高等数学-第七版-课件-12-8 一般周期函数的傅里叶级数

1、第八讲 一般周期函数的傅里叶级数 一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数 一、以2l为周期的函数的傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式 一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数 一、以2l为周期的函数的傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式 周期为周期为 2l 函数函数 f (x) 周期为周期为 2 函数函数 F(z) 变量代换变量代换 将将F(z) 作傅氏展开作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式的傅氏展开式 研究思路研究思路 具体作法具体作法 ( ):f xlxl 11 x l x l 令令 x z l lz x ( )( ) lz f xfF z z 0 1 ( )coss

2、in 2 nn n a F zanz bnz d 1 ( )cos(0,1,2) n aF znz z n d 1 ( )sin(1,2) n bF znz z n x z l lz x ( )( ) lz f xfF z d 1 ( )cos(0,1,2) n aF znz z n d 1 ( )sin(1,2) n bF znz z n d 1 ( )cos(0,1,2) n aF znz z n ( )f x ddzx l cos n x l zxl zxl 1 l n l a l dx(0,1,2)n 同理可得同理可得 d 1 ( )sin(1,2) l n l n x bf xx n

3、 ll 设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为 1 0 sin cos 2 )( n nn l xn b l xn a a xf (在在 f (x) 的连续点处的连续点处) n a x l xn xf l b l l n d sin)( 1 其中其中 l 1 x l xn xf l l d cos)( ),2, 1,0(n ),2, 1(n 定理定理 1 )( n n bxf l xn sin 2 )( 0 a xf 1n n a l xn cos ).()( 2 1 xfxf在在 f (x) 的间断点

4、的间断点 x 处处, 傅里叶级数收敛于傅里叶级数收敛于: 如果如果 f (x) 为奇函数为奇函数, 则在则在f(x)的连续点处的连续点处: l注注 d 0 2 ( )sin(1,2, ) l n n x bf xx n ll 如果如果 f (x) 为偶函数为偶函数, 则在则在f(x)的连续点处的连续点处: d 0 2 ( )cos(0,1,2) l n n x af xx n ll u例例1 设设 f (x) 是周期为是周期为4的周期函数的周期函数,它在它在2,-2)上的表达式为上的表达式为: 将将 f (x)展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数. u例例2 , 0 22 ( ) () , 22

5、pxl x M x p lxl xl 将将M (x)分别展开成正弦级数和余弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数. 20 02, 0 )( xh x xf (常数常数)0 h 一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数 一、以2l为周期的函数的傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式 一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数 一、以2l为周期的函数的傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式 周期为周期为2l的傅里叶级数的傅里叶级数 1 0 sin cos 2 n nn l xn b l xn a a i tt itititit 2 ee sin, 2 ee cos 欧拉公式欧拉公式: 1 0

6、 )ee ( 2 )ee ( 22 n l xn i l xn i n l xn i l xn i n ibaa 1 0 e 2 e 22 n l xn i nn l xn i nn ibaibaa 0 c n c n c n l xn i n c e 1 0 sin cos 2 n nn l xn b l xn a a n l xn i n c e 2 nn n iba c l l l l x l xn xf l i x l xn xf l d sin)(d cos)( 1 2 1 l l x l xn i l xn xf l d sin cos)( 2 1 l xn i e 2 nn n iba c ), 3 , 2 , 1( n l l l xn i xxf l de )( 2 1 ), 3 , 2 , 1( n )3 , 2 , 1(de )( 2 1 nxxf l c l l l xn i n xO y 1 0 sin cos 2 n nn l xn b l xn a a n l xn i n c e )3 , 2 , 1(de )( 2 1 nxxf l c l l l xn i n 傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式 u例例3 T 把宽为把宽为, 高为高为, h周期为周期为的矩形波展开成复数形式的矩