大学力学总结复习

1、 三、一个费曼喷水灭火三、一个费曼喷水灭火,也称为费曼逆洒水车或作为一个也称为费曼逆洒水车或作为一个 反向洒水器反向洒水器,是一个喷头装置浸没在流体罐中是一个喷头装置浸没在流体罐中,吸收周围吸收周围 的流体。这样的一个装置是一个激烈的话题的流体。这样的一个装置是一个激烈的话题,非常长寿的非常长寿的 争论。争论。 一个普通喷头有喷嘴布置在一个自由的角度的旋一个普通喷头有喷嘴布置在一个自由的角度的旋 转轮上转轮上,当水被泵出时当水被泵出时,导致车轮旋转即是一个凯瑟琳轮导致车轮旋转即是一个凯瑟琳轮 和汽转球和汽转球(“英雄引擎英雄引擎”)的工作原理一样。一个的工作原理一样。一个“反向反向” 喷头将按

2、照吸入周围流体将以何方向运动。问题是理论喷头将按照吸入周围流体将以何方向运动。问题是理论 物理学家理查德物理学家理查德费曼提出费曼提出,这个问题深受欢迎。你肯定这个问题深受欢迎。你肯定 是在开玩笑是在开玩笑,费曼先生费曼先生!。问题并非源于费曼。问题并非源于费曼,他也没有发他也没有发 布一个解决的办法。布一个解决的办法。 简化的费曼喷头简化的费曼喷头 马里兰大学的马里兰大学的“反转喷头反转喷头”的视图和侧视图的视图和侧视图 (1)可将可将“正转喷头的问题正转喷头的问题”转换为旋转轮椅演示实验：一个实验者，两手各持一个哑铃，坐转换为旋转轮椅演示实验：一个实验者，两手各持一个哑铃，坐 在一张转椅上

3、，两臂伸出，由于实验者和哑铃被看作是一个不受外部转矩作用的封闭系统，所以在一张转椅上，两臂伸出，由于实验者和哑铃被看作是一个不受外部转矩作用的封闭系统，所以 角动量必然守恒，因此当他向某个方向旋转哑铃时，他的身体就会连同转椅向相反方向旋转。水角动量必然守恒，因此当他向某个方向旋转哑铃时，他的身体就会连同转椅向相反方向旋转。水 和喷头也同样是一个未受外部转矩作用的封闭系统。因此，当水向某个方向运动时，喷头就必须和喷头也同样是一个未受外部转矩作用的封闭系统。因此，当水向某个方向运动时，喷头就必须 向相反方向运动。在没有大阻力向相反方向运动。在没有大阻力(或来自轴承或粘性或来自轴承或粘性)的情况下，

4、人们都可观察到这一旋转。喷头在的情况下，人们都可观察到这一旋转。喷头在 正转的情况就如同实验者沿水平方向扔出哑铃时的情形，他每扔出一个哑铃就获得一定的角动量正转的情况就如同实验者沿水平方向扔出哑铃时的情形，他每扔出一个哑铃就获得一定的角动量 。 (2)可将可将“反转喷头的问题反转喷头的问题”转换为淹水的易拉罐的演示实验：用一个打开的罐装容器来证明反转换为淹水的易拉罐的演示实验：用一个打开的罐装容器来证明反 转喷水运动原理，如一只无盖的易拉罐，在其靠近底部的柱面上连接一些与实验中类似的弯头喷转喷水运动原理，如一只无盖的易拉罐，在其靠近底部的柱面上连接一些与实验中类似的弯头喷 嘴。把这个容器放入水

5、中时，水就涌入喷嘴，可看到罐慢慢地超前转，直到水到达它的顶部罐被嘴。把这个容器放入水中时，水就涌入喷嘴，可看到罐慢慢地超前转，直到水到达它的顶部罐被 完全淹没。这时水将停止流入喷嘴，而这罐也将突然停止转动。当罐碰到底时，罐中水的惯性使完全淹没。这时水将停止流入喷嘴，而这罐也将突然停止转动。当罐碰到底时，罐中水的惯性使 水流出喷嘴，使嘴象正转喷水时那样猛地一动。水流出喷嘴，使嘴象正转喷水时那样猛地一动。 四、水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另四、水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另 一端系一质量为一端系一质量为10g的小球，沿半径为的小球，沿半径为40cm的圆周作匀

6、速圆周运的圆周作匀速圆周运 动，这时从孔下拉绳的力动，这时从孔下拉绳的力10-3N。若继续向下拉绳，而使小球沿。若继续向下拉绳，而使小球沿 半径为半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？ 拉力所做的功是多少？拉力所做的功是多少？ 解：建立如图所示的坐标系。解：建立如图所示的坐标系。 以光滑小孔为参考点，因作用于小球的合以光滑小孔为参考点，因作用于小球的合 力对参才点的力矩为力对参才点的力矩为0，则小球对该点的角，则小球对该点的角 动量不变。椐质点对参考点的角动量守恒动量不变。椐质点对参考点的角动量守恒 律，有：律，有： 0 000

7、r mr vmrvvv r 2 1 00 000 0 00 0 0.8 vT rrT r Tmvm s rmrm 223 0 1 3.0 10 2 Am vvJ 根椐质点动能定理，可得拉力的功：根椐质点动能定理，可得拉力的功： 五、均质杆可绕支点五、均质杆可绕支点O转动。当与杆垂直的冲力作用某转动。当与杆垂直的冲力作用某 点点A时，支点时，支点O对杆的作用力并不因此冲力之作用而发对杆的作用力并不因此冲力之作用而发 生变化，则生变化，则A点称为打击中心。设杆长为点称为打击中心。设杆长为L，求打击中，求打击中 心与支点的距离。心与支点的距离。 解：建立如图所示的坐标系。解：建立如图所示的坐标系。

8、设打击中心与支点的距离为设打击中心与支点的距离为x，则根据，则根据 刚体定轴转动定理；刚体定轴转动定理； zzz MI 2 22 1 122 z L zC MFx IImdmLm 2 2 L exCexzz F FmaFm mL 2 1 3 22 3 F FxmLxL mL 于是于是 质心运动定理质心运动定理 六、斜面倾角为六、斜面倾角为,位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为R, 转动惯量为转动惯量为I,受到驱动力矩受到驱动力矩,通过绳索牵引斜面上质量通过绳索牵引斜面上质量 为为m的物体的物体,其与斜面间的摩擦系数为其与斜面间的摩擦系数为,求重物上滑的加求重物上滑的加

9、速度速度.绳与斜面平行绳与斜面平行,不计绳质量不计绳质量. 解解: :建立坐标系建立坐标系, ,受力分析受力分析: : 重物重物: : 鼓轮鼓轮: : sincosTWWma T RI 由于由于a=R,T=T 于是于是 方向沿方向沿x正方向正方向 2 sincosRmgRmgR a ImR 七、镜框贴着墙立在有摩擦的钉子上七、镜框贴着墙立在有摩擦的钉子上,稍受扰动即向下稍受扰动即向下 倾倒倾倒,当到达一定角度当到达一定角度时时,此镜框将跳离钉子此镜框将跳离钉子,求求。 解：解：能量守恒，能量守恒， 22 11 1 1 cos 22 3 mglml 3 sin 2 g l 得：得： 思路一：思路

10、一：在在镜框的方向上没有力的作用。因此镜框的方向上没有力的作用。因此g在径在径 向的分量与向心加速度相等，有向的分量与向心加速度相等，有 2 3 cos1 cos 22 n l mgmmgma 所以所以 2cos33cos 33 cosarccos. 55 思路二：思路二：镜框在水平方向上没有受到力的作用，因此，镜框在水平方向上没有受到力的作用，因此， 水平方向上加速度为水平方向上加速度为0。 33 1 cossinsincos 24 gg 所以所以 22coscos 22 cosarccos. 33 思路三：思路三：镜框在垂直方向上加速度即为镜框在垂直方向上加速度即为g。 2 33 1 co

11、scossin 24 ggg 11 cosarccos. 33 三个思路，三个不同模型，检验判断其结果的正确性。三个思路，三个不同模型，检验判断其结果的正确性。 思路一：思路一：判断依据是判断依据是g在径向的分量与向心加速度相在径向的分量与向心加速度相 等，只能说明镜框无径向上改变速度的趋势，在与等，只能说明镜框无径向上改变速度的趋势，在与 镜框垂直向仍可能有加速度，其不是重力切向分力镜框垂直向仍可能有加速度，其不是重力切向分力 引起，并不意味镜框和钉子无相互作用力，钉子对引起，并不意味镜框和钉子无相互作用力，钉子对 镜框的摩擦力和支撑力可能合成现这一作用力。这镜框的摩擦力和支撑力可能合成现这

12、一作用力。这 一模型显然有误。一模型显然有误。 思路二：思路二：依据是镜框跳离钉子时摩擦力为依据是镜框跳离钉子时摩擦力为0，此时，此时 25 cos,sin 33 镜框垂直向的加速度镜框垂直向的加速度 15153 cossincos 2123124 n aaggggg 显然钉子对镜框有支撑力，横向加速度为显然钉子对镜框有支撑力，横向加速度为0，不能得出。，不能得出。 思路三：思路三：进行类似分析。进行类似分析。 12 2 cos,sin 33 所以所以 22 22 sincos 632 n aaggg 这个加速度由谁提供？镜框这个加速度由谁提供？镜框跳离钉子没有？如何解释？跳离钉子没有？如何解

13、释？ 解法三中，此时，沿着解法三中，此时，沿着镜框方向的向心加速度为镜框方向的向心加速度为 331 (1 cos )(1) 223 n aggg 而重力和水平方向的摩擦力沿着镜框方向的合力，则而重力和水平方向的摩擦力沿着镜框方向的合力，则 222 21 (sincos ) 2233 gggg 说明确实是向左的摩擦力与重力一起提供了向心力。说明确实是向左的摩擦力与重力一起提供了向心力。 此时，重力和水平此时，重力和水平方向的摩撺力在切向的合力为方向的摩撺力在切向的合力为 22 2214 222 cossin 2323662 ggggggg 与与a相同，应该是第三种思路得到结果是正确的。相同，应该

14、是第三种思路得到结果是正确的。 为何出现水平方向加速度不为为何出现水平方向加速度不为0？关键是建模时将摩擦？关键是建模时将摩擦 力作用简化过度！对整个过程中镜框受力分析：力作用简化过度！对整个过程中镜框受力分析： 2 2222 2 coscossinsin 22 333 coscoscossinsin 224 931 coscos 424 ll Nmgmmmg mg mg (1) 2 2 cossinsincos 22 33 sincos(1 cos )sinsincossinsincos 24 33 sincos1 22 ll fmgmmmg mg mg 2 33 sincos1 22 93

15、1 coscos 424 f N (2) (3) 随着随着增加，增加，N持续减小；但持续减小；但f先增加再减小先增加再减小, 在在=arccos2/3时反号时反号,即在此之前即在此之前,镜框底端相对于钉子镜框底端相对于钉子 有向左运动的趋势有向左运动的趋势,在此之后又有向右滑动的趋势。在此之后又有向右滑动的趋势。 至于何滑动，则由至于何滑动，则由f/N比值及实际静摩擦系数比值及实际静摩擦系数决定：决定： 0.40左右时左右时,镜框在较大角度就会向右滑动、倒下。镜框在较大角度就会向右滑动、倒下。 绘出绘出随角度随角度变化的图变化的图 十、竖直悬挂的弹簧振子，若弹簧本身质量不可略，十、竖直悬挂的弹

16、簧振子，若弹簧本身质量不可略， 试推导其周期公式：试推导其周期公式： 式中式中m为弹簧质量为弹簧质量,k为弹性系数为弹性系数,M为系于其上物体的质量为系于其上物体的质量(假定假定 弹簧伸长量由上到下与长度成正比关系弹簧伸长量由上到下与长度成正比关系)。 23TMmk 十一、一沿十一、一沿x方向传播的波方向传播的波,在固定端在固定端B点处反射点处反射,如图所示如图所示.A点处点处 的质点由入射波引起的振动方程的质点由入射波引起的振动方程yA=Acos(t+0.2)。已知入射波。已知入射波 的波长为的波长为,OA=0.9 ,AB=0.2 .设振幅不衰减设振幅不衰减,试求试求OB间有多少间有多少 个

17、波腹和波节个波腹和波节.若介质是线密度为若介质是线密度为1.0g.cm-1的弦线的弦线,振幅振幅A=2.0cm, =40 s-1, =20cm,求相邻两波节间的总能量。求相邻两波节间的总能量。 十二、设有一处于激发态的原子以速率十二、设有一处于激发态的原子以速率v运动。当其发射一能量运动。当其发射一能量 为为E的光子后衰变至其基态的光子后衰变至其基态,并使原子处于静止状态并使原子处于静止状态,此时原子静此时原子静 质量为质量为m0。若激发态比基态能量高。若激发态比基态能量高E0，试证明：，试证明： 0 0 2 0 1 2 E EE m c 十三、为了避免高速行驶的汽车在转弯时容易发生翻车现象十

18、三、为了避免高速行驶的汽车在转弯时容易发生翻车现象,可可 在车上安装一高速自旋的大飞轮。在车上安装一高速自旋的大飞轮。(1)试问：飞轮应安装在什么试问：飞轮应安装在什么 方向上方向上,飞轮应沿什么方向转动？飞轮应沿什么方向转动？(2)设汽车的质量为设汽车的质量为m0,其行驶其行驶 速度为速度为v。飞轮是质量为。飞轮是质量为m,半径为半径为R的圆盘。汽车的圆盘。汽车(包括飞轮包括飞轮)的的 质心距离地面的高度为质心距离地面的高度为h。为使汽车在绕一曲线行驶时。为使汽车在绕一曲线行驶时,两面车两面车 轮的负重均等轮的负重均等,试求飞轮的转速。试求飞轮的转速。 22 十四、一条长为十四、一条长为 2

19、l，质量为，质量为 m 的柔软细绳，挂在一光滑的水平的柔软细绳，挂在一光滑的水平 轴钉轴钉(粗细可忽略粗细可忽略)上。当两边的绳长均为上。当两边的绳长均为 l 时，绳索处于平衡状时，绳索处于平衡状 态。若给其一端加一个竖直方向的微小扰动，则细绳就从轴钉态。若给其一端加一个竖直方向的微小扰动，则细绳就从轴钉 上滑落。试求：当细绳刚脱离轴钉时，细绳的速度；当较上滑落。试求：当细绳刚脱离轴钉时，细绳的速度；当较 长的一边细绳的长度为长的一边细绳的长度为 x 时，轴钉上所受的力。时，轴钉上所受的力。 郑永令书后所附参考答案：郑永令书后所附参考答案： )42( 22 2 lxlx l mg gl； 力学

20、 习题分析23 右边一段长为右边一段长为 x，质心在，质心在 x/2 处。处。 左边一段长为左边一段长为 2l x，质心在，质心在 (2l x)/2 处。处。 系统质心坐标系统质心坐标 l llxx l xxlxlx l xlxx x xl C 2 22 4 44 2 )2( 222222 2 2 2 1 质心下降质心下降 l lxl l llxxl xC 2 )( 22 22 2 222 根据机械能守恒，根据机械能守恒， l lx mgm 2 )( 2 1 2 2 所以，所以， )(lx l g dt dx x = l： 0 0； x = 2l： = 。 gl 力学 习题分析24 )( )(

21、 lx l g dt dx l g dt lxd l g dt d a 换种思路：换种思路： )( 2 2 )2( 22 lx l g g l xlx m gxl l m gx l m dt d a 下面计算质心运动：下面计算质心运动： l g l lx dt dx l lx l lx dt d dt dxC 22 )( 2 )( 2 22 2 2 )(2 2 )( l lxg dt dx l lx l g l lx dt d l g dt xd C 力学 习题分析25 对于体系的质心：对于体系的质心： 2 2 2 2 )(2 l lxg m dt xd mFmg C )42( )242( )

22、(2 22 2 222 22 2 lxlx l mg lxlxl l mg l lxg mmgF 另一种思路：另一种思路：对于右侧长为对于右侧长为 x 的部分，的部分， 22 2 222 2 22 2 2 32 2 2 2 )()( 222 22 )( 2 lxlx l mg lxlxxlx l mg lx l g lx l g x l m l m dt xd x l m dt dx l m dt d x l m dt dM dt d M dt Md Tgx l m F 力学 习题分析26 22 2 22 2 32 2 32 22 lxlxxl l mg lxlx l mg gx l m T 所以，所以， 22 2 422lxlx l mg T 变质量物体运动，进入主体的微元速度究竟是多大？变质量物体运动，进入主体的微元速度究竟是多大？ 22 2 222 2 22 2 2 253 2 242 2 )( 2 )( 22 2 2 2 2 2 2 2 lxlx l mg lxlxxlx l mg lx l g lx l g x l m l m dt xd x l m dt dx l m dt d x l m d