材力(I)第五章弯曲位移

1、材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 1 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 5- -1 梁的位移梁的位移挠度和转角挠度和转角 5- -2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 5- -3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角 5- -6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 5- -5 梁的刚度校核梁的刚度校核提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施 * 5- -4 梁挠曲线的初参数方程梁挠曲线的初参数方程 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 2 回回 顾：顾： 弯曲内力在外力作用下，梁的内力沿轴线 的变化规律。 弯曲应力在外

2、力作用下，梁内应力沿横截 面高度的分布规律。 本本 章章: : 弯曲变形在外力作用下，梁在空间位置的 变化规律。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 3 5- -1 梁的位移梁的位移挠度和转角挠度和转角 直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原 来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 4 弯曲后梁的轴线挠曲线(defle

3、ction curve)为一平 坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线 方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故 横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之 间的夹角，从而有转角方程： xfwqqtan 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 5 直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲 变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件 有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同， 所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就 是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和

4、转角则明显不同。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 (a)(b) 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 6 在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负； 顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 7 5- -2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 . 挠曲线近似微分方程的导出 在4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况 下中性层的曲率为 这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。 EI M 1 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料

5、料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 8 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还 有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产 生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h 的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有 注意：对于有些l/h10的梁，例如工字形截面等直梁，如同 在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主 要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制 作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。 EI xM x x 1 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 9 从

6、几何方面来看，平面曲线的曲率可写作 2/3 2 1 1 w w x 式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w是q = w 沿x方 向的变化率，是有正负的。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 10 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w ，正弯矩对 应于负值的w ，故从上列两式应有 由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略 去，于是得挠曲线近似微分方程 EI xM w w 2/3 2 1 EI xM w 材材 料料 力力 学学

7、 电电 子子 教教 案案 11 . 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为 后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分 常数。 xMwEI 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 EI xM w 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 12 当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有 1 dCxxMwEI 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 21 ddCxCxxxMEIw 以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。 材材 料料 力力 学学

8、电电 子子 教教 案案 13 边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如 下图所示。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 14 若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程 需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。 而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分 常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处 的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边 界条件。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料

9、料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 15 0 0 A A q 右左 右左 BB BB qq 边界条件： 连续条件： 例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 16 例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。 0 0 0 C A A q 右左 右左 右左 BB DD DD qq 解：边界条件： 连续条件： 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 17 积分法基本方法 利用积分法求梁变形的一般步骤： （1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求 支座反力，分段列弯矩方程； 分段的原则: 凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；

10、凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； 中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点； 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 18 (2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次 对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程： 再积分一次，得挠曲线方程： 1 ( )( ) d xM x dxc dxEI q 1 ( )( )xM x dxcxD EI 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 19 (3)利用边界条件、连续条件确定积分常数 积分常数的数目取决于的分段数 M (x) n 段 积分常数2n个 举例： )(xM分2段，

11、则积分常数2x2=4个 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 20 积分常数的确定边界条件和连续条件： 边界条件边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 这样的已知条件称为边界条件。 连续条件连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦 的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个 不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连 续条件。 边界条件 积分常数2n个=2n个 连续条件 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 21 积分常数的物理意义和几何意义 物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C； 即坐标原点处梁的挠度的EI

12、倍就是积分常数D。 几何意义：C转角 D挠度 (4)建立转角方程和挠曲线方程； (5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 和 及其所在截面。 o EICq o EID max q max 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 22 例题例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 23 解：解：该梁的弯矩方程为 挠曲线近似微分方程为 以x为自变量进行积分得 xlFxM xlFxMwEI 1 2 2 C x lxFwEI 于是得00 21 C

13、C， 该梁的边界条件为：在 x=0 处 ，w =00w 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 21 32 62 CxC xlx FEIw 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 24 从而有转角方程 EI Fx EI Fxl w 2 2 q 挠曲线方程 EI Fx EI lFx w 62 32 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 25 可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有 EI Fl EI Fl EI Fl ww l

14、x 362 | 333 max 22 | 222 max EI Fl EI Fl EI Fl lx qq 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 26 由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程 进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数 是有其几何意义的： 001 |qEIwEIC x 002 |EIwEIwC x 此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 27 两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于

15、零，从而有 001 |qEIwEIC x 002 |EIwEIwC x 事实上，当以x为自变量时 1 dCxxMwEI 21 ddCxCxxxMEIw 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 28 思考思考: : 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线 方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？ 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 29 例题例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移

16、材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 30 解：解：该梁的弯矩方程为 挠曲线近似微分方程为 以x为自变量进行积分得： 22 22 1 2 xlx q qxx ql xM 2 2 xlx q xMwEI 1 32 322 C xlxq wEI 21 43 1262 CxC xlxq EIw 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 31 该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0 于是有0 1262 | 0 1 44 2 lC llq EIwC lx 及 即0 24 2 3 1 C ql C， 从而有转角方程 3

17、23 46 24 xlxl EI q wq 挠曲线方程 323 2 24 xlxl EI qx w 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 32 根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相 等，且均为最大值，故 最大挠度在跨中，其值为 EI ql BA 24 3 max qqq EI qlll ll EI lq ww lx 384 5 22 2 24 2 | 4 32 3 2max 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 33 例题例题5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，

18、并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 34 解：解：约束力为 两段梁的弯矩方程分别为 为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方 程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第 一项与方程M1(x)中的项相同。 l a FF l b FF BA ， axx l b FxFxM A 0 1 lxaaxFx l b FaxFxFxM A 2 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 35 两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并

19、分别进行积分： 挠曲线近似微分方程 x l b FxMwEI 11 积分得 1 2 1 2 C x l b FwEI 11 3 1 6 DxC x l b FEIw axFx l b FxMwEI 22 2 2 2 2 22 C axFx l b FwEI 2 2 3 3 2 66 D xC axFx l b FEIw 左段梁右段梁ax 0lxa 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 36 值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含 有(x-a)的项没有以x 为自变量而是以(x-a)作为自变量进行 积分的，因为这样可在运用连续条件 w1

20、 |x=a=w2|x=a 及 w1|x=a=w2|x=a 确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而 使工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以x 为 自变量进行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 37 该梁的两类边界条件为 支座约束条件：在x=0处 w1=0，在 x=l 处 w2=0 连续条件： 在x=a处 ，w1=w2 21 ww 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 由两个连续条件得： 由支座约束条件 w1|x=0=0 得 2121 DDCC， 0 1 D 0 2 D

21、从而也有 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 38 由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有 0 6 | 2 3 3 2 lC alF b l l b FEIw lx 即 22 2 6 bl l Fb C 从而也有 22 1 6 bl l Fb C 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 39 从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下： 左段梁右段梁)0(ax )(lxa 222 11 3 1 2 xbl lEI Fb wq 222 1 6 xbl lEI Fbx w 222 2 22 3 1 2 blxax b l lEI Fb

22、wq xblxax b l lEI Fb w 223 3 2 6 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 40 左、右两支座处截面的转角分别为 lEI blFab lEI blFb xA 66 | 22 01 qq lEI alFab lxB 6 | 2 qq 当ab时有 6 max lEI alFab B qq 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 41 3 2 3 22 1 baabl x 显然，由于现在ab，故上式 表明x1a，从而证实wmax确实 在左段梁内。将上列x1的表达 式代

23、入左段梁的挠曲线方程得 3 22 1max 39 | 1 bl lEI Fb ww xx 根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax 所在 处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的 转角方程 等于零，得 0w 1 w 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 42 由上式还可知，当集中荷载F 作用在右支座附近因而b值甚小， 以致 b2 和 l2 相比可略去不计时有 EI Fbl EI Fbl w 22 max 0642. 0 39 它发生在 处。而此时 处(跨 中点C)的挠度wC为 l l x577. 0 3 1 l l x500. 0

24、 2 EI Fbl EI Fbl bl EI Fb ww lxC 22 22 21 0625. 0 16 43 48 | 3 22 1max 39 | 1 bl lEI Fb ww xx 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 43 当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角 qmax和最大挠度wmax为 EI Fl BA 16 2 max qqq EI Fl ww C 48 3 max 可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中 挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要 简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中

25、挠度代替最大挠度。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 44 思考思考: : 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠 曲线。并指出：(1) 跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值 是否接近最大挠度值？ 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 l/4l/2 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 45 MABMCD0 MBCconst 答案答案 D D 2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(1) 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 46 2、挠曲线的特征：光滑连续曲线(2) FA0 FB0 MCDconst 答案答案

26、D D AB CD 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 47 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角 当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时， 梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下， 当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处 的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截 面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加 原理(principle of superposition)。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 48 悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集

27、中力偶，分 布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及 简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附 录中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加 原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面 的挠度和转角。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 49 例题例题5-5 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面 挠度 wC 和两支座截面的转角qA 及 qB。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 (a) 解：解：此梁 wC 及qA，qB 实际上可不按叠加原理而直接 利用本教材附录表中序号13情况下的公式得出。这里

28、是 作为灵活运用叠加原理的例子，假设没有可直接利用的现 成公式来讲述的。 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 50 作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面 C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 (b) (a) 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 51 在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材 附录表中序号8的公式有 EI ql EI lq wC 768 5 384 2/5 44 1 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq B q 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq A q 第五章第五章

29、 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 C 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 52 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该 截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨 梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作 用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中序号8情况 下的公式有 38424 2/2/ 3 3 22 EI ql EI lq BA qq 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨 中截面反对称的，故有 0 2 C w C 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 53

30、 按叠加原理得 EI ql EI ql www CCC 768 5 0 768 5 44 21 384 7 38448 333 21 EI ql EI ql EI ql BBB qqq 128 3 38448 333 21 EI ql EI ql EI ql AAA qqq 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 54 例题例题5-6 试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B 的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 55 第五章第五章 梁

31、弯曲时的位移梁弯曲时的位移 解：解：为利用本教材附录中简支梁和悬臂梁的挠度和 转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁 (图c)连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力 和弯矩 应当作为外力和 外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也 应与 的正负相对应，如图b及图c中所示。 22 2 2 1 qaaqM B BB MF和 S qaF B 2 S 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 56 图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原 外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外 力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按 图

32、d和图e所示情况由本教材附录中的资料求qBq， q BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的q B和wD。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 57 )( 24 1 16 22 384 5 4 2 2 4 EI qa EI aqa EI aq www DMDqD 3 1 3 2 24 2 32 3 EI qa EI aqa EI aq BMBqB qqq 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 58 图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同， 但要注意原外伸梁的B支

33、座截面是可以转动的，其转角就是 上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|a应叠加到图b 所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA： 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 EI qa EI aq a EI qa wwwA 4 43 21 12 7 8 2 3 1 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 59 5-4 梁挠曲线的初参数方程梁挠曲线的初参数方程 . 初参数方程的基本形式 前已得到等直梁的挠曲线近似方程为 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为 后一个微分关系按q(x)向上为正导出。 xMwEI xqxFxFxM SS ， * 第五章第五章 梁弯曲

34、时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 60 为了使下面导出的挠曲线初参数方程(initial parametric equation)中除了包含与位移相关的初参数q0和w0以外，也包 含与内力相关的初参数FS0和M0，先将二阶的挠曲线近似微分 方程对x取二阶导数求得等直梁挠曲线的四阶微分方程 xqwEI 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 然后进行积分得 1S dCxxqxFxMwEI 21 2 dCxCxxqxMwEI 32 2 1 3 2 dCxCx C xxqEIwEI q 43 2 2 3 1 4 26 dCxCx C x C xxqEIw 材

35、材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 61 1S dCxxqxFxMwEI 21 2 dCxCxxqxMwEI 32 2 1 3 2 dCxCx C xxqEIwEI q 43 2 2 3 1 4 26 dCxCx C x C xxqEIw 以x=0代入以上四式，并注意到以x为自变量时上列四式中 的积分在坐标原点(x=0)处均为零，于是得 0403020S1 EIwCEICMCFC，q 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 式中，FS0，M0，q0和w0为坐标原点处横截面(初始截面) 上的剪力、弯矩、转角和挠度，它们是初参数方程中的四 个初参数。 材材 料料 力力 学学 电电 子

36、子 教教 案案 62 将积分常数C1，C2，C3，C4代入上述表达式中的后二 式即得转角和挠曲线初参数方程的基本形式： 初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件确定。 00 2 0S 3 2 dqqEIxMx F xxqEI 00 2 0 3 0S 4 26 dEIwxEIx M x F xxqEIw q 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 63 显然，如果梁上的分布荷载是满布的(分布荷载在全 梁上连续)，而且除梁的两端外没有集中力和集中力偶， 亦即荷载和内力在全梁范围内为连续函数，则可直接应用 上述两个方程。简支梁或悬臂梁受满布分布荷载

37、作用时就 属这种情况。在此条件下，当分布荷载为向下的均布荷载 时，q(x)=-q，从而有 xxxxxxx qx xq qx xq 000 4 4 0000 3 3 24 d 6 d， 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 x 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 64 例题例题5-7 试利用初参数方程求图示等直梁的跨中挠度 wC和支座B处截面的转角qB。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 x 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 65 解：解：1. 根据边界条件确定初参数 另一初参数q0需利用x=l 处挠度等于零的边界条件求 出。根据挠曲线的初参数方程有 由

38、x=0处的边界条件得： 00 2 000S wM ql F， 00 26 1 24 0 0 3 4 lEIl qlql q 从而得 EI ql 24 3 0 q 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 x 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 66 2. 列出挠曲线方程和转角方程，求所需挠度和转角 将已得到的四个初参数代入初参数方程得： 挠曲线方程 0 24 0 26 1 24 3 3 4 x ql x qlqx EIw 即 323 2 24 xlxl EI qx w 转角方程 24 0 22 1 6 3 2 3 ql x qlqx EIq 即 323 46 24 xlxl EI

39、 q q 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 67 . 一般情况的处理 这里所说的一般情况是指梁上分布荷载不连续，梁 上除两端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情 况。此时，外力(荷载和约束力)将梁分为数段，每段梁 的挠曲线方程和转角方程各不相同，但相邻两段梁在交 界处的挠度和转角仍连续。 现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 68 初参数： 0 2 0 2 0S M l alq FF A ， q00(其值未知)，w0=0 第五章第五章 梁

40、弯曲时的位移梁弯曲时的位移 情况一 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 69 转角方程： 挠曲线方程： 0 2 2 0 2 2 1 22 1 0 22 1 0 q qq EIx l alq EIx l alq EI xEIx l alq xEIx l alq EIw 0 3 2 0 3 2 1 26 1 00 26 1 0 q q 6 d 3 1 3 12 axq EI xqEIEI x a x a x a q qq 24 d 4 1 4 12 axq EIw xqEIwEIw x a x a x a x a AC段梁 （0 xa） CB段梁 （axl） 第五章第五章 梁弯曲时的位

41、移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 70 CB段梁转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于自 x=a处开始有向下的均布荷载而在AC段梁延续过来的相应 方程EIq1和EIw1中增加的项。 未知初参数q0可由 x=l 处 wB=w|x=l=0 的边界条件求 得。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 71 情况二 初参数： 0 2 2 00S M l blqb FF A ， q00(其值未知)，w0=0 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 72 AC段梁 （0 x

42、b）CB段梁 （bxl） 转角方程： 挠曲线方程： 0 2 3 0 2 000 3 1 2 2 2 1 6 0 2 2 2 1 d q q q EIx l blqbqx EI x l blqb xqEI xxx xEIx l blqbqx xEIx l blqb xqEIw xxxx 0 3 4 0 3 0000 4 1 2 2 6 1 24 00 2 2 6 1 d q q 6 d 3 1 3 12 bxq EI xqEIEI x b x b x b q qq 24 d 4 1 4 12 bxq EIw xqEIwEIw x b x b x b x b 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的

43、位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 73 CB段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于 考虑C截面(x=b)以右没有向下的均布荷载，而从由AC段 梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中减去了的那部分在C 截面以右的均布荷载产生的影响的相关项。 未知初参数q0可由 wB=w|x=l=0 的边界条件求得。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 74 情况三初参数：0 00S MFF， q00(其值未知) w00(其值未知) 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 75 C

44、A段梁(0 xc)AB段梁(cxc+l) 转角方程： 挠曲线方程： 0 2 0 2 1 2 0 2 1 0 q qq EIx F EIxFEI 00 3 00 3 1 6 0 6 1 0 EIwxEIx F EIwxEIxFEIw q q 2 1 2 12 2 1 2 cx l clF EI cx F EIEI A q qq 3 1 3 12 6 1 6 cx l clF EIw cx F EIwEIw A 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 76 AB段梁的转角和挠曲线方程中的第二项，是由于考虑 在由CA段梁延续过来的相应方程EIq1和

45、EIw1中，应将向上 的约束力在A截面(x=c)偏右截面上产生的剪力的影响包含 进去而增加的项。 未知初参数q0和w0 可由边界条件 wA=w|x=c=0 和 wB=w|x=l+c=0 求得。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 77 情况四初参数： 00 0 00 e00S w MMMFF AA ， ， q 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 78 AC段梁 (0 xd)CB段梁 (dxl) 转角方程： 挠曲线方程： xM xMEI e e1 000 q 2 e 2 e1 2 00

46、 2 1 00 x M xMEIw dxMEI dxMEIEI e1 e12 q qq 2 e 1 2 e12 2 2 1 dx M EIw dxMEIwEIw 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 79 CB段梁的转角和挠曲线方程中第二项，是由于考虑 在由AC段梁延续过来的相应方程EIq1和EIw1中，应将外力 偶矩Me在C截面(x=d)偏右截面上对应的弯矩所产生的影 响包含进去而增加的项。 在此例中，四个初参数都是已知的。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 80 思考思考: :

47、对于情况四中的等直梁，试检验由初参数方程 所求得的wB ，wC ，qC 是否符合如下关系： dlww CCB q 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 81 5- -5 梁的刚度校核梁的刚度校核提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施 . 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时， 为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满 足刚度条件(stiffness condition)： 式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠 跨比)，q为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度 条件。 l w l w l wma

48、x max qq 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 82 土建工程中通常只限制梁的挠跨比， 。在 机械工程中，对于主要的轴， ；对于传动轴还 要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角， 。 1000 1 250 1 l w 10000 1 5000 1 l w rad001. 0005. 0q 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 83 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 例题例题5-8 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择 既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知=1

49、70 MPa，=100 MPa，E=210 GPa， 。 400 1 l w 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 84 解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型 号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然 后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作 更改。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 85 1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作梁的剪力图和弯矩 图如图c和图e。最大弯矩 在距左支座0.8 m处， Mmax=62.4 kNm。梁所需 的弯曲截面系数为 36 6 3 max m10367 Pa1017

50、0 mN104 .62 M Wz 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 86 而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz36710-6 m3/2=183.5 10-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需 的Wz=183.510-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应 力，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。 超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/1703%，未超过 5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (222.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。 MP

51、a175Pa10175 m101782 mN104 .62 6 36 3 max 现加以检验： 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 87 2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各 横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为 每根20a号槽钢其横截面在中性轴一 侧的面积对中性轴的静矩，根据该号 槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下： N1069 2 kN138 2 3max,S F 3 * max, mm000104 2 mm11100 mm773mm11100mm50mm100mm73 z S 第

52、五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 88 其值小于许用切应力=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切 应力强度条件。 当然， 的值也可按下式得出： * max, z S 3 * max, mm104000 mm 2 11100 mm7mm11100mm 2 11 100mm11mm73 z S 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4 于是 MPa57.6Pa106 .57 m)107)(m10(1780 m10104N)1069()2/( 6 348- 3-63

53、 max,max,S max dI SF z z 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 89 3. 按刚度条件校核 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截 面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录序号 11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座 的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计 算公式为 可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为 EI blFb wC 48 43 22 EI alFa wC 48 43 22 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 90 于是由叠加原理可得 m1066.

54、 4 m1078012Pa1021048 mN101671 m6 . 04m4 . 23m6 . 0N1012 m9 . 04m4 . 23m9 . 0N1040 m8 . 04m4 . 23m8 . 0N1030 m4 . 04m4 . 23m4 . 0N10120 48 1 3 489 23 22223 22223 22223 22223 max EI ww C 而许可挠度为 由于wmaxw，故选用20a号槽钢满足刚度条件。 m106m4 . 2 400 1 3 l l w w 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 91 . 提高梁的刚

55、度的措施 (1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同 (E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增 大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截 面。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 92 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为 2 2 max 125. 0 8 ql ql M EI ql EI ql w 44 max 0130.

56、 0 384 5 (2) 调整跨长和改变结构的体系 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 93 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所 示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为 而且跨中挠度减小为 2 2 max 0214. 0 2 ql qa MMMM BAC EI ql EI al qa EI alq ww C 4 2 2 4 max 616000. 0 16 2 2 2 384 25 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 (a) 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 94 而此时外伸端D和E的挠度也

57、仅为 )(207000. 0 2 )2( 2 24 )2( 8 4 2 34 EI ql a EI al qa a EI alq EI qa ww ED 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 95 所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加 梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自 由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰 支座。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 96 5-6 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能 在本教材的3-6中曾讲述了等直圆杆扭转时的应变

58、能，并利用功能原理导出了密圈圆柱螺旋弹簧受压(拉)时 弹簧高度变化量的计算公式。 本节研究等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在 梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能Ve，并利用功 能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 97 等直梁在线弹性范围内纯弯曲时(图a)，其曲率 为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁 弯曲后对应的圆心角为 EI M 1 EI lM EI Mll e q 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 (a) 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 98 (b) 图b示出

59、了Me与q 的上列线性关系。图b中斜直线下的三 角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值 Me 过程中， 外力偶所作的功： 它在数值上就等于梁在纯弯曲时 的应变能： qqMMV 2 1 2 1 e 将 代入上式可得 EI lM EI Ml e q EI lM V EI lM V 2 , 2 2 2 e 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 q e 2 1 MW 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 99 梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能， 又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在5-2开始时所述， 工程中常用的梁其剪切变形对位移的影响通常很小，可略去不 计。梁在

60、横力弯曲时其长为dx的微段内的弯曲应变能为 x EI xM Vd 2 d 2 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 100 从而全梁内的弯曲应变能为 式中，M(x)为任一横截面上弯矩的表达式，亦即弯矩方程。 此式在求梁系(例如两根交叉在一起的梁)的位移等时是有 用的。 l x EI xM Vd 2 2 ll xw EI x EI wEI Vd 2 d 2 2 2 顺便指出，由于直梁横力弯曲时， ，因此上 式也可写作 xMwEI 第五章第五章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案 101 例题例题5-9