流体力学第七章

1、第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动 7-1 7-1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 7-2 7-2 速度环量与旋涡强度速度环量与旋涡强度 7-3 7-3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 7-4 7-4 不可压缩不可压缩势流的基本求解方法势流的基本求解方法 7-5 7-5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动 7-6 7-6 平面势流的叠加平面势流的叠加 7-7 7-7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加 第三部分第三部分 二元流动二元流动 一、一、 速度分解速度分解 7-1 7-1 流体微团的运动分析流体

2、微团的运动分析 第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动 ()() Gxyzyz uuxzyzy ()() Gyzxzx vvyxzxz ()() Gzxyxy wwzyxyx 7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 流体微团的旋转和变形流体微团的旋转和变形 线变形率线变形率 角变形率角变形率 旋转角速度旋转角速度 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x x 从从xoy平面看速度分解平面看速度分解 x x v vvx x u uu BB ， y y v vvy y u uu DD ， y y v

3、 x x v vvy y u x x u uu CC ， 7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x x tx x u ty y v x u x y v y 二、线变形率二、线变形率 ：单位长度在单位时间内的伸长量：单位长度在单位时间内的伸长量 线变形率线变形率 7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 流体的特征？流体的特征？ 7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 三、角变形率三、角变形率 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B

4、uB x x ty y u tx x v t y u tg t x v tg 1. 角变形角变形 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x x 角变形角变形率率 )( 2 1 2 1 lim 0 y u x v t t z O O 2 OAO 2. 角变形率角变形率 7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 t y u t x v 四、旋转角速度四、旋转角速度 旋转角速度旋转角速度 )( 2 1 2 1 lim 0 y u x v t t z 线变形线变形率率 z w y v x u z y x 角变形角变形率率 )( 2 1 )( 2

5、 1 )( 2 1 y u x v x w z u z v y w z y x 旋转角速度旋转角速度 只有旋转角只有旋转角 速度是矢量速度是矢量 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 旋转角速度是矢量旋转角速度是矢量 222 | zyx V 2 1 wv u zyx 2 1 2 1 kji V )( 2 1 y u x v z 平面流动只有一个旋转角速度分量平面流动只有一个旋转角速度分量 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 在流场中每一点在流场中每一点 无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动 五、有旋流动和无旋流动五、有旋流动和无旋流动 流体微团是否绕通过其自身的轴旋转？流体微团是

6、否绕通过其自身的轴旋转？ 0 zyx y u x v x w z u , z v y w , 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析 例例. . 流体各个微团以流体各个微团以 u=ky，v=w=0 的速度平行于的速度平行于x 轴作平行直轴作平行直 线流动线流动, , 试确定流动是有旋还是无旋。试确定流动是有旋还是无旋。 0)( 2 1 x w z u y 流线和迹线是直线，但流场内处处有旋。流线和迹线是直线，但流场内处处有旋。 2 )( 2 1k y u x v z 0)( 2 1 z v y w x 解解 计算旋转角速度计算旋转角速度 例例 题题 速度环量：速度矢量沿路径的积分速度环量

7、：速度矢量沿路径的积分（反映运动的趋势）（反映运动的趋势） 7-2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度 0 0 例例. . 绕翼型表面的环量绕翼型表面的环量 第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动 LL vdyudx)(dsV 右手定则右手定则 规定环量符号规定环量符号 A 一、速度环量定义一、速度环量定义 二元流动二元流动: : 面积面积A A, , 边界边界L L 二、旋涡强度定义二、旋涡强度定义 AA n dA y u x v dA)(2I 三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理 A n L dA2dsV 斯托克斯定理的证明斯托克斯定理的证明? 7.2

8、 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度 数学分析中的斯托克数学分析中的斯托克斯斯公式在平面问题中的应用公式在平面问题中的应用 AL dxdy y P x Q QdyPdx)( 令令 P=u，Q=v 即有即有 A z L dxdyvdyudx2)( 斯托克斯定理斯托克斯定理 )( 2 1 y u x v z 7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度 例例 不压缩流体平面流动的速度分布为不压缩流体平面流动的速度分布为u= 6 y，v=8x。求绕圆。求绕圆 x2+y2=1 的环量。的环量。 积分路径在圆积分路径在圆r =1=1上，用极坐标上，用极坐标 LL xdyydxvdyud

9、x)86()( 解解. . 由环量定义求由环量定义求 sin ,cosyx 2 0 2 0 )(sincos8)(cossin6dd cos8sin6 2 0 2 2 0 2 dd 例例 题题 14| )2sin 4 1 2 (2|6 2 0 2 0 7)( 2 1 y u x v z 1422 2 rdA z A n 代入斯托克斯代入斯托克斯公式得公式得 解法二解法二: : 利用斯托克斯定理利用斯托克斯定理 由由 u= 6y，v=8x 得得 A n L dA2dsV 例例 题题 7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度 解解 由由 r= r0 处速度连续，速度分布写为处速度连续，

10、速度分布写为 0 2 0 0 , , rr r r v rrrv 涡核涡核 如刚体旋转如刚体旋转 自由涡自由涡 例例. . 已知龙卷风流场速度分布已知龙卷风流场速度分布 v = r， r r0，v = r02/r DACDBCAB 0 1 1 2 0 2 2 2 0 r r r r r r 例例 题题 自由涡是无旋流动自由涡是无旋流动 7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度 第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动 旋涡产生的原因？ z 旋涡诱发的速度场？ 理想流体中 的旋涡运动 7-3 7-3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 定义涡量

11、 旋涡 大尺度流体团的强烈旋转运动 从涡量场出发研究旋涡运动 有时比直接解运动方程更方便; 有旋运动不一定表现为旋涡运动; 问题: 一、一、涡线和涡管涡线和涡管 二、开尔文定理二、开尔文定理 三、三、旋涡运动的生成旋涡运动的生成 2 自然界和工程中的旋涡流动自然界和工程中的旋涡流动 例：绕流圆柱体例：绕流圆柱体 Re 100 5 5 ReRe 4040 一对稳定的对称旋涡一对稳定的对称旋涡 ReRe 4040 交替脱落的旋涡交替脱落的旋涡 周期性旋涡脱落（周期性旋涡脱落（卡门涡街）卡门涡街） 7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 ds 涡线上各流体质点的涡量方向与该曲线相切涡线

12、上各流体质点的涡量方向与该曲线相切 一、涡线和涡管一、涡线和涡管 7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 ),(),(),(tzyx dz tzyx dy tzyx dx zyx 涡管涡管 （截面上）的涡通量（截面上）的涡通量旋涡强度旋涡强度 1. 涡线的微分方程涡线的微分方程 A ndA 2I LL wdzvdyudx)(dsVI 斯托克斯定理斯托克斯定理 7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 2. 涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理 (Helmholtz定理定理) 同一涡管上各截面的旋涡强度相等。同一涡管上各截面的旋涡强度相等。 12 d d A AAV AV

13、n 12 dd AA AA nn 0 v 7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 封闭流体线的环量的时间变化率：封闭流体线的环量的时间变化率： A n L dA2dsV 斯托克斯定理斯托克斯定理 L wdzvdyudx dt d dt d )( 封闭流体线的环量随时间变化的条件？封闭流体线的环量随时间变化的条件？分析理想流体中产生分析理想流体中产生涡量涡量的原因的原因 涡管截面上的旋涡强度如何变化涡管截面上的旋涡强度如何变化? 7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 二、开尔文定理二、开尔文定理 对流体线的积分求导可移入积分号内进行对流体线的积分求导可移入积分号内进

14、行 L wdzvdyudx dt d dt d )( L dt dz wd dt dy vd dt dx uddz dt dw dy dt dv dx dt du )()()()( 流体线的速度和线元长度随时间变化，方程右边为流体线的速度和线元长度随时间变化，方程右边为 ) 222 ( ) 1 () 1 () 1 ( 222 wvu d dz x p fdy x p fdx x p f dt d L zyx 引入理想流体运动方程引入理想流体运动方程 7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 密度只是压强的函数密度只是压强的函数 不可压缩不可压缩 P=p/ 等熵等熵 如果质量力有势（

15、力势函数如果质量力有势（力势函数 ） 如果是正压流体（存在压力函数如果是正压流体（存在压力函数 P ) dpdP 1 0)( L Pd dt d z f y f x f zyx , , 若若 、P是单值函数，是单值函数，则有则有 重力场重力场 = gz ) 1( p P 7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 111 ()()() xyz L dppp fdxfdyfdz dtxyz 理想、正压流体在有势质量力理想、正压流体在有势质量力的作用下运动时，沿沿 封闭流体线封闭流体线的速度环量在运动过程中不随时间变化。 开尔文定理开尔文定理 例例: : 初始无旋的不可压、理想流动在重力

16、场永远无旋。初始无旋的不可压、理想流动在重力场永远无旋。 旋涡旋涡 生成生成 原因原因 1 1、粘性，特别是壁面的无滑移条件；、粘性，特别是壁面的无滑移条件； 2 2、非正压性流体，例如大气密度分层；、非正压性流体，例如大气密度分层； 3 3、无势质量力场，例如地球自转引起的哥氏力；、无势质量力场，例如地球自转引起的哥氏力； 4 4、流场中的强间断面（如激波）。、流场中的强间断面（如激波）。 7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 三、三、旋涡运动的生成旋涡运动的生成 第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动 7-4 7-4 不可压缩不可压缩

17、势流的基本求解方法势流的基本求解方法 一、速度势函数及势流一、速度势函数及势流 是以下命题的充分必要条件：存在某一函数是以下命题的充分必要条件：存在某一函数 ，使，使 无旋流动又称有势流动无旋流动又称有势流动 无旋流动无旋流动 y u x v x w z u , z v y w , uvw xyz ， 不可压缩流体的有势流动不可压缩流体的有势流动（ 势函数）势函数） 0 uvw xyz 222 222 0 xyz + (1) (1) 不可压缩不可压缩无旋无旋流动势函数满足拉普拉斯方程流动势函数满足拉普拉斯方程 速度势函数的主要性质速度势函数的主要性质 (2) (2) 任意曲线的速度环量等于其两

18、端速度势函数值之差任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差 0 2 2 2 2 yx B A B A AB vdyudx)(dsV AB B A d 7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法 二、不可压缩流体的平面势流二、不可压缩流体的平面势流 y v x u , 0 y v x u 0 2 2 2 2 yx 例例. 不可压缩流体平面流动的速度势为不可压缩流体平面流动的速度势为 = x2-y2，求点，求点 （2，1.5）处速度）处速度V 的大小。的大小。 4222 x x u 35 . 122 y y v smvuV/5 22 解解 由速度势的定义求出由速度势的定义求出

19、 例例 题题 y v x u 三、三、不可压缩流体平面运动的不可压缩流体平面运动的流函数流函数 不可压缩流体的连续性条件不可压缩流体的连续性条件 流线方程流线方程 0vdxudy x v y u , （流函数（流函数 ） Cd , 0 等流函数线就是流线等流函数线就是流线 7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法 是以下命题的充分必要条件：存在某一函数是以下命题的充分必要条件：存在某一函数 ，使，使 0 2 2 2 2 yx x v y u , 0 y u x v 1. 不可压缩流体的平面有势流动不可压缩流体的平面有势流动 2. 流函数的主要性质流函数的主要性质 (2) (

20、2) 平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线 的流函数值之差。的流函数值之差。 (1) (1) 不可压缩有势流动的流函数满足拉普拉斯方程不可压缩有势流动的流函数满足拉普拉斯方程 0 2 2 2 2 yx l vdxudyQ 12 l d 7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法 等势线和流线组成的正交流网等势线和流线组成的正交流网 4. 4. 和和 的关系的关系 等势线族等势线族 (x, y)=C 和流线族和流线族(x, y)=C 互相正交互相正交 xyyx , 0 yyxx 7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的

21、基本求解方法 例例. . 不可压缩平面流动不可压缩平面流动 u =x 4y，v = y 4x （1 1）证明流动满足连续性方程并求流函数；）证明流动满足连续性方程并求流函数； （2 2）若流动无旋，试求速度势的表达式。）若流动无旋，试求速度势的表达式。 由速度积分求流函数：由速度积分求流函数：yx y u4 )(2)4( 2 xfyxydyyx 解解. .（1 1）用连续性方程）用连续性方程 积分常数包含参数积分常数包含参数 x，用已知，用已知v 确定确定 f(x) v x x x f 4 Cxxf 2 2)( 22 22yxyx 令令 (0, 0)=0 0 y v x u 验证不可压缩流动验

22、证不可压缩流动 例例 题题 )4(xy x f y （2）代入）代入0)( 2 1 y u x v 由速度势定义由速度势定义yx x u4 )(4 2 1 )4( 2 ygxyxdxyx 令令 (0, 0)=0 得得 22 2 1 4 2 1 yxyx 分别对分别对x、y 积分积分 yx y v 4 )( 2 1 4)4( 2 xkyxydyyx 验证为无旋流动（有势）验证为无旋流动（有势） , 0 V Q r 2 sin 2 Q rV Q 过驻点的流线方程过驻点的流线方程 V Q r 2 , )( 2 V Q y 速度速度 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 二、螺旋流二、螺旋流 r Q

23、r Q ln 22 2 ln 2 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 点涡与点汇的叠加点涡与点汇的叠加 三、均匀流绕圆柱体的无环量流动三、均匀流绕圆柱体的无环量流动 偶极子流和均匀来流的叠加偶极子流和均匀来流的叠加 绕绕圆柱流线圆柱流线 速度分布速度分布 压强分布压强分布 绕圆柱环量绕圆柱环量 升力、阻力升力、阻力 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 （2）位于原点，与）位于原点，与x轴反向的偶极子流的轴反向的偶极子流的 、 （1）沿）沿x轴方向的均匀流的轴方向的均匀流的 、 cos 2 r M sin cos rV rV sin 2 r M 1. 1. 势函数和势函数和流函数流函数叠加叠

24、加 z M zW 2 )(复势复势 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 偶极子流和均匀流叠加偶极子流和均匀流叠加 sin) 2 ( cos) 2 ( r M rV r M rV 通过壁面的流线通过壁面的流线: 直线直线 y=0 和圆和圆r = r0 V M r 2 2 0 )1 ( 2 2 0 r r yV 流函数可写为流函数可写为 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 偶极子流和均匀流叠加偶极子流和均匀流叠加 0 v 2. 绕流圆柱的绕流圆柱的速度分布速度分布 cos)1 ( 2 2 0 r r V r vr 取取r r0 的流函数为绕流圆柱解的流函数为绕流圆柱解 ! ! sin)1 (

25、2 2 0 r r V r v 圆柱表面的速度分布圆柱表面的速度分布 0 sin2 0 drV sin2 Vv 3. 沿圆柱表面的速度环量沿圆柱表面的速度环量 0 r v Vv Vv2 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 sin)1 ( 2 2 0 r r r V 偶极子流和均匀流叠加偶极子流和均匀流叠加 )(1 ( 2 1 2 2 V v Vpp 4. 沿圆柱表面的压强分布沿圆柱表面的压强分布 2 2 sin41 2 1 V pp C p 引入压强系数定义得引入压强系数定义得 )sin41 ( 2 1 22 Vpp FD FL 2 0 0 cosdrpFD 5. 阻力阻力(平行于平行于V

26、)、升力、升力(垂直于垂直于V ) 2 0 0 sindrpFL 0 D F 0 L F 均匀流绕圆柱体无环量流动均匀流绕圆柱体无环量流动 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 z iz r zVWln 2 )( 2 0 四、均匀流绕圆柱体有环量流动四、均匀流绕圆柱体有环量流动 r r r rVln 2 sin)( 2 0 2 cos)( 2 0 r r rV V 1. 1. 绕圆柱流的势函数和流函数绕圆柱流的势函数和流函数 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 r v r vr 1 0 2 sin2 0 r Vv vr 2. 2. 绕流圆柱的绕流圆柱的速度分布速度分布 圆柱表面的速度分布圆柱

27、表面的速度分布 rr r Vv r r Vvr 2 sin)1 ( cos)1 ( 2 2 0 2 2 0 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动 3. 3. 驻点位置驻点位置 0 0 , 4 sinrr Vr 驻 （2） =4 r0V ，一个驻点，一个驻点 （3） 4 r0V 2 0 2 ) 4 ( 4 , 2 3 r VV r （1）04 r0V ，两驻点，两驻点 =3/2， r= r0 rr r Vv r r Vvr 2 sin)1 ( cos)1 ( 2 2 0 2 2 0 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动 库塔库塔

28、- -儒柯夫斯基定律儒柯夫斯基定律 2 2 ) 4 sin2( 2 1 r VVpp 0 D F 2 0 0 sindrpFL 4. 沿圆柱表面的压强分布沿圆柱表面的压强分布 5. 阻力、升力阻力、升力 VFL 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加 绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动 例例. 圆柱体在水中的移动速度圆柱体在水中的移动速度V0=15m/s，半径，半径r0=1m，顺时针方，顺时针方 向环量向环量 =94m2/s。求圆柱体上驻点的位置、流体作用在圆柱体。求圆柱体上驻点的位置、流体作用在圆柱体 上力的大小和方向。上力的大小和方向。 (相对速度相对速度V = 15m/s) )(4 sin

29、0 Vr 驻 015 ,30 , 5 . 0sin 驻驻 VFL NFL 6 1041.194151000 作用力的方向垂直向下作用力的方向垂直向下 解解. 均匀流绕圆柱体有环量流动均匀流绕圆柱体有环量流动 例例 题题 sinrV 例例. . 已知平面势流的流函数，问绕流图案特征已知平面势流的流函数，问绕流图案特征。 r r rln50sin 40 sin10 rln 2 sin 2 r M 这是均匀流绕圆柱体的有环量流动，其中这是均匀流绕圆柱体的有环量流动，其中 直线流直线流 点涡流点涡流 偶极子流偶极子流 V =10(m/s ) =100 (m2/s) 逆时针方向逆时针方向 r0=2 (m

30、) V M r 2 2 0 解解. 均匀流绕圆柱体有环量流动均匀流绕圆柱体有环量流动 例例 题题 第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动 7-7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加 轴对称流动轴对称流动 流场中存在对称轴流场中存在对称轴 以轴为心的圆周切向速度为零以轴为心的圆周切向速度为零 各物理参数沿此圆周不变。各物理参数沿此圆周不变。 平面流动和轴对称流动都是平面流动和轴对称流动都是二元流动二元流动 用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）用柱坐标系或者球坐标系（参考附录） 22 2 22 1 0 rrrz 势函数势函数

31、22 2 22 1 D0 rrrz 斯托克斯流函数斯托克斯流函数 用柱坐标系用柱坐标系( , , ) rr vv r z t( , , ) zz vv r z t r v r z v z 1 r v rz 1 z v rr 7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加 连续性方程连续性方程 ()() 0 rz rvrv rz 0 rz vv zr 无旋条件无旋条件 一、基本的轴对称势流一、基本的轴对称势流 (1) 均匀直线流均匀直线流 积分得速度势函数和流函数积分得速度势函数和流函数 用柱坐标用柱坐标 ，z是轴对称轴，各物理参数不随是轴对称轴，各物理参数不随 变

32、变 化化 ),(zr 0 r vv z vV V z 2 1 2 V r 7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加 用柱坐标系用柱坐标系 r v r z v z 1 r v rz 1 z v rr 7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加 (2) 空间点源空间点源(汇汇)流流 22 4 () R Q v rz 3/222 22 22 sin 4 () 4 rR QrrQ vv r rz rzrz 3/222 22 22 cos 4 () 4 zR QzzQ vv z rz rzrz 22 0 1 4 () Q rzz 22 1 4 Q rz 空间点源在空间点源在z0： 空间点源的速度势函数空间点源的速度势函数 柱坐标系柱坐标系 M(r,z) 7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加 0 22 0 4 () zzQ rzz 比较平面点源和空间点源的速度势函数和流函数比较平面点源和空间点源的速度势函数和流函数 22 4 Qz rz 22 3/2 4 () z rzQ rv r rz 空间点源空间点源(汇汇)流的流函