2017-2018学年高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 五 与圆有关的比例线段创新应用教学案 -1

1、学必求其心得，业必贵于专精五 与圆有关的比例线段对应学生用书p311相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等如图，弦ab与cd相交于p点,则papbpcpd.2割线有关定理(1）割线定理：文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等图形表示：如图,o的割线pab与pcd，则有：papbpcpd.（2）切割线定理：文字叙述:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；图形表示：如图，o的切线pa，切点为a，割线pbc，则有pa2pbpc.3切线长定理（1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆

2、心和这一点的连线平分两条切线的夹角（2)图形表示:如图:o的切线pa，pb，则papb，opaopb。对应学生用书p32相交弦定理例1如图，已知在o中，p是弦ab的中点,过点p作半径oa的垂线分别交o于c、d两点，垂足是点e。求证：pcpdaeao.思路点拨由相交弦定理知pcpdappb，又p为ab的中点，pcpdap2。在rtpao中再使用射影定理即可证明连接op,p为ab的中点，opab，appb.peoa,ap2aeao.pdpcpapbap2，pdpcaeao。(1）相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明(2）由相交弦定理可得推论

3、：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项1。如图，已知o的两条弦ab，cd相交于ab的中点e，且ab4，dece3，则cd的长为(）a4b5c8 d10解析：设cex，则de3x.根据相交弦定理，得x（x3)22，x1或x4（不合题意，应舍去）则cd3115.答案：b2。如图,已知ab是o的直径，omon，p是o上的点，pm、pn的延长线分别交o于q、r.求证：pmmqpnnr.pmmqpnnr.割线定理、切割线定理例2如图，ab是o的一条切线，切点为b，ade，cfd，cge都是o的割线,已知acab.证明：(1)adaeac2；（2)fgac。思路点拨(1)

4、利用切割线定理；(2）证adcace。证明(1）ab是o的一条切线，ade是o的割线，由切割线定理得adaeab2.又acab，adaeac2。（2)由（1）得，又eacdac，adcace。adcace。又adcegf，egface.fgac.(1）割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题,有时切割线定理利用方程进行计算、求值等（2）切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理3如图，ab为圆o的直径,pa为圆o的切线，pb与圆o相交于d.若pa3，pddb916,则pd_；ab_.

5、解析:pddb916，不妨设pd9a,db16a(a0)，pb25a。由切割线定理知pa2pdpb，即99a25a，a。pd.在直角三角形pab中，pa3，pb5，可知ab4.答案:44。如图,ad为o的直径,ab为o的切线，割线bmn交ad的延长线于c,且bmmnnc，若ab2。求:(1)bc的长；（2)o的半径r.解：(1)不妨设bmmnncx.根据切割线定理，得ab2bmbn，即22x(xx），解得x，bc3x3。(2)在rtabc中，ac，由割线定理，得cdaccncm，由（1）可知,cn，bc3,cmbcbm32，ac，cd，r(accd).切线长定理例3如图，ab是o的直径，c是o

6、上一点，过点c的切线与过a、b两点的切线分别交于点e、f，af与be交于点p.求证:epcebf.思路点拨证明ea，ef，fb是o的切线，eaec，fcfb。ea，fb切o于a，b，ab是直径，eaab，fbab.eafb。cpfb。epcebf.运用切线长定理时,注意分析其中的等量关系，即切线长相等,圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角,然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明5两个等圆o与o外切，过o作o的两条切线oa、ob，a、b是切点,则aob（)a90b60c45 d30解析：如图，连接oo，oa.oa为o的切线，oao90。又o与o为等圆且外切,oo2oa。sin aoo。ao

7、o30.又由切线长定理知aob2aoo60。答案：b6。已知:如图，四边形abcd的边ab，bc,cd，da和o分别相切于l，m，n，p.求证：adbcabcd。证明：由圆的切线长定理得cmcn,blbm,apal，dpdn,aballb，bcbmmc，cdcnnd，adappd，adbc(appd)（bmmc)（alnd）（blcn)（albl）（ndcn)abcd，即adbcabcd.对应学生用书p33一、选择题1自圆外一点所作过圆心的割线长是12 cm，圆的半径为4 cm,则过此点所引的切线长为（)a16 cmb4 cmc4 cm d以上答案都不对解析:设切线长为x cm，由切割线定理得

8、x2(1224）12，故x4。答案：b2点c在o的弦ab上,p为o上一点，且occp,则()aoc2cacb boc2papbcpc2papb dpc2cacb解析:根据occp，可知c为过pc点弦的中点，再由相交弦定理即有pc2cacb。答案：d3如图，acb90,cdab于点d,以bd为直径的圆与bc交于点e，则（）acecbaddb bcecbadabcadabcd2 dceebcd2解析：在直角三角形abc中，根据直角三角形射影定理可得cd2addb，再根据切割线定理可得cd2cecb，所以cecbaddb.答案：a4.已知pt切o于点t，tc是o的直径，割线pba交tc于点d，交o于

9、b、a（b在pd上)，da3，db4，dc2,则pb等于（）a20 b10c5 d8解析：da3,db4，dc2,由相交弦定理得dbdadcdt，即dt6；因为tc为o的直径,所以ptdt.设pbx，则在rtpdt中,pt2pd2dt2(4x)236.由切割线定理得pt2pbpax(x7)，所以(4x)236x(x7)，解得x20,即pb20.答案：a二、填空题5ab是o的直径，弦cdab，垂足为m，am4，bm9，则弦cd的长为_解析：根据相交弦定理,ambm（）2，所以6，cd12。答案:126。如图所示，直线pb与圆o相切于点b，d是弦ac上的点,pbadba.若adm,acn,则ab_

10、。解析：因为直线pb是圆的切线，所以abpc，又因为abpabd，所以abdc，又因为aa，所以abdacb，所以，所以ab。答案：7。如图,pa，pb分别为o的切线，切点分别为a，b，pa7,在劣弧上任取一点c，过c作o的切线，分别交pa，pb于d，e,则pde的周长是_解析：由切线长定理知，pbpa7，且dadc，eceb，所以pde的周长为pdpedepddccepepapb14.答案：14三、解答题8.如图,ab是圆o的直径，弦cdab，垂足是g，f是cg的中点，延长af交o于e，cf2,af3,求ef的长解：因为cdab于g，f为cg的中点，所以g为cd的中点，即cd8，fd6.又因

11、为affecffd，即3ef26，所以ef4.9.已知：如图，pa、pb、de分别切o于a、b、c三点，po13 cm，o半径r5 cm，求pde的周长解：pa、pb、de分别切o于a、b、c三点，dadc，ebec。pde的周长为papb2pa.连接oa,则oapa.pa12 cm。pde的周长为24 cm。10如图，已知o1和o2相交于点a，b,过点a作o1的切线交o2于点c，过点b作两圆的割线，分别交o1，o2于点d，e，de与ac相交于点p.（1)求证：adec；（2)若ad是o2的切线，且pa6,pc2，bd9,求ad的长解：(1)证明:连接ab。ac为o1的切线，bacd。又bace，de。adec。（2）设pbx，pey,由相