傅里叶变换及拉普拉斯变换

1、 1n nn0 )tnsinbtncosa(a 2 1 )t (f )t (f )t (f dt)t (f 2T 2T 式中，式中， dttncos)t (f T 2 a 2T 2T n dttnsin)t (f T 2 b 2T 2T n T2 式中式中 称为角频率称为角频率 n tjn ne a)t (f )t (f dte )t (f T 1 a 2T 2T tjn n （2-7） （2-6） )t (f T2 0 000 n)1n( 0 n n tj ne a)t(f dte )t (f 2 dte )t (f 2 a 2T 2T tj 2T 2T tj0 n dedte )t (f

2、2 1 )t (f tjtj T d dte )t(f)(F tj de )(F 2 1 )t (f tj 对对x取对数变换，即令取对数变换，即令 ，则有为，则有为 利用对数变换，我们可以将正数的利用对数变换，我们可以将正数的乘、除乘、除运算变运算变 为对数的为对数的加、减加、减运算。运算。 例：例： n210 10,10,10,10 x n,2 , 1 ,0y xlgy 对数变换对数变换 n210 10,10,10,10 x blgalgablg blgalg b a lg js sF j1j 2 sF )t (f)s(F 拉氏变换拉氏变换j s 设设 是分段连续的时间函数，当是分段连续的时

3、间函数，当t0t0时，有时，有 ，若无穷积分，若无穷积分 收敛，则可得到收敛，则可得到 一个以一个以s s为变量的新函数，记为为变量的新函数，记为 ，即：，即： 上式称为上式称为Laplace变换的定义式，简记为变换的定义式，简记为： 其中：其中： 0tf 0 stdt e )t (f tf js 0 st dte )t (f)s(F )t (fL)s(F )s(F ，为复变量，为复变量 为需要变换的函数，称为为需要变换的函数，称为原函数；原函数； 为变换后所得的函数，称为为变换后所得的函数，称为 的拉普拉的拉普拉 氏变换，或称为氏变换，或称为象函数；象函数； Laplace变换为单值变换，即

4、变换为单值变换，即 和和 有一一有一一 对应的关系。对应的关系。 0 st dte )t (f)s(F )t (fL)s(F )s(F tf tf )s(F tf 可求得，可求得， 的拉氏变换为：的拉氏变换为： )0t (e )0t (0 )t (f at )(sX ) s (F t )sa( 0t t )sa( t 0 t )sa( 0 t )sa(st 0 atst 0 elimelim sa 1 e sa 1 dtedteedte )t (f)s(F 1elim t )sa( 0t 0elim t )sa( t 注意：为使积分收敛，这里假设注意：为使积分收敛，这里假设(a-s)(a-s)

5、的实部小于零的实部小于零 as 1 )10( sa 1 )s(F )t (f 当 变量置换法变量置换法 0saRe 时，有 易知： as 1 e as 1 dte dteedte )t (ftfL)s(F 0 tas 0 tas 0 stat 0 st 在复平面上在复平面上 有一个有一个极点极点 注意：为使积分收敛，这里假设注意：为使积分收敛，这里假设(s+a)(s+a)的实部大于零，但的实部大于零，但 求出求出F(s)F(s)后，除后，除F(s)F(s)的极点外，在整个的极点外，在整个s s平面上均成立平面上均成立 复变函数的解析连续性复变函数的解析连续性 0t,0 0t,e )t (f a

6、t )s(F 注意：注意：A=1，称为，称为单位阶跃函数单位阶跃函数，记为，记为1(t)，且有，且有 f(t) A 0t s A )10( s A e s A )st(de s A dtAedte )t (f)s(F 0 st 0 st 00 stst s 1 )t (1L )0t (A )0t (0 )t (f 20 st s 1 dttet L f(t) t 0 A 1 注意：注意：A=1，称其为，称其为单位斜坡函数单位斜坡函数。 20 st s A dtAte)t (fL )0t (At )0t (0 )t (f 00 ststst dttesdtedt)te( 0 0 st 0 st

7、0 st dttes s e te 0 st dttes s 1 0 ststststst steetdee)te( vuvu)uv( 20 st s 1 dtte c)t (fdt)t (f cedte tt 00 0 , sin, t ft t t 00 0 , cos, t ft t t 11 22 sin,cos j tj tj tj t teetee j 22 22 1111 22 1111 22 sin cos sjsj Lt jsjsjjsjsjs sjsjs Lt sjsjsjsjs Adt)t ( f 0 0 0 0 0 lim(0) 0(0,) t A tt tft ttt

8、 L f tA f (t) 0 t 脉冲函数的拉氏变换为：脉冲函数的拉氏变换为： t注意：注意：A=1，称其为单位脉冲函数，记为，称其为单位脉冲函数，记为 1)t (L )s(F)s(F)t (f) t (fL 2121 （2）叠加性 )s(aF)t (afL 0 d Lf tsF sf dt 1(2)(1) 000 n nnnn n d Lf ts F ssfsff dt )0()0()( )( 2 2 2 fsfsFs dt tfd L )s(Fs dt )t (fd L 2 2 2 )s(sF dt )t (df L )s(Fs dt )t (fd L n n n 0)0(f)0(f)0

9、(f)0(f )1n( s f s sF dttfL )0()( )( )1( s f s f s sF dttfL )0()0()( )( )2( 2 )1( 2 2 n n s )s(F )dt)(t (fL 1 0ff t dt f(t)的拉氏变换的拉氏变换 0 t s 0 e )s(Fe)t (fL s 0 0 )t (f )t (f 0 0 )t (f )t (f 0 f t at e at L f t eF sa 2 2 sin at L et s a lim t f t 0 limlim ts f tsF s 注意：注意： 若若 时，时，f(t)极限极限 不存在，也就不能不存在，

10、也就不能 用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用 终值定理。终值定理。 时域函数的终值（稳态值），可由象函数求出。时域函数的终值（稳态值），可由象函数求出。 t )t(flim t lim s sF s 0lim s fsF s 用象函数可求出原函数在0+时刻的初始值。 )s(F)s(Fd )t (f )(fLd )(f )t (fL 21 t 0 21 t 0 21 即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 )5s( s 5 )s(F 2 )1s( 1 )s(F )0(f)0( f 和 1 )5s( s 5 slim)s(Fsl

11、im)t (flim 0s0st 0 )1s( 1 slim)s(Fslim)0(f 2 ss 2 )1s( s )s(sF dt )t (df L 1 1s2s s lim )1s( s slim)0(f 2 2 s 2 s )s(FL 1 )0t(dse )s(F j2 1 )s(FL)t(f jC jC st1 一一对应 f(t) F(s) 1 ftLF s sA sB sF sFsFsFsF n 21 1111 12n ftLF sLFsLFsLFs )s(A )s(B asasas bsbsbsb )s(F 01 1n 1n n 01 1m 1m m m )(mn )ss()ss)(

12、ss( )s(B )s(F n21 )s(F n n 2 2 1 1 ss c ss c ss c n21 s,s,s其中：其中： 为为n个不互不相等的单根；个不互不相等的单根； 为待定系数为待定系数 ，由留数定理可确定，由留数定理可确定 各项系数各项系数 。 n21 c ,c ,c i c n n 2 2 1 1 ss c ss c ss c )s(F i ss i ss ii )ss()s(Fc 称为极点称为极点 所对应的留数，所对应的留数， i c 方程两边取拉氏反变换，可得：方程两边取拉氏反变换，可得： n 1i ts i n 1i i i 1 n n 2 2 1 1 1 1 i ec

13、 ss c L ss c ss c ss c L )s(FL)t (f 若若 as 1 e at 32)3)(2( 1 65 1 )( 21 2 s c s c ss s ss s sF 1)2s()s(Fc 2s 1 2)3s()s(Fc 3s 2 3s 2 2s 1 )s(F )0t (e2e 3s 2 L 2s 1 L)s(FL)t (f t3t2 111 则可将则可将 展开以下形式：展开以下形式： )s(A )s(B asasas bsbsbsb )s(F 01 1n 1n n 01 1m 1m m m )(mn r 21 )ss)(ss( )s(B )s(F )s(F 2 r2 1r

14、 2 22 r 2 21 1 1 ss c )ss( c )ss( c ss c )s(F 其中，单根所对应的留数求法同上，重根所对应的留数为：其中，单根所对应的留数求法同上，重根所对应的留数为： 2 ss r 221 )ss()s(Fc 2 ss r 222 )ss()s(F ds d )!12( 1 c 2 ss r 2 1r 1r r2 )ss()s(F dt d )!1r( 1 c 重根所对应的留数为：重根所对应的留数为： 两边取拉氏反变换，查拉氏变换表可得：两边取拉氏反变换，查拉氏变换表可得： ts0 r2 2r 22 1r 21 ts 1 21 et !0 c t )!2r( c

15、t )!1r( c ec)t (f 2 r2 1r 2 22 r 2 21 1 1 ss c )ss( c )ss( c ss c )s(F r at1r )as( )!1r( et L at1r r 1 et )!1r( 1 )as( 1 L 1r atr )as( !r et L 1s c s c s c )1s(s 1 )s(F 212 2 11 2 )1s(s 1 )s(F 2 t1 2 e1t)s(FL)t (f 1s 1 s 1 s 1 )s(F 1 s 1 )1s()s(Fc 1s 2 1s2 1 1s 1 ds d s)s(F ds d )!12( 1 c 0s0s 2 12

16、1 1s 1 s)s(Fc 0s0s 2 11 tt teetf sss sF cba cssbssa s c s b s a sF ss sF 1)( )1( 1 1 11 )( 1, 1, 1 1)1()1( )1(1 )( )1( 1 )( 2 2 2 2 对应项系数相等得 则 解： 的逆变换 n n 3 3 22 21 ss c ss c )as( AsA )s(F 利用实部和虚部相等联立求解，可得利用实部和虚部相等联立求解，可得A1、A2的值，当的值，当 然也可用待定系数法求然也可用待定系数法求A1、A2的值。的值。 2 1 2 1 ss ss21 ss ss21 AsA)ss)(s

17、s()s(F 或或或或 jas 2 ,1 其中，单根所对应的留数求法同上，其中，单根所对应的留数求法同上，A1、A2可按下式求得：可按下式求得： 上述变换对中，分母的根均为共轭复数根的形式，上述变换对中，分母的根均为共轭复数根的形式， 其对应的拉氏反变换均为正弦、余弦的形式。其对应的拉氏反变换均为正弦、余弦的形式。 js 2 ,1 jas 2 ,1 )1ss( s 1s )s(F 2 ,0s1 j 2 3 2 1 s 3 ,2 1ss AsA s c )s(F 2 211 1 1ss 1s s)s(Fc 0s 20s 1 )1ss( s 1s )1A(s )1A( 1ss AsA s 1 )s(F 2 2 2 1 2 21 11A 01A 2 1 0A 1A 2 1 1ss s s 1 )s(F 2 22 2 ) 2 3 () 2 1 s( s s 1 1ss