理论力学第13章

1、 理论力学 河南科技大学土木工程学院工程力学系河南科技大学土木工程学院工程力学系 任课教师：张耀强任课教师：张耀强 第第 13 13 章章 达朗贝尔原理 达朗贝尔生平达朗贝尔生平 达朗贝尔（达朗贝尔（J.dAlembert，17171783， 法国）。达朗贝尔是法国著名的法国）。达朗贝尔是法国著名的物理学家物理学家、数数 学家学家和和天文学家天文学家，他一生研究了大量课题，完，他一生研究了大量课题，完 成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最 著名的有著名的有8卷巨著卷巨著数学手册数学手册、力学专著、力学专著 动力学动力学、23卷的卷的文集文集、百科全书

2、百科全书 的序言等等。他的很多研究成果记载于的序言等等。他的很多研究成果记载于宇宙宇宙 体系的几个要点研究体系的几个要点研究中。达朗贝尔生前为人中。达朗贝尔生前为人 类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了 许多荣誉。但在他临终时，却因为教会的阻挠许多荣誉。但在他临终时，却因为教会的阻挠 而没有举行任何形式的葬礼。而没有举行任何形式的葬礼。 达朗贝尔原理达朗贝尔原理为解决动力学问为解决动力学问 题提供了题提供了另一种求解的方法另一种求解的方法。这种。这种 方法的特点是：方法的特点是：用静力学研究平衡用静力学研究平衡 问题的方法来研究动力学的不平衡问题的方

3、法来研究动力学的不平衡 问题，问题，因此这种方法也叫因此这种方法也叫动静法动静法。 由于静力学研究平衡问题的方由于静力学研究平衡问题的方 法比较简单，也易于掌握，因此动法比较简单，也易于掌握，因此动 静法在工程中被广泛使用。静法在工程中被广泛使用。 引引言言 设一质点质量为设一质点质量为m,加速度为加速度为a,作用于质点的主作用于质点的主 动力为动力为F,约束力为约束力为FN。由牛顿第二定律，有。由牛顿第二定律，有 将上式改写成将上式改写成 令令 I m Fa 13.1.1质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理 N m aFF N 0m FFa FI具有力的量纲，且与质点的质量有关，称其具有力的

4、量纲，且与质点的质量有关，称其 为质点的为质点的惯性力惯性力。它的大小等于质点的质量与。它的大小等于质点的质量与 加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。 FI m F FN a 13.1 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 即：在质点运动的任一瞬时，作用在质点即：在质点运动的任一瞬时，作用在质点 上的上的主动力主动力、约束力约束力和和假想加在质点上的假想加在质点上的 惯性力惯性力构成了构成了形式上形式上的平衡力系。这就是的平衡力系。这就是 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理。 则有则有 NI 0 FFF 应该强调指出，质点并非处于平衡应该强调指出，质点并非处于

5、平衡 状态，这样做的目的是将动力学问题转状态，这样做的目的是将动力学问题转 化为静力学问题求解。化为静力学问题求解。达朗贝尔原理与达朗贝尔原理与 虚位移原理构成了分析力学的基础虚位移原理构成了分析力学的基础。 球磨机的滚筒以匀角速度球磨机的滚筒以匀角速度w w绕水平轴绕水平轴O转动，内转动，内 装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一定高装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一定高 度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击 碎物料，如图。设滚筒内壁半径为碎物料，如图。设滚筒内壁半径为r，试求钢球的脱，试求钢球的脱 离角离角。 解：以某一尚未脱离筒

6、壁的钢球为研究对象解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象,受力受力 如图。如图。 0a 2 n arw 惯性力的大小为惯性力的大小为 O Mr w w q q Fs FN mg FI 2 In Fmamrw 钢球未脱离筒壁前钢球未脱离筒壁前,作圆周运动，作圆周运动， 其加速度为其加速度为 例例 加上惯性力后，由达朗贝尔原理加上惯性力后，由达朗贝尔原理 nNI 0:cos0FFmgFq 2 N (cos ) r Fmg g w q 这就是钢球在任一位置这就是钢球在任一位置q q 时所受的法向反力，时所受的法向反力， 显然当钢球脱离筒壁时，显然当钢球脱离筒壁时，FN0，由此可求出，由此可求出 其脱

7、离角其脱离角为为 2 arccos() r g w q O Mr w w q q Fs FN mg FI 该式表明该式表明:质点系中质点系中每个质点每个质点上作用的主动力、上作用的主动力、 约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就 是是质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理(形式形式1)。 设质点系由设质点系由n个质点组成，对每一个质点个质点组成，对每一个质点i，有，有 NI 0 ( 1,2,., ) iii FFFin 13.1.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 这样的方程共有这样的方程共有n个，代表个，代表n个平衡力系，个平衡力系， 相

8、加后仍然为一平衡力系。由静力学知，空间相加后仍然为一平衡力系。由静力学知，空间 任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和 对于任一点的主矩等于零，即对于任一点的主矩等于零，即 由于质点系的内力总是成对存在，且等值由于质点系的内力总是成对存在，且等值 、反向、共线，因此上式中、反向、共线，因此上式中不包含内力不包含内力。 由此可得：由此可得： NI 0 iii FFF NI ()()()0 OiOiOi MFMFMF 作用在质点系中所有的主动力、约束力和作用在质点系中所有的主动力、约束力和 惯性力在形式上构成平衡力系。这就是惯性力在形式上构成平衡力系。这就

9、是质点系质点系 的达朗贝尔原理的达朗贝尔原理(形式形式2)。 13.2 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 对于对于刚体这种特殊的质点系刚体这种特殊的质点系，每个质，每个质 点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成 一个力系，如果先利用静力学的力系简化一个力系，如果先利用静力学的力系简化 理论，求出惯性力系的主矢和主矩，会给理论，求出惯性力系的主矢和主矩，会给 解题带来方便，这里分别讨论解题带来方便，这里分别讨论刚体平移刚体平移、 定轴转动定轴转动和和平面运动平面运动时惯性力系的简化。时惯性力系的简化。 13.2.1 刚体作平移刚体作平移 故平移刚体的惯性力系

10、可以简化为故平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心通过质心 的合力的合力，其大小等于刚体质量与加速度的乘，其大小等于刚体质量与加速度的乘 积，方向与加速度方向相反。积，方向与加速度方向相反。 刚体作平移时，质心的加速度刚体作平移时，质心的加速度aC如图，如图， C ma IR F IR F 13.2.2 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 w w a a 工程中绕定轴转动的刚体工程中绕定轴转动的刚体 常常有质量对称平面常常有质量对称平面且该且该 平面与转轴垂直。平面与转轴垂直。 w w a a O 当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称 面的轴作定轴转动面的轴作定轴转

11、动时，惯性力系向转轴简化为时，惯性力系向转轴简化为 此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于 刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加 速度方向相反，速度方向相反，作用线通过转轴作用线通过转轴。 这个力偶的矩等于这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量 与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。 IRC m Fa IOO MJa aC O w a C FIR MIO 三种特殊情况：三种特殊情况： 1.当转轴通过质心当转轴通过质心C时时, aC0, FIR0,MIO

12、JCa a。此时惯性力系简化为一惯性力偶。此时惯性力系简化为一惯性力偶。 w a C MIO 2.当刚体作匀速转动时当刚体作匀速转动时,a a0，若转轴不过质若转轴不过质 心，惯性力系简化为一惯性力心，惯性力系简化为一惯性力FIR，且，且FIR maC，同时力的作用线通过转轴，同时力的作用线通过转轴O。 aC O w C FIR 3.当刚体作匀速转动且转轴通过质心当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时时,FIR 0，MIO0，惯性力系自成平衡力系。，惯性力系自成平衡力系。 13.2.3 刚体作平面运动刚体作平面运动 工程中工程中,作平面运动的刚体作平面运动的刚体常常有质量对常常有质量对 称平面称平

13、面,且平行于此平面运动且平行于此平面运动。当刚体作。当刚体作 平面运动时平面运动时,其上各质点惯性力组成的空其上各质点惯性力组成的空 间力系间力系,可简化为可简化为在质量对称平面内的平在质量对称平面内的平 面力系面力系。 取质量对称平面内的平面图形如图所示取质量对称平面内的平面图形如图所示,取取质质 心心C为基点，设质心的加速度为为基点，设质心的加速度为aC,绕质心转动绕质心转动 的角速度为的角速度为w w,角加速度为角加速度为a a,此时惯性力系向此时惯性力系向质质 心心C简化的简化的结果结果为为 ICC MJa FIR MIC C aC w w a a IRC m Fa 有质量对称平面的刚

14、体，平行于此平面运动有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动 时时,刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个 力和一个力偶。力和一个力偶。这个力通过质心这个力通过质心，其大小等其大小等 于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向 与质心加速度的方向相反与质心加速度的方向相反; 这个力偶的矩等于这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直刚体对过质心且垂直 于质量对称面的轴于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的的转动惯量与角加速度的 乘积，乘积，转向与角加速度相反。转向与角加速度相反。 D B A 如图所示，均质杆如图所示，均质杆AB的质量的

15、质量m40kg，长，长l4m，点，点 A以铰链连接于小车上。以铰链连接于小车上。不计摩擦不计摩擦，当小车以加速度，当小车以加速度a 15m/s2向左运动时，求杆向左运动时，求杆AB中点中点D处和铰链处和铰链A处的处的 约束力约束力(此时杆此时杆AB与与D处接触处接触)。 解：以杆为研究对象，受力如解：以杆为研究对象，受力如 图，建立如图坐标。图，建立如图坐标。 杆作平移杆作平移,惯性力的大小为惯性力的大小为FIR ma。假想地加上惯性力。假想地加上惯性力 IR ()0 cos30sin300 222 A D M lll mgFF F FIR A 30 D B 1m a a FD mg FAx

16、FAy x y 例例 由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理 IR 0sin300 xAxD FFFF 0cos300 yAyD FFFmg 代入数据代入数据, , 解之得：解之得： 617.9N 357.82N 39.47N Ax Ay D F F F D B A FIRa FD mg FAx FAy x y 于是得于是得( cos30sin30 ) D Fm ga j j O x y C B A 质量为质量为m,长为长为l的均质直杆的均质直杆AB的一端的一端A焊接于半径为焊接于半径为r的圆盘的圆盘 边缘上边缘上,如图。今圆盘以角加速度如图。今圆盘以角加速度a a绕其中心绕其中心O转动

17、。求圆盘转动。求圆盘刚刚 开始转动开始转动时，杆时，杆AB上焊接点上焊接点A处的约束力。处的约束力。 解解:以杆为研究对象以杆为研究对象,受力如图。受力如图。 22 ( ) 2 CC aaOC l r a a 将惯性力系向将惯性力系向转轴转轴O简简 化，惯性力的大小为化，惯性力的大小为 a a O r A B l a a mg aC FIR MIO FAx FAy MA 例例 圆盘圆盘刚开始转动时，刚开始转动时，=0=0 a a O r A B l22 IR ( ) 2 C l Fmam ra 2 I 2 22 22 () 1 () 124 1 () 3 OOC MJJm OC l mlm r

18、 mlmr aa a a j j O x y C B A a a mg aC FIR MIO FAx FAy MA 由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理 IR 0sin0 xAx FFFj IR 0cos0 yAy FFFmgj IIR ()0sin0 2 AAO l MMMmgFrj F 2 2 sin 4 r l r j 2 2 cos 2 4 l l r j 将已知数值代入以上三式，解之得将已知数值代入以上三式，解之得 Ax Fmra 2 Ay l Fmgma 2 11 23 A Mmglmla j j O x y C B A a a mg aC FIR MIO FAx FAy

19、MA B C AB M l C 均质杆均质杆AB长长l，重，重W，B端与重端与重G、半径为、半径为r的均质圆轮铰接。在的均质圆轮铰接。在 圆轮上作用一矩为圆轮上作用一矩为M的力偶，借助于细绳提升重为的力偶，借助于细绳提升重为P的重物的重物C。 试求重物试求重物C的加速度及固定端的加速度及固定端A处的约束力处的约束力。 解：先以解：先以轮和重物轮和重物为研究对象为研究对象,受力受力 如图。假想地加上惯性力如图。假想地加上惯性力 2 I 1 22 BB GaGr MJra grg a I P Fa g 由质点系的由质点系的达朗贝尔原理达朗贝尔原理 a M G FBx FBy MIB P FI II

20、 ()0()0 BB MMMr PFF 2() (2 ) MPr ag r GP 代入代入MIB 和和FI得得 例例 再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力 00 xAx FF I 00 yAy FFWGPF I ()0 ()()0 2 A AIB M l MWGlMMPFlr F B C A a M G FAx FAy MIB P FI W MA A 2() (2 ) Ay MrP FWGPP r GP ()2 ()() 2(2 )(2 ) A WMrPrGM MlGMGlrP GPr GP 代入代入MIB 和和FI解得解得 由质点系的由质点系的达朗贝尔原理达朗贝尔原理 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮 O均为均质物体，各重为均为均质物体，各重为P1和和P2，半径均为，半径均为R，绳子不，绳子不 可伸长，其质量不计，斜面倾角可伸长，其质量不计，斜面倾角q q ，如在鼓轮上作用，如在鼓轮上作用 一常力偶矩一常力偶矩M，试求：，试求：(1)鼓轮的角加速度？鼓轮的角加速度？(2)绳子绳子 的拉力？的拉力？(3)轴承轴承O处的约束力？处的约束力？(4)