全等三角形-斜边直角边判定

1、第第12章章 全等三角形全等三角形 12.2 三角形全等的判定三角形全等的判定 1 1、判定两个三角形全等方法，、判定两个三角形全等方法， ， ， ， 。 SSSASAAASSAS 3 3、如图，、如图，AB BEAB BE于于B B，DE BEDE BE于于E E， 2 2、如图、如图,Rt ,Rt ABC ABC中，直角边中，直角边 、 ，斜，斜 边边 。A B C BC AC AB （1 1）若）若 A= A= D D，AB=DEAB=DE， 则则 ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等”或或 “不全等不全等”） 根据根据 （用简写法）用简写法） A B C D E F 全等

2、全等 ASA A B C D E F （2 2）若）若 A= A= D D，BC=EFBC=EF， 则则 ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等” 或或“不全等不全等”）根据）根据 （用用 简写法）简写法） AAS 全等全等 （3 3）若）若AB=DEAB=DE，BC=EFBC=EF， 则则 ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等”或或 “不全等不全等”）根据）根据 （用简写法）用简写法） 全等全等 SAS （4 4）若）若AB=DEAB=DE，BC=EFBC=EF，AC=DFAC=DF 则则 ABCABC与与 DEFDEF （填（填“全等全等”或或 “不全等不全等”）

3、根据）根据 （用简写法）用简写法） 全等全等 SSS 想一想想一想 对于一般的三角形对于一般的三角形“S.S.A”可可不可以不可以 证明三角形全等证明三角形全等?AAA？A BC D 但直角三角形作为特殊的三角形但直角三角形作为特殊的三角形, , 会不会有自身独特的判定方法呢会不会有自身独特的判定方法呢 ? ? 不可以不可以.AAA也不可以也不可以. 动动手动动手 做一做做一做 画一个画一个RtRtABC,ABC,使得使得C=90C=90, ,一一 直角边直角边CA=8cm,CA=8cm,斜边斜边AB=10cm.AB=10cm. A B C 10cm10cm10cm10cm10cm 8cm8c

4、m8cm8cm8cm A B C 10cm10cm10cm10cm10cm 8cm8cm8cm8cm8cm A B C 10cm10cm10cm10cm10cm 8cm8cm8cm8cm8cm RtRtABCRtABCRtABCABC 直角三角形全等的条件直角三角形全等的条件 斜边斜边和和一条直角边一条直角边对应相等的两个对应相等的两个直角三角形直角三角形 全等全等. 简写成简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”. 此定理只对此定理只对直角三角形直角三角形适用，其他三角形不能适用，其他三角形不能 用。用。 斜边、直角边公理斜边、直角边公理 (HL)推理格式推理格式 A B C A B

5、C 在RtABC和Rt 中 AB= BC= RtABC CBA BA CB C=C=90 Rt CBA (HL) 想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角你能够用几种方法说明两个直角三角 形全等？形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不直角三角形是特殊的三角形，所以不 仅有一般三角形识别全等的方法仅有一般三角形识别全等的方法:SAS、 ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊，还有直角三角形特殊 的识别方法的识别方法“HL”. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 一条

6、直角边及一个锐角对应相等的两个直角三角一条直角边及一个锐角对应相等的两个直角三角 形全等形全等 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角 三角形全等三角形全等 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的 两个直角三角形全等两个直角三角形全等 判断下列命题的真假，并说明理由判断下列命题的真假，并说明理由 下面是一位经历过战争的老人讲述的一个故事：下面是一位经历过战争的老人讲述的一个故事： 在一次战役中，在一次战役中， 我军阵地与敌我军

7、阵地与敌 军碉堡隔河相军碉堡隔河相 望望. .为了炸掉这为了炸掉这 个碉堡，需要个碉堡，需要 知道碉堡与我知道碉堡与我 军阵地的距离军阵地的距离. . 在不能过河测在不能过河测 量又没有任何量又没有任何 测量工具的情测量工具的情 况下，如何估况下，如何估 测这个距离呢？测这个距离呢？ 一位战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的一位战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的 方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好 落在碉堡的底部落在碉堡的底部. .然后，他转过一个角度，保持刚然后，他转过一个角度，保持刚 才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点才的姿态，这

8、时视线落在了自己所在岸的某一点 上上. .接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距 离，这个距离就是他与碉堡间的距离离，这个距离就是他与碉堡间的距离. . 你能解释其中的道理吗？你能解释其中的道理吗？ A B D C 12 解：在解：在ADBADB与与ADCADC中，有中，有 1=21=2， AD=AD=ADAD, , ADB=ADC=90 ADB=ADC=90. . ADBADBADC (ASA) .ADC (ASA) . DB=DC (DB=DC (全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等).). 家庭作业：家庭作业： P79 P79 习题习题 6

9、6 P97 8P97 8、9 9 例例4 如图如图19218，已知，已知ACBD， CD90， 求证求证RtABC RtBAD 图 19.2.18 证明证明 CD90， ABC与与BAD都是直角三角形都是直角三角形 在在RtABC与与RtBAD中，中， ABBA， ACBD， RtABC RtBAD（HL）. 1 如图，在如图，在 ABC 中，中，BDCD， DEAB， DFAC， E、F为垂足，为垂足，DEDF，求证：，求证： BED CFD 练习练习: 证明证明 ： DEAB， DFAC，E、F为垂足为垂足 BED=CFD=90 BED和和CFD都是直角三角形都是直角三角形 在在RtBED

10、与与RtCFD中中, DEDF BDCD BED CFD(H.L) 2.如图，如图，ACAD， CD90，求证：，求证： BCBD 证明证明: CD90 ABC与与ABD都是直角三角形都是直角三角形 在在RtABC与与RtABD中中 AB=AB（公共边）（公共边） AC=AD RtABC RtABD（HL） BC=BD(全等三角形对应边相等）全等三角形对应边相等） 3. . 如图，两根长度为如图，两根长度为1212米的绳子，一端系在旗杆米的绳子，一端系在旗杆 上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩 离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。离旗杆

11、底部的距离相等吗？请说明你的理由。 解：BD=CD 因为因为ADB=ADC=90 在在Rt ADB和和RtADC中中, AB=AC AD=AD 所以所以RtRt ADB RtRtADC ( (HLHL) ) 所以所以BD=CD 例例2.2.已知已知: :如图如图,AB,ABCD,DEAC,BFAC,CD,DEAC,BFAC,垂足分别垂足分别 为为E,F,DEE,F,DEBF.BF. 求证求证: :(1)AE(1)AECF;(2)ABCD.CF;(2)ABCD. B C A E E D F (1)(1)DEAC,BFACDEAC,BFAC证明：证明： ABFABF和和CDECDE都是直角三角形都

12、是直角三角形 在在RtRtABFABF和和RtRtCDECDE中中 AB=CDAB=CD DE=BFDE=BF RtRtABCRtABCRtBADBAD AF=CEAF=CE AE=CFAE=CF AF-EF=CE-EFAF-EF=CE-EF (2)Rt(2)RtABCRtABCRtBAD BAD C CA A ABCD.ABCD. 例例3.3.在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，直线，直线DE DE 经过点经过点C C，ADDEADDE，BEDEBEDE，垂足为，垂足为D D，E E， 求证：求证：AD=CEAD=CE D E A B C 1 2 ADDEA

13、DDE 证明：证明： D=90D=90 ACB+ACB+1=D+21=D+2 而而ACB=90ACB=90 1=21=2 在在RtRtADCADC和和RtRtBCEBCE中中 1=21=2 D=D=E=90E=90 AC=BCAC=BC RtRtADCRtADCRtBCEBCE AD=CEAD=CE 例例4.4.已知：如图，在已知：如图，在ABCABC和和DEFDEF中中,AP,AP、DQDQ分别分别 是高是高, , 且且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF, 求证：求证：ABCABCDEFDEF A BCP E F Q D APAP、DQDQ分别是高

14、分别是高证明：证明： ABPABP和和DEQDEQ都是直角三角形都是直角三角形 AB=DE,AP=DQAB=DE,AP=DQ ABPABPDEQDEQ B=EB=E 在在ABCABC和和DEFDEF 中中 BAC=EDFBAC=EDF AB=DEAB=DE B=EB=E ABCABCDEFDEF A F C E D B 如图，如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CFAB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF 求证：求证：BF=DEBF=DE 巩固练习 A F C E D B 如图，如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CFAB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF 求证：

15、求证：BDBD平分平分EFEF G G 变式训练1 如图，如图，AB=CD, BFAC,DEAC,AE=CFAB=CD, BFAC,DEAC,AE=CF 想想：想想：BDBD平分平分EFEF吗吗? ? C D A F E B G 变式训练2 2 如图，已知12， AOBO，求证： AOP BOP 证明证明:在在AOP与与BOP中，中， AOBO， 12， OPOP， AOP BOP（S.A.S.） 习题 1 如图，已知ABDC， ACDB，求证： ABC DCB 证明证明:在在ABC和和DCB中，中， ABDC， ACDB（已知），（已知）， 又又BCCB（公共边），（公共边）， ABC DCB（SSS） 3 要使下列各对三角形全等，还需要增加什 么条件？ （1） AD， BF； （2） AD， ABDE （1）ABDF（ASA） 或或ACDE（AAS） 或或BCFD（AAS） （2）ACDF（SAS） 或或BE（ASA） 或或CF（AAS） 4 如图，已知ABAC， BDCE，求证： ABD ACE 证明证明ABAC， BC 在在ABD与与ACE中，中， ABAC， BC， BDCE， ABD ACE（S.A.S.） 5 如图，已知AB与CD相交于