普通物理学第五版第15章振动答案讲解

1、这里是普通物理学第五版这里是普通物理学第五版 1、本答案是对普通物理学第五版第十五章、本答案是对普通物理学第五版第十五章 的答案，本章共的答案，本章共6节内容，习题有节内容，习题有37题，题， 希望大家对不准确的地方提出宝贵意见希望大家对不准确的地方提出宝贵意见 。 2、答案以、答案以ppt的格式，没有的格式，没有ppt的童鞋请自的童鞋请自 己下一个，有智能手机的同学可以下一己下一个，有智能手机的同学可以下一 个软件在手机上看的哦，亲们，赶快行个软件在手机上看的哦，亲们，赶快行 动吧。动吧。 15-1 质量为质量为10g的小球与轻弹簧组成的的小球与轻弹簧组成的 系统，按系统，按 的规律而振动，

2、式中的规律而振动，式中t以以s为单位为单位,试求试求: (1)振动的角频率、周期、振幅、初相、振动的角频率、周期、振幅、初相、 速度及加速度的最大值速度及加速度的最大值; (2)t=1s、2s、10s等时刻的相位各为多等时刻的相位各为多 少少? (3)分别画出位移、速度、加速度与时间分别画出位移、速度、加速度与时间 的关系曲线。的关系曲线。 3 0.5cos(8xmt) += A=0.5m 3 0.5cos(8xmt) += = 3 = 8 =25.12 s-1 0.15=12.6m/s m v =A8 2 m a =A () =316m/s=8 2 0.5 2 t =1s ()+= + t

3、8 3 25 3 ()+=+t 3 49 3 82t =2s ()+=+t 3 241 3 810t =10s T0.25s 2 = = 解：解： at vt xt v a x to xt曲线曲线 3 = 5 6 = vt曲线曲线 4 3 = at曲线曲线 15-2 有一个和轻弹簧相联的小球，有一个和轻弹簧相联的小球， 沿沿x 轴作振幅为轴作振幅为A的简谐振动，其表式用余的简谐振动，其表式用余 弦函数表示。若弦函数表示。若t =0 时，球的运动状态为时，球的运动状态为: (1)x0=-A; (2)过平衡位置向过平衡位置向x 正方向运动正方向运动; (3)过过x=A/2处向处向 x 负方向运动负

4、方向运动; 试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写 2 A (4)过过处向处向 x 正方向运动正方向运动; 出振动表式。出振动表式。 3 = A(3) x A = (1) x 3 2 = A (2) x 7 4 = A (4) x 15-3 一质量为一质量为10g的物体作简谐振动，的物体作简谐振动， 其振幅为其振幅为24cm，周期为，周期为4.0s，当当 =0时，时， 位移为位移为+24cm。求求: (1) t =0.5s时，物体所在位置时，物体所在位置; (2) t =0.5s时，物体所受力的大小与方向时，物体所受力的大小与方向; (3)由起始位量运动由

5、起始位量运动x = l2cm处所需的最少处所需的最少 时间时间; (4)在在x=12cm处，物体的速度、动能以及处，物体的速度、动能以及 系统的势能和总能量。系统的势能和总能量。 t =0 2 T = 4 =1.57s-1= 2 2 = 0 v 0= x 0= A =0.24m tcosx =0.24 2 t =0.5s ()cosx =0.24 2 0.5 cos =0.240.25 =0.17m 2 2 =0.24 振动方程为：振动方程为： A=0.24m 解：解： 0 = = fma 2 cos( ) a = 0.5A 2 =0.17 1 4 2 =0.419m/s2 = 10 10-

6、3(-0.419) = -0.41910- 3 N =0.5st () cos =0.24 0.12 2 t = 1 () cos 2 t 2 = 2 t 3 2 = t 3 2 s =-0.326m/s A vsin = () 2 t0.24 = 3 2 sin 1 2 Emv k 2 =1010-3(0.326)2 1 2 =5.3110- 4 J 1 2 Ekx P 2 = 1 2 m 2 = x 2 =1010-3 1 2 (0.12)2 () 2 2 =1.7710- 4 J Ek =E k Ep+=7.0810- 4 J 15-4 一物体放在水平木板上，此板沿一物体放在水平木板上，

7、此板沿 水平方向作简谐振动，频率为水平方向作简谐振动，频率为2Hz，物体与，物体与 板面间的静摩擦系数为板面间的静摩擦系数为050。问。问: (1)要使物体在板上不致滑动，振幅的最要使物体在板上不致滑动，振幅的最 大值为若干大值为若干? (2)若令此板改作竖直方向的简谐振动，若令此板改作竖直方向的简谐振动， 振幅为振幅为0.05m，要使物体一直保持与板接触，要使物体一直保持与板接触 的最大频率是多少的最大频率是多少? mgm =mamA m 2 = m g A 2=m m 22 2 () =0.031m= 0.59.8 (1)为使物体和板不发生相对滑动，由最为使物体和板不发生相对滑动，由最 大

8、静摩擦力带动物体和板一起振动大静摩擦力带动物体和板一起振动,所以有：所以有： 为使物体不脱离板必须满足为使物体不脱离板必须满足 g A 2 = m g A = m n 2 1 g A =2.2Hz 2 1 9.8 = 5.010-2 N mg Nmg =ma N 0 (2)物体作垂直振动时有：物体作垂直振动时有： N =0 在极限情况时有：在极限情况时有： mg=mam mA 2 = m 15-5 在一平板上放质量为在一平板上放质量为m =1.0kg的的 物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周 期为期为T =O.5s，振幅，振幅A=O.O2m。试求试求:

9、(1)在位移最大时物体对平板的工压力；在位移最大时物体对平板的工压力； (2)平板应以多大振幅作振动才能使重物平板应以多大振幅作振动才能使重物 开始跳离平板。开始跳离平板。 m =1.0(9.8+3.16) amA 2 =Nmg=mam (1)当物体向上有最大位移时有：当物体向上有最大位移时有： ()mNg =A 2 () = 2 0.5 1.09.8 2 0.02 Nmg =mam + ()mNg =A 2 =12.96N N mg x o =6.64N 当物体向下有最大位移时有：当物体向下有最大位移时有： amA 2 = (2)当物体向上脱离平板时有：当物体向上脱离平板时有： mg=mA

10、2 g = A 2 () =0.062m= 9.8 4 2 N mg x o 15-6 图示的提升运输设备，重物的质图示的提升运输设备，重物的质 量为量为1.51O4kg，当重物以速度，当重物以速度v = l5 m/min匀速下降时，机器发生故障，钢丝匀速下降时，机器发生故障，钢丝 绳突然被轧住。此时，绳突然被轧住。此时， 钢丝绳相当于劲度系钢丝绳相当于劲度系 数数 k = 5.781O6 N/m 的弹簧。求因重物的的弹簧。求因重物的 振动而引起钢丝绳内振动而引起钢丝绳内 的最大张力。的最大张力。 m =2.21105 N x0=0v0=0.25m/s A 2 + = x0 v0 2 2 =

11、v0 k = m Tm 2 mg = A + Tm 2 mg = A +m mg = v0 + mg = mk v0 =1.51049.8+0.25 5.781061.5104 t =0： 解：取物体突然停止时的位置作为坐解：取物体突然停止时的位置作为坐 标的原点（物体的静平衡位置），并以此标的原点（物体的静平衡位置），并以此 时刻作为计时零点。时刻作为计时零点。 mg T 15-7 一落地座钟的钟摆是由长为一落地座钟的钟摆是由长为 l 的轻的轻 杆与半径为杆与半径为 r 的匀质圆盘组成，如图所示，的匀质圆盘组成，如图所示， 如摆动的周期为如摆动的周期为1s，则，则 r 与与 l 间间 的的

12、关系如关系如 何何? r l qMmgrlsin()+ = Jrm 2 2 + = 1 2m r l ( )+ qsinq 2 d MJ= q dt 2 qrmgrml 2 2 ()+ = 1 2m r l ( )+ 2 dq dt 2 qmgr l ( )+ +q r grl 22 () + + =0 2 r l ( )+ 2 dq dt 2 2 解：解： r l q mg +q r grl 22 () + + =0 2 r l ( )+ 2 dq dt 2 2 = r grl 22 () + +2 r l ( )+2 = r grl 22 () + +2 r l ( )+2 r 2 =0

13、gl + 6 2 l 2 4 2 lr 2 8 gr + 可得可得 r 与与 l 的关系式：的关系式： = 2 T 由：由： =1 +q 2 =0 2 dq dt 2 比较上两式得到：比较上两式得到： 15-8 如图所示，两轮的轴互相平行，相如图所示，两轮的轴互相平行，相 距为距为2d，其转速相同，转向相反，将质量为，其转速相同，转向相反，将质量为 m 的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的 摩擦系数均为摩擦系数均为m ，当木板偏离对称位置后，当木板偏离对称位置后， 它将如何运动它将如何运动?如果是作简谐振动，其周期如果是作简谐振动，其周期 是多少是多少? 2

14、d 12 C . Ngm 1+= N 2 xd()+N 1=N2 xd() f m1=N1 + = N 2 xd()gm 2d xd()gm 2d = N 1 xd()gm 2d = f 1 m + =f2 xd()gm 2d m C . o . N 1 N 2 f 1 f 2 gm x f m2=N2 解：解： 从上述四式解得：从上述四式解得： xd()gm 2d = f 1 m + =f2 xd()gm 2d m d = f2f1m x dt 2 2 d =m x dt 2 2 + xd()gm xd()gm 2d2d mm +=0 g d m x dx dt 2 2 = T 2 = g

15、d m 2 = 2 g d m 15-9 如图所示，轻质弹簧的一端固定，如图所示，轻质弹簧的一端固定， 另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量 为为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下 自由振动。已知弹簧的劲度系数为自由振动。已知弹簧的劲度系数为k,滑轮半滑轮半 径为径为R 转动惯量为转动惯量为J。 (1)证明物体作简谐振动证明物体作简谐振动; (2)求物体的振动周期；求物体的振动周期； (3)设设t = 0时，弹时，弹 簧无伸缩，物体也无簧无伸缩，物体也无 初速，写出物体的振初速，写出物体的振 动表式。动表式。 M k

16、m R =0 T 2 RT 1 Tbk 2= T 1= Tbk 1= 解：解： 在静平衡时有：在静平衡时有： T 2 T 1 g T 2 m J k m x o b 静平衡位置静平衡位置 gm =0 T 2 = gm b k Tbk 1 () + = x aJR=T2RT1 取静平衡位置为坐标原点取静平衡位置为坐标原点 J k m x o b 静平衡位置静平衡位置 x 在任意位置时有：在任意位置时有： T 2 T 1 g T 2 m a 2 d x =aR 2 dt J 2 + + 2 d x =02 dt kx mR = J 2 + k mR =0t x = gm b k 0 = A gm

17、k + J 2 + k mR cocx = gm k t v =0 0 由初始条件：由初始条件： = 得：得： 振动方程为：振动方程为： = J 2 + k mR + = 2 J 2 k mR = T 2 15-10 如图所示，绝热容器上端有一截面积如图所示，绝热容器上端有一截面积 为为S 的玻璃管，管内放有的玻璃管，管内放有 一质量为一质量为m 的光滑小球的光滑小球 作为活塞。容器内储有体积为作为活塞。容器内储有体积为V、压强为、压强为p 的某种的某种 气体，设大气压强为气体，设大气压强为p0 。开始时将小球稍向下移，。开始时将小球稍向下移， 后放手，则小球将上下振动。如后放手，则小球将上下

18、振动。如 果果 测出小球作简测出小球作简 谐振动时的周期谐振动时的周期 T，就可以测定气体的比热容比热，就可以测定气体的比热容比热 容比容比。试证明。试证明 ： (假定小球在振动过程中，假定小球在振动过程中， 容器内气体进行的过程可看容器内气体进行的过程可看 作准静态绝热过程作准静态绝热过程) 4 Vm p 2 = 2S4T2 解：在静平衡时：解：在静平衡时： 当小球下降当小球下降 x (任意位置任意位置)时：时： 0 p p 1 mg x o x 静平衡位置静平衡位置 任意位置任意位置 由上两式可得到：由上两式可得到： 设过程是绝热的，所以：设过程是绝热的，所以： Vx 1=V S gm 0

19、+= SpSp 1( ) = Vp xVSp = Vp V 11 p dx dt 2 2 m=Sp S 1 p 0+ dx dt 2 2 m=Sp S mg 1 p = p V x 1 S 1( ) = pVp xVS +1 V xS =p+1 V xS VxS += 1 V x 1 S 1 V xS . 1 () = pV xVS p 1= p V x 1 S p 1 p =p+1 V xS = dx dt 2 2 m 前面已得到：前面已得到： += dx dt 2 2 m pS V x 2 0= 2 m pS V 2 = m pS V 2 =T m pS V 2 2 4 Vm p 2 =

20、2S4T2 = Sp S 1 pSp+1 V xS Sp dx dt 2 2 m=Sp S 1 p 15-11 1660年玻意耳把一段封闭的气年玻意耳把一段封闭的气 柱看成一个弹簧，称为柱看成一个弹簧，称为“空气弹簧空气弹簧”如图所如图所 示，有一截面积为示，有一截面积为S 的空心管柱，配有质量的空心管柱，配有质量 为为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。 在话塞处于平街状态时，柱内气体的压强为在话塞处于平街状态时，柱内气体的压强为 p，气柱高为，气柱高为h,若使活塞有一微小位移，活若使活塞有一微小位移，活 塞将作上下振动，求系塞将作上下振动，求系 统的固

21、有角频率。统的固有角频率。 可利用这空气弹簧可利用这空气弹簧 作为消振器。作为消振器。 p h m gm 0+= SpSp x 0+ d dt 2 2 m=Sp S mg 1 p Vp V 1 p =1 解：在静平衡时：解：在静平衡时： 当活塞下降当活塞下降 x (任意位置任意位置)时：时： 设过程是等温的设过程是等温的 V 1 h x () = S Vh= S dx dt 2 2 m=Sp S 1 p 由上两式得到：由上两式得到： 静平衡位置静平衡位置 任意位置任意位置 x x o 0 p p 1 mg p1p=h x ( )S hS p1p=h x ( )S hS p = x () h 1

22、 1 p x () h 1 + ()hx g的情形下，的情形下， (1)小珠相对圆环的平衡位置小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆以小珠与圆 心的连线同竖直直径之间的夹角心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示表示); (2)小珠在平衡位置小珠在平衡位置 附近作小振动的角频附近作小振动的角频 率。率。 mg=Ncosq0 g = cosq0 R2 1 cos g =q0 R2 Nsinq0=mRsinq0 2 + = qq0q 解解：(1)在平衡位置时在平衡位置时 (2)当小球偏离平衡位置时当小球偏离平衡位置时 mRsinq 2 FI = 小球除了受正压力小球除了受正压力N，重力作用，重力作用mg

23、外，外， q N mg F I 还受到一惯性力作用还受到一惯性力作用 q= d dt 2 2 sin(q0 + q ) () qcos(q0 +)2 g R qsin(q0 +) dv = mRsinqcosq 2 mgsinqm dt = d dt q 2 2 sinqcosq2 g R sinq d =mR dt q 2 q 因为因为很小很小 +qsin(q0 +)cosq0sinq0q qcos(q0 +)sinq0cosq0q 将这两式代入上式可得：将这两式代入上式可得： = d dt 2 2 q () ()+cosq0 sinq0qsinq0cosq0q () 2 g R + cos

24、q0sinq0 q() g =cosq0sinq02 R sinq0 () g + cosq0sin q0 2 ( 2 cos q02 2 R ) q = 2 () cos0q021 2 g +cosq0 R R 1 2 2 4 g 2 ()2+ R 2 2 g 2 = R 2 4 g 2 R 2 2 = 15-14 一长为一长为 l 质量为质量为m的均匀细棒，的均匀细棒， 用两根长为用两根长为L的细线分别拴在棒的两端，把的细线分别拴在棒的两端，把 棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴oo 作小角度的摆动，试测定其振动周期。作小角度的摆动，试测定其振动周期。 2

25、 L l2l 2 qL j l 1 Fmgtg = 2 q 1 mg 2 q M = 2 F l 2 = Fl J 2 = 1 m 12 l = 2 j t d 2 d JM 2 q L jl = 1 mg 2 2L jl = mg 4L jl = mg 4L l 2 j 2 2 = 1 m 12 l j t d 2 d mg 4L l 2 j F T mg q 2 q L l j 解：当棒偏转一个角度解：当棒偏转一个角度j 时时 = g L 3 2 2 = 1 m 12 l j t d 2 d mg 4L l 2 j + 2 j t d 2 d = 3g L j0 =T 2 = 2 g L

26、3 15-15 一质量为一质量为M的盘子系于竖直悬的盘子系于竖直悬 挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为挂的轻弹簧下端，弹簧的劲度系数为 k 现有现有 一质量为一质量为m的物体自离盘的物体自离盘 h 高处自由落下掉高处自由落下掉 在盘上，没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时在盘上，没有反弹，以物体掉在盘上的瞬时 作为计时起点，求盘子作为计时起点，求盘子 的振动表式。的振动表式。(取物体取物体 掉在盘子后的平衡位置掉在盘子后的平衡位置 为坐标原点，位移以为坐标原点，位移以 向下为正，向下为正，) M m h Mg xk 01= m() +M g xk 02= = m +M k 解：设盘子挂在弹簧下的静平衡

27、位置为解：设盘子挂在弹簧下的静平衡位置为x01 当物体落入盘上后新的平衡位置为当物体落入盘上后新的平衡位置为x02 系统将以此平衡位置系统将以此平衡位置 振动的圆频率振动的圆频率为：为： M m x02 x01 o x h m M x0 为中心进行振动。为中心进行振动。 () = x 0 x 02 x 01 = Mg k m() +M g k = mg k 2m 0 = ghm() +M v 2m 0= gh m() +M v M m x02 x01 o x h m M x0 设碰撞时刻设碰撞时刻(t=0)盘的位盘的位 碰撞是完全弹性的，所以：碰撞是完全弹性的，所以： 得：得： 置为置为x0

28、2m 0= gh m() +M v A 2 + = x0 v0 2 2 + = mg k 2 2ghm 2 m() +M m() +M 2k += mg k 2kh m() +M g 1 x 0= mg k = tg x0 v0 = 2mgh m() +M mg k k m() +M . = 2kh m() +M g 2m 0= gh m() +M vx0= mg k = m +M k + = mg k 2kh m() +M g 1 x cos m +M k t 2kh m() +M g tg 1 15-16 一个水平面上的弹簧振子，弹簧一个水平面上的弹簧振子，弹簧 的劲度系数为的劲度系数为k

29、，所系物体的质量为，所系物体的质量为M，振幅，振幅 为为A。有一质量为。有一质量为m的小物体从高度的小物体从高度h处自由处自由 下落。当振子在最大位移处，物体正好落在下落。当振子在最大位移处，物体正好落在 M上，并粘在一起，这时系统的振动周期、上，并粘在一起，这时系统的振动周期、 振幅和振动能量有何振幅和振动能量有何 变化？如果小物体是变化？如果小物体是 在振子到达平衡位置在振子到达平衡位置 时落在时落在M上，这些量上，这些量 又怎样变化又怎样变化? m o h M x0=A x = m +M k 2 解：解： 1= A 2 + = x0 v1 2 2 A = M k 当物体当物体m落下时落下

30、时 当物体当物体m落下后落下后 系统的圆频率为：系统的圆频率为： 系统的振动周期为：系统的振动周期为： T = M k 2 = m +M k 1 1= T 2 1 振子的速度振子的速度v1= 0 m o h M x0=A x (1)弹簧振子的圆频率为：弹簧振子的圆频率为： M 2 = m() +M v0 v = M 2 m() +M v 0 v =0 v A= M k A = M m() +M A M k (2)当振子在平衡位置时当振子在平衡位置时m 落下落下,由动量守恒由动量守恒 2 A+ = 0 v2 2 2 2 = m +M k 2 = 1 2= m +M k =T 2T1 1 2 kA

31、 1= E1 2 = 1 2 kA = 2 E 系统的振系统的振 动能量为：动能量为： = M m() +M A M km +M k = m +M M AA = 2 v M m() +M A M k 2 v 2 2 A = 1 2 kA 2= E2 21 2 =kA 2 m +M M = m +M k 2 = 1 E 1 2 kA = 2 15-17 一单摆的摆长一单摆的摆长l =1m，摆球质量，摆球质量 m =0.01kg。开始时处在平衡位置。开始时处在平衡位置。 (1)若给小球一个向右的水平冲量若给小球一个向右的水平冲量 I =210-3 kgm/s。设摆角向右为正。如以。设摆角向右为正。

32、如以 刚打击后为刚打击后为t =0，求振，求振 动的初相位及振幅；动的初相位及振幅； (2)若冲量是向左的，若冲量是向左的， 则初相位为多少则初相位为多少? m l q 0q0= t0= Im = vm I m = vm l= dq dtm l= q m I ml = q m g lI ml = = 210-3 0.011 1 9.8 = 6.3910-2rad 解：解： = 2 0 dq dt0 由动量原理：由动量原理： m l q 若冲量向左，则：若冲量向左，则： = 2 =3.660 15-18 一弹簧振子由劲度系数为一弹簧振子由劲度系数为k 的弹的弹 簧和质量为簧和质量为M的物块组成，

33、将弹簧一端与顶的物块组成，将弹簧一端与顶 板相连，如图所示。开始时物块静止，一颗板相连，如图所示。开始时物块静止，一颗 质量为质量为m、速度为、速度为v0的子弹由下而上射入物的子弹由下而上射入物 块，并留在物块中。块，并留在物块中。 (1)求振子以后的振求振子以后的振 动振幅与周期；动振幅与周期； (2)求物块从初始位求物块从初始位 置运动到最高点所需的置运动到最高点所需的 时间。时间。 M x02 x01 o x x0 mM+ Mgxk 10 = = m 0 v v m() +M = m +M k m() +M gxk 20 = = x 0 x 02 x 01 = m 0 v v m() +

34、M = m k g 解：在初始位置解：在初始位置 + M x02 x01 o x x0 mM (1)由动量守恒由动量守恒 振子的频率为：振子的频率为： 得到：得到： = m +M k A 2 + = x0 v 2 2 = m 0 v v m() +M + m k gk 0 v 2 m() +M 2 g 1= () + = m k g 2 2 2 m 0 v 22 m() +M 2 m +M k . x 0= m k g = tg x0 v0 = m +M k m 0 v m +M . m kg = 0 v g m +M k += t2 = t2 = 0 v g m +M k 1 tg 0 v

35、g m +M k 1 tg =t m +M k = m +M k = m 0 v v m() +M x 0= m k g 15-19 一弹簧振子作简谐振动，振幅一弹簧振子作简谐振动，振幅A =0.20m，如弹簧的劲度系，如弹簧的劲度系k =2.0N/m，所，所 系物体体的质量系物体体的质量m =0.50kg。试求。试求: (1)当动能和势能相等时，物体的位移当动能和势能相等时，物体的位移 多少？多少？ (2)设设t =0时，物体在正最大位移处，达时，物体在正最大位移处，达 到动能和势能相等处所需的时间是多少？到动能和势能相等处所需的时间是多少？ (在一个周期内。在一个周期内。) A xtcos

36、()+ = = m k 2xtcos =0.2 1 2 Emv k 2 = 2 sinA 1 2 m = 2 t 2 1 2 Ekx p 2 = 2 cosA 1 2 m = 2 t 2 解：设谐振动方程为：解：设谐振动方程为： 0 = t时刻，物体在正方向最大处时刻，物体在正方向最大处 = 0 = 2 0.5 = 2 s-1A=0.2m Ek =E p 当当 = sint 2 cost 2 = sint 2 cost 2 + = t 4 2 k + = 4 2 k 2 += 8 4 k =0,1,2,3k 当当 = t 8 3 8 5 8 7 8 , t =0.39s,1.2s,2s,2.7

37、s += t 4 2 k xcos =0.2 4 =0.141m 15-20 一水平放置的弹簧振子，已知物一水平放置的弹簧振子，已知物 体经过平衡位置向右运动时速度体经过平衡位置向右运动时速度v =1.0m/s， 周期周期T =1.0s。求再经过求再经过1/3 s时间，物体的时间，物体的 动能是原来的多少倍。弹簧的质量不记。动能是原来的多少倍。弹簧的质量不记。 ()+ 1 2 Emv k 2 = 2 sinA 1 2 m = 2 t 2 () 2 sinA 1 2 m = 22 6 1 4 2A 1 2 m = 2 . E E m = 1 4 E m= 2A 1 2 m 2 解：经平衡位置向正

38、方向运动时，解：经平衡位置向正方向运动时， 最大动能为最大动能为 经经 T/3 后，后， 物体的相位为物体的相位为 6 15-21 在粗糙的水平面上有一弹簧振子，在粗糙的水平面上有一弹簧振子， 已知物体的质量已知物体的质量m=1.0kg，弹簧的劲度系数，弹簧的劲度系数 k=100N/m，摩擦系数，摩擦系数m 满足满足mg =2m/s2， 今把物体拉伸今把物体拉伸l =0.07m然后释放，由静止然后释放，由静止 开始运动如图所示。求物体到达最左端开始运动如图所示。求物体到达最左端B点所点所 需的时间。需的时间。 m k m l m b 1 2 mgl bk m 2 ()()+ = b 1 2 k

39、l 2 m k m l m b ACB 1 2 k 2 () = bl 2 + 1 2 k() = bl ()bl mgm 1 2 = ()blk 解：解： AB 应用功能原理应用功能原理 mgm 1 2 = ()blk = 0.07 100 221 gm = bl k 2m =0.03m m k m l m b ACB AC 应用功能原理应用功能原理 1 2 mgl x mm 2 ()+ = v 1 2 kx 2 1 2 k ( ) l 2 = 2 gxm+ k x 2 ( ) l 2 2 gml m k m = 2 2 vgl x m () + k x 2 ( ) l 2 m k m 2

40、v = 2 gxm + k x 2 ( ) l 2 2 gml m k m 2 gm=A ( ) l 2 2 gml k m C = = 22 =4 k m B= =100= 100 1 =100 (0.07)240.07 =0.21 令：令： dx dt 2 2 v = x +x 2 ABC dx dt 0由于由于 dx dt = x +x 2 ABC dt dx = x +x 2 ABC dx x +x 2 ABC = l b t = dt t 0 dx dt 2 2 v = x +x 2 ABC l b B BC xBA2 1 sin = 4A+ 2 arc l B BC BA2 1 s

41、in 4A+ 2 arc = B BC BA2 1 sin 4A+ 2 arc b dx x +x 2 ABC = l b t l B BC BA21 sin 2A + 2 arct = B BC BA21 sin 4A + 2 arc b 4=A B =100 C = 0.21 l =0.07 b =0.03 0.21 4 sin 44 2 arc= 21000.07 100 ()10 1 sinarc 0.21 4 44 2 21000.03 100 ()10 1 arc sin(1)-arc sin(-1)= 10 1 = 10 1 2 2 () = 10 =0.314s 15-22 质

42、量为质量为m =5.88kg的物体，挂的物体，挂 在弹簧上，让它在竖直方向上作自由振动。在弹簧上，让它在竖直方向上作自由振动。 在无阻尼情况下，其振动周期为在无阻尼情况下，其振动周期为T =0.4s； 在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中，在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中， 它的振动周期为它的振动周期为T=0.5s；求当速度为；求当速度为0.01 m/s时，物体在阻尼介质中所受的阻力。时，物体在阻尼介质中所受的阻力。 =3.53(kg.s-1)=235.88 =3(s-1 ) T 2 0 = 2 2 T 2 0 = 2 T 2 2 = 2 0.4 2 2 0.5 2 =25 16 =

43、r 2 m F = r v =3.51.010-2 = 0.353N 2 T 2 0= 2 2 T 2 0= 22 解：解： 15-23 一摆在空中振动，某时刻，振一摆在空中振动，某时刻，振 幅为幅为 A0= 0.03m，经过，经过t1=10s后，振幅变后，振幅变 为为 A1=0.01m，问，问:由振幅为由振幅为 A0时起，经多时起，经多 长时间，其振幅减为长时间，其振幅减为 A2=0.003m ？ =20.9(s) =0.110 Ae 0=A t 0= lnAlnAt 1 = ln 10 0.03 0.01 1 1 0 = ln t A A1 1 2 0 = ln t A A 2 = 1 0

44、.11 ln 0.03 0.003 解：解： 15-24 试用最简单的方法求出下列两组试用最简单的方法求出下列两组 简谐振动合成后所得合振动的振幅：简谐振动合成后所得合振动的振幅： 第一组：第一组： 第二组：第二组： 0.05cos(3t+/3)m x 1= 0.05cos(3t+/3)m x 1= 0.05cos(3t+7/3)m x 2= 0.05cos(3t+4/3)m x 2= = 3 7 3 2 = 3 4 3 A = A1+A2= 0.05 + 0.05 =0.10(m) A = A1-A2= 0 解：解： 0.05cos(3t+/3)m x 1= 0.05cos(3t+7/3)m

45、 x 2= (1) 0.05cos(3t+/3)m x 1= 0.05cos(3t+4/3)m x 2= (2) 15-25 一质点同时参与两个在同一直线一质点同时参与两个在同一直线 上的简谐振动上的简谐振动: 试求其合振动的振幅和初相位试求其合振动的振幅和初相位(式中式中x以以m 计计, t 以以s计计) 。 0.04cos(2t+/6)m x 1= 0.03cos(2t-5/6)m x 2= =0.01m 2 A1A 2 cos() += A2 2 A1A22 1 = (0.04)2+(0.04)2+20.040.03cos(-) arc tg + = 1A1sin2A2sin 1A1co

46、s2A2cos + ()+ arc tg = 2 3 0.04 2 1 0.04 2 1 0.04()+0.04 2 3 () 3 arc tg = 1 = 6 解：解： 15-26 有两个同方向的简谐振动，它们有两个同方向的简谐振动，它们 的表式如下：的表式如下： (1)求它们合成振动的振幅和初相位；求它们合成振动的振幅和初相位； 0.06cos(10t+/4)m x 2= 0.05cos(10t-3/4)m x 1= 问问0为何值时为何值时x1+x3的振幅为最大；的振幅为最大； (2)若另有一振动若另有一振动 0.07cos(10t+0)m x 3= 0为何值时为何值时x2+x3的振幅为最

47、小。的振幅为最小。 (式中式中 x 以以 m计计; t 以以 s计计) =0.078m 2 A1A 2 cos() += A2 2 A1A22 1 = (0.05)2+(0.06)2+20.050.06cos(-/2) arc tg + = 1A1sin2A2sin 1A1cos2A2cos + 解：解： (1) + arc tg = 2 2 0.050.06 0.05+0.06 2 2 2 2 2 2 () arc tg =11 () = 84048 3 0= 3 4 3 = 3 4 4 3 = 3 = 5 4 (2) 15-27 两个同方向的简谐振动，周期相两个同方向的简谐振动，周期相 同

48、，振幅为同，振幅为A1=0.05m， A2=0.07m，组成，组成 一个振幅为一个振幅为A=0.09m的简谐振动。求两个分的简谐振动。求两个分 振动的相位差。振动的相位差。 2 A1A 2 cos() += A2 2 A1A22 1 解：解： 2 A1A 2 cos() + = A2 2 A1A22 1 2 = (0.09)2-(0.05)2- -(0.05)2 20.050.07 =0.1 2 () = 1 84016 15-28 当两个同方向的简谐振动合成为当两个同方向的简谐振动合成为 一个振动时，其振动表式为：一个振动时，其振动表式为： 式中式中t以以s为单位。求各分振动的角频率和合为单

49、位。求各分振动的角频率和合 x =Acos2.1t cos50.0t 振动的拍的周期。振动的拍的周期。 x =Acos2.1t cos50.0t 2 Axcos + = 21 2 21 costt =2.1 2 21 =50 + 2 21 =47.91=52.12 =4.2 21 = 2 T 21 = 4.2 2 =1.5(s) 解：解： 两式比较得：两式比较得： 拍频为：拍频为： 15-29 三个同方向、同频率的谐振动为三个同方向、同频率的谐振动为 试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。 0.1cos(10t+/6)m x 1= 0.1cos(10t+/2)

50、m x 2= 0.1cos(10t+5/6)m x 3= +=A1A3 A += A2 A =A+ A1A2A3 + A2 A 2 1 A 3 A1 A xo 3 = 5 6 3 = 2 2 = 6 1 解：解：=A1A2A3=0.1 = A1A2 =0.2 = 2 0.2cos(10t+/2)m x = 15-30 一质点同时参与两个互相垂直的一质点同时参与两个互相垂直的 简谐振动，其表式分别为简谐振动，其表式分别为: 若若0 =/4,试用消去法求出合振动的轨试用消去法求出合振动的轨 A cos(t+x= 0 ) 2A cos(2t+y= 0 ) 迹方程，并判断这是一条什么曲线。迹方程，并判

51、断这是一条什么曲线。 Axtcos()+ = 4 2 2 tcos() = tsin 2 22 ()()+ 1 2 tcos = tsintcostsintsin A x2 y=Atcos()+ 2 22 2() = At2sin = 2tcostsinA 2 . 2() 1 2 = tcostsin1(1) = A2 y 2costsin(2) 解：解： 1 2A x 2 () += 1 2A y = 4 + 1 2A y 4 A x 2 = y2A () A x 2 2() 1 2 = tcostsin1(1) = A2 y 2costsin(2) 由式由式(1)、(1)得：得： 15-3

52、1 质量为质量为0.1kg的质点同时参与互的质点同时参与互 相垂直的两个振动，其振动表式分别为：相垂直的两个振动，其振动表式分别为： 求求: (1)质点的运动轨迹质点的运动轨迹; 0.06cos(t/3 +/3)m x = 0.03cos(t/3 -/6)m y = (2)质点在任一位置所受的作用力。质点在任一位置所受的作用力。 Acos( )+= 2 xtsin=At Bcos =yt + A x 2 = 2 B y 2 2 1 B =0.03A =0.06= 3 其中其中 解：解：(1) t= 1 2 t 即：即： 两振动方程改写为：两振动方程改写为： + x 2 = y 2 1 (0.0

53、6)2(0.03)2 处处 6 把时间零点取在把时间零点取在y轴振动的初相为轴振动的初相为 d AB r tisincos+ = tj dt d AB r tisincos = tj dt 2 2 2 2 = r 2 F = m d r dt 2 2 = r 2 m 9 = 0.1 2 r = 0.11r ABrtisincos+ = tj (2) 15-32 一质点同时作两个相互垂直的振一质点同时作两个相互垂直的振 动。设动。设 此此 两两 振动的振幅相同，频率之比为振动的振幅相同，频率之比为 2：3，初相都为零，求该质点的运动轨。，初相都为零，求该质点的运动轨。 3Aysin = t x+

54、 = 2 cost A 2A y = x +A 2A x +A 2A 4.3 A () = x +A 2A x +A 3A2 () = x +A 2A xA2 ()4 = 2 cost 3Acos t 4 () = 3 Acost3costy改写：改写： ()2 = 2 Acost 1x改写：改写： 2Axcos = t解：设解：设 = cos t x +A 2A 15-33 设一质点的位移可用两个简谐振设一质点的位移可用两个简谐振 动的叠加来表示动的叠加来表示: (1)写出这质点的速度和加速度表式；写出这质点的速度和加速度表式； (2)这质点的运动是不是简谐振动这质点的运动是不是简谐振动?

55、(3)画出其画出其 x t 图线。图线。 A sint+ B sin 2tx= +2BsintAxsin = t 解：解： td xd +2B costA cos =t 2 td xd 2Bsin t Asin =t 4 2 2 22 A B xt x y o 15-34 把一个电感器接在一个电容器把一个电感器接在一个电容器 上，此电容器的电容可用旋转旋钮来改变。上，此电容器的电容可用旋转旋钮来改变。 我们想使我们想使LC振荡的频率与旋钮旋转的角度而振荡的频率与旋钮旋转的角度而 作线性变化，如果旋钮旋转作线性变化，如果旋钮旋转1800角，振荡频角，振荡频 率就自率就自2.0105Hz变到变到4.0105Hz ，若，若L= 1.010-3H，试绘出在转角，试绘出在转角1800的范围内，的范围内， 电容电容C与角度的函数曲线。与角度的函数曲线。 1 LC = 2 f 2 1 C = 4 f L 2 L =1.010-3Hfq 与与成正比成正比 解：解： 2.0105 C(pf)f (Hz) 00 q 2.5105450 3.0105900 3.51051350 4.051051800 640 410 280 210 160 500 400 300 200 100 o C(pf)