2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 7 向量应用举例教学案

1、学必求其心得，业必贵于专精7 向量应用举例核心必知1点到直线的距离公式若m（x0,y0)是一平面上一定点，它到直线l：axbyc0的距离d2直线的法向量（1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量（2）公式：设直线l：axbyc0,取其方向向量v(b,a)，则直线l的法向量n(a,b)3向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用问题思考1教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d|n0|？提示：如图所示,过m作mnl于n，则d|。在rtmpn中,|是在方向上的射影的绝对值，则|cospmn|1cospmn|n0cospmnn0|dn0.2你认为利用向

2、量方法解决几何问题的关键是什么？提示：关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决3利用向量可以解决哪些物理问题？提示：利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等讲一讲1已知rtabc，c90,设acm,bcn,若d为斜边ab的中点，(1)求证：cdab；(2)若e为cd的中点，连接ae并延长交bc于f，求af的长度(用m，n表示）尝试解答 以c为坐标原点，以边cb、ca所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，a(0,m），b（n，0），(n，m)(1)证明:d为ab的中点，d(，）， ，|,|,即cdab.

3、（2)e为cd的中点，所以e（，),设f(x，0),则（，m)，(x，m），a、e、f共线，解得(x，m）（，m),即x，即f(,0)(，m）| .即af。利用向量解决几何中常见问题的基本策略：（1)证明线段相等,转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模；(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行；（3）证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直；（4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题;（5）对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题练一练1已知abcd中，ad1,a

4、b2,对角线bd2，试求对角线ac的长讲一讲2已知过点a（0，2)，且方向向量为a(1,k)的直线l与圆c:（x2)2（y3)21相交于m，n两点，若o为坐标原点，且12，求k及直线l的方程 尝试解答 设m（x1,y1）,n(x2，y2）由题意知,l的方程为ykx2，由得，（1k2）x2(42k）x40.由根与系数的关系得，x1x2,x1x2（x1，y1）(x2，y2)x1x2y1y212.y1kx12，y2kx22x1x2（kx12)(kx22)0，即(1k2）x1x22k(x1x2)80，(1k2)2k80,解得k，直线l的方程为yx2，即x2y40。向量在解析几何中的应用主要表现在两个方

5、面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途经主要有两种:一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质练一练2。 过点m(，1）的直线l与圆c:（x1)2y24交于a、b两点，c为圆心，当最大时，求直线l的方程解：可知圆c的圆心c（1,0)，半径r2cos acb22cos acb4cos acb当最大时,acb最小连接cm，当abcm时,acb最小这时直线l的法向量为：（，1)（1，0)（，1)l的方向向量为（1，），l的斜率为k故直线l的方程为y1（x）,即2x4y30。讲一讲

6、3. 一架飞机从a地向北偏西60方向飞行1 000 km到达b地，因大雾无法降落，故转向c地飞行,若c地在a地的南偏西60方向，并且a、c两地相距2 000 km，求飞机从b地到c地的位移2 00021 000221 0002 0003106有abd60，于是dbc30.所以飞机从b地到c地的位移的大小为1 000 km，方向为南偏西30.法二：建立如图所示的坐标系，并取a500，则（2acos 150，2asin 150）（a，a)，(4acos 210,4asin 210）（2a,2a)，（a,3a),2a，即1 000 （km）又cos c，c30,结合图形可知的方向为南偏西30,所以飞

7、机从b地到c地的位移的大小为1 000 km，方向为南偏西30.1由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似,所以可以用向量的知识来解决;2物理中的功是一个标量，它是力f与位移s的数量积,即wfs|fscos 。练一练3已知一物体在共点力f1（lg 2，lg 2)，f2（lg 5,lg 2)的作用下产生的位移s(2lg 5，1)，求这两个共点力对物体做的功w的值解：w(f1f2）s，又f1f2（1, 2lg 2），s（2lg 5,1），所以w2lg 52lg 22。如图，在细绳o处用水平力f2缓慢拉起所受重力g的物体，绳子与铅垂方向的夹角为，绳子所受到的拉力为

8、f1，求： (1）|f1、|f2|随角的变化而变化的情况;（2)当f1|2|g|时，角的取值范围巧思力的合成与分解满足平行四边形法则,合理使用平行四边形法则及三角形法则对各量间进行分析和运算，从三角函数的角度分析力的变化,从不等关系研究角的范围妙解(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,知gf1f2.解直角三角形，得|f1，|f2|gtan .当从0趋向于90时，f1、f2|皆逐渐增大（2）令|f1|2|g|，得cos 。又090，060.1过点a(2，3)，且法向量为n（2，1）的直线方程为()a2xy70b2xy70cx2y40 dx2y40解析：选a由题意知，可取直线的方向

9、向量为v(1，2)，直线的方程为y32（x2),即2xy70。2点p在平面上做匀速直线运动，速度向量v(4,3）（即点p的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v个单位）设开始时点p的坐标为（10，10），则5秒后点p的坐标为()a(2，4） b(30，25)c（10，5) d（5,10）解析：选c设5秒后点p运动到点a，则5v（20，15），(20，15）（10，10）（10，5）3已知abc， b，且ab0；则abc的形状为()a钝角三角形 b直角三角形c锐角三角形 d等腰直角三角形解析：选a由abcosbac0知cosbac0,bac为钝角4河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸

10、方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_解析：设小船的静水速度为v，依题意v|2.答案: 2 m/s5一质点受到平面上的三个力f1,f2，f3（单位:牛顿）的作用而处于平衡状态,已知f1、f2成60角,且f1、f2的大小分别为2和4，则f3的大小为_解析：由向量加法的平行四边形法则知f3的大小等于以f1、f2为邻边的平行四边形的对角线的长，故f3|2f12|f2|22|f1|f2|cos 60416828,|f32.答案: 26已知abc为直角三角形，设abc，bca，cab.若c90，试证：c2a2b2。证明：以c点为原点建立如图所示的直角坐标系则a(b，0），b（0，a)(

11、0，a)（b，0)(b，a)|c。故c2a2b2.一、选择题1已知直线l：mx2y60，向量(1m，1）与l平行,则实数m的值是()a1b1c2 d1或2解析：选d取直线l的方向向量v（2，m），则m（1m）1(2)0，即m2m20,得m1或m2。2用两条成60的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12 n,则合力的大小为(精确到0。1 n)()a20。6 n b18。8 nc20。8 n d36。8 n解析：选c设两条绳索的拉力f1，f2的合力为f合如图所示，则12，f合,连接bd交ac于m，bam30，f合|2|212cos 301220。8 n.3在abc中，若0,则abc为()a正三角形 b直

12、角三角形c等腰三角形 d无法确定4已知三个力f1（2，1)，f2(3,2)，f3（4,3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4,则f4等于（)a(1，2) b（1，2)c(1，2) d(1，2)解析：选d由题可知f4（f1f2f3)(2，1)（3，2)（4，3)（1，2）(1,2)二、填空题5已知f(2，3)作用于一物体，使物体从a(2,0）移动到b(2，3）,则力f对物体做的功为_解析：（4,3），wfsf（2,3）(4,3)891.答案：16已知直线l经过点(，0）且方向向量为（2，1），则原点o到直线l的距离为_解析:可知直线l的斜率k，l的方程为y(x),即x2y

13、0，原点到l的距离为d1。答案：17在边长为1的正三角形中，设，则_。(111cos 601）.答案:8已知直线axbyc0与圆x2y21相交于a、b两点，且|ab，则_.解析：如图，取d为ab的中点,oa1，ab，aod。aob。11cos。答案:三、解答题9一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30，风速为4 m/s,这时气象台报告的实际风速为2 m/s，试求风的实际方向和汽车速度的大小解：依据物理知识，有三对相对速度，车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车,风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地v风车v车地如图

14、所示，根据向量求和的平行四边形法则,可知表示向量v风地的有向线段对应abdc的对角线|4，acd30，adc90。在rtadc中，|cos 302.风的实际方向是正南方，汽车速度的大小为2 m/s。10试用向量法证明:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍证明：设abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边,如图：b22bccos ac2,即a2b2c22bccos a.同理可证:b2a2c22accos b,c2a2b22abcos c.法二:如图,以a为原点,ab所在直线为x轴，建立直角坐标系，则：c（bcos a,bsin a）,b(c,0），(bcos a，bsin a