2021届高考数学教学案：第5章 第1讲 数列的概念与简单表示法含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第5章 第1讲 数列的概念与简单表示法含解析第五章 数列第1讲 数列的概念与简单表示法考纲解读 1。了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数2掌握数列求通项的几种常用方法：利用sn与an的关系求通项；利用递推关系求通项（重点、难点）考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题预测2021年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前n项和综合考查，涉及题型有：由sn求an;由递推关系求an；根据anf（n)求最值题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不

2、大,属中档题型。1。数列的有关概念数列按照一定的次序排列起来的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf（n)表达前n项和sna1a2an数列的函数特征数列可以看成以正整数集n*(或它的有限子集1,2，n）为定义域的函数anf(n)2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an递减数列an1an常数列an1an其中nn*按其他标准分类有界数列、摆动数列、周期数列3数列an的an与sn的关系（1)数列an的前n项和：sna1a2an。(2）an特别提醒：

3、若当n2时求出的an也适合n1时的情形,则用一个式子表示an,否则分段表示1概念辨析（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列（ ）(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个（ ）（3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点( ）(4)如果数列an的前n项和为sn,则对nn，都有an1sn1sn.( ）答案 （1） (2) (3） (4）2小题热身(1)已知数列,，,，则5是它的（ ）a第19项 b第20项 c第21项 d第22项答案 c解析 5,1255（n1）6,n21。故选c.（2）设数列an的前n项和snn2,则a8的值为（ )a15 b16 c49 d64

4、答案 a解析 a8s8s7827215.(3）在数列an中，已知a11，an14an1，则a3_.答案 21解析 a24a115,a34a2121。(4）数列,，的一个通项公式an_。答案 （nn*）解析 观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列,分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式an(nn*）题型 一 知数列前几项求通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1）1，7，13,19，;(2）0.8,0。88，0。888,；（3）1,0，0,，0，0,;（4)，1，。解 (1)符号问题可通过(1）n或(1）n1表示，其各项的绝对值的排列规律为

5、：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1）n（6n5）(2）将数列变形为(10.1)，(10.01)，(10。001），an。(3)把数列改写成，,，,，分母依次为1,2,3，而分子1,0,1,0,周期性出现，因此数列的通项可表示为an或an。(4）将数列统一为，,对于分子3，5，7，9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2，5,10,17,联想到数列1，4，9,16，,即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，所以可得它的一个通项公式为an.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法:观察（观察规律）、比较(比较已知数列)、归纳

6、、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2）具体策略:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征；各项的符号特征和绝对值特征；对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系,如举例说明（4)对于符号交替出现的情况，可用(1)k或（1)k1，kn处理如举例说明（1）。根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1)，;（2)，,，,，；(3），2，8,，；(4）5,55,555，5555，.解 （1)这是一个分数数列，分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4,6，,相邻的偶数故所求数列的一个通项公式为an

7、。（2)数列可以改为，则分母为2n,分子为2n3，所以数列的一个通项公式为an（1）n。（3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an。(4）将原数列改写为9，99,999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)题型 二 由an与sn的关系求通项公式 1已知sn3n2n1，则an_。答案 解析 因为当n1时,a1s16；当n2时,ansnsn1（3n2n1)3n12(n1）123n12，由于a1不适合此式，所以an2设sn是数列an的前n项和，且a11，an1sn

8、sn1，则sn_。答案 解析 由已知得an1sn1snsnsn1,两边同时除以snsn1得1,即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列，1（n1）(1)n,即sn。条件探究 将本例中的条件“a11,an1snsn1”改为“sn（1)n1n，则a5a6_，an_.答案 2 (1）n1(2n1）解析 因为a5a6s6s4（6)（4）2，当n1时,a1s11，当n2时，ansnsn1（1)n1n（1)n（n1）（1)n1n（n1)（1)n1（2n1)，又a1也适合此式，所以an（1)n1(2n1)1已知sn求an的三个步骤（1)先利用a1s1求出a1.(2）用n1替换sn中的n得到一个新的关系，利

9、用ansnsn1（n2）便可求出当n2时an的表达式（3）对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合,则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写如举例说明1。2sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化（1)利用ansnsn1(n2）转化为只含sn，sn1的关系式如举例说明2。(2）利用snsn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解如举例说明2的条件探究 1（2017全国卷改编）设数列an满足a13a2(2n1)an2n,则an_。答案 (nn*）解析 因为a13a2（2n1）an2n,故当n2时，a

10、13a2(2n3）an12（n1）两式相减得（2n1）an2,所以an(n2)又由题设可得a12，满足上式,从而an的通项公式为an(nn*)2若数列an的前n项和为sn,首项a10，且2snaan（nn*）求数列an的通项公式解 当n1时,2s1aa1，则a11.当n2时，ansnsn1，即（anan1）（anan11）0anan1或anan11,所以an(1）n1或ann.题型 三 由递推关系求通项公式 角度1 形如an1anf（n），求an1已知数列an中，a12，an1anln ，求通项公式an。解 an1anln ，anan1ln ln （n2),an(anan1）（an1an2）(

11、a2a1）a1ln ln ln ln 222ln 2ln n（n2）又a12适合上式,故an2ln n（nn）角度2 形如an1anf（n)，求an2已知数列an中，a11,anan1(n2)，求通项公式an.解 anan1(n2)，an1an2,，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1。当n1时也满足此等式，an。角度3 形如an1panq，求an3已知数列an中，a11，an12an3，求通项公式an。解 递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12antt3。故递推公式为an132（an3），令bnan3,则b1a134，且2.所以bn是以b14为首项，2为公比的

12、等比数列，则bn42n12n1，所以an2n13.1累加法求通项公式的四步骤2累乘法求通项公式的四步骤3构造法求通项公式的三步骤 1数列an中,a11，an1an2n，则通项公式an_.答案 （nn*）解析 an1an2n，an2an12n2,故an2an2.即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列当n为偶数时，a21,故ana22n1。当n为奇数时，an1an2n,an1n（n1为偶数），故ann。综上所述，an(nn*）2在数列an中，a13，（3n2）an1(3n1)an(n1)，则an_.答案 解析 （3n2)an1（3n1）an，an1an，ana13，当n1时，满足此等式，

13、an。3设an是首项为1的正项数列,且(n1）anaan1an0（n1,2，3，),则它的通项公式an_。答案 解析 因为（n1）anaan1an0，所以(an1an）(n1)an1nan0。又因为an0,所以an1an0，所以（n1)an1nan0，即，nn.所以,，,以上各式相乘得。又a11，所以an。题型 四 数列的性质及应用1已知an,那么数列an是( )a递减数列 b递增数列c常数列 d摆动数列答案 a解析 an1,因为函数y1在（0.99，）上是减函数，所以数列an是递减数列2(2019大庆模拟)已知数列an的通项公式an(n2）n，则数列an的项取最大值时，n_。答案 4或5解析 因为an1an（n3）n1(n2)nnn。当n4时，an1an0数列an是递增数列；an1an0时，1数列an是递增数列；1数列an是递减数列;1数列an是常数列当a