力学习题课2011

1、1 2 第一章第一章 质点运动学质点运动学 一一 掌握掌握位置矢量、位移、加速度位置矢量、位移、加速度(矢量性、瞬矢量性、瞬 时性和相对性时性和相对性) 二二 掌握掌握运用运动学中两类问题运用运动学中两类问题(由运动方程确定由运动方程确定 质点的位移、速度和加速度质点的位移、速度和加速度;由加速度和初始条件求由加速度和初始条件求 速度、运动方程速度、运动方程) 三三 掌握计算质点在平面内运动时的速度和加速掌握计算质点在平面内运动时的速度和加速 度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切 向加速度和法向加速度向加速度和法向加速度 . 3 一一 掌

2、握掌握牛顿定律的基本内容及其适用条件牛顿定律的基本内容及其适用条件 . 第二章第二章 质点动力学质点动力学 二二 理解理解动量、冲量概念动量、冲量概念, 掌握动量定理和动量掌握动量定理和动量 守恒定律守恒定律 . 三三 掌握掌握功的概念功的概念, 能计算变力的功能计算变力的功, 理解保守理解保守 力作功的特点及势能的概念力作功的特点及势能的概念, 会计算万有引力、重力会计算万有引力、重力 和弹性力的势能和弹性力的势能 . 四四 掌握掌握动能定理动能定理 、功能原理和机械能守恒定律、功能原理和机械能守恒定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法 . 4 第三

3、章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 一一 理解理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系握角量与线量的关系. 二二 理解理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理. 三三 理解理解角动量概念，掌握质点在平面内运角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体 的简单系统的力学问题的简单系统的力学问题. 四四 理解理解刚体定轴转动的转动动能概念，

4、能刚体定轴转动的转动动能概念，能 在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能 守恒定律守恒定律 5 1. 质点的质量为质点的质量为m，置于光滑球面的顶点，置于光滑球面的顶点A处（球面固定不处（球面固定不 动），如图所示，当它由静止开始下滑到球面动），如图所示，当它由静止开始下滑到球面B点时，求点时，求 它的加速度大小。它的加速度大小。 A B mg N F 1 (1 cos ) 2 mgRm 2 /2 (1 cos ) n aRg 2 = sin ag= 22222 4(1 cos )sinagg= a 6 例例2. 2. 在湖中有一小船，岸边有一人用

5、绳子跨过一定滑轮用在湖中有一小船，岸边有一人用绳子跨过一定滑轮用 恒定的速率恒定的速率 拉船靠岸，试分析拉船靠岸，试分析 (1) (1) 船运动的速率比船运动的速率比 大还是比大还是比 小小？ (2) 船是否作匀速运动？加速度多大？船是否作匀速运动？加速度多大？ 0 v 0 v 0 v 0 v h 7 解：建立如图所示坐标系，设船的速度为解：建立如图所示坐标系，设船的速度为 ， 时刻船与时刻船与 岸上岸上 相距相距 ，此时绳长为，此时绳长为 v 0 v h O y x t Ox l 由直角三角形关系得由直角三角形关系得 222 xhl 两边求导两边求导 dd 22 dd lx lx tt 由由

6、 0 d d l v t d d x v t 所以所以0 0 cos vl vv x 222 2 00 3 dd dd vxhh avv ttxx 8 3. 3. 一辆装煤车，以一辆装煤车，以 的速率从煤斗下通过，煤的速率从煤斗下通过，煤 通过漏斗以通过漏斗以 的速率竖直注入车厢，如果车厢的速率竖直注入车厢，如果车厢 的速率保持不变，车厢与钢轨间的摩擦忽略不计，的速率保持不变，车厢与钢轨间的摩擦忽略不计， 求煤车牵引力。求煤车牵引力。 3 m/sv 5 t/s 解：选煤车为系统，由于煤的注入，煤车的质量在改变，解：选煤车为系统，由于煤的注入，煤车的质量在改变， 由牛顿定律由牛顿定律 ddd d

7、dd mvvm Fmv ttt 因车厢作匀速运动，因车厢作匀速运动， d 0 d v t 则煤车的牵引力为则煤车的牵引力为 d d m Fv t 9 解：选煤车和煤为系统，系统的总质量不变。选煤车的运解：选煤车和煤为系统，系统的总质量不变。选煤车的运 动方向为动方向为 方向。设煤车质量为方向。设煤车质量为 ，在，在 时间时间 内注入车厢中煤的质量为内注入车厢中煤的质量为 。设煤车受的牵引力为。设煤车受的牵引力为 ， 在在 方向对系统运用动量定理方向对系统运用动量定理x x dttt m F dm d(d )dF tmm vmvv m d d m Fv t 10 4、一辆停在直轨道（不计摩擦）上

8、质量为、一辆停在直轨道（不计摩擦）上质量为 M 的平板车站着两个人，当的平板车站着两个人，当 他们从车上沿水平同一方向跳下时，车获得一定速度。设两个人的质量他们从车上沿水平同一方向跳下时，车获得一定速度。设两个人的质量 均为均为 m ，跳车时相对车的速度均为，跳车时相对车的速度均为 u 。试计算下列两种情况下车所获。试计算下列两种情况下车所获 得的速度的大小：（得的速度的大小：（1） 两个同时跳下；（两个同时跳下；（2） 两个依次跳下后。两个依次跳下后。 解：解： O x v u 设车运动方向为正方向。设车运动方向为正方向。 车对地速度为车对地速度为 v, 跳车时人相对地的速度为跳车时人相对地

9、的速度为 -u+v. （1）两人同时跳下：由）两人同时跳下：由有有 Mvvum)(20车速车速 Mm mu v 2 2 （2）两人依次跳下：）两人依次跳下： 0)()( 11 vMmvum 122 )()(vmMMvvum 第二个人跳下时第二个人跳下时 2 11 () 2 vmu MmMm 解得解得 第一个人跳下时第一个人跳下时 11 例例5. 5. 一质量为一质量为 ，半径为，半径为 ，的光滑匀质半球，静置于，的光滑匀质半球，静置于 光滑的桌面上，在球顶有一质量为光滑的桌面上，在球顶有一质量为 的质点，由静的质点，由静 止沿球面下滑。试求止沿球面下滑。试求 离开离开 以前的轨迹及以前的轨迹及

10、 绕绕 球心的角速度。球心的角速度。 M m R m M m O O y y x r v 12 O O y y x r v 1 x 2 x 解解:(1):(1)以桌面参考系建立以桌面参考系建立 ，如图所示。由于桌面及球面，如图所示。由于桌面及球面 光滑，所以系统光滑，所以系统(m(m和和M)M)在水平方向动量守恒，因而有在水平方向动量守恒，因而有 oxy 0 x mvMV 式中，式中， 为质点滑动速度；为质点滑动速度； 为半球滑动速度为半球滑动速度 x vV 1 d d x x v t d d x V t 所以所以 1 dd 0 dd xx mM tt 13 12 12 00 dd0 xx m

11、 xM x 对式对式(1)(1)进行积分，并且当进行积分，并且当 ， 0t 12 0 xx 所以所以 12 0mxMx 21 m xx M 由图中几何关系得，由图中几何关系得， 222 12 ()xxyR 将将 代入上式，得代入上式，得 2 x 22 1 22 1 xy R MR Mm 14 (2) (2) 质点相对于质点相对于 点作圆周运动，角速度为点作圆周运动，角速度为 ，线速度，线速度 为为 。于是，相对速度的分量式为。于是，相对速度的分量式为 o r v coscos rxr vvR sinsin ryr vvR 质点相对质点相对 坐标的分速度为坐标的分速度为oxy cos xrx v

12、vVRV sin yry vvR 合速度合速度 222 xy vvv 以质点和半球为一系统，则水平方向动量守恒以质点和半球为一系统，则水平方向动量守恒 0 x mvMV 15 由机械能守恒由机械能守恒 22 11 cos 22 mgRmvMVmgR 解得解得 cos x MR v mM cosmR V mM 2 21cos cos g m R mM 16 7. 如图所示，如图所示，A、B为两个相同的滑轮，为两个相同的滑轮，A滑轮挂一个质量滑轮挂一个质量 为为M的物体，的物体，B滑轮受到拉力滑轮受到拉力F，而且，而且F=Mg，不计滑轮轴，不计滑轮轴 的摩擦，比较这两个滑轮的角加速度的大小的摩擦，

13、比较这两个滑轮的角加速度的大小. MF A B 17 8.如图所示，一轻绳绕过一轻滑轮，两个质量相同的人分如图所示，一轻绳绕过一轻滑轮，两个质量相同的人分 别抓住轻绳的两端。设开始时，两人处在同一高度。此时别抓住轻绳的两端。设开始时，两人处在同一高度。此时 右边的人从静止开始向上爬，而左边的人抓住绳子不动，右边的人从静止开始向上爬，而左边的人抓住绳子不动， 如不计轮轴的摩擦，哪个人先到达滑轮？如不计轮轴的摩擦，哪个人先到达滑轮？ 解：人、滑轮、绳子组成的系统，只解：人、滑轮、绳子组成的系统，只 受到重力矩作用。质量相等，系统角受到重力矩作用。质量相等，系统角 动量守恒。设任意时刻两人相对于地动

14、量守恒。设任意时刻两人相对于地 面的速度分别为面的速度分别为1和和2 1122 0m Rm R 1 m 2 m (爬爬)(不爬不爬) R gm1 gm2 N O 1 v 2 v 爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！ 设角动量以指向纸内为正设角动量以指向纸内为正。 1212 mmvv 若若 ，会出现什么情况？，会出现什么情况？ 21 mm 1 r / r 18 系统所受的合外力矩为系统所受的合外力矩为 21) 0Mmm gR 外 （ 由角动量定理由角动量定理 d d L M t 外 初始时小孩未动，初始时小孩未动， 。 0 0L 系统总角动量系统总角动量 1 12 2 (

15、)LmmRvv 若若 有有 1122 0,mmvv 轻的升得快；轻的升得快； 12 d :0, d L mm t 0L 12 vv 12 d :0,0 d L mmL t 若 112212 0,mmvvvv轻的升得快。轻的升得快。 则则 1 m 2 m (爬爬)(不爬不爬) R gm1 gm2 N O 1 r 1 v / r 以向纸以向纸 内为正内为正 2 v 若若 ，会出现什么情况？，会出现什么情况？ 21 mm 19 19 当较轻的人爬到滑轮处，较重的人离滑轮还有多高当较轻的人爬到滑轮处，较重的人离滑轮还有多高 的距离？的距离？ 若开始时离滑轮的距离均为若开始时离滑轮的距离均为 h 。 设

16、设 m : 较轻人的质量，较轻人的质量， m+M : 较重人的质量。较重人的质量。 由牛顿第二定律，得由牛顿第二定律，得 1 Tmgma 整理得整理得 22 12 22 dd () dd xx MgmmM tt 1 m 2 m (爬爬)(不爬不爬) h m m+M h x TT mg (m+M)g 2 ()()Tm M gm M a 2 1 2 d d x m t 2 2 2 d () d x m M t 20 20 对对 t 积分积分 12 dd () dd xx MgtmmM tt 再对再对 t 积分积分 解得解得) 2 1 ( 2 gth Mm M l 即是较重的人离滑轮的距离。即是较重

17、的人离滑轮的距离。 0 12 0 dd()d tl hh Mgt tm xmMx 1 m 2 m (爬爬)(不爬不爬) h m m+M h x TT mg (m+M)g m m+M l 22 12 22 dd () dd xx MgmmM tt 21 9、 如图所示，如图所示， 长为长为 l 的轻杆，两端各固定一质量分别为的轻杆，两端各固定一质量分别为 m 和和 2m 的小球，杆可绕水平光滑轴的小球，杆可绕水平光滑轴 O 在竖直面内转动，转轴在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为距两端分别为 l/3 和和 2l/3 。原来杆静止在竖直位置。原来杆静止在竖直位置.今有一今有一 质量为质量为 m

18、的小球，以水平速度的小球，以水平速度 v0 与杆下端小球作对心碰撞，与杆下端小球作对心碰撞， 碰后以碰后以 v0/2 返回，试求碰撞后轻杆获得的角速度返回，试求碰撞后轻杆获得的角速度。 解解:由由 0 3 2 v l O l/3 2l/3 v0 v0 / 2 m 2m 22 0 0 2221 ()()2 () 33233 v ml vmlmlml 22 u 0 10、如图所示，、如图所示， 设一转台质量为设一转台质量为 M , 可绕竖直中心轴转动，初可绕竖直中心轴转动，初 角速度为角速度为0 。 有一质量为有一质量为 m 的人以相对于转台的恒定速率的人以相对于转台的恒定速率 u 沿半径从转台中

19、心向边缘走去，求转台转动的角速度与时间沿半径从转台中心向边缘走去，求转台转动的角速度与时间 t 的关系。的关系。 解：解：由由 ) 1 ()( 2 1 0 2 1 22 0 2 mrMRMR 0 2 2 2 2 1 mu t MR )2(utr 把（把（2）代入（）代入（1），得：），得： 23 11、一质量为、一质量为 m 的物体悬于一条轻绳的下端，绳的另一端绕在一轮的物体悬于一条轻绳的下端，绳的另一端绕在一轮 轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为 r ，整个，整个 装置加在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间装置加在

20、光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间 t 内内 下降了一段距离下降了一段距离 s 。试求整个轮轴的转动惯量。试求整个轮轴的转动惯量. 解解: 对滑轮，滑轮所受力距，并根据对滑轮，滑轮所受力距，并根据 ,JTrM z r o m T T mg 滑轮的转动惯量滑轮的转动惯量) 1 ( Tr J 对重物：对重物：)2(rmmaTmg 由由(1),(2),(3) 得得) 1 2 ( 2 2 s gt mrJ )3( 2 1 2 1 22 rtats 若起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率若起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率 匀速上升，匀速上升， 如撤去所加，问经历多少时间圆盘开始做反方向转动？

21、如撤去所加，问经历多少时间圆盘开始做反方向转动？ 0 v 24 选作：选作：12、如图，长为、如图，长为 L ，质量为，质量为 m 的匀质链条，置于水平桌面上，的匀质链条，置于水平桌面上， 链条与桌面之间的摩擦系数为链条与桌面之间的摩擦系数为，下垂部分的长度为，下垂部分的长度为 a 。链条。链条 ，求在链条滑离桌面的过程中，重力和摩擦力所作的功和链，求在链条滑离桌面的过程中，重力和摩擦力所作的功和链 条离开桌面时的速率。条离开桌面时的速率。 解解: （1）重力所作的功：）重力所作的功： a L-a x o y o 链条下端在链条下端在y时，时， p m dAygdy L a L-a x o y

22、 o y x链条下端由位置链条下端由位置 a 滑至滑至 L， 为为 2 2 L L p a a mmg Aygdyy LL 22 1 () 2 mg La L 25 求重力和摩擦力所作的功和链条离开桌面时的速率。求重力和摩擦力所作的功和链条离开桌面时的速率。 （2）链条左端在）链条左端在 x 时，摩擦力所作元功时，摩擦力所作元功 dxxaL L mg A aL f )( 0 () f m LaA L dxgxd 链条左端由坐标原点链条左端由坐标原点o 滑至滑至(L-a)处，处， 为为 2 0 1 () 2 L a mg La xx L a L-a x o y o y x 2 () 2 mg La L 26 )( 2 1 22 aLmg L Ap （3）根据）根据动能定理动能定理 2 1 0 2 pf AAmv 222 ()() g vLaLa L 2222 )()(aLaL L g v 2 )( 2 aL L mg A f a L-a x o y o 2222 2 1 )( 2 )( 2 mvaL L mg aL L