习题课：带电粒子在电磁场中的运动

1、 带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中的运动 习题课：习题课： qB mv r qB m v r T 22 （2）VB 匀速圆周运动匀速圆周运动 （1）V / B 匀速直线运动匀速直线运动 （3）V与与B夹夹时时 等距螺旋运动等距螺旋运动 （1）找圆心）找圆心: 讨论讨论: 如何确定带电粒子圆周运动圆心如何确定带电粒子圆周运动圆心O、 半径半径r和运动时间和运动时间t？ O AV B V 一一.带电粒子在有界场中的运动：带电粒子在有界场中的运动： O B AV （2）求半径）求半径: 几何方法几何方法-三角形知识三角形知识 （3）算时间：）算时间： Tt 2 v r t 在在m、v、

2、q、B四个量中某个量四个量中某个量 未知的情况下：未知的情况下： 【例1】一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P （a，0）点以速度v，沿与x正方向成60的方向射入第 一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象 限。求： （1）匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。 （2）带电粒子在磁场中的运动时间是多少？ 1.单边界磁场：单边界磁场： 粒子以多大的角度入射，就以多大的角度出射粒子以多大的角度入射，就以多大的角度出射 2.双边界磁场双边界磁场: 【例2】如图，匀强磁场区域宽度为d，磁感应强度大 小为B，带电粒子质量为m，电荷量为q，沿垂直于磁 场方向以一定的初速度射入磁场，其速度与

3、磁场边界 cd的夹角为. (1)若粒子带正电，粒子从右边界ef边射出，试求粒子 能在磁场中运动的最长时间t； (2)若粒子带负电，粒子从左边界cd边射出，试求粒子 能在磁场中运动的最大速度v。 【例3】长为L的平行极板间，有垂直纸面向里的匀强 磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离为L，板 不带电现在质量为m、电量为q的正电粒子(不计重 力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v平行极 板射入磁场，欲使粒子不打在极板上，求粒子入射的 速度范围 。 【例4】如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满 方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场， 在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向

4、跟 ad边夹角 = 30、大小为v0的带正电粒子，已知粒 子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒 子重力不计， 求：（1）粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围. （2）如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求 粒子在磁场中运动的最长时间. 3.矩形边界磁场：矩形边界磁场： 4.圆形边界磁场圆形边界磁场: 圆形磁场圆形磁场 圆形轨迹圆形轨迹 O O 若粒子沿与半径成若粒子沿与半径成角入射角入射, , 粒子将沿与半径成粒子将沿与半径成 角出射角出射. 圆形磁场圆形磁场 圆形轨迹圆形轨迹 O 若粒子沿半径方向若粒子沿半径方向入射入射, , 则粒子将沿半径方向则粒子将沿半径方向出射出

5、射. r R r R 2 tan 【例5】电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量 为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电 压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所 示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。 当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。 为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束 偏转一已知角度，此时磁场的磁感强度B应为多少？ 【例6】在真空中，半径r3102 m的圆形区域内 有匀强磁场，方向如图2所示，磁感应强度B0.2 T， 一个带正电的粒子以初速度v01106 m/s从磁场边 界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷 q/m

6、1108 C/kg，不计粒子重力 (1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时 v0与ab的夹角及粒子的最大偏转角 5.动态圆问题动态圆问题: 速度方向不变速度方向不变,大小可变大小可变; 【例3】【例4】 【例7】如图所示，在平面内，有一个圆形区域 的直径 与轴重合，圆心的坐标为（， ），其半径为，该区域内无磁场 在轴和直线 之间的其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁 场，磁感应强度大小为一质量为、电荷量为的 带正电的粒子从轴上某点射入磁场不计粒子重力 （）若粒子的初速度方向与轴正向夹角为， 且粒子不经过圆形区域就能到达点，求粒子的初速度 大小；

7、 arr330sin 1 0 1 ar2 1 1 2 1 1 r v mBqv m qBa v 2 1 600 （）若粒子的初速度方向与轴正向夹角为， 在磁场中运动的时间为 ，且粒子也能到达点， 求粒子的初速度大小； qB m t 3 qB m T 2 6 1 T t aarr 0 2 0 2 30sin)(30sin ar 2 3 2 2 2 2 2 r v mBqv m qBa v 2 3 2 600 600 （）若粒子的初速度方向与轴垂直，且粒子从点 第一次经过轴，求粒子的最小初速度 3 2 r v mBqv m m ar3 3 m qBa vm 3 【例8】如图所示，真空室内存在匀强磁

8、场，磁场方向 垂直于图中纸面向里，磁感应强度大小B=0.60T。磁场 内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。在距 ab的距离为L=16cm处有一个点状的放射源S，它向各 个方向发射粒子。粒子的速度都是v=3.0106m/s。 已知粒子的比荷为q/m=5107C/kg。现只考虑在图纸 平面中运动的粒子，求ab上粒子打中的区域的长度。 速度大小不变速度大小不变,方向可变方向可变; 【例9】核聚变反应需几百万度高温，为把高温条件下高 速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反 应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如右 图所示，环状均强磁场围成中空区域，中空区域中的带 电粒子的只要速

9、度不是很大，都不会穿出磁场外缘，设 环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径为R2=1.0m，磁 场的感应强度B=1.0T，方向垂直纸面向里，若被束缚 带电粒子的荷质比为q/m=4104C/kg，中空区域内带 电粒子具有各个方向的速度，试计算： （1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的 最大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。 速度大小和方向均可变速度大小和方向均可变. 【例10】一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy 平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一 个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运 动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上

10、的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30，P到O的距 离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强 度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。 6.隐形磁场边界：隐形磁场边界： 【例11】如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒 子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的 圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞 出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正 方向的夹角为300.粒子的重力不计，试求: (1)圆形匀强磁场区域的最小面积. (2)粒子在磁场中运动的时间. (3)b到O的距离. 7.最小磁场区域：最小磁场区域： 【例12】在xOy平面内有许多电子（质量为m、电量

11、为e），从坐标O不断以相同速率v0沿不同方向射入 第一象限，如图所示。现加一个垂直于xOy平面向内、 磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后 都能平行于x轴向x轴正方向运动，求符合该条件磁场 的最小面积。 二二.带电粒子在复合场中的运动带电粒子在复合场中的运动 1.组合场： 电场、磁场、重力场分布在空间不同区域，粒子在 不同的区域受到不同的场力，对应地做不同的运动 （匀速直线运动、匀变速直线运动、抛体或类抛体 运动、匀速圆周运动。） 注意粒子从一个场区进入另一场区的边界条件，如 边界的位置，边界速度的大小和方向。 【例13】在平面直角坐标系xOy中，第象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，

12、第象限存在垂直于坐标平面向 外的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量 为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直 于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成60 角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出 磁场，如图所示。不计粒子重力，求: （1）M、N两点间的电势差UMN ； （2）粒子在磁场中运动的轨道半径r； （3）粒子从M点运动到P点的总时间t。 【例14】如图所示，在y0的空间存在匀强电场，场 强沿y轴负方向；在yr的足够大的区域内,存 在沿y轴负方向的匀强电场,场强大小为E.从O点以相同 速率向不同方向发射质子,质子的运动轨迹均在纸面内, 且质子在磁场中

13、运动的轨迹半径也为r.已知质子的电荷 量为q,质量为m,不计质子所受重力及质子间相互作用力 的影响. 求质子射入磁场时速度的大小； 【例16】如图所示,在x-o-y坐标系中,以(r,0)为圆心、r为 半径的圆形区域内存在匀强磁场,磁场的磁感应强度大 小为B,方向垂直于纸面向里.在yr的足够大的区域内,存 在沿y轴负方向的匀强电场,场强大小为E.从O点以相同 速率向不同方向发射质子,质子的运动轨迹均在纸面内, 且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r.已知质子的电荷 量为q,质量为m,不计质子所受重力及质子间相互作用力 的影响. 若质子沿x轴正方向射入磁场,求质子从O点进入磁场 到第二次离开磁场经历的

14、时间； 【例16】如图所示,在x-o-y坐标系中,以(r,0)为圆心、r为 半径的圆形区域内存在匀强磁场,磁场的磁感应强度大 小为B,方向垂直于纸面向里.在yr的足够大的区域内,存 在沿y轴负方向的匀强电场,场强大小为E.从O点以相同 速率向不同方向发射质子,质子的运动轨迹均在纸面内, 且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r.已知质子的电荷 量为q,质量为m,不计质子所受重力及质子间相互作用力 的影响. 若质子沿与x轴正方向成夹角的方向从O点射入第一 象限的磁场中,求质子在磁场中运动的总时间. 【例17】如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在 沿y轴正方形的匀强电场，场强大小为E。在其它象限 中

15、存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A是y轴 上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一 点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量为q的带负 电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域， 继而通过C点进入磁场区域，并再次通过A点。此时速 度方向与y轴正方向成锐角。不计粒子重力。试求： （1）粒子经过C点时速度的大小和方向； （2）磁感应强度的大小B。 【例18】如图所示，在x0与x0的区域中，存在 磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向 垂直于纸面向里，且B1B2。一个带负电的粒子从坐 标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过 一段时间后又经过O点，B1与B

16、2的比值应满足什么条 件？ 2.叠加场： 空间某处可能同时存在电场、磁场、重力场中的两种 或三种，带电粒子同时受两种以上的场力，粒子做何 种运动，取决于粒子所受的合力和初始速度。 注意是否要考虑粒子的重力 思考：在无轨道束缚的情况下，当有洛伦兹力参 与时，带电粒子可能会做哪些运动？ 【例20】如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电 场和匀强磁场中运动，已知电场强度的大小为E，方 向竖直向下，磁感应强度为B，方向垂直纸面向 里若此液滴在垂直于磁感应强度的平面内做半径为 R的匀速圆周运动，设液滴的质量为m，求： （1）液滴的速度大小和绕行方向； （2）若液滴运行到轨迹最低点A时，分裂成大小相同 的

17、两滴，其中一个液滴仍在原来的平面内做半径为3R 的圆周运动，绕行方向不变，且此圆周的最低点也是 A，另一滴将如何运动？ 【例21】如图所示所示，位于竖直平面内的坐标系xOy， 在其第三象限空间有沿水平方向的、垂直于纸面向外的 匀强磁场，磁感应强度大小为B，还有沿x轴负方向的匀 强电场，场强大小为E.在其第一象限空间有沿y轴负方 向的、场强大小为E=4E/3的匀强电场，并在yh的区 域有磁感应强度也为B的垂直于纸面向里的匀强磁 场一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到 一初速度，恰好能沿PO作匀速直线运动(PO与x轴负方 向的夹角为37)，并从原点O进入第一象限已知 重力加速度g10 m

18、/s2，问： (1)油滴的电性； (2)油滴在P点得到的初速度大小； (3)油滴在第一象限运动的时间和离 开第一象限处的坐标值 【例22】在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、 带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图 所示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x 轴距离的2倍，重力加速度为g.求： （1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v. （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym. （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（Emg/q） 的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率vm. 3.交变场：交变场： 【例23】如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界 为

19、L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上 的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为 E0，E0表示电场方向竖直向上t0时，一带正电、 质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该 区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动， 再沿直线运动到右边界上的N2点Q为线段N1N2的中点， 重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量 (1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小 【例23】如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界 为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上 的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为 E0，E0表示电场方向竖直向上t0时，一带正电、 质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该 区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动， 再沿直线运动到右边界上的N2点Q为线段N1N2的中点， 重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量 (2)求电场变化的周期T. 【例23】如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界 为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上 的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为 E0，E0表示电场方向竖直向上t0时，一带正电、 质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该