平面向量的概念及线性运算超级好用值得推荐

1、教师学生姓名上课日期学科数学年级高一教材版本人教A版学案主题课本复习课时数量（全程或具体时间）第（ ）课时授课时段教学目标教学内容平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及其坐标表示个性化学习问题解决1平面向量的线性运算2平面向量的几何意义及其共线条件3考查平面向量基本定理的应用4考查坐标表示下向量共线条件教学重点、难点平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及其坐标表示一、平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零

2、向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1) 交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)()a；

3、()aaa； (ab)ab.4共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合双基自测1(人教A版教材习题改编)D是ABC的边AB上的中点，则向量等于()A BC. D.解析如图，.答案A2判断下列四个命题：若ab

4、，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析只有正确答案A3若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A. B.C. D.解析.答案B4(2011四川)如图，正六边形ABCDEF中，() A0 B.C. D.解析.答案D5设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_.解析由题意知：abk(2ab)，则有：k，.答案考向一平面向量的概念【例1】下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非

5、零向量D有相同起点的两个非零向量不平行审题视点 以概念为判断依据，或通过举反例说明其正确与否解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.答案C 解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其

6、关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同【训练1】 给出下列命题：若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若a与b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确命题的序号是_解析正确，错误答案考向二平面向量的线性运算【例2】如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.0B.0C.0D.0审题视点 利用平面向量的线性运算并结合图形可求解析0，2220，即0.答案A 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要

7、方法，共起点的向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则【训练2】 在ABC中，c，b，若点D满足2，则()A.bc B.cbC.bc D.bc解析2，2()，32bc.答案A考向三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线审题视点 (1)先证明，共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k.(1)证明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共线，又它们有公共点，A，B，D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即(k

8、)a(k1)b.又a，b是两不共线的非零向量，kk10.k210.k1. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点【训练3】 (2011兰州模拟)已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()A2 B1C1 D1解析由ab，ab(，R)及A，B，C三点共线得：t ，所以abt(ab)tatb，即可得所以1.故选D.答案D难点突破11有关平面向量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题，一般难度较大这类问题的特点是背景新颖

9、，信息量大，通过它可考查学生获取信息、分析并解决问题的能力解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在【示例1】 (2012泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2【示例2】 (2011山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的

10、点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC、D可能同时在线段AB上DC、D不可能同时在线段AB的延长线上二、平面向量基本定理及其坐标表示基础梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若

11、向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，当且仅当x1y2x2y10时，向量a，b共线一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a(x，y)当平面向量平行移动到时，向量不变，即(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意

12、义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.双基自测1(人教A版教材习题改编)已知a1a2an0，且an(3,4)，则a1a2an1的坐标为()A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)解析a1a2an1an(3，4)答案C2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c()A3ab B3ab Ca3b Da3b解析设cxayb，则c3ab.答案B3(2012郑州月考)设向量a(m,1)，b(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()A1

13、B1 C2 D2解析设ab(0)，即m且1m.解得m1，由于0，m1.答案A4设向量a(1，3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c()A(4,6) B(4，6) C(4，6) D(4,6)解析设c(x，y)，则4a(3b2a)c0，答案C5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.解析ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.答案1考向一平面向量基本定理的应用【例1】(2012南京质检)如图所示，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则_. 审题视点 由B，H，C三点共线可用向量

14、，来表示.解析由B，H，C三点共线，可令x(1x)，又M是AH的中点，所以x(1x)，又.所以x(1x).答案 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_.解析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB2，则(2,0)，(0,2)，过D作DFAB交AB的延长线于F，由已知得DFBF，则(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得另解：，所以x1，y.答案1考向二平面向量的坐标运

15、算【例2】(2011合肥模拟)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐标和.审题视点 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x，y)，则(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18) 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对

16、角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案B考向三平面向量共线的坐标运算【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得kab与a3b共线，且方向相反？审题视点 根据共线条件求k，然后判断方向解若存在实数k，则kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若这两个向量共线，则必有(k3)(4)(2k2)100.解得k.这时kab，所以kab(a3b)即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，

17、如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值【训练3】 (2011西安质检)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.解析设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3(1m)2(2n)，又c(ab)，3mn0，解得m，n.答案D阅卷报告5平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等【示例】(2011湖南)在边长为1的正三角形ABC中，设误2，3，则_.错因搞错向量的夹角或计算错实录(填错的结论多种)正解由题意画出图形如图所示，取一组基底，结合图形可得()，()22cos 60.答案【试一试】 (2011天津)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_尝试解析以D为原