2018年高考数学2 正弦定理和余弦定理的应用教学案 文

1、学必求其心得，业必贵于专精专题23 正弦定理和余弦定理的应用1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如b点的方位角为（如图2）(3）方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值高频考点一 考查测量距离例1、如图所示，有两座建筑物ab和cd都在河的对岸(不知道它们的高度，且

2、不能到达对岸），某人想测量两座建筑物尖顶a、c之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具若此人在地面上选一条基线ef，用卷尺测得ef的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：aef，afe,cef，cfe，aec。请你用文字和公式写出计算a、c之间距离的步骤和结果 【方法技巧】求距离问题时要注意（1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解;若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；(2）确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用，就选择更便于计算的定理【变式探究】隔河看两目标a与b,但不能到达，在岸边选取相距 km的c，d两点,同时，测得acb75，bcd45，

3、adc30,adb45(a,b,c,d在同一平面内）,求两目标a，b之间的距离【解析】如图，在acd中，acd120，cadadc30。所以accd。在bcd中,bcd45，bdc75，cbd60,由正弦定理知bc。在abc中,由余弦定理,得ab2ac2bc22acbccos acb()222cos 75325，所以ab km,所以a，b两目标之间的距离为 km.高频考点二 考查高度问题例2、如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30,测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为（精确到0.1 m)（）a2.7 mb17。3 mc37.3 m d373 m【答案】c【方法技巧】求

4、解高度问题首先应分清(1）在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角；（2）准确理解题意，分清已知条件与所求,画出示意图；（3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用【变式探究】如图，为测得河对岸塔ab的高，先在河岸上选一点c，使c在塔底b的正东方向上,测得点a的仰角为60,再由点c沿北偏东15方向走10米到位置d，测得bdc45，则塔ab的高是_米【答案】10高频考点三 考查角度问题 例3、某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在a处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45，距离a为10海里的c处,并测得

5、渔船正沿方位角为105的方向，以10海里/时的速度向小岛b靠拢，我海军舰艇立即以10海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.解如图所示，设所需时间为t小时，则ab10t，cb10t,在abc中，根据余弦定理，则有ab2ac2bc22acbccos 120,可得(10t)2102（10t)221010tcos 120。所以舰艇航向为北偏东75.【方法技巧】解决方位角问题其关键是弄清方位角概念结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时注意平面图形的几何性质的应用【变式探究】如图,一船在海上自西向东航行，在a处测得某岛m的方位角为北偏东角，前进m km后在b处测量该岛的方位角为北偏

6、东角，已知该岛周围n km范围内(包括边界）有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时,该船没有触礁危险【解析】由题可知，在abm中，根据正弦定理得，解得bm,要使该船没有触礁危险需满足bmsin （90）n,所以当与的关系满足mcos cos nsin(）时，该船没有触礁危险【答案】mcos cos nsin（) 高频考点四 考查函数思想在解三角形中的应用 例4、如图所示，一辆汽车从o点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点o点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的m点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽

7、车司机问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里?故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里【方法技巧】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合,此类问题综合性较强,能力要求较高，要求考生要有一定的分析问题解决问题的能力解答本题利用了函数思想，求解时把速度表示为时间的函数，利用函数最值求法完成解答，注意函数中以为整体构造二次函数，求最值【变式探究】如图所示，已知树顶a离地面米，树上另一点b离地面米，某人在离地面米的c处看此树，则该人离此树_米时，看a,b的视角最大【解析】过c作cfab于点

8、f，设acb，bcf，由已知得ab5（米)，bf4（米)，af9（米)则tan（）,tan ，tan ().当且仅当fc，即fc6时，tan 取得最大值，此时取得最大值【答案】6 1。【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）在abc中，角a,b,c所对的边分别是a，b,c,且.(i）证明：；（ii）若，求.【答案】（)证明详见解析；（）4。【解析】所以sin a=由（），sin asin b=sin acos b+cos asin b，所以sin b=cos b+sin b，故tan b=42.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在abc中,内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.

9、 已知b+c=2a cos b.（i)证明：a=2b；（ii）若abc的面积，求角a的大小.【答案】（i）证明见解析；（ii）或【解析】又，所以当时，；当时，综上，或3.【2016高考山东理数】(本小题满分12分）在abc中,角a,b，c的对边分别为a，b,c，已知 （)证明：a+b=2c;(）求cosc的最小值.【答案】（)见解析；（）【解析】（）由(）知，所以 ，当且仅当时，等号成立.故 的最小值为。【2015高考上海，理14】在锐角三角形中,为边上的点,与的面积分别为和过作于，于，则 【答案】【解析】由题意得:，又,因为deaf四点共圆，因此【2015高考广东，理11】设的内角，的对边分

10、别为，,若， ，则 。 【答案】【解析】因为且，所以或，又,所以，,又，由正弦定理得即解得，故应填入【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 【答案】2所以函数有2个零点.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶d在西偏北的方向上,行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【答案】【2015高考重庆，理13】在abc中,b=,ab=，a的角平分线ad=,则ac=_。【答案】【解析】由正弦定理得，即，解得，从而，所以，.【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且 ，则 等于_【答案】7【解析】由

11、已知得的面积为，所以,，所以由余弦定理得,【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）中，是上的点,平分，面积是面积的2倍（） 求；()若,，求和的长 【答案】（)；（）【2015高考浙江，理16】在中，内角，所对的边分别为，,已知,=.（1）求的值；（2)若的面积为7，求的值.【答案】(1）；（2）。【解析】(1）由及正弦定理得,，又由，即，得,解得；（2）由,得,，又，由正弦定理得，又，故.【2015高考安徽，理16】在中，,点d在边上,求的长.【答案】【解析】如图,在中，由正弦定理得.【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）的内角，所对的边分别为，向量与平行（i)求;（ii

12、）若，求的面积【答案】（i）；（ii)【解析】(i）因为,所以,由正弦定理，得又,从而，由于，所以从而，又由,知，所以。故所以的面积为。（2014天津卷）在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a,b，c。已知bca，2sin b3sin c，则cos a的值为_【答案】【解析】2sin b3sin c，2b3c.又bc，a2c，bc，cos a。（2014新课标全国卷）设点m（x0,1）,若在圆o：x2y21上存在点n，使得omn45，则x0的取值范围是_【答案】1，1【解析】在omn中，om1on,所以设onm，则45135.根据正弦定理得，所以sin 1,，所以0x1，即1x01，故符合

13、条件的x0的取值范围为1，1(2014广东卷)在abc中，角a，b，c所对应的边分别为a,b,c。已知bcos cccos b2b，则_【答案】2（2014安徽卷)设abc的内角a，b，c所对边的长分别是a,b，c，且b3，c1,a2b.（1)求a的值；（2)求sin的值【解析】 (1)因为a2b,所以sin asin 2b2sin bcos b,由余弦定理得cos b，所以由正弦定理可得a2b.因为b3，c1，所以a212,即a2 。（2)由余弦定理得cos a。因为0ac。已知2，cos b，b3。求：(1）a和c的值；（2）cos（bc）的值由正弦定理，得sin csin b。因为abc

14、，所以c为锐角，因此cos c.所以cos（bc）cos bcos csin bsin c。（2014全国卷）abc的内角a，b,c的对边分别为a,b，c.已知3acos c2ccos a，tan a，求b。【解析】由题设和正弦定理得3sin acos c2sin ccos a，故3tan acos c2sin c.因为tan a，所以cos c2sin c，所以tan c.所以tan btan180（ac）tan（ac）1,所以b135。（2014新课标全国卷）已知a，b,c分别为abc三个内角a，b，c的对边，a2，且(2b)(sin asin b）(cb)sin c，则abc面积的最大值

15、为_【答案】(2014新课标全国卷）钝角三角形abc的面积是，ab1,bc，则ac()a5 b. c2 d1【答案】b【解析】根据三角形面积公式，得babcsin b，即1sin b，得sin b，其中ca。若b为锐角，则b,所以ac1ab，易知a为直角，此时abc为直角三角形，所以b为钝角，即b，所以ac。（2014山东卷）在abc中，已知tan a，当a时，abc的面积为_【答案】【解析】因为abac|cos atan a，且a,所以|，所以abc的面积s|sin asin .（2014陕西卷）abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b，c。(1)若a,b，c成等差数列，证明：sin as

16、in c2sin（ac）；(2）若a,b，c成等比数列，求cos b的最小值【解析】(1)a，b，c成等差数列，ac2b。由正弦定理得sin asin c2sin b。cos b的最小值为。（2014四川卷）如图13所示，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为67，30,此时气球的高度是46 m，则河流的宽度bc约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)图13【答案】60【解析】过a点向地面作垂线,记垂足为d,则在rtadb中，abd67，ad46 m,ab50（m)，在abc

17、中，acb30，bac673037，ab50 m,由正弦定理得,bc60 （m），故河流的宽度bc约为60 m。（2014浙江卷）在abc中,内角a，b，c所对的边分别为a，b，c。已知ab，c，cos2acos2bsin acos asin bcos b。（1）求角c的大小；(2)若sin a，求abc的面积【解析】（1)由题意得sin 2asin 2b，即sin 2acos 2asin 2bcos 2b,sinsin。由ab，得ab,又ab(0，），得2a2b,即ab，所以c。（2）由c，sin a，,得a.由a8 bab(ab)16 c6abc12 d12abc24【答案】a由1s2,得

18、1bcsin a2.由正弦定理得a2rsin a,b2rsin b，c2rsin c，所以12r2sin asin bsin c2，所以12，即2r2，所以bc（bc)abc8r3sin asin bsin cr38.1。在相距2 km的a,b两点处测量目标点c，若cab75,cba60，则a，c两点之间的距离为（)a. km b。 kmc。 km d.2 km解析如图,在abc中，由已知可得acb45，ac2(km）.答案a2.一艘海轮从a处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔,海轮在a处观察灯塔,其方向是南偏东70，在b处观察灯塔,其

19、方向是北偏东65,那么b，c两点间的距离是（)a。10海里 b。10海里c.20海里 d。20海里答案a3。如图所示，已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km，灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与b的距离为()a.a km b。 a kmc.a km d.2a km答案b4。如图,一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头a出发匀速驶往河对岸的码头b。已知ab1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头a驶到码头b所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为（）a.8 km/h b.6 km/hc.2 km/h d.10 km

20、/h解析设ab与河岸线所成的角为,客船在静水中的速度为v km/h，由题意知,sin ，从而cos ，所以由余弦定理得12221，解得v6。选b.答案b5.如图，测量河对岸的塔高ab时可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d,测得bcd15,bdc30，cd30，并在点c测得塔顶a的仰角为60，则塔高ab等于（)a。5 b。15c。5 d.15解析在bcd中，cbd1801530135。由正弦定理得,所以bc15。在rtabc中,abbctan acb1515.答案d6。如图所示,一艘海轮从a处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的b处，海轮按北偏西60的方向航行了30

21、分钟后到达c处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分.答案7.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m。解析如图,omaotan 4530（m)，onaotan 303010（m），在mon中,由余弦定理得，mn10（m）。答案108。在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30，60，则塔高为_m.解析如图，由已知可得bac30,cad30，bca60，acd30，adc120。又ab200 m,ac（m）。答案9。如图，渔船甲位于岛屿a的南偏西60方向的b处，且与岛屿a相距12海里,渔船乙以10海里/时的速度从岛屿a出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从b处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上。 （1）求渔船甲的速度；(2)求sin 的值。解（1)依题意知，bac120，ab12，ac10220，bca.在ab