单自由度系统受迫振动(a)

1、1 2 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 3 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 4 线性系统的受迫振动线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 弹簧质量阻尼系统弹簧质量阻尼系统 设设 ti eFtF 0 )( 0 F外力幅值外力幅值 外力的激励频率外力的激励频率 ti eFkxxcxm 0 振动微分方程：振动微分方程： tFcos 0 x 为复数变量，分别与为复数变量，分别与 和和 相对应相对应 tFsin 0 实部和虚部分别与实部和虚部分别与 和和 相对应相对应 tFsin 0 tFcos 0 m x c x m kx )(tF 受力分析受力分析 )(tF

2、 kc x 0m 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 5 ti eFkxxcxm 0 振动微分方程：振动微分方程： 显含时间显含时间 t 非齐次微分方程非齐次微分方程 非齐次微分方程非齐次微分方程 通解通解 齐次微分方程齐次微分方程 通解通解 非齐次微分方程非齐次微分方程 特解特解 阻尼自由振动阻尼自由振动 逐渐衰减逐渐衰减 暂态响应暂态响应 持续等幅振动持续等幅振动 稳态响应稳态响应 本节内容本节内容 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 6 ti eFkxxcxm 0 振动微分方程：振动微分方程： 设：设： ti exx 0 )(FH

3、x icmk H 2 1 )( 复频响应函数复频响应函数 ti eBxxx 2 0 2 00 2 m k 0 km c 2 k F B 0 ：稳态响应的复振幅：稳态响应的复振幅 x 静变形静变形 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 ti exix ti exx 2 titi eFexkicm 0 2 )( 7 icmk H 2 1 )( 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 引入：引入： 0 s k c i k m k H 2 1 11 )( i e k 1 )2()1 ( )2()1 ( 1

4、 222 2 ss sis k 2 0 2 2 k m 2 0 m c k c )2()1 ( 11 2 sisk 2 s 2 0 0 2 s2 0 2 外部激励频率与系统固有频率之比外部激励频率与系统固有频率之比 222 )2()1 ( 1 )( ss s 2 1 1 2 )( s s tgs 振幅放大因子振幅放大因子 相位差相位差 ti eFkxxcxm 0 ti exx i e k H 1 )( 0 )(FHx )( 0 ti e k F x BA 稳态响应的实振幅稳态响应的实振幅 222 )2()1 ( 1 )( ss s k F B 0 tFtFcos)( 0 若：若： )cos()

5、(tAtx则：则： ti e s B tx 2 1 )( 无阻尼情况：无阻尼情况： )( ti Ae ti e sk F 2 0 1 1 2 1 1 2 )( s s tgs 系统响应系统响应 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 ti eFkxxcxm 0 222 )2()1 ( 1 )( ss s )()( 0 titi Aee k F x 2 1 1 2 )( s s tgs 222 0 )2()1 ( 1 ss k F A 结论：结论： 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 10 单自由

6、度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 11 稳态响应的特性稳态响应的特性 以以s为横坐标画出为横坐标画出 曲线曲线 )(s 222 )2()1 ( 1 )( ss s 幅频特性曲线幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性：简谐激励作用下稳态响应特性： （1）当）当s1（ ） 0 0 激振频率相对于系统固有激振频率相对于系统固有 频率很高频率很高 结论：响应的振幅结论：响应的振幅 很小很小 )()( 0 titi Aee k F x 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性

7、稳态响应的特性 13 稳态响应特性稳态响应特性 （3）在以上两个领域）在以上两个领域 s1，s1 结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 对应于不同对应于不同 值值, 曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 222 )2()1 ( 1 )( ss s 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 14 稳态响应特性稳态响应特性 结论：共振结论：共振 振幅无穷大振幅无穷大 222 )2()1

8、 ( 1 )( ss s （4）当）当1s 0 对应于较小对应于较小 值，值， 迅速增大迅速增大 )(s 当当0)(s 但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降增加阻尼使振幅明显下降 )()( 0 titi Aee k F x 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 15 稳态响应特性稳态响应特性 222 )2()1 ( 1 )( ss s )()( 0 titi

9、Aee k F x （5）对于有阻尼系统，）对于有阻尼系统， 并不并不 出现在出现在s=1处，而且稍偏左处，而且稍偏左 max 0 ds d 2 max 12 1 2 21s 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 16 稳态响应特性稳态响应特性 222 )2()1 ( 1 )( ss s （6）当）当2/11 振幅无极值振幅无极值 0 123 0 1 2 3 4 5 )(s s 0 1 . 0 25. 0 375. 0 5 . 0 1 单自由度系统受迫

10、振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 17 稳态响应特性稳态响应特性 222 )2()1 ( 1 )( ss s )()( 0 titi Aee k F x 2 1 1 s Q记：记： 品质因子品质因子 在共振峰的两侧取与在共振峰的两侧取与 对应的两点对应的两点 ， 2/Q 1 2 12 带宽带宽 Q 与与 有关系有关系 ： 0 Q 阻尼越弱，阻尼越弱，Q 越大，带越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭宽越窄，共振峰越陡峭 s 2 Q 2/Q 0 1 0 2 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 18 稳态响应特性稳态响应特性 相频特性曲

11、线相频特性曲线 （1）当）当s1（ ） 0 位移与激振力反相位移与激振力反相 （3）当）当 1s 0 共振时的相位差为共振时的相位差为 ，与阻尼无关，与阻尼无关 2 )(s 0123 0 90 180 s 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 19 有阻尼单自由度系统有阻尼单自由度系统 外部作用力规律：外部作用力规律： tFtFcos)( 0 假设系统固有频率：假设系统固有频率：1 0 从左到右：从左到右： 6 . 1,01. 1, 4 . 0 0 0 0 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性稳态响应的特性 20 单自由度系统受迫振

12、动单自由度系统受迫振动 21 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 ti eFkxxcxm 0 显含显含 t，非齐次微分方程，非齐次微分方程 非齐次微分方程非齐次微分方程 通解通解 齐次微分方程齐次微分方程 通解通解 非齐次微分方程非齐次微分方程 特解特解 阻尼自由振动阻尼自由振动 逐渐衰减逐渐衰减 暂态响应暂态响应 持续等幅振动持续等幅振动 稳态响应稳态响应 回顾：回顾： 单自由度系统受

13、迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 22 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 考虑无阻尼的情况考虑无阻尼的情况 tFkxxmsin 0 正弦激励正弦激励 0 )0(xx 0 )0(xx tBxxsin 2 0 2 0 k F B 0 t s B tctctxsin 1 sincos)( 2 0201 通解：通解： 齐次通解齐次通解非齐次特解非齐次特解 0 s 21 cc、 初始条件决定初始条件决定 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 23 tFkxxmsin 0 0 )0(xx 0 )0(xx t s B tc

14、tctxsin 1 sincos)( 2 0201 0 )0(xx 01 xc 0 )0(xx 2 02 1 )0( s B cx 2 0 0 2 1s Bsx c t s B t s Bs t x txtx sin 1 sin 1 sincos)( 2 0 2 0 0 0 00 初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应 特点：以系统特点：以系统 固有频率为振固有频率为振 动频率动频率 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 24 t s B t s Bs t x txtx sin 1 sin 1 sincos)( 2 0 2

15、 0 0 0 00 初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应 如果是零初始条件如果是零初始条件 t s B t s Bs txsin 1 sin 1 )( 2 0 2 自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段 25 零初始条件零初始条件t s B t s Bs txsin 1 sin 1 )( 2 0 2 (2) s 1)( 0 )( 0 TT (1) s 1，s1，s=1? 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021年6月3

16、0日 46 若以绝对位移若以绝对位移 x 为坐标为坐标 f xxx 1 titi DeDex )( 1 1 )( 11 1 ti Dex ti f Detx )( 其中：其中： 则有：则有： )( 1 11 )( tii Dee 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs 0 s xf kc 1 x m x 0 m k x xf c 1 x 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021年6月30日 47 )sin(cos )2()1 ( 11 222 2 1 1 i ss s ei 2

17、22 2 2 )2()1 ( )2(1 ss s )2( 1 2 stg )( 1 11 )( tii Deex 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs 222222 2 222 2 )2()1 ( 2 )2()1 ( 1 )2()1 (ss s i ss s ss s 222 )2()1 ( 21 ss si 2 222 2 )2()1 ( )2(1 i e ss s 2 2 i e 2 2 222 )2(1 )2()1 ( 1 i es ss 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动

18、 2021年6月30日 48 )( 1 11 )( tii Deex 21 21 ii ee 222 2 2 )2()1 ( )2(1 ss s )2( 1 2 stg )( 2 )( 2 21 titi DeDex 21 代入：代入： ti e s Dx 2 1 1 无阻尼情况：无阻尼情况： 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs xf kc 1 x m x 0 m k x xf c 1 x 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021年6月30日49 222 2 2 )2()1

19、 ( )2(1 ss s )( 2 )( 2 21 titi DeDex 幅频曲线幅频曲线 01 0 1 0 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 )( 2 s s 2 可看出：可看出： 当当 时，时，2s1 2 振幅恒为支撑运动振幅振幅恒为支撑运动振幅D 当当 时，时，2s1 2 振幅恒小于振幅恒小于D 增加阻尼反而使振幅增大增加阻尼反而使振幅增大 xf kc 1 x m x 0 m k x xf c 1 x 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021年6月30日 50 例：例： 汽车的拖车在波形道汽车的拖车在波形道 路上行

20、驶路上行驶 已知拖车的质量满载已知拖车的质量满载 时为时为 m1=1000 kg 空载时为空载时为 m2=250 kg 悬挂弹簧的刚度为悬挂弹簧的刚度为 k =350 kN/m阻尼比在满载时为阻尼比在满载时为5 . 0 1 车速为车速为 v =100 km/h路面呈正弦波形，可表示为路面呈正弦波形，可表示为 l z ax f 2 sin 求：求： 拖车在满载和空载时的振幅比拖车在满载和空载时的振幅比 l =5 ml =5 m m k/2 c x 0 k/2 xf a l xf z 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021年6月30

21、日 解：解： 汽车行驶的路程可表示为：汽车行驶的路程可表示为： 路面的激励频率：路面的激励频率： t l v ax f 2 sin vtz srad /9 .34 kmccr2 0 2 m c 得：得：kmcc cr 2c、k 为常数，因此为常数，因此 与与 成反比成反比m 因此得到空载时的阻尼比为：因此得到空载时的阻尼比为： 2 1 12 m m 满载和空载时的频率比：满载和空载时的频率比： 01 1 s 93. 0 2 02 2 k m s 因为有：因为有： l =5 m m k/2 c x 0 k/2 xf a l xf z 满载满载: m1=1000 kg 空载空载: m2=250 k

22、g 5 . 0 1 车速车速 : v =100 km/h l z ax f 2 sin l v 2 0 . 1 k =350 kN/m k m1 87. 1 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021年6月30日 52 满载时频率比满载时频率比 记：满载时振幅记：满载时振幅 B1，空载时振幅，空载时振幅 B2 有：有： 满载时阻尼比满载时阻尼比 空载时阻尼比空载时阻尼比 0 . 1 2 87 . 1 1 s 空载时频率比空载时频率比93. 0 2 s 68. 0 )2()1 ( )2(1 2 11 22 1 2 111 ss s a

23、 B 13. 1 )2()1 ( )2(1 2 22 22 2 2 222 ss s a B 因此满载和空载时的振幅比：因此满载和空载时的振幅比：60. 0 2 1 B B 5 . 0 1 l =5 ml =5 m m k/2 c x 0 k/2 xf a l xf z 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021年6月30日 例：例： 已知梁截面惯性矩已知梁截面惯性矩I，弹性模量，弹性模量E， 梁质量不计梁质量不计 支座支座B不动不动 求：质量求：质量m的稳态振动振幅的稳态振动振幅 支座支座A产生微小竖直振动产生微小竖直振动tdyA

24、sin a m b AB A y 解：解： 固有频率：固有频率：/ 0 g 简化图简化图 在质量在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度作用下，由材料力学可求出静挠度 m k f x f x：因：因yA的运动而产生的质量的运动而产生的质量m处的运动处的运动 tabdyabx Af sin)/()/( 动力学方程：动力学方程：0)( f xxkx m takbdkxxmsin)/( 振幅：振幅： 2 1 1/ sk akbd x 0 s 2 1 1 sa bd 杆做刚性处理，其柔性由弹簧表示杆做刚性处理，其柔性由弹簧表示 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯

25、性力激励的受迫振动 2021年6月30日 54 支承运动小结支承运动小结 222 2 2 )2()1 ( )2(1 ss s )2( 1 2 stg 21 相对位移相对位移 ti f Detx )( 基座位移规律基座位移规律 ： ti emDkxxcxm 2 1111 )( 11 1 ti Dex 222 2 1 )2()1 ( )( ss s s 2 1 1 1 2 )( s s tgs 绝对位移绝对位移 () 12 it f xxxDe xf kc 1 x m x 0 m k x xf c 1 x 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振

26、动 2021年6月30日 55 高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转 机械总质量为机械总质量为M，转子偏心质量为，转子偏心质量为m，偏心距为，偏心距为e，转子转动角速度为，转子转动角速度为 x：机器离开平衡位置的：机器离开平衡位置的 垂直位移垂直位移 则偏心质量的垂直位移：则偏心质量的垂直位移： texsin 由达朗伯原理，系统在垂直方由达朗伯原理，系统在垂直方 向的动力学方程：向的动力学方程： 0)sin()( 2 2 kxxctex dt d mxmM tmekxxcxMsin 2 简化图形简化图形 m

27、 x c 2 k 2 k t e M k c tmesin 2 x M k c x t e m 激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021年6月30日 tmekxxcxMsin 2 me ：不平衡量：不平衡量 ：不平衡量引起的离心惯性力：不平衡量引起的离心惯性力 2 me 2 0 meF 设：设： )sin()(tBtx 222 )2()1 ( 1 ss k me k F B 2 0 2 1 1 2 s s tg 0 s 0 k M 得：得： M k c tmesin 2 x 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 2021年6月30日 57 )sin()(tBtx 222 )2()1 ( 1 ss k me k F B 2 0 2 1 1 2 s s tg B 又写为又写为 ： M me k me B 2 0 22 )sin( )2()1 ( )( 222 2 t M me ss s tx 222 2 1 )2()1 (ss s M me B 1 2 s M me )sin( 11 tB 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动 / 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动 20