第三章+推理几何学(2)

1、 初等几何与几何教学研究之初等几何与几何教学研究之 云南师范大学云南师范大学 “国培计划国培计划中西部初中数学骨干教师培训中西部初中数学骨干教师培训” 第三章第三章 推理几何学推理几何学(二二) 推理几何学就是以实验几何的基本推理几何学就是以实验几何的基本 概念和基本性质为基础，运用逻辑推理概念和基本性质为基础，运用逻辑推理 去论证、推演空间其它的性质和解答各去论证、推演空间其它的性质和解答各 种几何问题。种几何问题。 项武义项武义 提提 纲纲 三、全盛时期三、全盛时期数学大师的工作数学大师的工作 1.1.圆与角圆与角 2.2.球、柱和锥球、柱和锥 3.3.圆锥曲线圆锥曲线 4.4.欧几里得以

2、后几何学的进展欧几里得以后几何学的进展 约在公元前五世纪后半叶，不可公度量的约在公元前五世纪后半叶，不可公度量的 发现奠定了整个推理几何学的理论基础。发现奠定了整个推理几何学的理论基础。 公元前四世纪和三世纪，古希腊推理几何公元前四世纪和三世纪，古希腊推理几何 学进入蓬勃发展的全盛时期，主要的一些学进入蓬勃发展的全盛时期，主要的一些 研究成果有：研究成果有： 三、全盛时期三、全盛时期数学大师的工作数学大师的工作 1.1.圆与角圆与角 在各种平面形中，在各种平面形中，三角形最简单、也是最三角形最简单、也是最 基本的；基本的；而而圆形则是最对称的，所以圆也圆形则是最对称的，所以圆也 是最有用的。是

3、最有用的。对圆的几何性质的研究，在对圆的几何性质的研究，在 希腊几何学中占有主要地位。希腊几何学中占有主要地位。 （1）圆的定义。）圆的定义。圆是平面上和定点的距离等圆是平面上和定点的距离等 于定长的所有点组成的轨迹。于定长的所有点组成的轨迹。该定点叫做该定点叫做 圆心，该定长叫做半径。圆心，该定长叫做半径。 由此定义可得圆的作法，进而发展出圆规。由此定义可得圆的作法，进而发展出圆规。 人教社编小学数学第人教社编小学数学第11 11册册 圆的认识圆的认识 教材设计：教材设计： 圆形物的辨认圆形物的辨认描圆、画圆、剪圆描圆、画圆、剪圆 对折对折（发现圆的几何特征）：（发现圆的几何特征）：轴对称、

4、中轴对称、中 心对称心对称圆中的线段圆中的线段：直径、半径、弦：直径、半径、弦 及这些线段的关系及这些线段的关系圆的画法圆的画法做一做一 做。做。 课课 例例 著名特级教师华应龙在教学著名特级教师华应龙在教学圆的认识圆的认识 （2）不共线三点定一圆）不共线三点定一圆 AB ACDE OABOD ACOE OA OB OCABCO OAR 过 、 的中点 、 作垂线， 设垂线交于 ，则 、 关于直线对称； 同理， 、 也关于直线对称，因而， ；即 、 、 同在以 存在 为圆心、 为 性： 半径的圆上。 C E A O DB ABCOR OABOAC 11 ODABOEACDEABAC OABAC

5、 OO ROA OA R. OROR 唯一性：设 、 、 在以 为圆心、 为半径的圆上， 则、等腰， 由第二章中的定理 、1知 ，（ 、 分别是 、 的中点） 因此 点必是 、 中垂线的交点， 因此， 这样圆（ ， ）就是圆（ ， ）. （3）同弧的圆周角等于其圆心角之半同弧的圆周角等于其圆心角之半。（见。（见 初等几何研究初等几何研究（第二版）（第二版）P.19） （4）四点共圆的充要条件是：）四点共圆的充要条件是：该四边形对角该四边形对角 之和为一个平角。之和为一个平角。 2 1 S C S1 C D C B A O 11 A1C2 22 11 AC12 22 AC ABD C 【证明】如

6、上图示， 故 （）周角平角 反之，设平角， 由于、确定一个圆（用）， 如果点在该圆 穷举法 的外部, 2 1 S C S1 C D C B A O 1 1 11 SDCSB ABSD BSDBCS CDCS ABS D BCDBCSBCD BS D CABCD 设 为和圆的交点，连接，则按前面所证有： 平角 但是的一个外角，故矛盾。 如果点 在圆的内部，延长交圆于点 ， 则由前面所证： 平角 但是的 推论： 一个外角，故矛盾 四点共圆的充要条 ， 因此，点 也在这个圆上，即 、 该四边形的一个外 件是： 角等于 、 、 共圆。 内对角。 （5）切线和过切点的半径垂直，圆周角等于）切线和过切点的

7、半径垂直，圆周角等于 弦切角弦切角 AB AA BAAB OA y 【证明】如图，设是一个定弧。 l是过点的圆的切线（交圆于点）， 则叫做的弦切角。 先证l和垂直(同一法) l2 y1 y A l1 B X1 X D A O 设设l1是过点是过点A且和且和OA垂直的直线，则由任何垂直的直线，则由任何 直角三角形的斜边恒大于直角边。得知：直角三角形的斜边恒大于直角边。得知：l1 上任何异于上任何异于A的点的点y1和圆心和圆心O的距离的距离 ： 1 Oy OAR 即即y1一定不在圆一定不在圆O上，因此上，因此l1与圆与圆O只有一只有一 个交点个交点A，反之，反之l2是过点是过点A但不与但不与OA垂

8、直的垂直的 任一直线，过点任一直线，过点O作作l2的垂线的垂线OD(D为垂足为垂足)， 令令A为点为点A关于直线关于直线OD的对称点的对称点, 则称则称A点点 在在l2上，上， ODAODASAS （） 即点即点A在圆在圆O上，或者上，或者l2与圆与圆O交于两点交于两点A、 A，于是，我们证明了，过点，于是，我们证明了，过点A的直线只有的直线只有 和和OA垂直的那一条才与圆垂直的那一条才与圆O交于一点交于一点A， 即为圆即为圆O的切线，也即的切线，也即l1=l. O AO AR ,这 样 l2 y1 y A l1 B X1 X D A O 次证弦切角等于夹角同弧的圆周角。次证弦切角等于夹角同弧

9、的圆周角。 1 1 1 11 11 1 1 AXBABAB OAOX AX BAXBAB AX BAB 1 ABXAOX 2 AX BX AB ABX ABOA AX BAB Y Y Yl Y 设与夹同弧， 直径交圆于另一点， 则（夹同弧）， 只需证明：即可。 由于直角， 所以直角， 直角（） 由此得（同角的余角相等）. （6）圆幂定理圆幂定理（参看（参看初等几何研究初等几何研究（第（第 2版）版）p.116-117例例4） 设设P为圆外一点，由为圆外一点，由P点向圆任引一截线交点向圆任引一截线交 圆于圆于A、B两点，则恒有：两点，则恒有： 22 2 PA.PB PTOPR . 2 2 PPA

10、.PB OPRPO称为点 对圆的幂。 A B B A O P P A R B O T 图图 （ 1 ） 图（图（2） 22 2 2 2 1TBATA PTATA TBAPTA1 PTAPBT PTPA ,PA.PB PTOPR . PBPT POPAPB PA.PBOPR. 【证明】如图（ ），是的圆周角， 是的弦切角， 所以，又的公共角。 因此和有两个角对应相等，它们为相似形， 因此， 即 如果 为圆 内部的点，过 作任意一弦， 则仍有p （0）（见图（2） 2 22 22 OP APB PAAPBB. APABPBAAPAAB ABBBBP PAPA PBPB PA.PB PA.PBPA

11、ROPOPR . 事实上，取弦的特殊位置，使其与垂直， 不妨设是这样一条弦。 易知 （， ） 因此，； 即 （） 2 2 POPA.PB OPR P . 0 P 0 P0 P p p p p 在圆外，； 【】 一点 对圆 的幂 ， 无论点 在圆外、圆内、圆上均成立。 中学几何中“相交弦定理”、 “切线长定理” 在 的 是圆 圆上 幂定 在圆 理的 注 特 ， 内， ； 殊情况。 （7）圆周率和圆的面积公式）圆周率和圆的面积公式 首先，首先，易知所有的圆都是相似的，若两圆易知所有的圆都是相似的，若两圆 半径分别为半径分别为R1、R2，则它们之间的相似比，则它们之间的相似比 为为R1/R2 事实上

12、，如下图，事实上，如下图， O B1 A1 1 B2 A2 2 事实上，如上图，作共顶点事实上，如上图，作共顶点O的两个直角三的两个直角三 角形角形OA1B1和和OA2B2 ，其底边为，其底边为R1与与 R2，以，以OA2为轴旋转，即得半径为为轴旋转，即得半径为R1与与R2 的两个圆，它们分别位于两平行平面的两个圆，它们分别位于两平行平面1和和 2上上 122212 OAOA/ /（ 故，故） 上述作图说明，两个半径分别为上述作图说明，两个半径分别为R1、R2的的 圆可以处于两个平行面上互相投影的位置，圆可以处于两个平行面上互相投影的位置， 由本章由本章2 相似形基本定理推论相似形基本定理推论

13、3知，这两知，这两 个圆相似。个圆相似。 既然所有的圆都相似，因此它们的周长与既然所有的圆都相似，因此它们的周长与 直径之比彼此相等，因而，直径之比彼此相等，因而， 2R l （周长） 常数（圆周率）3.1415926 （直径） . 计算半径为计算半径为R的圆的面积。的圆的面积。 i 11 n 1 2 n 1 1 11 2SR.R 22 1 3SSR 2 1 4SlimR 2 1 RlimR.R.2 RR . 2 i nn ii ii n i i n i i x x nx xl 圆 圆 （ ）将圆分割成n个扇形； （ ）每个扇形面积： 弧长； （ ） （ ）命，（） 11 （）= 22 方法：

14、 半径为半径为R的圆的周长为的圆的周长为2R R Xi 例：例：（两圆的交角）（两圆的交角） 设两圆交于点设两圆交于点A，定义它们，定义它们 在该交点有向切线之间的夹在该交点有向切线之间的夹 角为两圆的交角。试证：两角为两圆的交角。试证：两 圆正交的充要条件为：圆正交的充要条件为： 2 1212 O ORR. 2 2 12 12 122112 2 1212 AATAT ATAT AT/AOTA/AOOAO . OORR . 2 2 【证明】设两圆交于点 ， 、 分别为两圆的 有向切线。显然：两圆正交（， ） 直角 ， 故（， 从左图中可直接得出结论）， 由勾股定理： O1 O2 T1 T2 A

15、 2009年年12月月22日日 一、引言一、引言 2009年年12月月22日，日，“国培计划国培计划培训者项培训者项 目目”为参加培训的学员准备的教学观摩课是为参加培训的学员准备的教学观摩课是 北师大版课标实验教材九年级下册第三章第北师大版课标实验教材九年级下册第三章第 6节节“圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系”。承担教学任务。承担教学任务 的是的是C市某市级重点中学九年级的市某市级重点中学九年级的G老师，老师， 教学对象是该校九年级八班的同学。教学对象是该校九年级八班的同学。 该校对承担这次教学观摩课的任务特别重视，该校对承担这次教学观摩课的任务特别重视， 经选择课题，多次试讲调整教学方案，

16、以探经选择课题，多次试讲调整教学方案，以探 寻如何在课堂教学中去实施寻如何在课堂教学中去实施有效教学有效教学。 二、教材二、教材 设计设计 三、教学任务分析三、教学任务分析 1.本节课主要内容是圆和圆的位置关系。圆和本节课主要内容是圆和圆的位置关系。圆和 圆的位置关系是圆的位置关系是圆圆章节中位置关系的最章节中位置关系的最 后一种情况，起着一种后一种情况，起着一种归纳总结归纳总结的作用。的作用。 本节课是学生在已经掌握了直线和圆的本节课是学生在已经掌握了直线和圆的 位置关系等知识的基础上，进一步研究平面位置关系等知识的基础上，进一步研究平面 上两圆的位置关系，是学生对圆的知识应用上两圆的位置关

17、系，是学生对圆的知识应用 的基础，也为今后到高中继续研究的基础，也为今后到高中继续研究平面与球平面与球 的位置关系的位置关系，球与球的位置关系球与球的位置关系打下坚实的打下坚实的 基础。因此本节课的内容对知识起到了基础。因此本节课的内容对知识起到了承上承上 启下启下的作用。的作用。 2. 圆和圆的位置关系教材处理的方式主要是圆和圆的位置关系教材处理的方式主要是 利用平移实验，让学生从实验入手，采用利用平移实验，让学生从实验入手，采用 观察观察、猜想猜想、概括概括的方法直观地探索得到的方法直观地探索得到 圆和圆的五种位置关系，再通过圆和圆的五种位置关系，再通过“议一议议一议” 这个环节，这个环节

18、，探索出用两圆圆心距探索出用两圆圆心距d d，半径，半径R R 和和r r的数量关系去刻画两圆的五种位置关系。的数量关系去刻画两圆的五种位置关系。 从而实现从感性认识到理性认识的逐步深从而实现从感性认识到理性认识的逐步深 化。化。 3.根据本节课的教学内容设计特点，根据本节课的教学内容设计特点，可以将可以将 两圆相对运动产生两圆相对运动产生“交点个数交点个数”的形成过的形成过 程及两圆的半径与圆心距的数量关系作为程及两圆的半径与圆心距的数量关系作为 教学重点；教学重点；教学难点是通过学生动手操作教学难点是通过学生动手操作 和互相交流探索出圆和圆之间的几种位置和互相交流探索出圆和圆之间的几种位置

19、 关系；及其两圆圆心距关系；及其两圆圆心距d d，半径，半径R R和和r r 数量数量 关系的过程。关系的过程。 4.教材中的例题教材中的例题 估计有一部分老师对这个题目的几何背景估计有一部分老师对这个题目的几何背景 不太清楚。从几何上说不太清楚。从几何上说TPN实际表示的实际表示的 是图是图3-32中右图两圆的交角中右图两圆的交角。 （几何中利用两曲几何中利用两曲 线交点处的有向切线交点处的有向切 线表示这两曲线在线表示这两曲线在 该点的交角。易知该点的交角。易知 这个交角可用这个交角可用 OPOOPO表示，当这个表示，当这个 角为角为9090时，称两时，称两 圆正交。圆正交。） 教材中放入

20、这个例题，估计一方面是为了教材中放入这个例题，估计一方面是为了 拓展学生的知识，另一方面也利用这个例拓展学生的知识，另一方面也利用这个例 题说明直线与圆的位置关系、圆和圆位置题说明直线与圆的位置关系、圆和圆位置 关系的具体应用。但是例题中的条件不明，关系的具体应用。但是例题中的条件不明， 教师处理起来会感觉到比较难以处理，而教师处理起来会感觉到比较难以处理，而 且感觉到这个例题似乎会影响对本节课教且感觉到这个例题似乎会影响对本节课教 学重难点的处理。学重难点的处理。 独立感悟，勇于思考，才能独立感悟，勇于思考，才能 真正做到真正做到“温故而知新温故而知新”，从而，从而 成为驾驭学习的主人成为驾

21、驭学习的主人. . 四、教学过程实录四、教学过程实录 在上课前，教师给出了下面的一段话：在上课前，教师给出了下面的一段话： 一一. .复习提问复习提问 直线和圆的位置关系有哪几种情况？直线和圆的位置关系有哪几种情况？ 如何判定如何判定? ? 圆心到直线圆心到直线的距离为的距离为d,d,圆的半径为圆的半径为r,r,则则: :公共点个数公共点个数 直线和圆相交直线和圆相交 直线和圆相切直线和圆相切 直线和圆相离直线和圆相离 drdrdr 一个公共点一个公共点 两个公共点两个公共点 0个公共点个公共点 (这个教学环节设计得很有创意，既是对已学过内这个教学环节设计得很有创意，既是对已学过内 容的复习容

22、的复习,又对今天的探究有提示和迁移的作用。又对今天的探究有提示和迁移的作用。) 二、创设情境二、创设情境 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系 三三. .新课讲解新课讲解 在用课件展示了两个圆的位置关系后，在用课件展示了两个圆的位置关系后，G老老 师让同学们用准备好的两个圆纸片（半径师让同学们用准备好的两个圆纸片（半径 不等），再次通过平移演示两圆的五种位不等），再次通过平移演示两圆的五种位 置关系。置关系。G老师作了如下的说明：老师作了如下的说明： 如果这两个圆的半径相等，则两个圆的位置如果这两个圆的半径相等，则两个圆的位置 关系是：相离、外切、相交、关系是：相离、外切、相交、重合重合。 （这里

23、，这里，“重合重合”是两圆的位置关系吗？一是两圆的位置关系吗？一 般探讨两圆的位置关系时，均回避两圆半般探讨两圆的位置关系时，均回避两圆半 径相等的情况，教师这样处理是否合理？径相等的情况，教师这样处理是否合理？ 而且处理的过程显得比较仓促。教师对两而且处理的过程显得比较仓促。教师对两 圆的位置关系作了如下的归纳：圆的位置关系作了如下的归纳：） 图 形 名名 称称 公共公共 点个点个 数数 0个个一个一个两个两个一个一个0个个 外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含 两个两个不等不等的圆有五种位置关系：的圆有五种位置关系： 电电 视视 塔塔 海海 螺螺 葡葡 萄萄 丰丰 收收 了了 骑骑 自

24、自 行行 车车 吹吹 泡泡 泡泡 两个圆一定组成一个轴对称图形两个圆一定组成一个轴对称图形. .其对称其对称 轴是通过两圆圆心的直线轴是通过两圆圆心的直线( (连心线连心线).). 当两圆相切时，切点一定在连心线上当两圆相切时，切点一定在连心线上. 当两圆相交时，公共弦被连心线垂直平分当两圆相交时，公共弦被连心线垂直平分. （课后，听课的一部分老师认为这部分的内课后，听课的一部分老师认为这部分的内 容是教材中没有的，放在这里显得本节课容是教材中没有的，放在这里显得本节课 的信息量过大。还有一部分老师认为，这的信息量过大。还有一部分老师认为，这 部分内容可以补充，但是部分内容可以补充，但是考虑到

25、九年级的考虑到九年级的 同学学习几何主要是要学习用同学学习几何主要是要学习用演绎推理演绎推理的的 方法对图形进行定性研究，方法对图形进行定性研究，所以既然补充所以既然补充 这部分内容，最后能够证明一下。）这部分内容，最后能够证明一下。） 如果设两圆的半径分别为如果设两圆的半径分别为和和 r r(R(Rr)r), ,两圆心之间的距离（简称两圆心之间的距离（简称 圆心距圆心距）为）为d d, ,则在圆与圆位置不同则在圆与圆位置不同 的情况下的情况下d d与与、r r之间有怎样的之间有怎样的数数 量关系量关系？ 想一想，议一议想一想，议一议 （教师处理教师处理“想一想、议一议想一想、议一议”的方法是

26、让的方法是让 同学们采用同桌互助的方式进行讨论和交同学们采用同桌互助的方式进行讨论和交 流，教师再板书：流，教师再板书： 外离：外离：d dR+rR+r 外切：外切： d=R+rd=R+r 相交：相交：R-rR-rd d R+rR+r 内切：内切： d=R-rd=R-r 内含内含( (包含同心圆的情况包含同心圆的情况) )：0d 0d R-rR-r 从课堂现场观察，感觉这部分内容处理得从课堂现场观察，感觉这部分内容处理得 比较快，对为什么要研究两个圆的位置关比较快，对为什么要研究两个圆的位置关 系，以及怎样研究两个圆的位置关系启发系，以及怎样研究两个圆的位置关系启发 和提示不够，也没有与教学开

27、始时的复习和提示不够，也没有与教学开始时的复习 提问形成有效衔接。提问形成有效衔接。 数学教学是数学思想方法的教学，怎么研数学教学是数学思想方法的教学，怎么研 究两圆的位置关系呢？就是究两圆的位置关系呢？就是要比较要比较d d、R-rR-r、 R+rR+r的关系（相等、小于、大于），这是一的关系（相等、小于、大于），这是一 个个观察观察思考思考表述表述的过程，感觉上教师的过程，感觉上教师 处理得不够深入。处理得不够深入。 下面教师利用课件再次探究：下面教师利用课件再次探究： ） 圆心距和两圆半径的数量关系圆心距和两圆半径的数量关系 圆和圆的位置关系及对应的数量关系：圆和圆的位置关系及对应的数量

28、关系： 图图 形形 名名 称称 公共公共 点个点个 数数 d d与与R R、 r r的的 关系关系 dR+rdR+rd=R+rd=R+r R-rdR+rR-rdR+rd=R-rd=R-rd dR-rR-r 0个个一个一个两个两个一个一个0个个 外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含 （从听课的现场观察看，学生同桌互助、探从听课的现场观察看，学生同桌互助、探 究并交流、教师板书，与教师再次用课件究并交流、教师板书，与教师再次用课件 探究有重复之处。这一方面浪费时间，另探究有重复之处。这一方面浪费时间，另 一方面课件与板书怎样配合，是我们一线一方面课件与板书怎样配合，是我们一线 教师应该考虑的。

29、教师应该考虑的。重复常常是为了强调，重复常常是为了强调， 可是要考虑方式，避免机械重复。可是要考虑方式，避免机械重复。 教师通过下面这组练习巩固两圆的位置关教师通过下面这组练习巩固两圆的位置关 系。系。 ） 01的半径的半径r1 02的半径的半径r2 圆心距圆心距d两圆位置关系两圆位置关系 7 cm5 cm 10 cm 6 cm8 cm1 cm 4 cm7 cm12 cm 6 cm3 cm2 cm 8 cm4 cm4 cm 相交相交 外离外离 内含内含 内含内含 内切内切 练习练习 例例1 1：两个圆的半径的比为：两个圆的半径的比为2:3 ,2:3 ,内切时圆心距等内切时圆心距等 于于8cm,

30、8cm,那么这两圆相交时那么这两圆相交时, ,圆心距圆心距d d的取值范围是的取值范围是 多少多少? ? 8cmd40cm 8cmd40cm 解：解：设大圆半径设大圆半径 R=3x,R=3x,小圆半径小圆半径 r=2xr=2x 依题意得：依题意得： 3x-2x=83x-2x=8 x=8x=8 R=24 cm r=16cm R=24 cm r=16cm 两圆相交两圆相交 R-rdR+rR-rdR+r外切外切d=R+r 相交相交 R-r dR+r内切内切d=R-r 内含内含dR-r 0个个一个一个两个两个一个一个0个个 结论结论1 1：当两圆相交时，公共弦被连心线垂直平分：当两圆相交时，公共弦被连

31、心线垂直平分. . 2 2：当两圆相切时：当两圆相切时, ,切点一定在连心线上切点一定在连心线上. . 练习练习 3 (1) 2 米 思考题思考题 某厂的王师傅要在长某厂的王师傅要在长25cm,25cm,宽为宽为18cm18cm的薄铁的薄铁 板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆. . 他先画出了如下的草图他先画出了如下的草图, ,但他在求小圆半径时但他在求小圆半径时 遇到了困难遇到了困难, ,请你帮助王师傅计算出这两个小请你帮助王师傅计算出这两个小 圆的半径圆的半径. . O 1 O 2 O 25cm 18cm 18cm O 1 O 2 O 25cm

32、 A 解解: : 如图如图, ,连结连结OOOO1 1、O O1 1O O2 2、O O2 2O O， 则则OOOO1 1O O2 2是等腰三角形是等腰三角形. . 作作OAOOAO1 1O O2 2，垂足为，垂足为A A，则，则O O1 1A=OA=O2 2A. A. 由图可知大圆的半径是由图可知大圆的半径是9cm.9cm.设小圆设小圆 的半径为的半径为xcmxcm， 在在RtRtOAOOAO1 1中，依题意，得中，依题意，得(9+x)(9+x)2 2=(9-x)=(9-x)2 2+(25-9-x)+(25-9-x)2 2. . 整理，得整理，得x x2 2-68x+256=0.-68x+2

33、56=0.解得解得x x1 1=4=4，x x2 2=64.=64. x x2 2=64=649 9，不合题意，舍去，不合题意，舍去.x=4.x=4. 答：两个小圆的半径是答：两个小圆的半径是4cm.4cm. 选做题选做题: 知识技能第知识技能第1题题. 必做题必做题: : 随堂练习第随堂练习第1 1题题. . 课外作业课外作业 135 P 137 P 不管你是否愿意不管你是否愿意, ,数学将无处不在数学将无处不在. . 知识来自生活中仔细的观察与思考、知识来自生活中仔细的观察与思考、 不断的创新和百折不挠的探索与研究不断的创新和百折不挠的探索与研究. . 望你们乘上数学之舟，科学之箭，望你们

34、乘上数学之舟，科学之箭， 闯荡未来的人生闯荡未来的人生. . 评析评析 在课后的评课中，在课后的评课中，G老师对本节课的教学设老师对本节课的教学设 计作了简单地说课：计作了简单地说课： 本节课教学设计的指导思想是以学生为中心，本节课教学设计的指导思想是以学生为中心， 多媒体为载体。多媒体为载体。 今天的课，学生活动得比较好。但是，教学今天的课，学生活动得比较好。但是，教学 内容多了一些，有些地方的处理还不够好。内容多了一些，有些地方的处理还不够好。 来自湖北省孝感市教研室、成都市教科院、来自湖北省孝感市教研室、成都市教科院、 昆明市五华区教科所、河南省新乡市教研室昆明市五华区教科所、河南省新乡

35、市教研室 的四位教研员代表听课的的四位教研员代表听课的50位老师评课。位老师评课。对对 本节课肯定性的评价有：本节课肯定性的评价有： 教师的教学基本功扎实、教态大方、教案教师的教学基本功扎实、教态大方、教案 的书写很规范；在进行教学设计时对教材作的书写很规范；在进行教学设计时对教材作 了较好地分析，体现了了较好地分析，体现了用教材教的思想用教材教的思想，而，而 且教学目标明确、可操作性强。且教学目标明确、可操作性强。 G老师的课件制作很好，用数量关系表示老师的课件制作很好，用数量关系表示 两圆的位置关系处理得很精彩，例如情境的两圆的位置关系处理得很精彩，例如情境的 创设用了日全食配合多媒体的演

36、示，达到了创设用了日全食配合多媒体的演示，达到了 很好的效果。很好的效果。 教学过程流畅，教学各环节的安排合理、教学过程流畅，教学各环节的安排合理、 衔接紧密；教师对教学语言使用的把握比衔接紧密；教师对教学语言使用的把握比 较好，数学思想方法渗透得比较好。此外较好，数学思想方法渗透得比较好。此外 教学的重点突出，难点突破比较好，对教学的重点突出，难点突破比较好，对教教 学过程一些环节的处理，如学过程一些环节的处理，如概念的强化、概念的强化、 提问时的追问、对实际问题的提炼有特色。提问时的追问、对实际问题的提炼有特色。 从从G G老师教学设计和教学实施看，教学策略老师教学设计和教学实施看，教学策

37、略 到位，表明学校数学教研活动开展得很好，到位，表明学校数学教研活动开展得很好， 形成了良好的教学团队。形成了良好的教学团队。 听课的教师也对这节课，提出了一些建议：听课的教师也对这节课，提出了一些建议： 教学设计对教材的改动比较大，为什么要教学设计对教材的改动比较大，为什么要 改动教材，应该做到心中有数。建议改动教材，应该做到心中有数。建议G G老师老师 对例题、课堂练习和习题的关系，对课件与对例题、课堂练习和习题的关系，对课件与 板书的区别、联系做进一步的思考。板书的区别、联系做进一步的思考。 本节课的数学思想方法渗透得很好，但是本节课的数学思想方法渗透得很好，但是 能否在教学时对这些思想

38、方法进行明晰化？能否在教学时对这些思想方法进行明晰化？ 虽然教学目标设计明确、可操作性强，但虽然教学目标设计明确、可操作性强，但 是教学目标的书写却不规范。是教学目标的书写却不规范。 学生的活动和讨论应该再充分一些。学生的活动和讨论应该再充分一些。 2.2.球、柱和锥球、柱和锥 在古希腊，由于天文学和几何学的进展，不在古希腊，由于天文学和几何学的进展，不 但早已正确的认识到地球是一个球体，而且但早已正确的认识到地球是一个球体，而且 还相当准确地估计到地球半径的大小。还相当准确地估计到地球半径的大小。 在公元前在公元前3世纪，住在埃及世纪，住在埃及亚历山大城亚历山大城（古（古 希腊文明中心之一）

39、的希腊文明中心之一）的依刺都山尼依刺都山尼发现：在发现：在 夏至正午时分，位于亚历山大城正南方的夏至正午时分，位于亚历山大城正南方的辛辛 尼城尼城（现为（现为阿斯旺阿斯旺），有一口古井，阳光正），有一口古井，阳光正 射井底而无阴影。在同一时刻，亚历山大城射井底而无阴影。在同一时刻，亚历山大城 的水井的井壁和阳光之间约有周角的的水井的井壁和阳光之间约有周角的1/50夹夹 角（约角（约72）。）。 地球球心地球球心 亚历山大城亚历山大城 辛尼城辛尼城 阳光阳光 依刺都山尼推导地球半径的示意图依刺都山尼推导地球半径的示意图 基于大地是球体和太阳光互相平行这个知基于大地是球体和太阳光互相平行这个知 识

40、，辛尼城和亚历山大城与地球球心的夹识，辛尼城和亚历山大城与地球球心的夹 角也应该是角也应该是1/50周角（同位角相等），他周角（同位角相等），他 再用骆驼队由辛尼城到亚历山大城所走的再用骆驼队由辛尼城到亚历山大城所走的 时间来估计两城的距离（弧长），约为时间来估计两城的距离（弧长），约为 5000希腊里。运用弧长与圆心角之间的公希腊里。运用弧长与圆心角之间的公 式估计地球的半径为：式估计地球的半径为： （5000希腊里希腊里50）7270千米千米 该距离与近代人造地球卫星的测量数据该距离与近代人造地球卫星的测量数据 6378米，仅差米，仅差15 （1）球面面积公式的推导）球面面积公式的推导 约

41、在公元前约在公元前3世纪，阿基米德证明了：一个世纪，阿基米德证明了：一个 半径为半径为R的球面面积为的球面面积为4R2 【关键性想法关键性想法】一个底面半径为】一个底面半径为R，高为，高为2R 的圆柱体的侧面积也是的圆柱体的侧面积也是4R2可运用可运用“细分细分 逼近逼近”原理指导球面的面积公式。原理指导球面的面积公式。 S=4R2 2R 2R 【阿基米德的证法阿基米德的证法】 将一个以将一个以R为半径的圆和它们两条平行的，为半径的圆和它们两条平行的， 长度为长度为2R的切线绕中轴旋转，得一球面和的切线绕中轴旋转，得一球面和 一个高为一个高为2R和球相切于和球相切于“赤道赤道”的圆柱面。的圆柱

42、面。 O R Pi-1 Pi hi 2R R i i 用一组垂直于中轴的平行平面截球面和圆用一组垂直于中轴的平行平面截球面和圆 柱面，得两组环状的曲面。平行平面束截柱面，得两组环状的曲面。平行平面束截 圆柱面所得环状曲面剪开后是高为圆柱面所得环状曲面剪开后是高为hi，长，长 为为2Ri的矩形。平行平面束截面所得的环的矩形。平行平面束截面所得的环 状曲面是一个球台的表面，状曲面是一个球台的表面， ii-1 ii-1ii-1ii-1 PP PPPPPP i h它由绕中轴旋转而成。当很小时， 几乎是平直的。近似地用代替， 则由于 ii-1 ii-1 PP. PP ii hh i i sin ， si

43、n i-1i i-1ii-1i P PQ BOAOAB90 . P PQP PRsin. i iii d （易知 ，这是因为： 利用同角的余角相等， 同位角相等及对顶角相等可知: ） 和旋转轴的距离 O R d hi QPi i i i i ii i i 2 2 Rsin S2 R.sin2 Rh . S2 R.h 01. S2 R.h S4 R . i i i i h h i i 小台球 小圆柱 小圆台 球面 所以球台表面形成的环状曲面剪开后面积近似地估计 为一条宽为，长为的矩形面积， sin h 即 sin 当时， 最后，由等量相加得等量知，球面面积等于 圆柱表面积，即 （2）锥体体积公式

44、）锥体体积公式 引言：引言：讨论多面体体积时，最基本的公式讨论多面体体积时，最基本的公式 是：是： 长方体体积长长方体体积长宽宽高高 由此可导出：由此可导出：柱体体积底面积柱体体积底面积高高 最基本的问题：最基本的问题：三角锥体的体积公式是什三角锥体的体积公式是什 么？若知道三角锥体的体积公式，可将任么？若知道三角锥体的体积公式，可将任 意多面体分割成若干三角锥体来求体积。意多面体分割成若干三角锥体来求体积。 【注注】平面图形的面积：】平面图形的面积： 2n-1 i i=1 SS 1 SSS. 2 矩形平行四边形 三角形多边形 割补法 长 宽底 高基 底 高 本公式： VV 1 VVVV. 3

45、 i i 立方体柱 三角锥体柱多面体 基本公式：长 宽 高底 空间图形的体积 ： 面积 高 在古埃及的实验几何中已知：在古埃及的实验几何中已知： 圆锥的体积圆锥的体积1/31/3同底等高的柱体体积同底等高的柱体体积 1/31/3底面积底面积高高 阿基米德是怎样证明这个公式呢？阿基米德是怎样证明这个公式呢？ 基本思路：基本思路： （1）分割；）分割； （2）求和；）求和； （3）取极限）取极限 B h C b A Ai Ai-1 Ci-1 Ci 【证明】在锥体的【证明】在锥体的 情形，用（情形，用（n-1） 个相距个相距h/n为的平为的平 行平面将锥截成厚行平面将锥截成厚 度为度为h/n的三角台

46、的三角台 体（第一个仍是锥体（第一个仍是锥 体），体）， -1-11 -1-11 -1-11 ABC ABCA B C A B C A B C A B CA B CABC. S=b S,S iiiiii iii iii iiiiii b 22 从上往下数的第i个台体上底为， 下底为，由相似形定理的推论3知： 设，则由面积之比边长比的平方，有： i-1i （）b（ ） nn D A B Bi-1 Bi Ai-1 Ai -1-11iii -1-11iii ABCA B C ABC 222 i-1i-1ii i-11i i-1i-1ii i-1i-1ii ABCA B C 2 SS S ABA BA

47、B ADBA DBADB . ABA BAB 1 ABAB A BAB. SS AB iii iii ii hh ii h hh nn 22 事实上，由， 及， i-1i 这个三角形的高分别为：（） ，（） ，h nn 则又有：， i-1i 故， nn 这样 i-1i （）（） nn ABC 2 2 S AB AB 将上述不等式逐一相加，得：将上述不等式逐一相加，得： -1-11 ABC 2 ABCA B C ABSS .SV. . V =b iiiiii i i b h b n 22 22 i-1i 约去即得：（）b，（ ） nn i-1hi （）于是（）b.（ ） nnn 其中表示第i个三

48、角台体。 22222222 32 012(1) V123 bhbh nn nn （） 2222 (1)(21) 123 6 n nn n 注意到：，故 22222 (1) (21) 0123(1) 6 nnn n 32 (1) (21)(1)(21) .V. 66 bhnnnbh n nn nn 代入上式得： 1111 .(11V.(1+1+) 3232 bhbh 或：)( )( nnnn 11 .(11 323 bhbh n 当时，)( ) nn 11 .(1+1+) 323 bhbh )( nn 1 V 3 锥 由逼近原 底理可：面积知高 【证明证明】将球体分为上、下两半，每半看成】将球体

49、分为上、下两半，每半看成 个顶点在球心底面在球面上的小锥体的和。个顶点在球心底面在球面上的小锥体的和。 结合锥体体积公式和球面面积公式，在极结合锥体体积公式和球面面积公式，在极 限的情况下，有：限的情况下，有： 3 4 VR . 3 1 1 3 2 球 多面锥体体积 底面积 高（利用切割相加即明 半径为的球的体积公式为：推论 ）推论 ： 23 14 V22 RR 33 球 . . 高中数学选修课高中数学选修课 9.10.2-39.10.2-3 案案 例例 怎样求球的体积怎样求球的体积? 1. 思考思考 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液

50、法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 h H 实验：排液法测小球的体积实验：排液法测小球的体积 曹冲称象曹冲称象 假设将圆假设将圆n等分，则等分，则 n=6 n=12 A1 A2 O A2A1 An O 1n3221 OAAOAAOAA SSSS 正多边形 )AAAAAA( p 2 1 1n3221 正多边形 pC 2 1 圆正多边形 时，当CC,R

51、pn 2 RR2R 2 1 S 圆 p A3 回顾圆面积公式的推导回顾圆面积公式的推导 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割倍边法割 圆术圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接。他用加倍的方式不断增加圆内接 正多边形的边数，使其面积与圆的面积之正多边形的边数，使其面积与圆的面积之 差更小，即所谓差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”。 这样重复下去，就达到了这样重复下去，就达到了“割之又割，以割之又割，以 至于不可再割，则与圆合体而无所失矣至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”

52、。 这是世界上最早的这是世界上最早的 “极限极限”思想。思想。 , 2 1 RRr ,)( 22 2 n R Rr 已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. . ,) 2 ( 22 3 n R Rr A O B2 C2 2.球的体积球的体积 A O O R )1( i n R 半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i .,2,1,)1( 22 nii n R Rri i r O A 球的体积球的体积 ni n i n R n R rV ii ,2,1,) 1 (1 2 3 2 nii n R Rri,2,1,)1( 22 n VVVV 21半球半球

53、)1(21 2 2223 n n n n R 6 ) 12() 1(1 2 3 nnn n n n R 6 )12)(1(1 1 2 3 nn n R 球的体积球的体积 6 ) 1 2)( 1 1( 1 3nn RV 半半球球 .0 1 , n n时时当当 . 3 4 3 2 3 3 RV RV 从从而而 半半球球 3 4 3 RVR定理：半径是 的球的体积为： 球的体积球的体积 3 3 4 RV 定理定理:半径是半径是R的球的体积的球的体积 R 3 3 2 RV 半球 3 3 1 RV 圆锥 3 RV 圆柱 高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比 阅读材料以及思考题阅读

54、材料以及思考题 1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来体积变为原来 的几倍的几倍? 2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是 4cm,求这个球的体积求这个球的体积. 8倍倍 332 A AB B C CD D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O 钢球直径是钢球直径是5cm,. 把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, ,至至 少要用多少纸少要用多少纸? ? 用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ? 球内切于正方体球内切于正方体 22 6

55、5150Scm 全 侧棱长为侧棱长为5cm 两个几何体两个几何体相（内）切相（内）切: 一个几何体的各个一个几何体的各个面面与另一个几何体与另一个几何体 的各的各面面相切相切. O O E E O O1 1 P P O O D D C C B B A A 两个几何体两个几何体相接相接: 一个几何体的所有一个几何体的所有顶点顶点都都 在另一在另一 个几何体的个几何体的表面表面上上 A AB B C CD D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O O B D A 1 O M R 球面不能展开成平面图形，所以球面不能展开成平面图形，所以 求球的表面积无法用展开图求出，求球的

56、表面积无法用展开图求出， 如何求球的表面积公式呢如何求球的表面积公式呢? ? 回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, , 得得 到启发，可以借助极限思想方法来推到启发，可以借助极限思想方法来推 导球的表面积公式。导球的表面积公式。 3. 球的表面积球的表面积 球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球球( (即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。 它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。 半径是半径是R R的球的体积：的球的体积：3 3 4 RV o i S o 球的表面积球的表面积 第

57、第 一一 步：步： 分分 割割 球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为： n SSSS , 321 ， 则球的表面积：则球的表面积： n SSSSS 321 则球的体积为：则球的体积为： i V 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为 i V n VVVVV 321 i S O O O O 球的表面积球的表面积 第第 二二 步：步： 求求 近近 似似 和和 i h 由第一步得：由第一步得： n VVVVV 321 nn hShShShSV 3 1 3 1 3 1 3 1 332211 iii hSV 3 1 O O i S i V O O 球的表面积球的表面

58、积 第第 三三 步：步： 化化 为为 准准 确确 和和 RSV ii 3 1 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小 锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥 RSRSRSRSV ni 3 1 3 1 3 1 3 1 32 RSSSSSR ni 3 1 ).( 3 1 32 3 3 4 RV 又又球球的的体体积积为为： R i S i V i h i S O O i V 23 4, 3 1 3 4 RSRSR 从从而而 球的表面积球的表面积 Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 定理定理 半径是半径是 的球的表面积：的球的表面积： R 2 4SR 球的表面积是大球的

59、表面积是大 圆面积的圆面积的4倍倍 R 1.地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约为地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约为6370km， 火星的直径约为地球的一半。火星的直径约为地球的一半。 (1)求地球的表面积和体积；求地球的表面积和体积； (2) 火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？ V地球= 4 3 3 = 4 3 3 =4 2 12(km3) S地球=4 2 8(km2)解：解： （1） （2） V 火 V 地 = 4 3 火 3 4 3 地 3 = R 火 3 R 地 3 = ( 1 2 R 地 ) 3 R 地 3 = 1

60、 8 S 火 S 地 = 4 火 2 4 地 2 = R 火 2 R 地 2 = ( 1 2 R 地 ) 2 R 地 2 = 1 4 例例1.1.如图如图, ,圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径, ,求证求证: : (1) (1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积. . (2) (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. . O O 证明证明: : R R (1)(1)设球的半径为设球的半径为R,R, 2 4RS 球球 得得: : 则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R.2R. 2 422RRR