(xm,ym) x=g(y) y=f(x) ),( mm yxP 模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少 PP 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标 ( x , y仍为双方核导弹的数量仍为双方核导弹的数量 ) 双方威慑值减小，残存率变小双方威慑值减小，残存率变小 y0减小减小 y下移且变平下移且变平 x y 0 y0 x0 P(x

18、m,ym) x=g(y) y=f(x) P P 残存率变小残存率变小 y增加且变陡增加且变陡 双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析 ?PP 模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x) ?PP 2d 墙墙 室室 内内 T1 室室 外外 T2 dd 墙墙 l 室室 内内 T1 室室 外外 T2 问问 题题 双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层 玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失 假假 设设 热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流 T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过

19、程处于稳态 材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数 建建 模模 热传导定律热传导定律 d T kQ Q1 Q2 Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度材料厚度, k热传导系数热传导系数 2.4 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效 dd 墙墙 l 室室 内内 T1 室室 外外 T2 Q1 Ta Tb 记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度 Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度 k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数 k2空气空气的热传导系数的热传导系数 d TT k l TT k d T

20、T kQ bbaa2 12 1 11 d l h k k hs sd TT kQ , )2( 2 121 11 建模建模 记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q2 d TT kQ 2 21 12 2d 墙墙 室室 内内 T1 室室 外外 T2 Q2 双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比 d l h k k hs sQ Q , 2 2 2 1 2 1 21 QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32 对对Q1比比Q2的减少量的减少量 作最保守的估计，作最保守的估计， 取取k1/k2 =16 d l h hQ Q , 18 1

21、 2 1 )2( 21 11 sd TT kQ 建模建模 h Q1/Q2 42 0 0.06 0.03 0.02 6 模型应用模型应用 取取 h=l/d=4, 则则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多即双层玻璃窗与同样多 材料的单层玻璃窗相比，材料的单层玻璃窗相比， 可减少可减少97%的热量损失。的热量损失。 结果分析结果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数导系数 k2 2, , 而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。 实际房间通过天花板、墙壁、地面等损失的热量更多。实际房间通过天花板、墙壁、地面等损失的

22、热量更多。 d l h hQ Q , 18 1 2 1 双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大 问问 题题 甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要， 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 y x p . 用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有 X,Y的数量。设交换前甲占的数量。设交换前甲占 有有X的数量为的数量为x0, 乙占有乙占有Y的的 数量为数量为y0, 作图：作图： 若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y) 都是一种交换方案：甲占有

23、都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y) x y yo 0 xo 2.5 实物交换实物交换 x y yo y1 y2 0 x1x2xo p1 p2 . . 甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模 如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2) 具有同样的满意程度，即具有同样的满意程度，即p1, p2 对甲是无差别的，对甲是无差别的， M N 将将所有与所有与p1, p2无差别的点连接无差别的点连接 起来，得到一条起来，得到一条无差别曲线无差别曲线MN 线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同, 线的形状反映对线的形状反映对X,Y的

24、偏爱程度，的偏爱程度， N1 M1 p3(x3,y3). 比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线，在另一条无差别曲线M1N1上。上。 于是形成一族无差别曲线（无数条）。于是形成一族无差别曲线（无数条）。 y x p1. y x p2 . c1 y 0 x f(x,y)=c1 无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质： 单调减单调减(x增加增加, y减小减小) 下凸下凸(凸向原点凸向原点) 互不相交互不相交 在在p1点占有点占有x少、少、y多，多， 宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取 较少的较少的 x; 在在p2点占有点占有y少、少、x多，多， 就要以较多的就要

25、以较多的 x换取换取 较少的较少的 y。 甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1c1满意度满意度 （f 等满意度曲线）等满意度曲线） x y O g(x,y)=c2 c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同具有相同 性质（形状可以不同）性质（形状可以不同） 双方的交换路径双方的交换路径 x y yo O xo f=c1 O x y g=c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标坐标 系系xOy, 且反向）且反向） 甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1 A B p P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必 在在AB（交换路径

26、）上（交换路径）上 因为在因为在AB外的任一点外的任一点p, (双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p 两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB A B p 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定 交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x,y) 0 x x0, 0 y y0矩矩 形内任一点形内任一点 交换路交换路 径径AB 双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族 等价交等价交 换原则换原则 X,Y用货币衡量其价值，设交换用货币衡量其价值，设交换 前前x0, y0价值相同，则等价交换原价值相同，则等价交换原 则下交换路径为：则下交换路径为： C D (x0,0),

27、(0,y0) 两点的连线两点的连线CD AB与与CD的的 交点交点p 设设X单价单价a, Y单价单价b, 则等价交换下则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0) y yo 0 xo . . x 帆船在海面上乘风远航，确定帆船在海面上乘风远航，确定 最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向 简化问题简化问题 AB 风向风向 北北 航向航向 帆船帆船 海面上东风劲吹，设帆船海面上东风劲吹，设帆船 要从要从A点驶向正东方的点驶向正东方的B点，点， 确定起航时的航向确定起航时的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 2.6 启帆远航启帆远航 模型分析模型分析 风风(通过帆通过帆)对船的推力对船的推力w 风对船体部分的阻力风对船体部分