2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.1 平面几何中的向量方法训练新人教A版必修第二册

1、2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.1 平面几何中的向量方法训练新人教a版必修第二册2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.1 平面几何中的向量方法训练新人教a版必修第二册年级：姓名：6.4.1平面几何中的向量方法课后训练提升基础巩固1.已知a,b,c,d四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为()a.梯形b.菱形c.矩形d.正方形解析ab=(3,3),cd=(-2,-2),ab=-32cd,ab与cd共线.又|ab|cd|,该四边形为梯形.答案a2.如图,bc,de是半径为1的圆o的两条直径,bf=2

2、fo,则fdfe的值是()a.-34b.-89c.-14d.-49解析因为fd=fo+od,fe=fo+oe,且od=-oe,所以fdfe=(fo+od)(fo+oe)=fo2-od2=19-1=-89.答案b3.在四边形abcd中,若ac=(1,2),bd=(-4,2),则该四边形的面积为()a.5b.25c.5d.10解析acbd=0,acbd.四边形abcd的面积s=12|ac|bd|=12525=5.答案c4.如图所示,在矩形abcd中,ab=4,点e为ab的中点,且deac,则|de|等于()a.52b.23c.3d.22解析以a为坐标原点,ab,ad的方向分别为x轴、y轴正方向建立

3、直角坐标系如图所示.设|ad|=a(a0),则a(0,0),c(4,a),d(0,a),e(2,0),所以de=(2,-a),ac=(4,a).因为deac,所以deac=0,所以24+(-a)a=0,即a2=8.所以a=22,所以de=(2,-22),所以|de|=22+(-22)2=23.答案b5.在abcd中,ad=1,bad=60,e为cd的中点,若acbe=1,则ab的长为()a.1b.12c.13d.32解析设ab的长为a(a0),因为ac=ab+ad,be=bc+ce=ad-12ab,所以acbe=(ab+ad)ad-12ab=12abad-12ab2+ad2=-12a2+14a

4、+1.由已知,得-12a2+14a+1=1,又因为a0,所以a=12,即ab的长为12.答案b6.在四边形abcd中,ab=-cd,acbd=0,则四边形为()a.平行四边形b.矩形c.等腰梯形d.菱形解析ab=-cd,即ab=dc,ab与dc平行且相等,四边形abcd是平行四边形.又acbd=0,acbd,即acbd,abcd是菱形.答案d7.点o是三角形abc所在平面内的一点,满足oaob=oboc=ocoa,则点o是abc的()a.三个内角的角平分线的交点b.三条边的垂直平分线的交点c.三条中线的交点d.三条高线的交点解析oaob=oboc,(oa-oc)ob=0,obca=0,obac

5、.同理oabc,ocab,o为三条高线的交点.答案d8.已知在矩形abcd中,ab=2,ad=1,e,f分别为bc,cd的中点,则ef=,(ae+af)bd=.解析如图,以a为坐标原点o,以ab,ad的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,则a(0,0),b(2,0),d(0,1),c(2,1).e,f分别为bc,cd的中点,e2,12,f(1,1),ef=-1,12,ef=(-1)2+122=52,ae+af=3,32,bd=(-2,1),(ae+af)bd=3(-2)+321=-92.答案52-929.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于a,b两点,若|ab|=3,则

6、oaob=.解析如图,作odab于点d,则在rtaod中,oa=1,ad=32,所以aod=60,aob=120,所以oaob=|oa|ob|cos120=11-12=-12.答案-1210.已知点a(-1,2),b(0,-2),且2|ad|=3|bd|,若点d在线段ab上,求点d的坐标.解设d(x,y),由题意知,2|ad|=3|bd|,且点d在线段ab上,所以2ad=3db,即2(x+1,y-2)=3(-x,-2-y).所以2x+2=-3x,2y-4=-6-3y,解得x=-25,y=-25.故点d的坐标为-25,-25.11.已知在正方形abcd中,e,f分别是cd,ad的中点,be,cf

7、交于点p.求证:(1)becf;(2)ap=ab.证明建立平面直角坐标系如图所示,设ab=2,则a(0,0),b(2,0),c(2,2),e(1,2),f(0,1).(1)be=(-1,2),cf=(-2,-1).becf=(-1)(-2)+2(-1)=0,becf,即becf.(2)设点p坐标为(x,y),则fp=(x,y-1),fc=(2,1),fpfc,x=2(y-1),即x=2y-2,同理,由bpbe,得y=-2x+4,由x=2y-2,y=-2x+4,得x=65,y=85,点p的坐标为65,85.|ap|=652+852=2=|ab|,即ap=ab.能力提升1.在abc中,d为bc边的

8、中点,已知ab=a,ac=b,则下列向量中与ad同向的是()a.a+b|a+b|b.a|a|+b|b|c.a-b|a-b|d.a|a|-a|b|解析ad=12ab+12ac=12(a+b),而a+b|a+b|是与a+b同方向的单位向量.故选a.答案a2.在abc中,ab=3,ac=2,bd=12bc,则adbd的值为()a.-52b.52c.-54d.54解析因为bd=12bc,所以点d是bc的中点,则ad=12(ab+ac),bd=12bc=12(ac-ab),所以adbd=12(ab+ac)12(ac-ab)=14(|ac|2-|ab|2)=14(22-32)=-54.故选c.答案c3.如

9、图,在矩形abcd中,ab=2,bc=2,点e为bc的中点,点f在边cd上,若abaf=2,则aebf的值是()a.2b.2c.0d.1解析af=ad+df,abaf=ab(ad+df)=abad+abdf=abdf=2|df|=2,|df|=1,|cf|=2-1,aebf=(ab+be)(bc+cf)=abcf+bebc=-2(2-1)+12=-2+2+2=2.故选a.答案a4.如图,设p为abc内一点,且2pa+2pb+pc=0,则sabpsabc=()a.15b.25c.14d.13解析设ab的中点是d,连接pd(图略).pa+pb=2pd=-12pc,pd=-14pc,p为cd的五等分

10、点,abp的面积为abc的面积的15.答案a5.已知abc是边长为1的等边三角形,点d,e分别是边ab,bc的中点,连接de并延长到点f,使得de=2ef,则afbc的值为()a.-58b.18c.14d.118解析方法一:以e为坐标原点,ec,ea的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系如图所示,则a0,32,b-12,0,c12,0,e(0,0),d-14,34,由de=2ef,得f18,-38,则af=18,-538,bc=(1,0),所以afbc=18.方法二:afbc=ad+32debc=12ab+34acbc=12abbc+34acbc=-14+38=18.答案b6.已知a,

11、b是圆心为c,半径为5的圆上的两点,且|ab|=5,则accb=.解析由弦长|ab|=5,可知acb=60,故accb=-cacb=-|ca|cb|cosacb=-52.答案-527.如图所示,若d是abc内的一点,且ab2-ac2=db2-dc2,求证:adbc.证明设ab=a,ac=b,ad=e,db=c,dc=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2ec-2ed-d2,又已知a2-b2=c2-d2,所以ec=ed,即e(c-d)=0,得adcb=0,所以adbc.8.在rtabc中,c=90,bc=4,ac=6,求两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值.解方法一:如图(1),在rtabc中,c=90,d,e分别是bc,ac边的中点,bc=4,ac=6.(1)则cd=2,ce=3,|ad|=ac2+cd2=40=210,|be|=bc2+ce2=5,adeb=(ac+cd)(ec+cb)=acec+accb+cdec+cdcb=63+0+0+24=26.设ad与eb的夹角为,则cos=adeb|ad|eb|=262105=131050.故直线ad与be所夹的锐角的余弦值为131050.方法二:如图(2)所示,(2)以c为坐标原点,cb,ca的方向分别为x轴、y轴正