高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件学案（含解析）1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精1。2 分条件与必要条件充分条件与必要条件提出问题在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题1:图中a开关闭合时b灯一定亮吗？提示：一定亮问题2:b灯亮时a开关一定闭合吗？提示：不一定,还可能是c开关闭合导入新知充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件化解疑难1p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p,q也可能成立”2q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成

2、立.充要条件提出问题如图是一物理电路图问题1:图中开关a闭合，灯泡b亮；反之灯泡b亮,开关a一定闭合吗？提示：一定闭合问题2:开关a闭合作为命题的条件p，灯泡b亮作为命题的结论q,你能判断p，q之间的推出关系吗？提示:pq.导入新知充要条件如果既有pq,又有qp，记作pq.则p是q的充分必要条件,简称充要条件化解疑难p是q的充要条件时，q也是p的充要条件,即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题充分条件、必要条件、充要条件的判断例1判断下列各题中p是q的什么条件（1）在abc中，p：cos2acos2b，q:ab；（2)p：x1，q：x2

3、1；(3）p：(a2）（a3)0，q：a3；（4)p：ab，q：1.解（1）在abc中，a（0，)，b(0,），且abc.若cos2acos2b，则ab；反之，若ab，则cos2acos2b。因此，p是q的充要条件（2）由x1可以推出x21；由x21,得x1，或x1，不一定有x1.因此，p是q的充分不必要条件(3）由（a2）（a3)0可以推出a2，或a3，不一定有a3；由a3可以得出(a2）（a3）0.因此,p是q的必要不充分条件(4）由于ab，当b0时，1;当b0时，1，故若ab，不一定有1；当a0,b0，1时，可以推出ab；当a0，b0，1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件

4、 类题通法充分、必要、充要条件的判断方法判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真,逆命题为真，则p是q的充要条件;原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用活学活用指出下列各组命题中p是q的什么条件(1）p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p:(x1)2（y2）20，q:（x1）（y2）0。解：（1）四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，p是q的既不充分也

5、不必要条件（2）（x1)2（y2）20x1且y2(x1）（y2）0，而(x1）（y2)0（x1)2(y2)20,p是q的充分不必要条件.充要条件的证明例2试证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0。解(1)必要性:因为方程ax2bxc0有一正根和一负根，所以b24ac0，x1x20（x1，x2为方程的两根），所以ac0.(2）充分性：由ac0可推得b24ac0及x1x20（x1，x2为方程的两根）所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0。类题通法充要条件

6、的证明思路（1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性和“必要性”两个方面来证明在证明时,要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是qp，“必要性是pq;若证明“p是q的充要条件”，则与之相反（2）证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明活学活用已知x，y都是非零实数，且xy，求证：的充要条件是xy0。证明:（1)必要性：由，得0,即0，又由xy，得yx0，所以xy0。（2)充分性：由xy0及xy，得，即.综上所述，的充要条件是xy0.充分、必要条件的应用例3已知p：2x10，q：1mx1m,且

7、p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围解因为p是q的充分不必要条件，所以pq但q/ p，即是的真子集，所以或解得m9.所以实数m的取值范围为.类题通法应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用活学活用已知px|a4xa4,qx|x24x30，若xp是xq的必要条件，求实数a的取值范围解：由题意知，qx1x3，qp,所以解得1a5。故实数a的取值范围是1,5有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点

8、联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法1定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系其基本步骤是：例1（四川高考）设p：实数x，y满足（x1）2(y1）22,q：实数x，y满足则p是q的（)a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析p表示以点(1，1)为圆心，为半径的圆面(含边界），如图所示q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界）由图可知,p是q的必要不充分条件答案a 活学活用1“sin ”是“cos 2”的(）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也

9、不必要条件解析:选a由cos 2可得sin2，即sin ，故sin 是cos 2的充分不必要条件2等价转化法等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断其基本步骤为：例2已知x，y为两个正整数,p：x2或y3，q:xy5，则p是q的_条件解析綈p:x2且x3，綈q：xy5。可知綈p綈q，而綈q/ 綈p。所以綈q是綈p的必要不充分条件,故p是q的必要不充分条件答案必要不充分活学活用2“m3”是“|m|3”的_条件答案：必要不充分3集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法主要解决两个相似的条件难以

10、进行区分或判断的问题其解决的一般步骤是：例3指出下列命题中p是q的什么条件(1)p:（x1)（x2）0，q：x2；（2）p：x22x80，q：x2或x4。解(1）令ax（x1)(x2)0x2x1，集合bxx2显然,ab，所以pq，但qp，即p是q的充分不必要条件(2）令axx22x80x|x2或x42,4，bx|x2或x42,4ab，pq，即p是q的充要条件活学活用3一元二次方程ax22x10(a0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(）aa0ba0ca1 da1解析：选c一元二次方程ax22x10（a0）有一正根和一负根即解得a0。由于a|a1aa0，故选c。随堂即时演练1给定空间中的直

11、线l及平面,条件“直线l与平面内无数条直线都垂直是“直线l与平面垂直”的（)a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选b直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l，因为有可能是直线l在平面内与一组平行直线垂直若l，则直线l垂直于内的所有直线2已知非零向量a,b,c,则“abac”是“bc”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选bab,ac时，abac，但b与c不一定相等，abac/ bc；反之,bcabac。3.已知mx0x3，nx0x2，那么“am是“an的_条件解析：由am/ an，但anam，“am是“an”的必要

12、不充分条件答案：必要不充分4在平面直角坐标系xoy中，直线x(m1)y2m与直线mx2y8互相垂直的充要条件是m_。解析:x（m1）y2m与mx2y8互相垂直1m(m1）20m。答案：5若p：x2x60是q:ax10的必要不充分条件,求实数a的值解：p：x2x60，即x2或x3.q：ax10，当a0时，方程无解；当a0时,x。由题意知p/ q，qp，故a0舍去；当a0时，应有2或3，解得a或a.课时达标检测一、选择题1“tan 1”是“”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选b若tan 1，则k(kz),不一定等于；而若，则tan 1，tan 1是的必要

13、不充分条件2设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(）a丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件b丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件c丙是甲的充要条件d丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件解析：选a因为甲是乙的必要条件，所以乙甲又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件,所以丙乙，但乙/ 丙，如图综上，有丙甲,但甲/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件3（陕西高考）“sin cos ”是“cos 20”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件解析：选acos 20等价于cos2sin20,即cos si

14、n .由cos sin 可得到cos 20，反之不成立，故选a.4(天津高考）设xr，则“1x2”是“x2|1的(）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析：选a|x211x3。由于x1x2是x1x3的真子集,所以“1x2”是“x2|1”的充分而不必要条件5使xx成立的一个必要不充分条件是（）ax0bx2xclog2(x1）0 d2x1解析：选bxxx0，选项a是充要条件，选项c、d均不符合题意对于选项b，由x2x，得x（x1)0，x0或x1。故选项b是使x|x成立的必要不充分条件二、填空题6如果命题“若a,则b”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则a是

15、b的_（填“充分不必要“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即a/ b又因否命题为真,所以逆命题为真,即ba,所以a是b的必要不充分条件答案：必要不充分7条件p:1x0，条件q：xa，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_解析:p:x1,若p是q的充分不必要条件,则pq，但,也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a1.答案:(,1）8下列命题：“x2且y3是“xy5的充要条件；b24ac0是一元二次不等式ax2bxc0解集为r的充要条件；“a2”是“直线ax2y0平行于直线xy1”的充分不必要条件；“xy1是“lg xlg y0

16、”的必要不充分条件其中真命题的序号为_解析：x2且y3时,xy5成立，反之不一定，如x0,y6。所以“x2且y3”是“xy5”的充分不必要条件;不等式解集为r的充要条件是a0且b24ac0，故为假命题；当a2时，两直线平行，反之，若两直线平行,则,a2。因此,“a2”是“两直线平行的充要条件；lg xlg ylg(xy)0，xy1且x0,y0。所以“lg xlg y0”成立，xy1必成立，反之不然因此“xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件综上可知,真命题是。答案：三、解答题9下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件（1)p:|xy|,q：xy；（2)p:abc是直角三角形，q：ab

17、c是等腰三角形；(3）p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4）p：圆x2y2r2与直线axbyc0相切，q：c2（a2b2）r2。解：（1）|xy|/ xy，但xy|x|y|，p是q的必要条件，但不是充分条件(2）abc是直角三角形/ abc是等腰三角形，abc是等腰三角形/ abc是直角三角形，p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件（3）四边形的对角线互相平分/ 四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，p是q的必要条件，但不是充分条件(4）若圆x2y2r2与直线axbyc0相切，则圆心到直线axbyc0的距离等于r，即r，所以c2(a2b2)r2；反过来，若c2（a2b2)r2，则r成立，说明x2y2r2的圆心(0，0)到直线axbyc0的距离等于r，即圆x2y2r2与直线axbyc0相切，故p是q的充要条件10已知数列a