建筑力学之材料力学第5章(华南理工)

1、 第第5章章 截面的几何性质截面的几何性质 5-1 静矩和形心静矩和形心 =d z A Sy A 面积面积A对对z轴的静矩轴的静矩: =d y A Sz A 面积面积A对对y轴的静矩轴的静矩: 若截面形心的坐标为若截面形心的坐标为yC、 zC(C为截面形心为截面形心), 将面积视为将面积视为 平行力平行力, 即看成是等厚、均质即看成是等厚、均质 薄板的重力薄板的重力, 根据合力矩定理根据合力矩定理: C d = A y A A y C d = A z A A z C = z SA y C = y SA z 当截面形心的位置已知时当截面形心的位置已知时, 用上式可计算静矩。如果截面面用上式可计算

2、静矩。如果截面面 积和静矩积和静矩, 可由该式来确定形心位置可由该式来确定形心位置, 即即: CC =, = y z SS yz AA 显然显然, 如果如果 yC=0, zC=0, 则则: Sz=0, Sy=0 说明说明z轴和轴和y轴一定通过该截面的形心。轴一定通过该截面的形心。 组合截面组合截面: 1 1 = = n zii i n yii i SA y SA z C = z SA y C = y SA z CC =, = y z SS yz AA 11 CC 11 =, = nn iiii ii nn ii ii A yA z yz AA 例例5-1 试求图示试求图示T形截面的形心位置。形

3、截面的形心位置。 解解: 形心一定在对称轴形心一定在对称轴y轴上。轴上。 A =0.072m2, A=0.08m2 y =0.46m, y=0.2m 22 C22 0.072m0.46m+0.08m0.2m = 0.072m0.08m y =0.323m 5-2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 截面对截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩: 2 =d z A IyA 截面对截面对y轴的惯性矩轴的惯性矩: 2 =d y A IzA 截面对坐标原点截面对坐标原点O的极惯性矩的极惯性矩: 2 p= d A IA 显然显然, 截面对轴的惯性矩与对坐标原截面对轴的惯性矩与对坐标原 点的极惯性矩之间存在一定的关系点的

4、极惯性矩之间存在一定的关系, 因为因为: 222 = +zy 所以所以: 2 22 p= +d A IzyA 22 =d +d AA zAyA = + yz II p= +yz III 截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和, 等于截面对该二等于截面对该二 轴交点的极惯性矩。轴交点的极惯性矩。 22 =d , =d zy AA IyA IzA 2 p= d = + yz A IA II 22 =d , =d zy AA IyA IzA 微面积与其坐标微面积与其坐标y, z的乘积的乘积yzdA称称 为微面积为微面积dA对对z, y二轴的惯性积二轴的惯性积, 而把

5、而把 其积分定义为截面对其积分定义为截面对z, y二轴的惯性积二轴的惯性积: =d zy A Iyz A 2 p= d = + yz A IA II 惯性矩惯性矩Iz、Iy和惯性积都是对轴来和惯性积都是对轴来 说的说的, 同一截面对不同轴的数值不同。同一截面对不同轴的数值不同。 极惯性矩是对点极惯性矩是对点(称极点称极点)来说的来说的, 同一同一 截面对不同点的数值不同。截面对不同点的数值不同。 其常用单其常用单 位为位为m4。 =d zy A Iyz A 22 =d , =d zy AA IyA IzA 2 p= d = + yz A IA II =d zy A Iyz A 例例5-2 试求

6、图示矩形截面对试求图示矩形截面对z轴和轴和y轴的惯轴的惯 性矩和对性矩和对z, y轴的惯性积。轴的惯性积。 解解: 先计算对先计算对z轴的惯性矩轴的惯性矩; d = dA by 22 =d =d z AA IyAbyy 3 2 3 2 1 = 312 h h bh by 同理可得同理可得: 3 2 23 2 1 =d = 312 b y bA hb IzA hy 下面讨论惯性积下面讨论惯性积: y轴为对称轴轴为对称轴, 在在y轴两轴两 侧对称位置取相同的微面积侧对称位置取相同的微面积dA, 由于处在对由于处在对 称位置的称位置的zydA值大小相等、符号相反值大小相等、符号相反, 因此因此, 该

7、二微面积对该二微面积对z、y轴的惯性矩之和等于零。轴的惯性矩之和等于零。 将其推广到整个截面将其推广到整个截面, 则有则有: =d =0 zy A Iyz A 22 =d , =d zy AA IyA IzA 2 p= d = + yz A IA II =d zy A Iyz A 例例5-3 求图示箱形截面对求图示箱形截面对z轴的惯性矩。轴的惯性矩。 解解: 在此题中在此题中, A为箱形截面面积为箱形截面面积, 此面积相当于整个矩形面积此面积相当于整个矩形面积A2(bh)减减 去中间部分的面积去中间部分的面积A1(b1h1). 根据惯性根据惯性 矩的定义矩的定义, 箱形截面对箱形截面对z轴的惯

8、性矩为轴的惯性矩为: 21 222 =d =dd z AAA IyAyAyA 3 3 1 1 = 1212 bh bh 22 =d , =d zy AA IyA IzA 2 p= d = + yz A IA II =d zy A Iyz A 例例5-4 求图示圆形截面对圆心求图示圆形截面对圆心O的极惯性矩和对的极惯性矩和对z轴的惯性矩。轴的惯性矩。 解解: 取图示的环形面积为微面积取图示的环形面积为微面积, 即即: d =2dA 由于由于z、y轴通过形心轴通过形心, 所以所以Iz=Iy, 可得可得: 2 p= d A IA 4 2 2 0 =2d = 32 d d p= + =2yzz III

9、I 4 p = 264 z I d I 5-3 惯性矩的平行移轴定理惯性矩的平行移轴定理 主轴和主惯性积主轴和主惯性积 z、y为通过截面形心的一对正交为通过截面形心的一对正交 轴轴, z1、y1为与为与z、y平行的另一对正交平行的另一对正交 轴轴, 平行轴间的距离分别为平行轴间的距离分别为a和和b,截面截面 对对z、y轴的惯性矩轴的惯性矩Iz、Iy为已知为已知. 现求现求 截面对截面对z1、y1轴的惯性矩。轴的惯性矩。 依定义依定义: 1 2 1 =d z A IyA 1= + y y a 1 2 =+d z A Iy aA 22 =d +2d +d AAA yAay AaA 2 = +2+

10、zz IaSa A 因因z轴通过截面形心轴通过截面形心, 故故Sz=0, 从而得从而得: 1 2 = + zz IIa A 同理同理, 截面对截面对y1轴的惯性矩为轴的惯性矩为: 1 2 = + yy IIb A 一、惯性矩的平行移轴公式一、惯性矩的平行移轴公式 5-3 惯性矩的平行移轴定理惯性矩的平行移轴定理 主轴和主惯性积主轴和主惯性积 一、惯性矩的平行移轴公式一、惯性矩的平行移轴公式 二、主轴和主惯性矩二、主轴和主惯性矩 由惯性积的定义可知由惯性积的定义可知, 截面对不截面对不 同的一对正交轴的惯性积是不同的同的一对正交轴的惯性积是不同的, 其值可能为正、也可能为负、还可其值可能为正、也

11、可能为负、还可 能为零。若截面对某一正交坐标轴能为零。若截面对某一正交坐标轴 的惯性积等于零的惯性积等于零, 则该正交坐标轴称则该正交坐标轴称 为主惯性轴或简称主轴为主惯性轴或简称主轴, 截面对主轴截面对主轴 惯性矩称为主惯性矩。惯性矩称为主惯性矩。 当主轴通过截面形心时当主轴通过截面形心时, 则称为形心主轴则称为形心主轴, 或主形心轴或主形心轴, 截面截面 对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 具有对称轴的截面具有对称轴的截面, 如矩形如矩形、工字形等工字形等, 其对称轴就是形心主其对称轴就是形心主 轴轴, 对称轴既是主轴对称轴既是主轴, 又通过形心。又通

12、过形心。 5-4 组合截面惯性矩的计算组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面工程中常遇到组合截面, 这些组合截面有的是由几个简单图这些组合截面有的是由几个简单图 形组成形组成, 有的是由几个型钢截面组成。在计算组合截面对某轴的有的是由几个型钢截面组成。在计算组合截面对某轴的 惯性矩时，惯性矩时， 根据惯性矩的定义，根据惯性矩的定义， 可分别计算各组成部分对该轴可分别计算各组成部分对该轴 的惯性矩，的惯性矩， 然后再叠加。然后再叠加。 例例5-5 试求例试求例5-1中截面的形心主惯性矩。中截面的形心主惯性矩。 解解: 形心位置形心位置(例例5-1)为为 C =0, =0.323m C zy

13、过形心的主轴为过形心的主轴为z0、y0, z0轴到两轴到两 个矩形形心的距离分别为个矩形形心的距离分别为: a =9.137m a =0.123m 例例5-5 试求例试求例5-1中截面的形心主惯性矩。中截面的形心主惯性矩。 解解: 形心位置形心位置(例例5-1)为为 C =0, =0.323m C zy 过形心的主轴为过形心的主轴为z0、y0, z0轴到两轴到两 个矩形形心的距离分别为个矩形形心的距离分别为: a =9.137m a =0.123m 截面对截面对z0轴的惯性矩为两个矩形面积对轴的惯性矩为两个矩形面积对z0轴的惯性矩之和轴的惯性矩之和, 即即: 0 22 1 = + + zzz IIAaIA a 33 2240.6 0.120.2 0.4 =+0.6 0.12 0.137 +0.2 0.4 0.123 m 1212 24 =0.37 10 m 截面对截面对y0轴的惯性矩为轴的惯性矩为: 000 = + yyy III 33 40.12 0.060.4 0.2 =+m 1212 24 =0.242 10 m 例例5-6 求图示工字形截面对求图示工字形截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩(z为形心主轴为形心主轴)。 解解: 方