工程力学 第四章 点的运动与刚体的基本运动

1、第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 第四章 运动学 第一节 点的运动 第二节 刚体的基本运动 小小 结结 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 运动学的任务是研究物体在空间的位置随时间 的变化规律，而不涉及运动状态发生变化的原因。 物体在空间的位置必须相对于某给定的物体来 确定。这个给定的物体称为参考体参考体。固连在参考体 上的坐标系称为参考系参考系。在不同的参考系上观察同 一物体的运动，其结果可以完全不同，所以运动具 有相对性相对性。在研究大多数的工程实际问题时，总是 将固连于地球上的坐标系作为参考

2、系，称为静参考静参考 系系或定参考系定参考系。 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 在描述物体在空间的位置和运动时，常用到瞬瞬 时时和时间间隔时间间隔两个概念。瞬时是指物体运动经过某一 位置所对应的时刻，用t表示；时间间隔是两瞬时之 间的一段时间，记为tt2-t1。 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 第一节 点的运动 一、用矢径法确定点的位置、速度和加速度一、用矢径法确定点的位置、速度和加速度 2、点的速度 3、点的加速度 rv vv a tt t d d lim 0 t t r v 0 limr

3、 r t d d 单位单位 : m/s2 (t)rr 1、运动方程 即：点的速度等于矢径对时间的一阶导数 即：点的加速度等于点的速度矢对时间的一阶导数，也等于位 置矢径对时间的二阶导数 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 当点的运动轨迹未知时，常利用直角坐标投影原理将矢 量关系转变成代数量关系来方便运算。 二、用直角坐标法确定点的位置、速度和加速度二、用直角坐标法确定点的位置、速度和加速度 1动点的直角坐标形式的 运动方程 设有一动点M在某曲线轨迹 上运动，它在位置也由矢径确定。 kjirzyx 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与

4、刚体的基本运动 工程力学工程力学 1 2 3 xft yft zft 上式是点的直角坐标运动方程。由上式中消去参数t， 便得到点的轨迹方程。 2点的速度与加速度在直角坐标轴上的投影 dddd dddd xyz tttt r vijk 速度矢量沿直角坐标轴的分量 ., dt dz v dt dy v dt dx v zyx 动点速度在各坐标上的投影，分别等于对应的位置坐标 对时间的一阶导数。 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 (3) 加速度 v v iv x ),cos( v v jv y ),cos( v v kv z ),cos( 222 d

5、t dz dt dy dt dx vvvv 2 z 2 y 2 x 大小 方向 2222 2222 dddd dddd xyz tttt r aijk xyz aaaaijk 2 2 2 2 2 2 , dt zd dt dv a dt yd dt dv a dt xd dt dv a z z y y x x 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相对的速度 对时间的一阶导数，或等于其相应的坐标对时间的二阶导数. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 dt zd dt yd dt xd aaaazyx a

6、 a ka a a ja a a ia z y x ),cos(,),cos(,),cos( 大小 方向 2 2 2 2 2 2 , dt zd dt dv a dt yd dt dv a dt xd dt dv a z z y y x x 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 椭圆规的曲柄可绕定轴转动，其端点与规尺的中点以铰链相 连接，规尺的两端分别在互相垂直的滑槽中运动，为规尺上 的一点。已知： （其中 为常数） 试求：点点 A, B, P的运动方程和运动轨迹。的运动方程和运动轨迹。 ,OCACBCl PCdt 第第4 4章章 点的运动与刚体的

7、基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 解 A 点的运动方程: B点的运动方程: P点的运动方程: P点的轨迹方程: 1 )()( 2 2 2 2 dl y dl x PP P x )cos(CPAC tdlcos)( )sin-(CPCByPtdlsin)-( 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力

8、学工程力学 当点的运动轨迹已知时，工 程上常以轨迹为坐标轴，并用动 点到设定原点的距离s（弧坐标） 来确定点的位置。 1弧坐标与自然轴系弧坐标与自然轴系 当点M沿已知轨迹运动时，弧坐标s是时间t的单值连续 函数，记为 s=f (t) 该式称为以弧坐标表示的点的运动方程以弧坐标表示的点的运动方程。 M O s s n v* v B A （-） （+） M 三、用弧坐标法确定点的位置、速度和加速度三、用弧坐标法确定点的位置、速度和加速度 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 如图，动点M沿已知轨 迹AB运动，以动点M为坐标 原点，以轨迹上过M点的切 线

9、和法线为坐标轴，此正交 坐标系称为自然坐标轴系自然坐标轴系， 简称自然轴系自然轴系，矢量在自然 坐标轴上的投影为其自然坐自然坐 标标。切向轴和法向轴的单位 矢量分别用 和n表示。 显然，自然轴系是随动 点沿已知轨迹运动的。单位 矢量 和n的大小为1，但方向 随点在轨迹上的位置变化而 变化。因此，在曲线运动中， 和n为变矢量。 用弧坐标表示点的位置， 用自然坐标表示点的速度、 加速度，这种研究点的运动 的方法称为自然法自然法 。 M O s s n v* v B A （-） （+） M 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 速度是表示动点位置随速度是

10、表示动点位置随 时间变化快慢程度的物理量时间变化快慢程度的物理量。 2用自然坐标表示点的速度用自然坐标表示点的速度 按速度定义 v dt ds ds rd dt ds s r t s t s s r t r v tt tt 00 00 limlim )(limlim 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 速度是一个矢量，其大小为M点的弧坐标对时间t的 一阶导数，其方向为轨迹在处的切线方向，速度的单位 一般用m/s或km/h。 速度指向由 的正负号确定，若 0 则v指向弧 坐标的正向，反之为负。 t s d d v t s d d t s d d M

11、 O s s n v* v B A （-） （+） M 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 加速度表示动点速度的大小与方向随时间改变的快慢加速度表示动点速度的大小与方向随时间改变的快慢 程度程度。按定义，点的加速度应为 3用自然坐标表示点的加速度用自然坐标表示点的加速度 可以导出 ttttd d d d )( d d d d v v v v a n v t d d (为动点处轨迹的曲率半径) 于是上式可写成 na 2 d dvv t naaa nn aa 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 由式可见

12、，动点的加速度由两项组成， 第一项 其大小为 ，方向为切向，故称为切向加切向加 速度速度，记作 ，它反映了速度大小随时间的变化率。 第二项 大小为 ，方向为法向，并始终指向该 点轨迹的曲率中心，故称为法向加速度法向加速度，记作 。 na 2 d dvv t t d dv n 2 v t d d v a na 2 n v 2 v t d dv 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 a与an两项之和即为动点的加速度a 有时也被称为全加速全加速 度度，它反映了速度矢量v的瞬时变化率，根据矢量运算，存在 法向加速度为法向矢量，故其反映的是速度方向的瞬时 变

13、化率。法向加速度越大，速度的方向变化的越快；反之亦 然。当点作直线运动时，点的法向加速度恒为零，点的速度 方向将保持不变。 22 n aaa n a a tan 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 式中， 为a与n所夹之锐角，至于a在n的哪一侧则由a 的正负决定，如图所示。加速度的单位一般用m/s2或km/s2。 O a an a 22 n aaa n a a tan 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 1）匀速直线运动 当点作匀速直线运动时，由于v 为常量，故a=0，an=0 ，此时a =0。 2

14、）匀速曲线运动 当点作匀速曲线运动时，由于v 为常量，故a=0，an0 ，此时a = an。 3）匀变速直线运动 当点作匀变速直线运动时，a 为常量，an为零，若已知运动的初始条件，即当t=0时。 v=v0，s=s0，由dv=adt，积分可得其速度与运动方程为 v=v0+at （4-21） s=s0+v0t+at2/2 （4-22） 由以上两式消去t得 v2=v02+2a（s-s0） （4-23） 4点运动的几种特殊情况点运动的几种特殊情况 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 4）匀变速曲线运动 当点作匀变速曲线运动时，a为 常量，an=v2/

15、，若已知运动的初始条件，即当t=0时。v=v0， s=s0，由dv=adt，ds=vdt，积分可得其速度与运动方程为 v=v0+at （4-24 ） s=s0+v0t+at2 （4-25） 由以上两式消去t得 v2=v02+2a(s-s0) （4-26） 式（4-21）（4-26）早已为大家所熟悉。引入它们的目的 在于说明在研究点的运动时，已知运动方程，可应用求导的 方法求点的速度和加速度；反之，已知点的速度和加速度如 果初始条件已知的话，亦可用积分法也可得到点的运动方程。 总之，本节所介绍的方法是一种普遍的方法，可 应用于各种点的运动分析，而中学时期所学式（4-21） （4-26）等公式不过

16、是在一定前提下的特例而已。 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 杆AB的A端铰接固定，环M将AB 杆与半径为R的固定圆环套在一起， AB与垂线之夹角为=t，如图所示求 套环M的运动方程、速度和加速度。 解一解一 以环M为研究对象，由于 环M的运动轨迹已知，故采用自然坐 标法求解。 以圆环上O点为弧坐标原点，顺时 针为弧坐标正向，建立弧坐标轴。 1）建立点的运动方程。由图中几何关系，建立运动方程为 s = R(2)= 2R t 2）求点M的速度。由式（4-2）知点M的速度为 s B A M O O 2 R t s 2 d d v （+） v 第第4

17、 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 已知：=t，求：M的运动方程、 速度和加速度。 解一解一 1）建立点的运动方程。 s = R(2)= 2R t 2）求点M的速度。 R t s 2 d d v 3）求点M的加速度。由式（4-3） 知点M的切向加速度为 0)2( d d d d R tt a v 2 22 n 4 )(2 R R R a v 由式（4-3） 知点M的法向加速 度为 s B A M O O 2 （+） v 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 s B A M O O 2 已知：=t，求：M的运

18、动方程、 速度和加速度。 解一解一 1）建立点的运动方程。 s = R(2)= 2R t 2）求点M的速度。 R t s 2 d d v 3）求点M的加速度。 0)2( d d d d R tt a v 2 22 n 4 )(2 R R R a v 由式（4-4）知点M的全加速度为 222 4 Raaa n a v 其方向沿MO且指向O，可知套环沿固定圆环作匀速圆周运动。 （+） 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 解二解二 用直角坐标法求解，建立 图示的直角坐标系。 1）建立点M的运动方程。由图 中几何关系，建立运动方程为 x=Rcos(90-

19、2)=Rsin2t y=Rcos2=Rcos2t 2）求点M的速度。由式（a）求导，得速度在x、y轴上的投影 vx= =2Rcos2t vy= =-2Rsin2t B A M O O 2 x y 已知：=t，求：M的运动方程、 速度和加速度。 （a） t x d d t y d d （b） vx vy 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 解二解二 1）建立点M的运动方程。 x=Rsin2t y=Rcos2t 2）求点M的速度。 vx=2Rcos2t vy=-2Rsin2t B A M O O 2 x y 已知：=t，求：M的运动方程、 速度和加速

20、度。 （a） （b） 由式（4-14）知点M的加速度大 小和方向余弦为 R yx 2 22 vvv cos(v，i)=vx/v= cos2t v vx vy 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 解二解二 1）建立点M的运动方程。 x=Rsin2t y=Rcos2t 2）求点M的速度。 vx=2Rcos2t vy=-2Rsin2t B A M O O 2 x y 已知：=t，求：M的运动方程、 速度和加速度。 （a） （b） 3）求点M的加速度。由式（4-3）对 式（b）求导求导，得加速度在x、y 轴上的投影 ax= =-4R2sin2t ay=

21、=-4R2cos2t cos(v，i)= cos2t ax ay t x d dv t y d dv 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 解二解二 1）建立点M的运动方程。 x=Rsin2t y=Rcos2t 2）求点M的速度。 vx=2Rcos2t vy=-2Rsin2t B A M O O 2 x y 已知：=t，求：M的运动方程、 速度和加速度。 （a） （b） 3）求点M的加速度。 ax=-4R2sin2t ay=-4R2cos2t R2v cos(v，i)= cos2t a 由式（4-15）知点M的加速度大 小和方向余弦为 222 4R

22、aaa yx cos(a，i)= ay /a=-sin2t ax ay 或 a =axi+ay j =-4R2(sin2ti+ cos2tj) =-4R2 rM 此结果也说明a与点M的位矢 rM反向。 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 经比较不难看出，两种解法计算的结果是一 致的；也可看出，用自然坐标法解题简便，结果 清晰，但只适用于点的运动轨迹已知的情况。在 机械工程中，多数物体处于被约束状态，其运动 轨迹是确定的，故自然坐标法得到广泛应用。用 直角坐标法，解题较繁，但它既适用于点的运动 轨迹已知时，也适用于点的轨迹未知时，故应用 范围广，在

23、航空、航天工程中的弹道设计计算中 常用这种方法。 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 1刚体的平行移动 第二节第二节 刚体的基本运动刚体的基本运动 刚体在运动过程中，若其上任一直线始终平行它的初刚体在运动过程中，若其上任一直线始终平行它的初 始位置，则这种运动称为刚体的平行移动始位置，则这种运动称为刚体的平行移动，简称平动平动。例 如，直线轨道上车厢的运动，摆式输送机送料槽的运动等都 是刚体平动的实例。 DCDC OO 刚体平动时，其上各点的轨迹若是直线，则称刚体

24、作直线刚体作直线 平动平动。其上各点轨迹若是曲线，则称刚体作曲线平动刚体作曲线平动。 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 下面研究平动刚体上各点的轨迹、速度、加速度的特征。 在平动刚体上任取两点A、B，作矢量BA，如图所示。 根据刚体不变形的性质和刚体平动的特征，矢量BA的长度 和方向始终不变，故BA是常矢量。如将点B 的轨迹沿BA方向 平行移动BA距离，则必然与A点轨迹重合。 动点A、B位置的变化用矢径的变化表示。由图得 rA= rBBA O x y z rA A B A1 B1 rB 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基

25、本运动 工程力学工程力学 对时间t求导得 O x y z rA A B A1 B1 rB rA= rBBA 由于BA是常矢量，因此 =0， 于是 vA= vB ttt BA d d d d d dBArr t d dBA 再对时间t求导可得 aA= aB 因为A、B是刚体上任 意两点，因此上述结论对刚 体上所有点都成立，即刚体即刚体 平动时，其上各点的运动轨平动时，其上各点的运动轨 迹形状相同彼此平行，每一迹形状相同彼此平行，每一 瞬时，各点的速度、加速度瞬时，各点的速度、加速度 也相同也相同。 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 上述结论表明，

26、刚体的平动可以用其上任一点的运动来代 替，即刚体平动的运动学问题，可以归结为点的运动学问题来 研究。 刚体的平动在工程实 际中应用很广，图示仿形 车床上刀架A0A作平动， A0与靠模板接触，刀尖A 切削工件，由于A0与A的 运动轨迹相同，从而保证 了工件形状与靠模板形状 一致。 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 曲柄导杆机构如 图所示，曲柄OA绕固 定轴O转动，通过滑块 A带动导杆BC在水平 导槽内作直线往复运 动。已知OA= r，=t （为常量），求导杆 在任一瞬时的速度和 加速度。 解解 由于导杆在水平直线导槽内运动，所以其上任一直线 始终

27、与它的最初位置相平行，且其上各点的轨迹均为直线， 因此，导杆作直线平动。导杆的运动可以用其上任一点的运 动来表示。选取导杆上M点研究，M点沿x轴点作直线运动， 其运动方程为 例4-6 xM=OAcos=rcost 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 已知：OA= r，=t ， 求：导杆在任一瞬时的 速度和加速度。 解解 则M点的速度、加速度分别为 vM= aM= =-r2cost tr t xM sin d d t M d dv 则M点的速度、加速度分别为 vM= aM= =-r2cost xM=OAcos =rcost tr t xM sin

28、d d t M d dv 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 2刚体绕定轴转动 刚体在运动过程中， 其上或其延伸部分有一条其上或其延伸部分有一条 直线，始终固定不动，这直线，始终固定不动，这 种运动称为刚体绕定轴转种运动称为刚体绕定轴转 动动，简称，简称转动转动。位置保持 不变的直线称为转轴转轴。工 程中齿轮、带轮、飞轮的 转动，电动机转子、机床 主轴、传动轴的转动等， 都是刚体定轴转动的实例。 x y z O 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 1）转动方程 为确定转动刚体 在空间的位置，过转轴z

29、作一固定平 面为参考面。在图中，半平面 过转轴z且固连在刚体上，初始半平 面、共面。当刚体绕轴z转动的 任一瞬时，刚体在空间的位置都可 以用固定的半平面与之间的夹 角 来表示， 称为转角转角。刚体转动 时，转角 随时间t变化，是时间t的 单值连续函数，即 = (t) 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 2）角速度角速度 角速度是描述刚体转动快慢和转动方向的 物理量。角速度常用符号来表示，它是转角对时间t的一 阶导数，即 t d d 这里角速度可用代数量表示，其的正负表示刚体的转动 方向。当0时，刚体逆时针转动；反之则顺时针转动。角 速度的单位是r

30、ad /s。 工程上常用每分钟转过的圈数表示刚体转动的快慢，称 为转速转速，用符号n表示，单位是r/min（转/分）。转速n与角 速度的关系为 =2n/60=n/30 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 3）角加速度角加速度 角加速度是表示角速度 变化的快慢 和方向的物理量是角速度 对时间的一阶导数，即 这里角加速度可用代数量表示，当与 同号时，表示 角速度的绝对值随时间增加而增大，刚体作加速转动；反之， 则作减速转动。角加速度的单位是rad /s2。 虽然刚体的定轴转动与点的曲线运动的运动形式不同， 但它们相对应的变量之间的关系却是相似的，其相

31、似关系如 表4-1所列。 2 2 d d d d tt 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 点的曲线运动点的曲线运动 刚体定轴转动刚体定轴转动 运动方程 s=s(t) 转动方程 =(t) 速度 v=ds/dt 角速度 =d/dt 切向加速度 角加速度 匀速运动 v=常数 匀速转动 =常数 s=s0+vt =0+t 匀变速运动 a=常数 匀变速转动 =常数 v=v0+at =0+t s=s0+vt+at2/2 =0+t+t2/2 t s t a d d d d 2 v 2 2 d d d d tt 表表4-1 点的曲线运动与刚体定轴转动变量之间的关

32、系比较点的曲线运动与刚体定轴转动变量之间的关系比较 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 某发动机转子在起动过程中的转动方程为 = t3（rad），t 以s计。试计算转子在2s内转过的圈数和t =2s时转子的角速度、 角加速度。 解解 由转动方程 = t3可知 t =0时，00，转子在2s内转过的角度为 0= t3023 rad08rad 转子转过的圈数为 N 1.27圈 由式（4-17）和式（4-18）得转子的角速度和角加速度为 =d/dt=3t2 = d/dt =6t 当t=2s时 =3t2 =12rad/s = 6t =12rad/s2 2

33、8 2 0 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 R O 5）定轴转动刚体上各点的速度、加速度 前面研究了定轴转动刚体整体的运动规律，在工程实际中， 还往往需要了解刚体上各点的运动情况。例如，车床切削工件时， 为提高加工精度和表面质量，必须选择合适的切削速度而切削速 度就是转动工件表面上点的速度。下面将讨论转动刚体上各点的 速度、加速度与整个刚体的运动之间的关系。 刚体定轴转动时，除

34、了转轴以 外的各点都在垂直于转轴的平面内作 圆周运动，圆心是该平面与转轴的交 点，转动半径是点到转轴的距离。 设刚体绕z轴转动，其角速度为、 角加速度为。 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 R O s O 在刚体转角 =0时，M点位置为弧坐标原点O，以转角 的 正向为弧坐标s的正向，则用自然法确定的M点的运动方程、速 度、切向加速度、法向加速度分别为 s=R a v 全加速度的大小和方向为 M R t R t s d d d d v R t R t a d d d d v 2 2 n R R a v a an 222 n 2 Raaa 2 n

35、tan a a 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 由以上分析可得如下结论： 1）转动刚体上各点的速度、切 向加速度、法向加速度、全加速度的 大小分别与其转动半径成正比。同一 瞬时转动半径上各点的速度、加速度 分布规律如图，呈线性分布。 2）转动刚体上各点的速度方向 垂直于转动半径，其指向与角速度的 转向一致。 v Rv Ra 2 n Ra 22 Ra2 tan O a O 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 3）转动刚体上各点的切向加速 度垂直于转动半径，其指向与角加速 度转向一致。 4）转动刚体

36、一上各点的法向加 速度方向，沿半径指向转轴。 5）任一瞬时各点的全加速度与转 动半径的夹角相同。 v Rv 2 n Ra 2 tan a O a Oan Ra 22 Ra 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 滑轮的半径r =0.2 m，可 绕水平轴O转动，轮缘上缠有 不可伸长的细绳，绳的一端 挂有物体A（如图），已知滑 轮绕轴O的转动规律 =0.15 t3 ， 其中t以s计， 以rad计，试求 t = 2s 时轮缘上M点和物体A 的速度和加速度。 r 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 首先根据滑轮

37、的转动规律，首先根据滑轮的转动规律， 求得它的角速度和角加速度求得它的角速度和角加速度 ， 2 45. 0t t 9 . 0 代入代入 t =2 s， 得得 ， srad 8 . 1 1 2 srad 8 . 1 轮缘上轮缘上 M 点在点在 t =2 s 时的速度时的速度 为为 sm 36. 0 1 rvM 解：解： r 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 2 t sm 360 .ra 22 n sm 648. 0 ra 全加速度 aM 的大小和方向的大小和方向 sm 741. 0 2 2 n 2 t aaaM ,556. 0 tan 2 29 因为物体A与轮缘上M点的运 动不同，前者作直线移动，而 加速度的两个分量 r 第第4 4章章 点的运动与刚体的基本运动点的运动与刚体的基本运动 工程力学工程力学 后者随滑轮作圆周运动，因此， 两者的速度和加速度都不完全相 同。由于细绳不能伸长，物体A 与M点的速度大小相等，A的加 速度与M点切向加速度的大小也 相等，于是有 1 sm 36. 0 MA vv 2 t sm 36. 0 aaA 它们的方向