数字滤波器[数据参考]

1、摘要数字滤波技术是数字信号处理的一个重要组成部分，滤波器的设计是信号处理的核心问题之一。本文根据IIR滤波器的设计原理提出了MATLAB环境下基于双线性变换法和基于脉冲响应不变法来实现IIR数字滤波器。这些方法需要根据数字滤波器的性能指标设计相应的滤波器。MATLAB软件是一个很好的应用软件，MATLAB环境为设计IIR滤波器提供了一个可靠而有效的工作平台。关键词: IIR数字滤波器；系统函数；脉冲相应不变法；双线性变换法；MATLAB实现 目录1 数字滤波器21.1 简述数字滤波器21.1.1 数字滤波器的基本知识21.1.2 数字滤波器设计的基本流程31.2 IIR数字滤波器31.2.1

2、IIR数字滤波器的设计原理31.2.2 脉冲响应不变法41.2.3 双线性变换法41.3 IIR数字滤波器的基本特点51.4 IIR数字滤波器的设计61.4.1 IIR 数字滤波器设计的基本步骤61.4.2 IIR数字滤波器的两种设计方法72 MATLAB82.1 MATLAB的语言特点82.2 MTALAB的功能93 利用MATLAB来实现IIR滤波器123.1 线性相位变换法123.2 脉冲响应不变法的MATLAB实现16结束语23心得体会.24参考文献.251 数字滤波器1.1简述数字滤波器1.1.1 数字滤波器的基本知识数字信号处理（Digital Signal Processing，

3、简称DSP）是一门涉及许多科学而又广泛应用于许多领域的新兴科学，DSP有两种含义：数字信号处理，数字信号处理器。数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。其目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。 说到数字信号处理，我们就不得不说到滤波器。滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。它是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的交流电。滤波器中的典型代表就属数字滤波器。而数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。它可以理解为是一个计算程序或算法，将代表输入信号的数字时间序列转化为代表输出信号的数字时间序列，

4、并在转化过程中，使信号按预定的形式变化。数字滤波实质上就是一种运算过程，实现对信号的运算处理。数字滤波技术是数字信号处理的一个重要组成部分，滤波器的设计是信号处理的核心问题之一。数字滤波器是一个离散时间系统（按预定的算法，将输入离散时间信号转换为所要求的输出离散时间信号的特定功能装置。应用数字滤波器处理模拟信号时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即1/2抽样频率点呈镜像对称。为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数字信号须经数模转换、平滑。数字滤波器具有高精度、高可靠性、

5、可程控改变特性或复用、便于集成等优点。数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处理以及其他应用领域都得到了广泛应用。 1.1.2 数字滤波器设计的基本流程这里介绍了数字滤波器的设计步骤的基本流程，为大家能更好地了解这些知识。数字滤波器技术指标指标参数变换模拟滤波器技术指标相应模拟滤波器设计模拟滤波器离散化数字滤波器图1.1.2 数字滤波器设计步骤1.2 IIR数字滤波器数字滤波器有低通、高通、带通、带阻和全通等类型。它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。而近阶段，我们主要需要了解的是线性时不变的数字滤波器。线性时不变的数字滤波器可分为无限脉冲响应数字滤波器和

6、有限长脉冲响应数字滤波器即IIR数字滤波器和FIR数字滤波器。本文主要论述的是IIR数字滤波器。1.2.1 IIR数字滤波器的设计原理滤波器的设计实质上是寻找一个既能物理实现，又能满足给定频率特性指标要求的系统传输函数。它具有无限持续时间冲激响应,需要用递归模型来实现,其系统函数为: (1.2.1)设计IIR 滤波器的任务就是寻求一个因果、物理上可实现的系统函数H (z) ，使其频率响应满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止、通带衰减和阻带衰减.。1.2.2 脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的方法有很多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。本节先研究脉冲响应

7、不变法。利用脉冲响应不变法设计数字滤波器时可能会导致频域混叠现象，为了克服这一问题，需要找到由s平面到z平面的另外的映射关系，这种关系应保证：1) s平面的整个j轴仅映射为z平面单位圆上的一周；2) 若G(s)是稳定的，由G(s)映射得到的H(z)也应该是稳定的；3) 这种映射是可逆的，既能由G(s)得到H(z)，也能由H(z)得到G(s)；4)如果G(j0)=1，那么1。 如果不考虑频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频响特性，另外数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲击响应波形，时域特性逼近好。但是由于脉冲响应不变法会产生不同程度的频谱混叠失真，只

8、适用于低通、带通滤波器的设计，而不适用于高通、带阻滤波器的设计。1.2.3 双线性变换法为了克服脉冲响应不变法会产生频谱混叠失真的这个缺点，人们又找到了双线性变换法来设计IIR数字滤波器。双线性Z变换的基本思路：首先将整个S平面压缩到一条从/Ts变换到2/Ts 的横带里，然后通过标准的变换关系将横带变换到整个Z平面上去，这样就得到了S平面与Z平面间的一一对应的单值关系。双线性Z变换满足4个条件的映射关系，其变换公式为 (1.2.3) 图 1.2.3就是表现双线性变换法S平面到Z平面的映射关系的。Rezj s平面j1s平面jIm(t)z平面图1.2.3 双线性变换法S 平面到Z 平面的映射关系自

9、然双线性变换法也是有其缺点的，但在这里我们就不详细介绍了。我们要知道只要掌握了这些基本原理，在工程实际中的设计就十分容易了。1.3 IIR数字滤波器的基本特点 要想知道如何设计IIR数字滤波器，我们就必须了解它的基本特点。而IIR数字滤波器的基本特点有以下几点：数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。 IIR数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤

10、波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。在设计一个IIR数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。 IIR数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。 1.4 IIR数字滤波器的设计说完IIR数字滤波器的原理和基本特点，我们就该说下它的设计了。IIR 数字滤波器的设计方法有两类,一类是借助于模拟滤波器的设计方法设计出模拟滤波器,利用脉冲响应不变法或双线性变换法转换成数字滤波器,再用硬件或软件实现；另一类是直接在频域或时域中进行

11、设计,设计时需要计算机作辅助工具。随着MATLAB 软件尤其是MATLAB 的信号处理工作箱的不断完善,不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能,而且还可以使设计达到最优化。1.4.1 IIR 数字滤波器设计的基本步骤(1) 根据任务,确定性能指标。在设计一个滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标如：边界频率：p ，s ，c ；阻带最小衰减As 和通带最大衰减Rp；(2) 将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标。利用冲激响应不变法与双线性变换法进行频率间的转换，主要是边界频率Wp与Ws 的转换。(3) 用模拟滤波器设计方法得到模拟滤波器的传输函数Ha (s) ；可借助巴特沃斯

12、(Butterworth) 滤波器、切比雪夫(Chebyshev) 滤波器、椭圆(Cauer) 滤波器、贝塞尔(Bessel) 滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。(4) 映射实现。利用双线性变换法将模拟滤波器Ha (s) 转换成数字滤波器H(z) 。(5) 用有限精度算法实现这个系统函数H (z) (包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法 )。(6) 用适当的软、硬件技术实现。包括采用通用计算机软件、数字滤波器硬件或者软硬件结合，确定DF采用的结构将会影响其精度、稳定性、经济性及运算速度等很多重要性质。1.4.2 IIR数字滤波器的两种设计方法

13、我们常用的有双线性变换法和脉冲响应不变法来设计IIR数字滤波器。下面我们来论述这两种常用方法的设计步骤。(1) 双线性变换法设计数字滤波器的设计步骤:1、确定数字滤波器的性能指标2、确定相应的数字频率3、计算经过频率预畸的响应参考模拟滤波器的频率4、计算滤波器阶数，归一化频率，从而确定传递函数5、将变换公式带入传递函数即得到数字滤波器的传递函数(2) 脉冲响应不变法设计数字滤波器的设计步骤：脉冲响应不变法的设计过程是按照数字滤波器技术指标要求设计一个过渡模拟低通滤波器H（S）,再按照一定的转换关系将H（S）转换成数字低通滤波器的系统函数H（Z）。脉冲响应不变法一个重要的特点是频率坐标的变换是线

14、性的，其缺点是有频谱的周期延拓，出现混叠现象。为了克服脉冲响应不变法的缺点应该使用双线性变换法，就不存在频谱混叠现象，但是也有缺点，频率变换不是线性的，这可以通过预畸来校正。2 MATLABMATLAB是“矩阵实验室” （MATrix LABoratoy）的缩写，它是由美国Mathworks公司于1984年正式推 出的，是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，专门针对科学、工程计算及绘图的需求。MATLAB 是功能强大的科学及工程计算软件，它不但具有以矩阵计算为基础的强大数学计算和分析功能， 而且还 具有丰富的可视化图形表现功能和方便的程序计算能力。MATLAB的应用领域极为广泛，除数学计算和

15、分析外，还被广泛地应用于自动控制、系统仿真、数字信号处理、图形图像分析、数理统计、人工智能、 虚拟现实技术、通信工程、金融系统等领域，因此,MATLAB是面向21世纪的计算机程序设计及科学计算语言。2.1 MATLAB的语言特点一种语言之所以能如此迅速地普及，显示出如此旺盛的生命力，是由于它有着不同于其他语言的特点，正如同FORTRAN和C等高级语言使人们摆脱了需要直接对计算机硬件资源进行操作一样，被称作为第四代计算机语言的MATLAB，利用其丰富的函数资源，使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来。MATLAB最突出的特点就是简洁。MATLAB用更直观的，符合人们思维习惯的代码，代替了C和FOR

16、TRAN语言的冗长代码。MATLAB给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。以下简单介绍一下MATLAB的主要特点：a.语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。MATLAB程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。可以说，用MATLAB进行科技开发是站在专家的肩膀上。b.运算符丰富。由于MATLAB是用C语言编写的，MATLAB提供了和C语言几乎一样多的运算符，灵活使用MATLAB的运算符将使程序变得极为简短。c.MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，b

17、reak语句和if语句），又有面向对象编程的特性。d.程序限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预定义就可使用。e.程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。f. MATLAB的图形功能强大。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB里，数据的可视化非常简单。MATLAB还具有较强的编辑图形界面的能力。g.MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。h.功能强大的工具箱是MATLAB的另一特色。MATLA

18、B包含两个部分：核心部分和各种可选的工具箱。核心部分中有数百个核心内部函数。其工具箱又分为两类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能，图示建模仿真功能，文字处理功能以及与硬件实时交互功能。功能性工具箱用于多种学科。而学科性工具箱是专业性比较强的，如control,toolbox,signl proceessing toolbox,commumnication toolbox等。这些工具箱都是由该领域内学术水平很高的专家编写的，所以用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高、精、尖的研究。j.源程序的开放性。开放性也许是MATLAB最受人们欢迎的特点。除内部

19、函数以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可读可改的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具箱。2.2 MTALAB的功能MATLAB包含的内容非常丰富，且功能强大，可以概括为以下几个方面：a.可以在多种操作系统下运行，如DOS、Windows 95/98/2000/2000/NT、Compaq Alpha、LinuxSun Solaris等。b.有超过500种的数学、统计、科学及工程方面的函数，使用简单快捷，并且有很强的用户自定义函数的能力。c. 有强大的图形绘制和可视化功能，可以进行视觉数据处理和分析，进行图形、图像的显示及编辑，能够绘制二维、三维图形，使用

20、户可以制作高质量的图形，从而写出图文并茂的文章。d. 有和用其他高级语言（如C，C+，FORTRAN，JAVA）编写的外部程序相接口的能力，也可把MATLAB程序转换成上述高级语言的子程序。e. 有从外部文件及外部硬件设备读入数据的能力。f .有丰富的网络资源，从相关的Web网站可以直接获得全套的MATLAB联机帮助文件和说明书的电子文档，还可以获得各类技术支持与帮助。g. 有丰富的工具箱toolbox。各个领域的专家学者将众多学科领域中常用的算法编写为一个个子程序，即m文件，这些m文件包含在一个个工具箱中。其工具箱可以分为两大类，即功能性工具箱和科学性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充MATL

21、AB的符号计算、图形可视化、建模仿真、文字处理等功能以及与硬件实时交互的功能。学科性工具箱是按学科领域来分类的，如信号处理、控制、通信、神经网络图像处理、系统辨识、鲁棒控制、模糊逻辑、小波等工具箱。MATLAB中的信号处理工具箱内容丰富，使用简便。在数字信号处理中常用的算法，如FFT，卷积，相关，滤波器设计，参数模型等，几乎都只用一条语句即可调用。数字信号处理常用的函数有波形的产生、滤波器的分析和设计、傅里叶变换、Z变换等。在IIR滤波器中MATLAB的应用设计有：butter（巴特沃思数字滤波器）cheby1（切比雪夫I型）cheby2（切比雪夫II型）maxflat（最平滤波器）ellip

22、（椭圆滤波器）yulewalk（递归数字滤波器）bilinear（双线性变换）impinvar（冲激响应不变法）可以看出MATLAB是一个功能十分强大的系统，是集数值计算、图形管理、程序开发为一体的环境。除此之外，MATLAB还具有很强的功能扩展能力，与它的主系统一起，可以配备各种各样的工具箱，以完成一些特定的任务。在国际学术界，MATLAB已经被确认为准确、可靠的科学计算标准软件。在许多国际一流学术刊物上，（尤其是信息科学刊物），都可以看到MATLAB的应用。 在设计研究单和工业部门，MATLAB被认作进行高效研究、开发的首选软件工具。如美国National Instruments公司信号测

23、量、分析软件LabVIEW，Cadence公司信号和通信分析设计软件SPW等，或者直接建筑在MATLAB之上，或者以MATLAB为主要支撑。3 利用MATLAB来实现IIR滤波器3.1线性相位变换法这里我们主要是举几个例子来说明如何利用MATLAB实现用双线性变换法来设计巴特沃思数字滤波器和切比雪夫数字滤波器。1. 利用巴特沃思模拟滤波器,通过双线性变换法设计巴特沃思数字滤波器,数字滤波器的技术指标为0.90Hejw1 , 0|w|0.25Hejw0.18 , 0.35 |w|采样周期为T=1。程序代码T=2; fs=1/T; Wp=0.25*pi/T; Ws=0.35*pi/T; Ap=20

24、*log10(1/0.9);As=20*log10(1/0.18); N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);B,A=butter(N,Wc,s); W=linspace(0,pi,400*pi); hf=freqs(B,A,W); subplot(2,1,1);plot(W/pi,abs(hf)/abs(hf(1); grid on;title(巴特沃斯模拟滤波器);xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);D,C= bilinear (B,A,fs); Hz=freqz(D,C,W); subplot(2,1,2);plot(W/pi,a

25、bs(Hz)/abs(Hz(1); grid on;title(巴特沃斯数字滤波器);xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);进行试验输出图像：2. 通过切比雪夫模拟滤波器，利用双线性变换法设计数字高通滤波器，数字滤波器的技术指标为0.90|H(ejw)| 1, 0.75 |w| |H(ejw)| 0.18, 0|w|0.65采样周期为T=1，并观察T分别为0.01，0.1，0.25，0.5，0.8时数字滤波器的频率响应。程序代码 T=1; fs=1/T; Wp=(2/T)*tan(0.75*pi/2); Ws=(2/T)*tan(0.65*pi/2);

26、Ap=20*log10(1/0.9);As=20*log10(1/0.18); N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s);B,A=cheby1(N,Ap,Wc, high,s); W=linspace(0,7*pi,400*pi); hf=freqs(B,A,W); subplot(2,1,1);plot(W/pi,abs(hf); grid on;title(切比雪夫I型模拟滤波器);xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);w=linspace(0,pi,400*pi); D,C=bilinear(B,A,fs); Hz=freqz(D,

27、C,w); subplot(2,1,2);plot(w/pi,abs(Hz); grid on;title(切比雪夫I型数字滤波器);xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);进行试验输出图像:3.2 脉冲响应不变法的MATLAB实现介绍完双线性变换法的MATLAB实现，下面我们该说如何利用MATLAB实现用脉冲响应不变法来设计巴特沃思数字滤波器和切比雪夫数字滤波器。1利用巴特沃思模拟滤波器,通过脉冲响应不变法设计巴特沃思数字滤波器,数字滤波器的技术指标为0.90|H(ejw)| 1,0|w|0.25|H(ejw)| 0.18,0.35 |w|采样周期为T=

28、2程序代码：T=2; fs=1/T; Wp=0.25*pi/T; Ws=0.35*pi/T; Ap=20*log10(1/0.9);As=20*log10(1/0.18); N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s); B,A=butter(N,Wc,s); W=linspace(0,pi,400*pi); hf=freqs(B,A,W); subplot(2,1,1);plot(W/pi,abs(hf)/abs(hf(1); grid on;title(巴特沃斯模拟滤波器);xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);D,C=impinvar(B

29、,A,fs); Hz=freqz(D,C,W); subplot(2,1,2);plot(W/pi,abs(Hz)/abs(Hz(1); grid on;title(巴特沃斯数字滤波器);xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);进行试验输出图像：观察workspace，可得模拟滤波器技术指标为N=8，Wc=0.4446。2 通过切比雪夫模拟滤波器，利用脉冲响应不变法设计切比雪夫数字滤波器，重做上一题。程序代码:T=2;fs=1/T; Wp=0.25*pi/T; Ws=0.35*pi/T; Ap=20*log10(1/0.9);As=20*log10(1/0

30、.18); N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s); IB,A=cheby1(N,Ap,Wc,s); W=linspace(0,pi,400*pi); hf=freqs(B,A,W); subplot(2,1,1);plot(W/pi,abs(hf)/abs(hf(1); grid on;title(切比雪夫I型模拟滤波器);xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);D,C=impinvar(B,A,fs); Hz=freqz(D,C,W); subplot(2,1,2);plot(W/pi,abs(Hz)/abs(Hz(1); grid

31、on;title(切比雪夫I型数字滤波器);xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);进行试验输出图像：观察workspace，可得模拟滤波器技术指标为N=4，Wc=0.3927。3.利用脉冲响应不变法设计巴特沃思数字高通滤波器，数字滤波器的技术指标为0.90|H(ejw)| 1,0.75 |w| |H(ejw)| 0.18,0|w|0.65采样周期为T=1，比较当T分别为0.01，0.1，0.25，0.5，0.8是的数字滤波器的频率响应，观察是否能够通过改变采样周期来减少滤波器设计中的频谱混叠。程序代码T=1; fs=1/T; Wp=0.75*pi/T;

32、Ws=0.65*pi/T; Ap=20*log10(1/0.9);As=20*log10(1/0.18); N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);B,A=butter(N,Wc,high,s); W=linspace(0,pi,400*pi); hf=freqs(B,A,W); subplot(2,1,1);plot(W/pi,abs(hf); grid on;title(巴特沃斯模拟滤波器);xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);D,C=impinvar(B,A,fs); Hz=freqz(D,C,W); subplot(2,1,2)

33、;plot(W/pi,abs(Hz); grid on;title(巴特沃斯数字滤波器);xlabel(Frequency/Hz);ylabel(Magnitude);进行试验输出图像：当T分别为0.01，0.1，0.25，0.5，0.8是的数字滤波器的频率响应如下几个图像所示：其中，T=0.01“ ”T=0. 1“-”T=0.25“”T=0.5“”T=0.8“ ”由图像可以看出，当采样周期从0.01s增长到0.8s时，数字滤波器的幅度响应逐渐降低，但形状未发生变化仍然出现频谱混叠现象，即在低频区域出现较高的起伏，产生的频谱并非高通滤波器。故对于用脉冲响应不变法设计的巴特沃思高通数字滤波器，无法通过改变采