初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项

1、初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=R2，圆心角是1的扇形面积等于圆面积的，圆心角是n度的扇形面积等于圆的面积的，扇形的弧长等于l=,S扇=lR。二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB的面积S弓形=S扇性AOB-SAOB 弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB的面积S弓形= S扇性AOB+SAOB注：当弓形所含的弧是劣弧

2、时如甲图所示，弓形AmB的面积S弓形=S扇性AOB-SAOB 当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB的面积S弓形= S扇性AOB+SAOB 当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S弓形=S圆如图：半径OA=6cm,C为OB的中点，AOB=120，求阴影部分面积S。 （右：乙图） 解：由图形可知，S阴影ABC=S扇性ABO-SACO，而S扇形ABO=12，SACO=63sin60=，所以S阴影ABC=()cm2。 2、割补法 凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求

3、解的方法是经常用到的。如图：O中的弦AC=2cm，圆周角ABC=45,求图中阴影部分的面积。（部分与整体） 解：做O的直径AB1，则连结OC、B1C，ACB=90，B=B1，AB1=，OA=,SAOC=1,S扇形AOC=,S阴影=S扇形AOC-SAOC=-1 例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN与小圆相切,D为切点，且MNAB，MN=a，ON，CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积。 解：取MN的中点为E，连结OE，OEMN，且EN=MN=a，D为切点，CDMN,又MNAB，OED=EDC=DCO=90，四边形OEDC是矩形，OE=CD，在RTOEN中，ON2-OE2=EN2=(a)2=a2，S

4、阴影=SO- SC= ON2-CD2=(ON2-CD2)= (ON2-OE2)= a2=例3、如图在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以A为圆心，AD为半径画弧，弧交BC于F，交AB的延长线于E，求阴影部分面积。解：在RTABF中，AB=1，AF=AD=2，sinFAB=,FAB=,所求面积S=S扇形AEF-SABF=答：所求阴影部分面积是。练习：1、如图同心圆中，两圆半径分别为2和1，AOB=120，则阴影部分的面积为（ ）A、 B、 C、 D、4 2、如图在平行四边形ABCD中，BDAD,以BD为直径作圆，交AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（

5、 ）A、 B、 C、 D、 3、如图设计一个商标图案（图中阴影部分），矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8，以点A为圆心，AD为半径作圆，则商标图案的面积等于（ ）A、 B、4+6 C、3+8 D、3+6 4、如图,正方形ABCD的边长为a，以A为圆心，AD为半径作弧BD，又以AD为直径在正方形内作半圆，则曲线ABDA所围成的阴影面积为 。 5、一个正方形有一个内切圆和一个外接圆，则这两个圆的面积的比为 。 6、如图：在RtABC中，B=90，AB=BC=4cm，以AB为直径的圆交AC于D，求图中阴影部分面积。 7、如图：O的半径OAOB，且OA=2，C为OB的中点，过C点作OA的平行线交

6、弧AB于点D，求图中阴影部分的面积。3、容斥原理： 有些组合图形可以根据容斥原理来解答。下图中，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，求图中阴影部分的面积。解：这道题可以用容斥原理来解答：S阴=S扇形ABE+S扇形ADF-S长方形ABCD = =16.82（平方厘米）如图O内切正ABC于点D、E、F，分别以A、B、C为圆心，AD长为半径作弧，已知正ABC的边长为a，求图中阴影部分的面积。 解：图中阴影部分的面积为S阴=SO+3S扇形ADF-SABC=例3：如图，分别过边长为a的正ABC的每两个顶点和中心向三角形内作弧，求阴影部分的面积。 解：图中阴影部分面积S阴=3S弓形AOB-SABC=-

7、= 练习：1、如图，在直角三角形ABC中。C=90，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径做半圆，则图中阴影部分面积为（ ）A、 B、 C、 D、2、如图正方形ABCD的边长为2cm，分别以A、C为圆心，此正方形边长为半径画弧，两弧围成的阴影部分面积是（ ） 图(1) A、 B、 C、 D、3、等腰直角三角形直角边AC=8，求图中阴影部分的面积。4、如图：正方形边长为4，求图中阴影部分的面积。4、平移法例1、如图，已知扇形AOB的圆心角为60，半径为6，C、D分别是弧AB的三等分点，则图中阴影部分面积为 。分析与解：C、D为弧AB的三等分点，所以三段弧所对的圆心角相等，所以，OC、OD所分

8、成的三个扇形面积相等，所以可以平移到一个扇形中，于是阴影部分面积等于。计算下图中阴影部分面积 解：把长方形分成两个相等的正方形，将右边正方形中的阴影部分向左平移，阴影部分正好是一个正方形，如右图所示，所求阴影部分的面积就是该正方形的面积。6*6=36平方厘米。=5、等积转化特征：同底（等底）等高的两个三角形面积相等。 同高（等高）等底的两个三角形面积相等。如图：在RtABC中，AC=BC，DEF的圆心为点A，若曲边形BDE与CEF的面积相等，求AD：DB的值。 解： SABC=SBDE+SADEC S扇形ADF=SECF+SADEC SBDE=SCEF SABC=S扇形ADF 设：AC=BC=

9、1，则AB=，所以 例2、如图已知半圆的直径BC=10cm，AB=AD，ACD=35，则图中的阴影部分面积等于。 解：连结OA、OD，AB=AD，弧AB=弧AD，2=ACD，又ACD=352=35度，又AO=OC，1=2=35，1=ACD，AO=DC,SAOD=SADC ,S阴影=S扇形OCD=例3：如图已知半圆的直径AB=12cm，点C、D是这个半圆的三等分点，求弦AC、AD和弧CD围成的阴影部分的面积。 解：因为C、D为半圆的三等分点，所以弧AC=弧CD=弧BDAB， S阴影=S半圆-SAOD-S扇形OBD=S半圆-SAOC-S扇形OBD=练习1、如图在以AB为直径的半圆上，过B作半圆的切线BC，已知AB=BC=a，连结AC交半圆于D，则图中阴影部分的面积是？ 2、下图中等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，阴影部分甲与乙的面积相等，求扇形AEF所在的圆的面积。强化训练BBA2548BBA7如图，A是半径为2的O外一点，OA4，AB