旋转薄壁容器

1、1 第二章第二章 压力容器应力分析压力容器应力分析 2 3 4 5 2.1 2.1 载荷分析载荷分析 载荷载荷能够在压力容器上产生能够在压力容器上产生应力、应变应力、应变的的 因素，如压力、风载荷、地震载荷等。因素，如压力、风载荷、地震载荷等。 介绍：介绍： 压力容器全寿命周期内压力容器全寿命周期内 可能遇到的主要载荷可能遇到的主要载荷 压力载荷压力载荷非压力载荷非压力载荷交变载荷交变载荷 6 一、压力载荷一、压力载荷 压力是压力容器承受的基本载荷。压力是压力容器承受的基本载荷。 压力压力 绝对压力绝对压力表压表压 以绝对真空为基以绝对真空为基 准测得的压力。准测得的压力。 通常用于过程工通常

2、用于过程工 艺计算。艺计算。 以大气压为基准测以大气压为基准测 得的压力。得的压力。 压力容器机械设计压力容器机械设计 中，一般采用表压。中，一般采用表压。 内压内压 外压外压 内、外压内、外压 7 二、非压力载荷二、非压力载荷 整体载荷整体载荷 局部载荷局部载荷 作用于整台容器上作用于整台容器上 的载荷，如重力、的载荷，如重力、 风、地震、运输等风、地震、运输等 引起的载荷。引起的载荷。 作用于容器局部区作用于容器局部区 域上的载荷，如管域上的载荷，如管 系载荷、支座反力系载荷、支座反力 和吊装力等。和吊装力等。 8 三、交变载荷三、交变载荷 定义定义 大小和大小和/ /或方向或方向 随随时

3、间变化时间变化 定义定义 大小和方向基大小和方向基 本上本上不随不随时间时间 变化变化 载荷载荷 交变载荷交变载荷静载荷静载荷 9 小结小结 压力载荷压力载荷非压力载荷非压力载荷交变载荷交变载荷 内压内压 外压外压 内外压内外压 重力载荷重力载荷 风载荷风载荷 地震载荷地震载荷 运输载荷运输载荷 波动载荷波动载荷 管系载荷管系载荷 载荷变化载荷变化 （大小（大小 方向）方向） 循环次数循环次数 通常要通常要 考虑考虑 部分要部分要 考虑考虑 具体情况具体情况 考虑考虑 10 载荷工况载荷工况 定义定义在工程上，容器受到不同载荷的情况在工程上，容器受到不同载荷的情况。 制造安装正常制造安装正常

4、操作开停工压操作开停工压 力试验检修等力试验检修等 根据不同载荷工况，分别计算载荷根据不同载荷工况，分别计算载荷 正常操作工况正常操作工况 特殊载荷工况特殊载荷工况 意外载荷工况意外载荷工况 11 一、正常操作工况一、正常操作工况 载荷载荷 设计压力设计压力 液体静压力液体静压力 重力载荷重力载荷 风载荷风载荷 地震载荷地震载荷 其他载荷其他载荷 隔热材料、衬里、隔热材料、衬里、 内件、物料、平台、内件、物料、平台、 梯子、管系、支承梯子、管系、支承 在容器上的其他设在容器上的其他设 备重量等备重量等 12 二、特殊载荷工况二、特殊载荷工况 一般不考虑一般不考虑 地震载荷地震载荷 1 1压力试

5、验压力试验 制造完工的容器在制造厂进行压力试验时的载荷。制造完工的容器在制造厂进行压力试验时的载荷。 制造厂做制造厂做 压力试验压力试验 的载荷的载荷 试验压力试验压力 容器自身的重量容器自身的重量 试验压力试验压力 试验液体静压力试验液体静压力 试验时的重力载荷试验时的重力载荷 现场做压现场做压 力试验力试验 的载荷的载荷 立式容器卧置做立式容器卧置做 水压试验水压试验 考虑考虑 容器顶部的容器顶部的 压力校核压力校核 液体重量液体重量 液柱静压力液柱静压力 试验液体静压力和试验液体静压力和 实验液体的重量实验液体的重量 13 二、特殊载荷工况（续）二、特殊载荷工况（续） 2 2开停工及检修

6、开停工及检修 载荷载荷 风载荷风载荷 地震载荷地震载荷 容器自身重量容器自身重量 内件、平台、梯子、管系及支承内件、平台、梯子、管系及支承 在容器上的其他设备重量在容器上的其他设备重量 等等等等 14 三、三、意外载荷工况意外载荷工况 容器的快速启动或突然停车容器的快速启动或突然停车 容器内发生化学爆炸容器内发生化学爆炸 容器周围的设备发生燃烧或爆炸等容器周围的设备发生燃烧或爆炸等 紧急状态下紧急状态下 爆炸载荷、热冲爆炸载荷、热冲 击等意外载荷击等意外载荷 15 2.2 回转薄壳应力分析回转薄壳应力分析 本章重本章重 点点 教学重点：教学重点： （1）回转薄壳的无力矩理论；）回转薄壳的无力矩

7、理论； （2）微元平衡方程、区域平衡方程；）微元平衡方程、区域平衡方程； （3）典型回转薄壳的求解。）典型回转薄壳的求解。 教学难点：教学难点： （1）储存液体的圆球壳、圆柱壳求解；）储存液体的圆球壳、圆柱壳求解； （2）边缘力和边缘力矩的工程问题。）边缘力和边缘力矩的工程问题。 16 本本 节节 重重 点点 17 2.2 2.2 回转薄壳应力分析回转薄壳应力分析 在石油化学工业中，钢制压力容器（如通常所在石油化学工业中，钢制压力容器（如通常所 见的塔、换热器、贮罐等）均为薄壁容器见的塔、换热器、贮罐等）均为薄壁容器 （ ）他们所具有的特点如下：）他们所具有的特点如下： 1 1、是旋转壳体、是

8、旋转壳体，都有一条对称轴，由旋转曲，都有一条对称轴，由旋转曲 面组成，在垂直对称轴的截面上投影圆形；面组成，在垂直对称轴的截面上投影圆形； 2 . 1/ 0 i DD 18 2 2、是轴对称问题、是轴对称问题，即几何形状，约束和所受，即几何形状，约束和所受 的外力均对称于旋转轴；的外力均对称于旋转轴； 3 3、直径比较小、直径比较小； 4 4、承受压力为中低压、承受压力为中低压； 以上所述就是本节要解决的主要问题。以上所述就是本节要解决的主要问题。 19 旋旋 转转 曲曲 面面 由平面直线或平面曲线绕其同平面内的回由平面直线或平面曲线绕其同平面内的回 转轴回转一周所形成的曲面称为回转曲面转轴回

9、转一周所形成的曲面称为回转曲面。 或者：或者：以任何直线或平面曲线，绕其同平以任何直线或平面曲线，绕其同平 面内的轴线旋转即形成旋转曲面。面内的轴线旋转即形成旋转曲面。 例如：直线作为母线绕轴线旋转一周而形例如：直线作为母线绕轴线旋转一周而形 成成 的为圆柱面，或圆锥面，即为旋转壳体。的为圆柱面，或圆锥面，即为旋转壳体。 20 21 壳壳 体体 中中 面面 是是与壳体的内外表面等距离的曲面与壳体的内外表面等距离的曲面。也就是。也就是 平分壳体壁厚的曲面。而内外表面的法向距平分壳体壁厚的曲面。而内外表面的法向距 离，即为壳体的壁厚。离，即为壳体的壁厚。 如图：如图：AB即为中面，即为中面，是壁厚

10、，对于薄壁是壁厚，对于薄壁 容器，可以用中面表示壳体的几何特征，而容器，可以用中面表示壳体的几何特征，而 壳体的中面又可以用经线和纬线来表示。壳体的中面又可以用经线和纬线来表示。 B A Di Do 22 旋旋 转转 壳壳 体体 就是就是其中面为旋转曲面的壳体其中面为旋转曲面的壳体。换句话说，。换句话说， 如果一个壳体它的中面是旋转曲面，那么它就如果一个壳体它的中面是旋转曲面，那么它就 是旋转壳体。是旋转壳体。 同样，从壳体的定义可以看到，壳体的形状和同样，从壳体的定义可以看到，壳体的形状和 大小即壳体的几何特征可以用其中面来表示。大小即壳体的几何特征可以用其中面来表示。 经经 线线 通过旋转

11、轴通过旋转轴OO1作一个纵向平面，它与壳体作一个纵向平面，它与壳体 的交线的交线OBB1称为经线。称为经线。 即任意位置的母线经线与母线是一致的，经即任意位置的母线经线与母线是一致的，经 线与回转轴线与回转轴OO1所构成的平面称为经线截面。所构成的平面称为经线截面。 例如：例如：OBBO1 23 n A B K2 K1 K2 K1 O1 O B1 A1 纬线（平 行圆） 24 25 母线平面：母线和对称轴所构成的平面母线平面：母线和对称轴所构成的平面 经线平面：经线和对称轴所构成的平面经线平面：经线和对称轴所构成的平面 纬线纬线 经线上任意一点绕旋转轴旋转一周所形成经线上任意一点绕旋转轴旋转一

12、周所形成 的轨迹称为纬线。的轨迹称为纬线。 亦即：以法线作母线绕回转轴回转一周所亦即：以法线作母线绕回转轴回转一周所 形成的圆锥法截面与中间面的交线称为纬形成的圆锥法截面与中间面的交线称为纬 线，或平行圆。线，或平行圆。 如图：在如图：在B点垂直于壳体中面的直线点垂直于壳体中面的直线 ，即法线，即法线n， 该法线必于旋转轴相交，其交点为该法线必于旋转轴相交，其交点为K2，交角为，交角为平平 行圆的位置由行圆的位置由确定，确定，B点的位置由点的位置由确定，即经线确定，即经线 的位置由的位置由确定。确定。是从母线量起的角。是从母线量起的角。 26 O A B K2 K1 O1 r B1 A1 27

13、 坐坐 标标 系系 的的 建建 立立 周向坐标（周向坐标（）：经线平面和母线平面的：经线平面和母线平面的 夹角夹角，称为周向坐标，它唯一确立了经，称为周向坐标，它唯一确立了经 线的位置。线的位置。 经向坐标（经向坐标（）：）：过壳体中面上任一点过壳体中面上任一点B 的法线与旋转轴相交于的法线与旋转轴相交于K2，交角为，交角为，这，这 个角便唯一确立了过该点的纬线的位置，个角便唯一确立了过该点的纬线的位置， 这个角这个角就是经向坐标。就是经向坐标。 28 法向坐标（法向坐标（z z）：）：由于壳体具有一定的厚度，我由于壳体具有一定的厚度，我 们引入一个法向坐标们引入一个法向坐标z，为过任意点，为

14、过任意点B的法线。的法线。 符号规定：符号规定：，逆时针旋转为正，反之为负；逆时针旋转为正，反之为负；Z 的方向以指向壳体的曲率中心为正。这样，任的方向以指向壳体的曲率中心为正。这样，任 何一个旋转壳体都可以在由经向坐标何一个旋转壳体都可以在由经向坐标，周向坐，周向坐 标标和法线坐标和法线坐标Z组成的坐标系中进行研究。组成的坐标系中进行研究。 29 30 第一曲率半径第一曲率半径r1： 决定经线亦即决定旋转壳体的几何形状的经线的决定经线亦即决定旋转壳体的几何形状的经线的 曲率半径，用曲率半径，用r1表示，如图中的表示，如图中的BK1。 而旋转壳体中面上任一点的第一曲率半径的圆心而旋转壳体中面上

15、任一点的第一曲率半径的圆心 必然在该点的法线上，其大小可用曲率半径公式必然在该点的法线上，其大小可用曲率半径公式 求取。对求取。对y=f(x)的曲线的的曲线的r1有如下关系式：有如下关系式： 31 3 2 2 12 2 1 () dy dx r d y dx 32 周向坐标 A1 B1 r O1 K1 K2 B A O 经向坐标 33 第二曲率半径第二曲率半径r2： 经线上任意一点经线上任意一点B，其法线与对称轴之交点为，其法线与对称轴之交点为K2， 则则K2到到B距离距离BK2即为即为r2，其值为，其值为 ： sin 2 r r 34 式中：式中：r 平行圆半径。平行圆半径。 由此可见：有了

16、由此可见：有了r1，r2就表明了旋转壳体的形状就表明了旋转壳体的形状 和大小的几何学特征了和大小的几何学特征了 。 35 圆柱壳圆柱壳 K2 B o o K1 R圆柱体中面半径。圆柱体中面半径。 其经线为直线，纬线为圆，故其其经线为直线，纬线为圆，故其r1=，R2=R 36 球壳球壳其经线、纬线均为圆，故其其经线、纬线均为圆，故其 R1=R2=R 圆锥壳圆锥壳 K1 K2 r B r1=， r2 =r/sin 37 椭圆壳椭圆壳 y x x y B K2 K1 a b ba baxa r 4 2 3 2224 1 )( b baxa r 2 1 2224 2 )( 38 r1和和r2 的关系的

17、关系 1、两者方向一致，均为该点的法线方向；、两者方向一致，均为该点的法线方向； 2、r1和和r2的大小：的大小： r1可用经线方程求出，可用经线方程求出， r2 =r/sin； 3、经线线元、经线线元dl1和纬线线元和纬线线元dl2 ： drdl 11 rddl 2 cos/ 1 rddr coscos 11 drdldr 39 K1 d K2 r2 dl1 r1 40 课堂讨论：课堂讨论： 如图：求如图：求r1 和和r2 a点：点： 为圆筒壳上任意一点为圆筒壳上任意一点 b点：点： 为圆筒壳与圆锥之交点为圆筒壳与圆锥之交点 c点：点： 为半径为为半径为D2 /2圆筒与圆锥的交点圆筒与圆锥的

18、交点 d点：点： 为半径为为半径为D2 /2的圆筒壳上任意一点的圆筒壳上任意一点 a b c d D2 D1 D1 D2 41 作业作业 1、试求如图所示的回转壳上、试求如图所示的回转壳上A点的主曲率半径点的主曲率半径R1 和和R2 A a K2 K1 42 2、试求如图所示的尖拱壳上任意点、试求如图所示的尖拱壳上任意点M的主曲率半径的主曲率半径 r1 和和r2 R K1 K2 M O o 43 3、试求如图所示的碟形封头中面上、试求如图所示的碟形封头中面上A、B、C三点三点 的主曲率半径的主曲率半径r1 和和r2 R c b a B A C o 44 基基 本本 假假 设设 对于旋转薄壳，通

19、常认为壳的厚度与壳的曲率半径对于旋转薄壳，通常认为壳的厚度与壳的曲率半径 相比为小量，而且研究的范围为弹性小变形，即壳相比为小量，而且研究的范围为弹性小变形，即壳 体受力后其各点的位移都有远小于壁体受力后其各点的位移都有远小于壁 厚。在上述厚。在上述 前题下，在讨论旋转壳体受力和变形时，为简化计前题下，在讨论旋转壳体受力和变形时，为简化计 算，特工程上作如下允许的基本假设：算，特工程上作如下允许的基本假设： 1 1、直法线假设：、直法线假设： 变形前垂直于壳体中面的直线段，在变形后仍保持为直变形前垂直于壳体中面的直线段，在变形后仍保持为直 线线，并垂直于变形后的中面，即剪应力并垂直于变形后的中

20、面，即剪应力 、 ， 引起的变形可忽略不计，引起的变形可忽略不计， ；也就是剪应力引；也就是剪应力引 起的变形可忽略不计起的变形可忽略不计 0 45 2 2、互不挤压假设：、互不挤压假设： 即即平行于中面的各纤维之间互不挤压平行于中面的各纤维之间互不挤压假设，也就假设，也就 是认为与周向应力及径向应力相比，法向应力忽是认为与周向应力及径向应力相比，法向应力忽 略不计，即属于平面应力问题。略不计，即属于平面应力问题。 3 3、小位移假设：、小位移假设： 假设在假设在变形前后薄壳厚度没有变化变形前后薄壳厚度没有变化， 即法向应变即法向应变 为零，就是说：在厚度截面上各点的法向位移可为零，就是说：在

21、厚度截面上各点的法向位移可 以近似看成为中面的法向位移，以近似看成为中面的法向位移， 从以上可以看出从以上可以看出 旋转壳体为旋转壳体为 ， 的函数，与的函数，与z z无关。无关。 通过以上这些假设，简化了问题，使用空间通过以上这些假设，简化了问题，使用空间 壳体的三向应力问题变为两向应力问题，并可利壳体的三向应力问题变为两向应力问题，并可利 用平面梁理论来求解壳体。用平面梁理论来求解壳体。 46 （一）取单元体（一）取单元体 旋转壳体（薄壳）可用中面研究，即可沿整个壁旋转壳体（薄壳）可用中面研究，即可沿整个壁 厚切取，并且要包含经线和纬线。所以：厚切取，并且要包含经线和纬线。所以： 1、用两

22、个夹角为、用两个夹角为d的经向截面；的经向截面； 2、用两个夹角为、用两个夹角为d旋转法截面旋转法截面(即形成纬线的圆即形成纬线的圆 截面截面)； 3、沿着整个壁厚截取单元体。如图、沿着整个壁厚截取单元体。如图ABCD 47 A o 截 面 1 截 面 3 截 面 2 48 k2 k2 x A D B C O k1 49 B1 C1 A1 D1 A D C B C2 D2 A2 B2 Z y X d l1 r1 r2 d l2 z d z Pz P P o1 Pz P P P=0 50 1 1、外力、外力 作用于旋转薄壳的外力通常包括分布面力（气压、液压等）作用于旋转薄壳的外力通常包括分布面力

23、（气压、液压等） 和体力（重力、惯性力等）。但有时体力也可以化作分布和体力（重力、惯性力等）。但有时体力也可以化作分布 面力外理。单位面积上的分布面力的分量有：面力外理。单位面积上的分布面力的分量有： P（指向（指向 x 正向）正向） P（指向（指向正向）正向） PZ（指向（指向 z 轴反向）轴反向） N/mm2 对于轴对称载荷，对于轴对称载荷， P =0 ，所以旋转薄壳仅是，所以旋转薄壳仅是的函数，的函数， 与与无关。它们都是单位面积上的力。无关。它们都是单位面积上的力。 51 2 2、内力、内力 在外力作用于下，在外力作用于下， 切取单元体后，截面上必切取单元体后，截面上必 然暴露出内力，

24、这些内力称为内力素，包括力然暴露出内力，这些内力称为内力素，包括力 和力矩。和力矩。 52 o B C y z x k2 o1 p A D k2 k1 p z 53 54 55 经向力经向力N 周向力周向力N 单位单位 ：N/mm； 方向：拉为正，压为负方向：拉为正，压为负 横剪力横剪力Q 及及Q +( dQ/d )d 内力矩（单位长度）：内力矩（单位长度）： 符号规定：符号规定：当截面的外法线沿着坐标当截面的外法线沿着坐标的正向时的正向时,沿沿 z 的正向为正的正向为正,反之为负；反之为负； 当外法线沿当外法线沿的负向时的负向时,沿沿z 的负向为正的负向为正,反之为负。反之为负。 符号规定：

25、符号规定：使截面向壳体外侧旋转为正使截面向壳体外侧旋转为正,反之为负。反之为负。 即力矩向量顺时针为正。即力矩向量顺时针为正。 单位：单位： Nmm/mm 56 单位面积上的力就是应力，即应力的总和（或积单位面积上的力就是应力，即应力的总和（或积 分）就是内力素，也就是说可以将内力素表示为分）就是内力素，也就是说可以将内力素表示为 截面上应力的积分。截面上应力的积分。 如前述。中面上的线元为如前述。中面上的线元为: 57 11 dlrd 11 /rdld 22 sindlrdrd 2 2 sin dl d r 58 如前图，如前图， 距中面为距中面为Z的相应线段长度为：的相应线段长度为： 11

26、1 )/1 ()(dlrzdzrdl 222 )/1 (sin)(dlrzdzrdl 59 B1 C1 A1 D1 A D C B C2 D2 A2 B2 Z y X dl1 r1 r2 dl2 z dz Pz P P o1 Pz P P P=0 60 为作用于在距离中面为为作用于在距离中面为z z 外的微元面上外的微元面上 的应力，则在旋转法截面上的经向合力为：的应力，则在旋转法截面上的经向合力为： z 、设设 22 22 222 1 z N dldl dzdl dz r 22 22 222 1 z M dldl z dzdl z dz r 经向合力矩为：经向合力矩为： 61 横剪力为：横剪

27、力为： 22 22 222 1 zz z Q dldl dzdl dz r 将上述三个表达式两端同时消去将上述三个表达式两端同时消去dl2 得到如下的合力公式得到如下的合力公式 22 222 22 222 1 1 z Ndzdz r z Mz dzz dz r 62 同理，可推得五个表达式如下：同理，可推得五个表达式如下： 2 2 Ndz 2 2 Ndz 2 2 Mz dz 2 2 Mz dz 2 2 z Qdz 63 平衡方程平衡方程 对于微元按照小角定理可得对于微元按照小角定理可得 cos1,sin,cos1,sin,sin 22 dd dddddd 对所取的微元体，其表面积为对所取的微元

28、体，其表面积为 drrd 1 根据静力平衡原理，可建立三力的平衡方程根据静力平衡原理，可建立三力的平衡方程 式，即：式，即：x x，z z方向以及方向以及y y方向的力矩矢量平衡方向的力矩矢量平衡 64 k1 D A pz o1 k2 x y C B o z r1 p 65 66 1 1、诸力在、诸力在 x x方向的平衡方向的平衡（Fx=0） （1）经向力在）经向力在x 方向的分量：方向的分量： (cos() () dN dr Nddrd dNrd dd dN dr Nd drd d dd d rN d d d ） 67 k2 z x Q r1 （ ） （ ） k1 68 o o y x k2

29、 r1 69 drN 1 ddrN d drN 11 2 sin2 （2 2）周向应力在）周向应力在x x方向的分量方向的分量: : 作用在微元体上的母线截面上的力等于：作用在微元体上的母线截面上的力等于： 其合力在平行圆的其合力在平行圆的 半径方向内等于：半径方向内等于： 如图：它在如图：它在x x 方向的分量为：方向的分量为： 1 cosN rd d 70 () sin() dQ dr QddrddQrd d dd ddrrPdrrdPdAP 11 （3）横剪力在）横剪力在x 轴上的合力分量为：轴上的合力分量为： 如图（如图（C），作用在单元体上部旋转法截面的横剪），作用在单元体上部旋转法

30、截面的横剪 力在力在x方向无分量，作用在单元体上部旋转法截面方向无分量，作用在单元体上部旋转法截面 上的横剪力在上的横剪力在x方向的分量为方向的分量为: （4 4）外力在）外力在x x方向的分量为：方向的分量为： 71 过 程 设 备 设 计 k2 z x Q r1 （ ） （ ） k1 72 根据力的平衡条件根据力的平衡条件Fx=0得：得： 11 11 ()cos0 ()cos0 d rN d dN rd drQ d dPrrd d d dd d rNN rrQrrP d 消去得： 73 旋转薄壳的一般平衡方程只有上述三式：旋转薄壳的一般平衡方程只有上述三式： 11 ()cos0 d rNr

31、NrQPrr d 11 ()sin0 z d rQrNrNPrr d 11 ()cos0 d rMrMrrQ d 74 上述三个方程是轴对称载荷作用于下旋转薄壳的上述三个方程是轴对称载荷作用于下旋转薄壳的 一般平衡方程式，它有五个内力未知数组成，为一般平衡方程式，它有五个内力未知数组成，为 静不定问题。解决办法：静不定问题。解决办法： 1 1、忽略工程上向所允许的次要量（力矩）、忽略工程上向所允许的次要量（力矩） -无力矩理论无力矩理论 2 2、找补充方程（几何，物理方程）、找补充方程（几何，物理方程） -有力矩理论有力矩理论 75 2.2.3 2.2.3 旋转薄壳的无力矩理论旋转薄壳的无力矩

32、理论 11 ()cos0 d rNrNrQPrr d 11 ()sin0 z d rQrNrNPrr d 11 ()cos0 d rMrMrrQ d （1 1） （2 2） （3 3） 76 从前一节中的分析知道，壳体的内力素中有力矩的作用，从前一节中的分析知道，壳体的内力素中有力矩的作用， 而在很多实际上情况中，薄壁壳体中弯矩的影响是可以而在很多实际上情况中，薄壁壳体中弯矩的影响是可以 忽略不计的，（对部分容器，在某些特定的壳体形状，忽略不计的，（对部分容器，在某些特定的壳体形状， 载荷和支承条件下，其由弯矩引起的弯曲应力与薄膜应载荷和支承条件下，其由弯矩引起的弯曲应力与薄膜应 力的比值力的

33、比值 ，其数量级为，其数量级为/R，是很小的，大约为，是很小的，大约为 /R1/20 ）这种不考虑弯矩的影响，而近似的求得薄）这种不考虑弯矩的影响，而近似的求得薄 壳中的应力，称为壳中的应力，称为薄膜应力薄膜应力，此种理论联系实际称为，此种理论联系实际称为 无力矩理论或薄膜理论无力矩理论或薄膜理论。无力矩理论联系实际在工。无力矩理论联系实际在工 程上有着广泛的应用。见教材。程上有着广泛的应用。见教材。 77 （一）无力矩理论联系实际的一般方程（一）无力矩理论联系实际的一般方程 1 1、单元体平衡方程、单元体平衡方程 据上述无力矩理论联系实际知据上述无力矩理论联系实际知M =M =0，由平衡方程

34、式，由平衡方程式 （3）得，）得，Q =0，此时上述（，此时上述（1）（）（2）方程式便成为：）方程式便成为： 0cos)( 11 rrPNrrN d d 0sin 11 z PrrNrrN （4 4） （5 5） 78 以上两个方程式中含有两个未知数以上两个方程式中含有两个未知数N 、N 故为故为 静定问题。静定问题。 由由 r=r2 sin，将（，将（5）式除以）式除以r r1 得：得： z P r N r N 21 微元体平衡方程。又称微元体平衡方程。又称拉普拉斯方程拉普拉斯方程。 它表示壳体中任意一点两向内力的关系它表示壳体中任意一点两向内力的关系 。 （6） 79 将式（将式（4）s

35、in ，（，（5）cos 并相加得并相加得 )sincos( cossincossincossin)( 1 11 PPrr NrrNNrrN d d z 即：即： )sincos(cossin)( 11 PPrrNrrN d d z 1 (sin )(cossin ) z d rNrr PP d 积分得：积分得： cdPPrrrN z )sincos(sin 1 80 令：令： 1 ( )( cossin ) z Jrr PPdc 得：得： 2 2 ( )( ) sinsin JJ N rr 由此可见，由（由此可见，由（7）式求出）式求出N ，即可由（，即可由（6） 式求出式求出 N （7）

36、81 2 2、区域平衡方程、区域平衡方程 Q O r PZ P K2 K2 () PZ P 82 如图：在任意壳体上切下一块，设作用在壳体单如图：在任意壳体上切下一块，设作用在壳体单 位面积上的分布面力分量位面积上的分布面力分量P 、Pz ，并设总外力的，并设总外力的 轴向合力为轴向合力为Q，沿平行圆取微圆环，其面积为：，沿平行圆取微圆环，其面积为： drrdA 1 2 则轴向总载荷为：则轴向总载荷为： 1 00 ( cossin )2( cossin ) 2( ) zz PPdAPPrrd J 83 如图：由壳体区域平衡条件知：如图：由壳体区域平衡条件知： 2sin2( )Qr NJ 所以：

37、所以： sin2NrQ 即为薄壳的区域平衡方程即为薄壳的区域平衡方程 ( )sinJr N 为薄壳的区域平衡方程的另一种形式为薄壳的区域平衡方程的另一种形式 84 4 4、 设：薄壳厚度为设：薄壳厚度为，经向薄膜应力为，经向薄膜应力为 ，周向薄膜应力为，周向薄膜应力为 ，则周向力，则周向力N 、经向力、经向力N 在忽略弯矩的情况下：在忽略弯矩的情况下： N N z P r N r N 21 2 2 ( )( ) sinsin JJ N rr 由由 和和得得 85 12 z P rr 22 22 sin2sin JQ rr 或 上两式即为无力矩理论的基本方程 86 承受气体内压的回转薄壳承受气体

38、内压的回转薄壳 球形壳体球形壳体 薄壁圆筒薄壁圆筒 锥形壳体锥形壳体 椭球形壳体椭球形壳体 储存液体的回转薄壳储存液体的回转薄壳 圆筒形壳体圆筒形壳体 球形壳体球形壳体 87 气压是化工厂中主要的载荷之一，当容器承气压是化工厂中主要的载荷之一，当容器承 受气体内压受气体内压P作用时，气体压力作用时，气体压力P垂直于容器壳体垂直于容器壳体 内表面。而且是一种轴对称载荷，各处相等内表面。而且是一种轴对称载荷，各处相等 。 当当P为内压时，为内压时， Pz =p为常数为常数 ，P =0 如果忽略壳体的自重，可应用区域方程直接求出如果忽略壳体的自重，可应用区域方程直接求出Q： sin 2 rr )si

39、n(coscos 21 rddrdldr 由由 88 对于顶端连续的壳体，当由对于顶端连续的壳体，当由角所确立的平行圆角所确立的平行圆r 以上部分壳体在以上部分壳体在P作用下，壳体轴向力：作用下，壳体轴向力： 2 QrP 89 下面来看一下是否满足：取微元体，如图：下面来看一下是否满足：取微元体，如图： P rdr P P1 k2 k1 Q 90 作用在环形带上的总压力为：作用在环形带上的总压力为： PrdldP2 此力在旋转轴上的分力为：此力在旋转轴上的分力为： 1 1 cos 2cos2 dPdp dPrdl PrP dr 则在壳体只受气压作用时，整个轴向力为：则在壳体只受气压作用时，整个

40、轴向力为： r PrrdrPQ 0 2 2 91 用用J()的表达式求的表达式求： 1 0 ( )(cossin ) z Jrr PPdc 1 0 0 0 cos cos 1 2 z r 2 rrPd rPdl rPdr Pr cosdldr 1 r ddl ( )J 92 而而2( )QJ PrQ 2 所以总的轴向载荷所以总的轴向载荷 而而 2 2 ( ) sin J r z P rr 21 所所 以以 22 2 2 2 1 sin 2 sin2 2 Pr pr r 2222 2 1111 ()2(2) z PPrrrr r rrrr 93 2 2 Pr )2 ( 1 2 r r 此式即为任

41、意壳体的受气压作用时旋转壳体的此式即为任意壳体的受气压作用时旋转壳体的 两向应力两向应力 94 1、圆柱壳（以下壳体均为封闭容器）、圆柱壳（以下壳体均为封闭容器） R（中径） 如图所示：薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和如图所示：薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和 第二曲率半径分别为：第二曲率半径分别为：R1 =；R1 =R；=/2 95 则：则： 2 PR 2 PR 即：在气压作用下，圆柱壳的周向薄膜应力是经即：在气压作用下，圆柱壳的周向薄膜应力是经 向（或轴向）薄膜应力的向（或轴向）薄膜应力的2倍。均与倍。均与P、R成正比，成正比， 与与成反比。成反比。 96 由此可见：在结构设计或容器制造时，应

42、尽量避由此可见：在结构设计或容器制造时，应尽量避 免或减少对其轴向强度的削弱。如在免或减少对其轴向强度的削弱。如在圆柱壳上开圆柱壳上开 设椭圆孔时设椭圆孔时 应把短半轴放在轴向方向上应把短半轴放在轴向方向上。 结论：结论： 两向应力，两向应力， 沿壁厚均匀分布；沿壁厚均匀分布； 周向应力最大，周向应力最大， 。 2 97 98 2 2、球壳及部分球壳、球壳及部分球壳 球形壳体上各点的第一、二曲率半径相等，球形壳体上各点的第一、二曲率半径相等， 即即R1 =R2 =R t pR 2 所以所以: : 应力特点：应力特点： 球壳中两向薄膜应力相等球壳中两向薄膜应力相等 其值均为圆柱壳最大应力的一半其

43、值均为圆柱壳最大应力的一半 99 P R 部分球壳部分球壳(周边简支周边简支) 100 3 3、圆锥壳、圆锥壳 如图，其半顶角为 如图，其半顶角为， 1r 2 tgrx 2 tg r x 2 得得 tg Px 22 Pr 2 2)2 ( 1 2 r r r2 c r x p k2 101 也可以写成：也可以写成： cos2 Pr cos Pr 应力特点：应力特点： 由上可知，当由上可知，当接近于零时，环向应力接近于圆筒形壳接近于零时，环向应力接近于圆筒形壳 体的环向应力值，当体的环向应力值，当接近于时接近于时/2，即由锥壳展开成平，即由锥壳展开成平 板，应力趋于无限大，后者仅仅证明了这个假设：

44、薄壳板，应力趋于无限大，后者仅仅证明了这个假设：薄壳 平板不承受垂直于其平面的载荷。平板不承受垂直于其平面的载荷。 k2 p r2 x c z 102 2 0 结论：结论： 周向应力最大，周向应力最大， 是经向应力的是经向应力的2 倍。即：倍。即： （与圆柱壳相同）。（与圆柱壳相同）。 薄膜应力值是坐标薄膜应力值是坐标x的线性函数，锥体大端的线性函数，锥体大端 x值最大应力最大值最大应力最大,锥体小端锥体小端x=0， 应力最应力最 小，所以，锥壳开孔尽量开在小端处。小，所以，锥壳开孔尽量开在小端处。 同时，因大端有最大应力值，所以当选用锥形封同时，因大端有最大应力值，所以当选用锥形封 头时常常

45、选用带折边的。头时常常选用带折边的。 103 4 4、椭圆壳、椭圆壳 在压力容器中，经常采用椭球封头，这种壳体在压力容器中，经常采用椭球封头，这种壳体 主要是椭圆曲线绕固定轴旋转而成。但是，椭主要是椭圆曲线绕固定轴旋转而成。但是，椭 圆曲线的各曲率半径是变量，计算要麻烦的多。圆曲线的各曲率半径是变量，计算要麻烦的多。 104 过 程 设 备 设 计 y b y x a x 2 r 2 K A B C 105 对于椭圆上任一点对于椭圆上任一点C C的第一，二曲率半径：的第一，二曲率半径： 3 1 rmamar 2 其中：其中： a-椭圆长半轴；椭圆长半轴； b-椭圆短半轴。椭圆短半轴。 b a

46、m 1sin) 1( 1 22 m 106 所以：所以： 2 22 PrPma ) 1 2()2()2( 23 1 2 ma ma r r 下面通过一些特殊点看一下其应力特点：下面通过一些特殊点看一下其应力特点： （1）在椭圆壳顶点）在椭圆壳顶点A(=0,x=0),其其sin=0,=1 则则 2 Pma 由此可见：由此可见： 此时椭圆壳的两向应力相等，并且与此时椭圆壳的两向应力相等，并且与m成正比成正比。 107 （2 2）在椭圆赤道上）在椭圆赤道上, ,即即 m 1 , 2 此时此时 1sin,ax 则：则： 2 Pa )2 ()2 ( 2 1 2 m r r 108 而而 a m b 12

47、 m ，对于球壳来说，对于球壳来说m=1，则：，则： 当当 时即大到一定值时，时即大到一定值时， 2 0 这也就是说当这也就是说当m足够大时，足够大时， 2 0 当当 2m 时，时， 0 当当 2m时，时， 0 而而 与与m无关，无关， 随随m发生变化。发生变化。 109 由此可见：由此可见： 与与m无关，并永远是拉应力，而无关，并永远是拉应力，而 与与m有关，当有关，当2m 时时0 ，而当，而当 2m 时，时，0 即由拉应力变为压应力即由拉应力变为压应力 110 由此可见：由此可见： 椭球壳在承受均匀内压时，在任何椭球壳在承受均匀内压时，在任何m(ab)值下，值下， 恒为正值，即为拉伸应力，

48、且由顶点处最大恒为正值，即为拉伸应力，且由顶点处最大 值向赤道逐渐递减至最小值。值向赤道逐渐递减至最小值。 当当m（a/b） 时，应力时，应力 将变号。将变号。从从 拉应力变为压应力。拉应力变为压应力。 随周向压应力增大，大直径薄壁椭圆形封头随周向压应力增大，大直径薄壁椭圆形封头 出现局部屈曲。出现局部屈曲。 措施：整体或局部增加厚度，局部采用环状措施：整体或局部增加厚度，局部采用环状 加强构件。加强构件。 2 111 (3)工程上常用标准椭圆形封头工程上常用标准椭圆形封头,其其m（a/b）=2。 的数值在顶点处和赤道处大小相等但符的数值在顶点处和赤道处大小相等但符 号相反，号相反， 即顶点处

49、为即顶点处为 ，赤道上为，赤道上为 - ， 恒是拉应力，在顶点处达最大值为恒是拉应力，在顶点处达最大值为 。 pa pa pa 112 下面分别取下面分别取 1,2,2,3,mmmm 代入 表达式中看一下应力的变化特点，如图：表达式中看一下应力的变化特点，如图： m=1 m=2 m=3 2m 113 5 5、碟形壳、碟形壳 ： 蝶形壳主要有三部分组成：蝶形壳主要有三部分组成：部分球壳部分球壳 ，部分，部分 环壳环壳 和圆柱壳和圆柱壳 ，或者说：球顶，过渡圆和，或者说：球顶，过渡圆和 圆柱壳。圆柱壳。 aa abbc 114 球顶大小由半径球顶大小由半径R和展开角和展开角0决定。决定。 过渡圆过

50、渡圆 的经线曲率半径的经线曲率半径r0 与过渡圆与过渡圆 的对应的对应 角有关。角有关。 当当r0和和R变化时，对于给定内直径变化时，对于给定内直径D的圆柱壳，则的圆柱壳，则 有无数个碟形封头廓形。有无数个碟形封头廓形。 封头高度封头高度h取决于取决于R和和r0值。展开角的选择要保证值。展开角的选择要保证 球顶与过渡圆环拱球顶与过渡圆环拱a平滑连续，即使两母线连接处平滑连续，即使两母线连接处 有一个共切点。一般在有一个共切点。一般在200 -300 之间最宜，一般取之间最宜，一般取 25 左右。通常由图表示。左右。通常由图表示。 aa ab 115 如图，球面部分为弧如图，球面部分为弧aa，折

51、边为弧，折边为弧ab,对于球面部分对于球面部分r1 =r2 =R 116 对于折边区部分：对于折边区部分： 000 20 ()sin sin Rr rr 10 rr 0 0 00 sin Rr Rr 22 0 0 00 sin() R r Rr 0 0 00 cos Rh Rr 22 0 0 00 cos() Rh Rr 2222 00 00 0000 sincos()()1 R rRh RrRr 将上式展开并整理，可得到下式：将上式展开并整理，可得到下式： 117 2 0 0 0 (2) 2() hRhR r RR 对于球面部分，应力可按球壳计算：对于球面部分，应力可按球壳计算： 2 PR

52、折边部分：折边部分： 0002 0 ()sin 22sin RrPrP r 000 0 2 10 ()sin sin (2)(2) Rr r r rr 000 0 ()sin (1) sin Rr r 118 应力分析：应力分析： 1、球面部分的两向应力相等，即球面部分的两向应力相等，即 2、折边部分的两向应力折边部分的两向应力 和 均是变化的均是变化的. 0 2 PR 在折边部分的连接处在折边部分的连接处 020 ()rRa处 点 其两向应力值为其两向应力值为: : 0 2 PR 000 00 (2)(2) 2 RPRR rr 在折边部分的在折边部分的b点处点处, 即即 2 处：处： 000

53、0 ()sin 2 P rRr 000 0 ()sin (1) Rr r 119 由此可见，薄壁碟形封头的应力分布是比较复杂的，甚至由此可见，薄壁碟形封头的应力分布是比较复杂的，甚至 于在内压作用下还存在稳定性的问题，而且往往计算值与于在内压作用下还存在稳定性的问题，而且往往计算值与 实际值还有差别，所以实际应用较少。这一点可举例说明实际值还有差别，所以实际应用较少。这一点可举例说明 如下：如下： 设设 则此时：则此时： 2 22 2 0 0 0 (2 2)2 (2)3 224 2()2(2)28 RRR RRR h RhR rR RRR RR 0 0 00 3 5 8 sin 3 13 2

54、8 RR Rr Rr RR 此时在此时在a点：点： 0 2 22 PRPRPR 0 2RR 2 R h 120 0 00 210 (2)(2)(2)3.33 3 3 8 PRRPRRRP RP R rr R 在在b点点: 35 (2) 1 813 (1)0.33 3 23 8 RR P RP RP R R 335 (2)0.5 288132 P RP RP R RRR 由计算可见：由计算可见：应力突变发生在连接点应力突变发生在连接点a处处 121 练习题：练习题： 1 1、试用无力矩理论计算下图中所示容器承受均匀气体内、试用无力矩理论计算下图中所示容器承受均匀气体内 压压P作用时器壁中作用时器

55、壁中A点的经向应力和周向应力。已知：点的经向应力和周向应力。已知： D=1000mm，L=1000mm，X=L/2，=45，=30， a=200mm，壁厚均为，壁厚均为=10mm。 122 123 2、一具有椭圆形封头（、一具有椭圆形封头（a/b=2）和锥形底的圆筒，）和锥形底的圆筒， 尺寸如图所示，试求：尺寸如图所示，试求： （1）当承受均匀气压）当承受均匀气压P=1.0MPa时，时，A、B、C三三 点处的薄膜应力；点处的薄膜应力； （2）当椭圆形封头）当椭圆形封头a/b分别为分别为 ，3时，封头时，封头 上的薄膜应力的最大值及其位置（上的薄膜应力的最大值及其位置（a不改变）。不改变）。 2

56、 124 125 A B D r r0 126 A A/ D r ro 127 128 二、储存液体的回转薄壳二、储存液体的回转薄壳 与壳体受内压不同，壳壁上液柱静压力随液层与壳体受内压不同，壳壁上液柱静压力随液层 深度变化。深度变化。 设容器内充满液体，则顶部压力设容器内充满液体，则顶部压力 P=0P=0，或假设，或假设 容器是开口的，则无表压力。当容器装液体时，容器是开口的，则无表压力。当容器装液体时， 由于液体静压作用沿壳体同一经线上各点承受由于液体静压作用沿壳体同一经线上各点承受 的压力是不同的，随液面深度的压力是不同的，随液面深度h h而变化，液柱而变化，液柱 静压静压力为力为 h即

57、即 hP z 盛装液体的比重盛装液体的比重 g 129 12 z P rr 2 2 ( ) sin J r 22 2 11 () z z Prr rP rr 由壳体的薄膜应力公式：由壳体的薄膜应力公式： 22 22 ( ) sin2sin JQ rr 当液压作用时其两向应力为：当液压作用时其两向应力为： 130 A 0 x R H 1 H x h a.受液体静压作用的直立圆筒形贮罐受液体静压作用的直立圆筒形贮罐 131 对于圆柱壳有对于圆柱壳有r1 =，r2 =R 液柱高度液柱高度H， 2 由此可知，在深度为由此可知，在深度为h处液柱压力为处液柱压力为 )(xH 而而 dxdr 1 )(2JQ

58、 hxHP z )( 所以可直接求其轴向力所以可直接求其轴向力 132 a)支座以上：支座以上：HxH 1 无轴向力，则无轴向力，则 0)(, 0cJQ 因此：因此： o 2 1 ()() z PR rHx r b)支座以下：支座以下： 1 Hx 总轴向载荷总轴向载荷： HRQ 2 因此：因此： 2sin2 2 2 RH r Q 2 1 ()() z PR rH x r 133 c)当当x=0 时时 2 RH RH 即：即： 应力分析：由上面的计算可以看到由上面的计算可以看到 a)a)在支座以上，径向应力为零，支座以下为常量，在支座以上，径向应力为零，支座以下为常量， 2 RH 与与x 无关。

59、无关。 b)周向应力为变量，随液面深度而增加，在周向应力为变量，随液面深度而增加，在x=0处处 2与支座位置无关。与支座位置无关。 思考：思考：若液面上部存在压力，如何求？若液面上部存在压力，如何求？ 134 有一圆筒形容器，悬挂于有一圆筒形容器，悬挂于o-o处，内盛重度处，内盛重度 为为的液体。液深的液体。液深ho，圆筒半径为，圆筒半径为R，厚度，厚度 为为。如不考虑容器自重，试计算。如不考虑容器自重，试计算m-m、n- n、h-h三个截面处薄膜应力表达式，并简三个截面处薄膜应力表达式，并简 要分析，讨论底部支承圆筒与悬挂圆筒的要分析，讨论底部支承圆筒与悬挂圆筒的 受力状态有何不同。受力状态

60、有何不同。 135 过 程 设 备 设 计 136 b.b.受液体静压作用的沿平行圆支承的球形容器受液体静压作用的沿平行圆支承的球形容器 A T D G E C r h R 137 设容器内充满液体，则顶部压力设容器内充满液体，则顶部压力 P=0，液体密度为，液体密度为 角度为角度为 0 ,壁厚为壁厚为 ，此时，求轴向力，此时，求轴向力Q比较比较 )(J比较简单。比较简单。 sinRr 12 rrR )cos1 ( Rh (1 cos ) z Ph ggR 0 P 的平行圆内的平行圆内 如图：支座位于如图：支座位于 0 复杂，而求复杂，而求 138 a) a) 求求 ( )J 1 ( )(co